Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak, aby każda była w innej szufladzie? Zadanie 2. Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych za pomocą cyfr {0,1,2,3}. Zadanie 3. Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry jedności? Zadanie 4. W Dużym Lotku jest losowanych numerów spośród 49. Ile różnych wyników można otrzymać w tym losowaniu? Zadanie 5. Na ile sposobów można posadzić 7 osób na 7-miu numerowanych miejscach? Zadanie 6. W turnieju szachowym, rozgrywanym systemem każdy z każdym, bez rewanżu, miało brać udział 8 zawodników. Jeden z nich zrezygnował. O ile zmniejszyła się liczba zaplanowanych rozgrywek? Zadanie 7. Na wyspie jest 2012 czerwonych, 2013 zielonych i 2014 niebieskich kameleonów. Jeśli spotkają się dwa kameleony różnych kolorów, każdy z nich zmienia swój kolor na trzeci kolor. Czy może dojść do sytuacji, w której na wyspie wszystkie kameleony będą miały ten sam kolor? 1
Zadanie 8. Udowodnij, że w dowolnej grupie osób zawsze znajdą się dwie takie, które mają tyle samo znajomych (przyjmujemy, że jeśli osoba math zna osobę math to także osoba math zna osobę math ). Zadanie 9. W zestawie zadań jest 15 zadań łatwych i 5 trudnych. Na ile sposobów można z tego zestawu wybrać 10 zadań tak aby wśród nich było 7 zadań łatwych i 3 trudne? Zadanie 10. Z tali 52 karty wybieramy 4 losowo karty. jakie jest prawdopodobieństwo tego że wśród wybranych kart nie bedzie ani jednego kiera? jakie jest prawdopodobieństwo tego że wśród wybranych kart bedzie co najmniej jeden as? Zadanie 11. Odtwórzmy w sposób przypadkowy 3 utwory z płyty zawierającej 12 utworów(utwory moga się powtarzać). Ile jest różnych możliwych zestawów? Zadanie 12. W przedziale kolejowym jest 8 miejsc. Na ile różnych sposobów może w nim zająć miejsca 8 pasażerów? Zadanie 13. Na ile sposobów można wybrać trzy gałki lodów o różnych smakach spośród 10 rodzajów lodów? Zadanie 14. Na obozie młodzieżowym jest 30 osób. Na ile róznych sposobów można wybrać spośród uczestników 3 osoby dyżurujące w kuchni? Zadanie 15. Wśród 10 mężczyzn jest 2 brunetów, 5 szatynów, a pozostali są łysi. Na ile sposobów można wybrać 5 osobwy zespół, w którym będzie 1 brunet, 2 szatynów i 2 łysych? 2
Zadanie 16. Ze wsi A do wsi B prowadzi 5 ścieżek przez las. Na ile sposobów można odbyć spacer A-B-A tak, aby spacer ze wsi B do wsi A odbyć inną ścieżką niż ze wsi A do wsi B? Zadanie 17. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5? Zadanie 18. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów. Zadanie 19. Udowodnij, że w grupie 2012 osób przynajmniej 2 osoby mają taką samą liczbę znajomych (osoba A zna osobę B wtedy i tylko wtedy, gdy osoba B zna osobę A). Zadanie 20. Udowodnij, że w gronie 6 osób albo pewne 3 osoby się znają, albo pewne 3 osoby się nie znają. Zadanie 21. Udowodnij, że wśród dowolnych 7 różnych liczb całkowitych musza być takie 2, których suma lub różnica dzieli się przez 10. Zadanie 22. Spośród liczb 1,2,3,...,9 wybrano sześć.udowodnij, że spośród wybranych liczb można wybrać dwie których suma wynosi 10. Zadanie 23. Dany jest pewien zbiór 2015 liczb naturalnych. Wykaż, że można z tego zbioru wybrać takie trzy liczby x, y, z, aby liczba (x?y)z była podzielna przez 2012. Zadanie 24. W sześciokącie foremnym o boku długości 1 umieszczono 7 punktów. Udowodnij, że istnieją 2 punkty, których odległość jest mniejsza lub równa 1. 3
Zadanie 25. W sześcianie o boku 1 umieszczono 217 punktów. Wykaż, że istnieją 2 punkty odległe o co najwyżej. Zadanie 26. Przy okrągłym stole ma usiąść n osób. Na stole postawiono karteczki z ich imionami (każdy ma inaczej na imię). Usiedli przy stole w taki sposób że żaden nie siedział na miejscu przy odpowiednim imieniu. Wykaz że można tak obrócić stół, aby przynajmniej dwoje ludzi siedziało na odpowiednim miejscu. Zadanie 27. Przy Okrągłym Stole siedzi 12 Rycerzy. W czasie obrad każdych dwóch siedzących obok siebie pokłóciło się. Król Artur musi posłać w misję 5 Rycerzy. Na ile sposobów może to zrobić jeśli nie chce, aby wśród wysłanych byli jacyś kłócący się Rycerze? Zadanie 28. Mnich benedyktyn wpisuje na oprawie każdej z ksiąg znajdujących się w bibliotece klasztornej kolejny numer. Ile razy napisze cyfrę 9, jeśli wiadomo, że księgozbiór liczy sobie 77777 woluminów, zaś mnich rozpoczyna numerowanie od 1? Zadanie 29. Towarzystwo złożone z 8 par małżeńskich dzieli się na 4 grupy po 4 osoby dla odbycia spaceru łódką. Na ile sposobów można to zrobić tak, aby w każdej łódce znalazły się 2 panie i 2 panów? W ilu przypadkach danych mężczyzna znajdzie się w łódce ze swoją żoną? Łódki nie są numerowane. Zadanie 30. W ilu permutacjach liczb 1,...,5 żadna z liczb nie stoi na swoim miejscu? Zadanie 31. Proszę wypisać wszystkie funkcje ze zbioru {1,2,3} na zbiór {a,b}. Proszę wskazać funkcje iniekcje oraz suriekcje. Zadania a j należy wykonać korzystając z odpowiednich wzorów na permutacje, kombinacje, itd. tłumacząc za każdym razem możliwość ich użycia. 4
Zadanie 32. Na ile sposobów k różnych tabliczek czekolady można rozdzielić pomiędzy n osób (każda z osób może otrzymać więcej niż jedną tabliczkę)? Zadanie 33. Na ile sposobów k różnych tabliczek czekolady można rozdzielić pomiędzy n osób (każda z osób może otrzymać najwyżej jedną tabliczkę)? Zadanie 34. Na ile sposobów k identycznych tabliczek czekolady można rozdzielić pomiędzy n osób (każda z osób może otrzymać więcej niż jedną tabliczkę)? Zadanie 35. Na ile sposobów k różnych tabliczek czekolady można rozdzielić pomiędzy n osób (każda z osób może otrzymać najwyżej jedną tabliczkę)? Zadanie 36. Jaka jest ilość funkcji różnowartościowych f z {1,2,...,k} do {1,2,...,n}? Zadanie 37. Jaka jest ilość funkcji f z {1,2,...,k} do {1,2,...,n}? Zadanie 38. Na ile sposobów można wybrać k-elementowy podzbiór ze zbioru n-elementowego? Zadanie 39. Na ile sposobów k-najwyższych rangą urzędników w Polsce może zostać wybranych z pośród n-osób? (Ma to być uporządkowana lista, a nie zbiór.) Zadanie 40. Na ile sposobów k cukierków (niekoniecznie tego samego rodzaju) może zostać wybranych z pośród n rodzajów? Zadanie 41. Na ile sposobów k dzieci może wybrać jeden cukierek (każdy o innym smaku) z pośród n różnych smaków cukierków? 5
Zadanie 42. Na ile sposobów można ustawić litery a, b, c, d, e, f w takiej kolejności, by litery a i b sąsiadowały z sobą? Zadanie 43. Na ile sposobów można ustawić litery a, b, c, d, e, f w takiej kolejności, by litery a i b nie sąsiadowały z sobą? Zadanie 44. Na ile sposobów można ustawić litery a, b, c, d, e, f w takiej kolejności, by litery a i b sąsiadowały z sobą, ale litery a i c nie? Zadanie 45. Na ile sposobów można rozmieścić 14 przedmiotów (jednego rodzaju) w 3 pudełkach tak, by w jednym z pudełek znalazło się co najmniej 8 przedmiotów? Zadanie 46. Na ile sposobów można rozmieścić 14 przedmiotów w 3 pudełkach tak, by w żadnym z pudełek nie znalazło się więcej niż 7 przedmiotów? Zadanie 47. Ile jest liczb między 0 a 999, których suma cyfr jest równa 20? Wskazówka: każda z cyfr musi być równa co najmniej 2; można zastosować część ( b ). 6