Autor: Anna Jatczak TEST PRZED PRÓBNÑ MATURÑ 2007 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY ARKUSZ II Instrukcja dla zdajàcego Czas pracy: 150 minut 1. Prosz sprawdziç, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 11 stron. Ewentualny brak nale y zg osiç przewodniczàcemu zespo u nadzorujàcego egzamin. 2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi nale y zapisaç w miejscu na to przeznaczonym. 3. W rozwiàzaniach zadaƒ trzeba przedstawiç tok rozumowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku. 4. Prosz pisaç czytelnie; u ywaç d ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie wolno u ywaç korektora. B dne zapisy trzeba wyraênie przekreêliç. 6. Zapisy w brudnopisie nie b dà oceniane. 7. Obok ka dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którà mo na uzyskaç za jego poprawne rozwiàzanie. 8. Podczas egzaminu mo na korzystaç z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Za rozwiàzanie wszystkich zadaƒ mo na otrzymaç àcznie 50 punktów. yczymy powodzenia! Arkusz przygotowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON na wzór oryginalnego arkusza maturalnego.
2 Matematyka. Arkusz II Zadanie 11 (4 pkt) Przygotowane na loteri losy umieszczone w urnach dwóch typów: I i II. W ka dej urnie typu I jest 20 losów, wêród których 5 jest pe nych, natomiast w ka dej urnie typu II jest 15 losów, wêród których 3 sà pe ne. Urn typu I jest trzy razy wi cej ni urn typu II. Z losowo wybranej urny wyjmujemy jeden los. Oblicz prawdopodobieƒstwo, e jest to los pe ny.
Matematyka. Arkusz II 3 Zadanie 12 (6 pkt) Rysunek przedstawia wykres funkcji f g ^xh = 2 x, x! 0 o wektor v. ^xh. Jej wykres powsta z przesuni cia wykresu funkcji a) Znajdê wspó rz dne wektora v. b) Wiedzàc, e funkcj f ^xh mo na opisaç wzorem postaci f x ax b ^ h = x+ + c, wyznacz wspó czynniki a, b, c we wzorze funkcji f ^xh. c) Wyznacz argumenty x, dla których wartoêci funkcji f ^xhsà nie mniejsze od wartoêci funkcji g^xh. Y 1 y = f(x) 0 X
4 Matematyka. Arkusz II Zadanie 13 (4 pkt) Aby wyznaczyç tg15c mo emy postàpiç w podany sposób. 1. Rysujemy trójkàt prostokàtny, w którym jeden kàt ostry ma miar 30c. Boki tego trójkàta mo emy oznaczyç przez a, a 3, 2 a, gdzie a jest przeciwprostokàtnà le àcà naprzeciw kàta 30c. 2. KreÊlimy dwusiecznà kàta 30c, która dzieli go na dwa kàty o mierze 15c, a przeciwleg à przyprostokàtnà na odcinki x i a- x. x 15 30 a 3 3. Korzystamy z nast pujàcego twierdzenia o dwusiecznej kàta w trójkàcie. Dwusieczna kàta w trójkàcie dzieli przeciwleg y bok trójkàta na odcinki, które sà proporcjonalne do tych boków trójkàta, do których przylegajà. Zatem: x = a x a 3 2 -. a 4. Obliczamy d ugoêç odcinka x: 2ax = a 3^a -xh 2 2ax + a 3x = a 3 2 _ 2+ 3i ax = a 3 2 a 3 a 32 _ - 3i a x = = = _ 2+ 3ia _ 2+ 3i_ 2-3i x = a 32 _ - 3i 5. Obliczamy: x a 32 _ - 3i tg15c = = a 3 a 3 tg15c = 2-3 W analogiczny sposób oblicz tg 22c 30'. a x a 32 _ - 3i 4-3 2a
Matematyka. Arkusz II 5 Zadanie 14 (4 pkt) Dane jest równanie log 72+ log ^log x + 1hA = 0. 8 0, 25 2 a) Podaj za o enia konieczne do okreêlenia dziedziny równania. b) Rozwià równanie. c) Sprawdê, czy rozwiàzanie równania spe nia za o enia dotyczàce jego dziedziny.
6 Matematyka. Arkusz II Zadanie 15 (7 pkt) Dana jest prosta k: 3x- 4y+ 7= 0 i punkt A = ^2; -3h. Z punktu A poprowadzono dwie proste m i n takie, e: prosta m przecina prostà k w punkcie B i jest prostopad a do niej, prosta n przecina prostà k w takim punkcie C nale àcym do pierwszej çwiartki uk adu wspó rz dnych, e EACB ma miar 30c. Wyznacz wspó rz dne punktów B i C.
Matematyka. Arkusz II 7 Zadanie 16 (6 pkt) 3 2 Rysunek przedstawia wykres funkcji f ^xh = x + ax + bx+ c, x! R. a) Wyznacz wspó czynniki a, b, c we wzorze funkcji f ^xh. b) Wyznacz maksymalny przedzia, w którym funkcja f ^xhjest malejàca. Y y = f(x) 1 5 X 8
8 Matematyka. Arkusz II Zadanie 17 (4 pkt) Przedstawiona na rysunku choràgiewka ma kszta t trójkàta równoramiennego, którego ramiona majà d ugoêç 40cm i tworzà kàt 30c. Choràgiewka ta zosta a wykonana z dwóch kawa ków tkaniny: jednego w kolorze czarnym i drugiego w kolorze bia ym, przy czym cz Êç w kolorze bia ym stanowi 62% powierzchni choràgiewki. Oblicz d ugoêç odcinka, wzd u którego zosta y po àczone oba kawa ki tkanin.
Matematyka. Arkusz II 9 Zadanie 18 (3 pkt) Wyznacz trzeci wyraz rozwini cia dwumianu _ x 2 + y n i, wiedzàc, e wspó czynnik przy czwartym wyrazie tego rozwini cia stanowi 7 4 wspó czynnika przy wyrazie piàtym.
10 Matematyka. Arkusz II Zadanie 19 (6 pkt) Rysunek przedstawia fragment nieskoƒczonego ciàgu kwadratów ^K, K, K,... 1 2 3 h umieszczonego w trójkàcie prostokàtnym o bokach d ugoêci 3, 4, 5. Oblicz sum pól tego ciàgu kwadratów. K 1 K 2 K3
Matematyka. Arkusz II 11 Zadanie 20 (6 pkt) Oblicz tg x, wiedzàc, e sin y = 1 i x+ 2y= r i 10 4 xy,! 0; r b 2 l.