Teoria Decyzji Wykład 13 N-osobowe gry kooperacyjne - wartość Shapleya Na poprzednim wykładzie mówiliśmy o dwóch rodzajach pojęcia rozwiązania" gry kooperacyjnej: o rdzeniu i o zbiorach stabilnych. Oba te rozwiązania odwołują się do koncepcji dominacji albo kwestionowania pewnych podziałów przez pewne koalicje. Pojęcia te, pomimo swojej intuicyjnej oczywistości, mają pewne wady: zachowują się w dość nieregularny sposób, rdzeń może być zbiorem pustym, a zbiorów stabilnych może być z kolei bardzo wiele. Tych wad nie ma inna koncepcja rozwiązania" gry, którą zajmiemy się w tym rozdziale. Jest nią wartość Shapleya. Wprowadzimy to pojęcie posługując się przykładem muzyków opisanym na poprzednim wykładzie. Przypomnijmy samą tylko tabelkę tej gry prezentującą jej postać charakterystyczną Koalicja Wypłata {Skrzypek, Pianista, Basista} 200 { Pianista, Basista} 130 {Skrzypek,Basista} 100 {Skrzypek, Pianista} 160 {Skrzypek} 40 { Pianista} 60 { Basista} 0 Przypuśćmy, że trzej muzycy umówili się w jednym miejscu, na przykład na przystanku metra o piątej po południu. Nigdy nie przyjdą na spotkanie w tym samym momencie: ze względów losowych będą się pojawiać w jakiejś kolejności. Co więcej teoretycznie nie wszyscy musza się pojawić. Jeśli się dany muzyk pojawi, to jaka jest z tego korzyść? Otóż to ta korzyść - zależy nie tylko od tego, który to muzyk, ale też od tego w którym momencie tworzenia koalicji się pojawi. Ową korzyść z przyjścia danego muzyka, ogólnie nazywamy wkładem w koalicję. Jest sześć możliwych kolejności pojawiania się muzyków, czyli jak mówimy - tworzenia koalicji: {Skrzypek, Pianista, Basista} {Skrzypek, Basista, Pianista} {Pianista, Basista, Skrzypek} {Pianista, Skrzypek, Basista} {Basista, Skrzypek, Pianista} {Basista, Pianista, Skrzypek}
Wybierzmy sobie jednego z artystów, na przykład Basistę i przeanalizujmy jego sytuację w każdym z możliwych wymienionych wyżej przypadków. Przypuśćmy, że każdą kolejność przyjścia interpretujemy jako proces tworzenia się zespołu w pewnej kolejności. Interesuje nas wielkość wypłaty, jaką dany gracz muzyk wnosi do już zastanej koalicji. W przypadku kolejności numer l, Basista zastaje koalicję {Skrzypek, Pianista} wartą" (jak wynika z tabeli) 160. Po jego przyjściu wartość koalicji wzrasta do 200 dolarów, czyli o 40 dolarów. W przypadku kolejności numer 2, Basista zastaje koalicję { Skrzypek } wartą" 40 dolarów. Po jego przyjściu wartość tej koalicji wzrasta do 100 dolarów, czyli o 60 dolarów. Postępujemy tak dalej, na przykład dla kolejności numer 5, czy 6, Perkusista przychodzi pierwszy i wnosi 0 dolarów, jako że sam nie jest nic wart". Otrzymujemy w ten sposób poniższą tabelę, w której wypisano wszystkie możliwe kolejności tworzenia się zespołu, a obok kwoty, jakie poszczególni muzycy wnoszą przychodząc w tej właśnie kolejności. W ostatnim wierszu tej tabeli umieściliśmy średni wkład każdego z muzyków ze względu na wszystkie możliwe kolejności tworzenia się zespołu. W ten sposób otrzymaliśmy podział Xs == 70, Xp, = 95. Xb, = 35. Ten podział nazywa się wartością Shapleya danej gry. Wartość Shapleya, ze względu na sposób, w jaki ją skonstruowano, można interpretować jako średni oczekiwany podział w danej grze przy rozegraniu dużej ilości partii. Zaletą wartości Shapleya jest jej matematyczna prostota. Jest jeszcze jedna bardzo ważna rzecz: wartość Shapleya zawsze istnieje i zawsze jest tylko jedna. Zobaczmy jeszcze jak wygląda wartość Shapleya dla gry opisującej sytuację trzech kolegów, Zygi, Wieśka i Mietka, a przedstawionej na poprzednim wykładzie. Postać charakterystyczna tej gry była następująca:
Koalicja Wypłata { Zyga, Wiesiek, Mietek } 100 { Wiesiek, Mietek } 100 { Zyga, Mietek } 100 { Zyga, Wiesiek } 100 { Mietek } 0 { Zyga, } 0 { Wiesiek } 0 Wkłady poszczególnych graczy w różnych konfiguracjach kolejności tworzenia koalicji przedstawia poniższa tabela: Wartość Shapleya tej gry stanowi więc podział Xz =Xw= Xm = 1 33. Otrzymany 3 wynik jest symetryczny, co nie jest przypadkiem. Historycznie bowiem rzecz ujmując, Lloyd Shapley który w latach 50 ubiegłego wieku analizował sposoby rozwiązania problemu podziału wypłaty w koalicji - zaczął od sformułowania trzech aksjomatów, dotyczących wartości podziału, które jego zdaniem oddają idee sprawiedliwości. Następnie wykazał, że taka wartość istnieje i jest tylko jedna. Podał także sposób jej obliczania, był on jednak znacznie bardziej skomplikowany niż ten, który poznali Państwo. Wspomnianych aksjomatów nie podamy w tym miejscu, bo wykorzystują one pewne pojęcia formalne obce Państwu, jednak powszechnie uznano je podobnie jak aksjomaty sprawiedliwości sformułowane przez Nasha dla gier dwuosobowych za sensowne i intuicyjne i raczej wszyscy się z nimi zgadzają, choć oczywiście są sytuacje, w których idee te budzą pewne wątpliwości. Jeden z tych aksjomatów mówi właśnie, że jeśli sytuacje graczy w grze koalicyjnej są w pełni symetryczne, to ich wypłaty powinny być równe. A tak właśnie było w rozważanej sytuacji trzech kolegów dźwigających skrzynie.
Wartość Shapleya bardzo szybko została zaakceptowana w teorii i praktyce jako dobra propozycja rozwiązania problemu podziału wypłaty w koalicji. Znaleziono dla niej także inne zastosowania. O jednym z nich powiemy w kolejnej części wykładu. Ważone gry większości Głosowanie na walnym zgromadzeniu akcjonariuszy spółki to również pewien szczególny rodzaj gry kooperacyjnej. Jest to gra, której każdy uczestnik dysponuje pewną ilością głosów zależną od jego udziałów w spółce. Sytuacja jest zatem taka: Mamy N graczy - udziałowców. Udział i-tego gracza w firmie wyraża się liczbą w i, i=1,,n. Suma wszystkich udziałów wynosi więc W głosów. Jest więc jakaś ustalona liczba A większa niż i w i. Do przyjęcia dowolnej uchwały potrzebna jest większość W. ale nie większa niż W, która 2 wyznacza większość". Koalicja, która łącznie zbierze A głosów albo więcej, decyduje o przyjęciu albo odrzuceniu uchwały. Koalicje taka nazywać będziemy koalicją nazywana wygrywającą Przypisujemy jej wypłatę w wysokości l. Koalicja, która nie ma większości jest przegrywająca i przypisujemy jej wypłatę 0. Takie gry nazywamy ważonymi grami większości. Weźmy pod uwagę prosty przykład: czterech akcjonariuszy, których udziały wynoszą, odpowiednio: 30, 30, 30 i 10 procent. Załóżmy, że statutowa większość potrzebna do podjęcia jakiejś uchwały wynosi 55. Taką grę będziemy umownie oznaczać przez [30, 30, 30, 10; 55]. Umówmy się, że graczy numerujemy, a zbiory indeksów oznaczają możliwe koalicje. Przykładowo, koalicja {l, 2, 4} składa się z akcjonariuszy numer l, 2 i 4. Stosując tę notacje poniżej przedstawiamy tabelkę prezentującą postać charakterystyczna tej gry:
Na przykład, widzimy że koalicja {l, 2. 4} jest wygrywająca (suma udziałów koalicjantów jest równa 70 i przekracza 55, zatem przypisujemy jej wypłatę l. Przypomnijmy sobie obliczanie wartości Shapleya w poprzednim przykładzie. Braliśmy tam pod uwagę wszystkie możliwe ustawienia graczy, teraz będą to 24 ustawienia Każde takie ustawienie interpretuje się jako pewien proces tworzenia się koalicji i przyjmuje się, że wszystkie ustawienia są równie prawdopodobne. Patrzymy następnie, dla każdego gracza z osobna, o ile wzrosła, w każdym ustawieniu, wartość koalicji, którą ten gracz już zastał, po jego dołączeniu się do niej. W naszym przypadku tą liczbą będzie zero: kiedy gracz zastał koalicję przegrywającą, która pozostała nadal przegrywająca po jego dołączeniu, albo kiedy gracz zastał już koalicję wygrywającą. Tą liczbą będzie natomiast jeden, kiedy gracz zastał koalicję przegrywającą, która po jego dołączeniu stała się wygrywająca; w takiej sytuacji mówimy, że ten gracz jest przy tym ustawieniu decydujący. Odpowiednie ustawienia kolejności zawierania koalicji i wartość dodana przez poszczególnych graczy przedstawione są w tabeli
Na przykład, w pierwszym wierszu powyższej tabeli gracz drugi dodał wartość 1 pozostali po 0. Zauważmy jeszcze raz, że w tych grach zawsze tylko jeden gracz dodaje dokładnie jeden a pozostali dokładnie zero. Liczymy teraz średni" wkład każdego gracza; łatwo widzimy, że trzech pierwszych graczy po osiem razy dodawało wartość 1, podczas gdy ostatni zawsze wnosił zero. Ponieważ wszystkich możliwych kolejności zawierania koalicji jest 24 otrzymujemy następującą wartość Shapleya gry, czyli podział X1 = X2= X3=1/3 oraz X4= 0. Wartość Shapleya wyraża w jakimś sensie możliwości przetargowe poszczególnych graczy, ich zdolność do tworzenia skutecznych koalicji. Sytuacja graczy l, 2 i 3 jest identyczna, więc wartość Shapleya daje im równe udziały w wygranej. Gracz 4 jest natomiast pionkiem: jego głos nie liczy się w żadnej sytuacji i dlatego wartość Shapleya daje mu 0. W takich zastosowaniach jak te omawiane teraz obliczone wypłaty dla poszczególnych graczy
wynikające ze znalezionej wartości Shapleya nazywane sa indeksem siły Shapleya-Shubika. Indeks ten mierzy wartość gracza jako potencjalnego koalicjanta to ważne i często wykorzystywane w analizach zastosowanie wartości Shapleya. Indeks ten został zastosowany w takim celu po raz pierwszy w 1954 roku. Aby zobaczyć jak ciekawe wnioski mogą wynikać z analizy indeksu siły popatrzmy jak zmieni się wartość Shapleya, kiedy trochę zmodyfikujemy wyjściową grę. Przyjmijmy teraz, że udziały akcjonariuszy l, 2, 3 i 4 w firmie wynoszą, po odpowiednich zakupach akcji na giełdzie, odpowiednio, 45, 30, 15 i 10. Większość wymagana do podjęcia wiążących decyzji nadal wynosi 55. Mamy więc do czynienia z ważoną grą większości [45, 30, 15, 10; 55]. Tabela wypłat poszczególnych koalicji wygląda już teraz inaczej, konkretnie zmieniły się wypłaty koalicji {l, 4} i {2, 3}. Oto ona
Kolejności dla których zmienili się gracze dodający wartość 1 zaznaczyliśmy w tabeli tłustą czcionką. Widzimy więc, że gracz numer l jest decydujący przy dwunastu ustawieniach; po podzieleniu 12 przez 24 (liczbę wszystkich ustawień) dostajemy 1/2 podobnie robimy dla pozostałych graczy i stwierdzamy, że wartość Shapleya dla gry otrzymanej po transferze akcji wynosi X1 =1/2, X2=X3=X4=1/6. Otrzymany wynik jest więc zupełnie inny niż poprzednio, może nawet trochę zaskakujący. Możliwości przetargowe graczy numer 2, 3 i 4, mających istotnie różniące się udziały w firmie, a więc 30, 15 i 10, zostały identycznie ocenione przez wartość Shapleya. Dzieje się tak dlatego, że identyczne są możliwości tworzenia skutecznych koalicji przez tych akcjonariuszy. W pewnym sensie nadwyżka udziałów gracza 2 zostaje zmarnowana" i nie znajduje właściwego przełożenia na jego możliwości zarządzania przedsiębiorstwem. Podobnie ciekawych spostrzeżeń można dokonać analizując wpływ wartości progowej A ( u nas 55) na siłę poszczególnych graczy. Może to być bardzo pouczające. Można np. zobaczyć że na zmianie tego progu mogą zyskać mali gracze właśnie poprzez to, że ich siłę zrównuje się z graczem dużo większym. Przecież w sytuacji naszego hipotetycznego walnego zgromadzenia, gdyby próg wynosił 60, to znowu gracz 4 byłby bez znaczenia. Zatem warto czasami dokładnie się przyjrzeć faktycznym skutkom zmian tego progu decydującego o uznaniu decyzji za ważnie podjętą. Teoria wartości Shapleya może równie dobrze służyć do prowadzenia analizy sytuacji w politycznych ciałach ustawodawczych. Wtedy graczami są partie i kluby, a udziałom odpowiada ilość głosów, jakimi te partie i kluby dysponują. Sytuacja jest jednak w tym wypadku bardziej złożona, bo akcjonariusz z poprzednich przykładów sam decydował o oddaniu swoich głosów (proporcjonalnych do jego udziału) za taką, czy inną opcją, natomiast w Sejmie czy Senacie ostatecznej decyzji, jak głosować, nie podejmuje partia, ale sam poseł czy senator. Problem do rozważenia Oblicz indeks siły Shapleya Subika koalicjantów w poniższych ważonych grach większości: a) [45, 30, 15, 10; 65] b) [45, 30, 15, 10; 60] c) [45,25,15,10,5; 51]