Laboratorium Technik Obrazowania Krzyszto Kacperski Zakład Fizyki Medycznej, Centrum Onkologii - Instytut im. Marii Skłodowskiej-Curie
Gamma kamera
Funkcja odpowiedzi na źródło punktowe d T D Zdolność rozdzielcza: FWHM 2,35 r Detektor idealny W dobrym przybliżeniu: d 2 gdzie: 2 2 r PSF ( r, d) exp 2 2 d 0 d Detektor rzeczywisty D T 0 własna zdolność rozdzielcza detektora
Funkcja odpowiedzi na źródło punktowe 1,5 cm 9 cm 20 cm 72 cm Detektor jak najbliżej pacjenta!
Kolimator penetracja
Lokalizacja punktu oddziaływania kamera Angera Rejestracja punktu oddziaływania (kamera analogowa): X x x x L Własna zdolność rozdzielcza detektora (intrinsic resolution): 3-5 mm
Lokalizacja punktu oddziaływania Rejestracja punktu oddziaływania (kamera cyrowa): ADC ADC ADC Szybki algorytm lokalizacji (FPGA) ADC
Jednorodność pola
Kontrola jakości jednorodność pola Tablice korekcji
Kontrola jakości jednorodność pola Parametry ilościowe: Integral uniormity: Dierential uniormity: IU Max Max pixel pixel Min Min pixel pixel *100% DU Max różnica między sąsiednimi pixelami *100% Max pixel Powinno być: IU < 5%
Kontrola jakości jednorodność pola
Kontrola jakości jednorodność pola Do korekcji
Gamma kamera szybkość zliczeń Typowa dawka 99m Tc: 500 MBq Z tego w polu widzenia kamery: Absorbcja/ rozpraszanie w pacjencie Czułość kolimatora Wydajność detekcji scyntylatora + elektronika x 3 1 x 10 1 x 2 10 000 1 x 0.6 = 4 10 6 170 MBq 17 MBq 3 kbq (kcps) 2 kbq (kcps)
Gamma kamera szybkość zliczeń Pojedyncze zliczenie czas martwy: 0.5 2 ms czasowa zdolność rozdzielcza: t 5 10 ns Rejestrowana szybkość zliczeń: C R = C 0 (1 τc 0 )
Pozytonowa Tomograia Emisyjna (PET)
Pozytonowa Tomograia Emisyjna (PET) 511 kev Rejestracja par otonów anihilacyjnych 511 kev w koincydencji czasowej (Lines o Response) 511 kev Projekcje (Sinogram) Rekonstrukcja Kolimacja elektroniczna Nie trzeba kolimatora mechanicznego! Czułość 5 10 % Brak części ruchomych w skanerze Obraz 3D rozkładu aktywności (r,t)
Radioizotopy PET nuclide 11 C 13 N 15 O T 1/2 20.4 min 9.97 min 122 sec + energy (MeV) 1.98 2.22 1.73 + decay probability % 100 100 99.9 alternative decay mode - - EC 0.1% other emissions (MeV) - - - 18 F 64 Cu 110 min 12.7 hr 0.63 0.65 96.7 17.4 EC 3.3% EC 44% - 0.58-39% 68 Ga 68.3 min 1.90 89 EC 11% 1.08 3% 82 Rb 124 I 1.27 min 4.18 day 3.37 1.53 2.14 0.81 95 11.7 10.8 0.29 EC 5% EC 77% 0.78 13% 0.60 63% 0.72 10.4% 1.69 10.9% 1.51 3.1%
Radioizotopy PET nuclide + E + max range + mean range max MeV in water (mm) in water (mm) 11 C 0.959 4.1 1.1 13 N 1.197 5.1 1.5 15 O 1.738 7.3 2.5 18 F 0.633 2.4 0.6 68 Ga 1.898 8.2 2.9 82 Rb 3.40 14.1 5.9 124 I 2.13 c. 10 - Generatory izotopów PET
Skaner PET
Skaner PET 1 2 3 4 5 6
Skaner PET PET "Block" Detector Scyntylator PMTs 20-30 mm C A B Images courtesy o CTI Histogram
Scyntylatory dla PET Desirable properties NaI BGO LSO Lu 2 SiO 5 GSO GdSiO 5 LaBr 3 Good stopping power: 50 high eective Z (density g/cc) (3.67) High light output relative to NaI (%) 73 (7.13) 65 (7.35) 58 (6.71) 47 (5.3) 100 15 75 25 150 Wavelength (~400 nm) 410 480 420 430 360 Fast light decay (ns) 230 60/300 40 60/600 25 High energy resolution @ 511 kev (%) 7.5 13 11 8.5 3
PET zdolność rozdzielcza Czynniki ograniczające: skończony rozmiar detektorów; paralaksa niewspółliniowość otonów anihilacji skończony zasięg pozytonów
PET zdolność rozdzielcza Niewspółliniowość otonów anihilacji Jest skutkiem niezerowego pędu anihilującej pary e + e - (głównie elektronu) 511 kev 180 ± 0.25 511 kev
PET zdolność rozdzielcza Niewspółliniowość otonów anihilacji Rozkład kątowy par otonów anihilacyjnych jest w przybliżeniu gaussowski 180 ± 0,25 FWHM Rozmycie wynikające z niewspółliniowości w centrum pola widzenia jest w przybliżeniu dane wzorem sin(0,25 ) R 0.0022 x D D= 80 cm D= 12 cm R 180 = 0.26 mm R 180 = 1.8 mm
PET zdolność rozdzielcza Zasięg pozytonu 511 kev positron range 511 kev
PET zdolność rozdzielcza Zasięg pozytonu Rozkład wykładniczy; zasięg zależy od maksymalnej energii pozytronu luorine-18 (0.64 MeV) carbon-11 (0.97 MeV) 1 mm nitrogen-13 (1.19 MeV) oxygen-15 (1.72 MeV)
PET zdolność rozdzielcza detector 2-5 mm ~ 0,2 mm positron range colinearity FWHM total 2 = FWHM det 2 + FWHM range 2 + FWHM 180 2 ~ 2 mm FWHM total = 3-6 mm
Time o Flight (TOF) PET D r t 2r c c = 30 cm/ns Czasowa zdolność rozdzielcza: 500 ps lokalizacja 8 cm próby z BaF 2 w latach 80-tych obecnie LSO ~600 ps główna zaleta: redukcja szumu szczególnie istotne dla otyłych pacjentów r 1 c t 2 Redukcja SNR: ~ 2D/ct Czasowa zdolność rozdzielcza 500 ps 5x Redukcja Wariancji!
Tomograia SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) Detektor projekcje pacjent zrekonstruowany obraz Rekonstrukcja tomograiczna
Scyntygraia planarna 99m Tc- MDP (metylenodwuosonian)
Scyntygraia planarna a tomograia SPECT
Metody rekonstrukcji tomograicznej obrazów analityczne Filtrowana projekcja wsteczna (FBP) dyskretne algebraiczne statystyczne iteracyjne Metoda ML-EM, OSEM oparta na transormacji Fouriera liniowa szybka zakłada uproszczony model izyczny arteakty prążkowe przy małej liczbie zliczeń pozwala uwzględnić dokładny model izyczny znacznie lepsza jakość obrazu nieliniowa Wolna; wymaga dużej mocy obliczeniowej
Rekonstrukcja analityczna Projekcje (transormacja Radona): s y l p(,s) p (, s) ( x, y) dl ( l cos, l sin) dl (x,y) x (x,y) p(,s) Założenia: Funkcje określone w R n Brak osłabienia promieniowania Brak szumu Idealny kolimator
Rekonstrukcja analityczna - sinogram s y (x 0,y 0 ) l x s x 0 sin y0 cos Asin( ) A 2 2 x 0 y0 arctan y 0 x0 s
Sinogram s
Metoda iltrowanej projekcji wstecznej (FBP) s s y l F 1 n s y (x,y) p(,s) x l F -1 [ n s P(, n s )] F 1-1 n s P(, n s ) iltr n s P(, n s ) rec (x,y) x (x,y) projekcja wsteczna, sumowanie 2 0 F 1 1 n n, ) P( d
Metody rekonstrukcji tomograicznej obrazów analityczne Filtrowana projekcja wsteczna (FBP) algebraiczne dyskretne statystyczne iteracyjne
Dyskretyzacja problem liniowy Problem: g d g H Zmierzone Macierz Rozkład projekcje (dane) systemu aktywności (niewiadoma) Układ równań liniowych i g d h id prawdopodobieństwo detekcji otonu z voksela i obiektu w pikselu d detektora N i1 d = 1,2,,D h di i Rozmiary obiektów: g: ~ 100x100x100 : ~ 100x100x100 H: ~ 10 6 x10 6
Problem liniowy metody algebraiczne g H g d N i1 h di i d = 1,2,,D Metody wprost szukanie macierzy H -1 niepraktyczne ze względu na rozmiar problemu Metody iteracyjne Metoda Kaczmarza/ART (algebraic reconstruction technique) rzuty ortogonalne na hiperpłaszczyzny ( n1) k ( n) k h dk g d N i1 N i1 h h di 2 di ( n) i
Metody algebraiczne Metody iteracyjne oparte na koncepcji POCS (projections onto convex sets) rzutów na zbiory wypukłe MART (multiplicative algebraic reconstruction technique) N i n i di i n k n k h g 1 ) ( ) ( 1) ( SIRT (simultaneous iterative reconstruction technique) D d N i di N i n i di i dk n k n k h h g h t 1 1 2 1 ) ( ) ( 1) ( t parametr relaksacji
Metody algebraiczne g d N i1 h di i d = 1,2,,D Problemy: Rozwiązanie niejednoznaczne (nieskończenie wiele rozwiązań) lub (najczęściej) brak ścisłych rozwiązań: układ niekonsystentny (sprzeczny) z powodu szumu statystycznego Zależność od początkowej estymacji (0)
Metody statystyczne Problem estymacji: g H Próba statystyczna (wektor losowy) Macierz systemu (dana stała) Parametry modelu (zmienna szukana) Znaleźć wektor parametrów ˆ - estymator, który najlepiej pasuje do zmierzonej próby losowej g Metody (kryteria) wyznaczania estymatorów: Metoda momentów Metoda najmniejszych kwadratów ˆ : ˆ g d N h i1 arg min di D d 1 ˆ i g E[ g d d N ] i1 h di i 2 Metoda największej wiarygodności (maximum likelihood ML) ˆ arg max P( g; )
Metody statystyczne Problem estymacji: g H Próba statystyczna (wektor losowy) Macierz systemu (dana stała) Parametry modelu (zmienna szukana) Znaleźć wektor parametrów ˆ - estymator, który najlepiej pasuje do zmierzonej próby losowej g Metody (kryteria) wyznaczania estymatorów: Metoda momentów Metoda najmniejszych kwadratów ˆ : ˆ g d N h i1 arg min di D d 1 ˆ i g E[ g d d N ] i1 h di i 2 FBP, ART WLS Metoda największej wiarygodności (maximum likelihood ML) ˆ arg max P( g; ) MLEM
Pożądane cechy estymatorów: Metody statystyczne nieobciążoność zgodność ˆ E[ˆ] g d ^ 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 g eektywność e(ˆ) var( ˆ max var( ˆ) e ) 1 Twierdzenie (nierówność) Cramera-Rao: Wariancja dowolnego estymatora nieobciążonego var( ˆ ) i 1 ln P( g, E i i ) 1 I( var( ˆ i ) 2 max e i ˆ spełnia nierówność: Estymator maksymalnej wiarygodności jest estymatorem nieobciążonym, zgodnym, o maksymalnej eektywności ) I() inormacja Fishera
Statystyka rozpadów promieniotwórczych g d Średnia liczba zliczeń w pikselu d detektora: N g d = h di i i=1 Rozkład Poissona prawdopodobieństwa zliczeń : i Funkcja wiarygodności : Pr(g; ) = = Pr(g d ; g d ) = g d g d exp ( g d ) g d! D d=1 N i=1 D d=1 h di i g d g d exp ( gd ) g d! g d exp ( g d! N i=1 hdi i ) ˆ arg max P( g; ) MLEM
Metoda ML-EM Jak obliczyć estymator maksymalnej wiarygodności? Algorytm EM (expectation maximisation): (Dempster, Laird, Rubin 1977) Estymacja na podstawie niekompletnych danych statystycznych krok E: s di liczba otonów wyemitowanych z voksela i zarejestrowanych w pikselu d detektora dane kompletne Oblicz wartość oczekiwaną unkcji wiarygodności: krok M: Kolejną estymację wybierz jako: ˆ ( n1) arg max E[ Można pokazać, że algorytm EM zwiększa unkcję wiarygodności w każdym kroku, tzn. P( g; ˆ ) P( g; ˆ ( n1) ( n) N g i s di E[ i1 ln( P( s; ) s g; ˆ ( n) ) ] s g; ˆ E[ s ] h di ln( P( s; ) ( n) ] di i
Metoda ML-EM Zastosowanie do statystyki zliczeń w tomograii emisyjnej: Model Poissona rozkładu zliczeń: N g d s di i1 E[ s ] h di di i Pr( s; ) N D N D sdi di Pr( sdi; ) i1 d 1 i1 d 1 sdi! E[ s ] exp( E[ s di ]) krok E: Oblicz wartość oczekiwaną unkcji wiarygodności: E[ ln( P( s; ) s g; ˆ ( n) ] krok M: Kolejną estymację wybierz jako: ˆ ( n1) arg max E[ s g; ˆ ln( P( s; ) ( n) ]
Metoda ML-EM Rozwiązanie - wzór iteracyjny: ( n1) ( n) 1 k k D d 1 h dk D d 1 h dk N j1 h g dj d ( n) j Nowa estymacja obrazu Poprzednia estymacja obrazu 1 Norma Zmierzona projekcja Estymowana projekcja Średnia ważona po wszystkich projekcjach
Rekonstrukcja iteracyjna ML-EM Obraz początkowy n-ta estymacja Projekcje estymacji Projekcja nie Zbieżność? Projekcja wsteczna Porównanie N j1 h g dj d ( n) j tak Obraz zrekonstruowany Zmierzone projekcje
Rekonstrukcja iteracyjna ML-EM Iteracje: 1 2 3 5 10 20 50 Funkcja wiarygodności: Pr( g; ˆ ( n) ) E[ g D ] d 1 Pr( g D gd d d 1 gd! d ; ˆ exp( E[ g ( n) d ]) ) log[pr(g )] -1.0E+06-1.5E+06-2.0E+06 0 10 20 30 40 50 E[ g d ] N i1 h di n ˆ ( ) i -2.5E+06 iteracja
MLEM vs FBP analityczne Filtrowana projekcja wsteczna (FBP) oparta na transormacji Fouriera liniowa szybka zakłada uproszczony model izyczny arteakty prążkowe przy małej liczbie zliczeń statystyczne (iteracyjne) Metoda ML-EM uwzględnia statystyczny charakter zmierzonych danych pozwala uwzględnić dokładny model izyczny znacznie lepsza jakość obrazu mniejszy szum nieliniowa Wolna; wymaga dużej mocy obliczeniowej
MLEM vs FBP FBP MLEM FBP + iltr MLEM + iltr 30 min 9 iter. 25 iter. 5 min