STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ S 2 = 1 n (X i X ) 2 n i=1 #
[W] Wykład Ozn: S 2 = 1 n n i=1 (X i X ) 2 S 2 0 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 [JB] Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. PWN 1996 Ozn: S 2 = 1 n n i=1 (X i X ) 2, S0 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X ) 2 [BŁ] Dobiesław Bobrowski, Krystyna Maćkowiak-Łybacka: Wybrane metody wnioskowania statystycznego. Wyd.Polit.Pozn., Poznań 2006 Ozn: S 2 = 1 n n i=1 (X i X ) 2, S 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X ) 2, S2 2 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 [GK] Lesław Gajek, Marek Kałuszka: Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. WNT 1996 Ozn: Ŝ2 n = 1 n n i=1 (X i θ) 2, S 2 n = 1 n n i=1 (X i X n) 2 [WK] Witold Klonecki: Statystyka dla inżynierów. PWN 1999 Ozn: S 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X ) 2, S0 2 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 [AP] Agnieszka Plucińska i Edmund Pluciński: Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne. WNT 2000 Ozn. Sn 2 = 1 n n i=1 (X i X ) 2, Snieob. 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X ) 2, S0 2 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 [MS] Mariusz Startek: Podstawy rachunku prawdopodobieństwa z elementami statystyki matematycznej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 2005 Ozn: S 2 = 1 n n i=1 (X i ˆX ) 2, S 2 = 1 n n 1 i=1 (X i ˆX ) 2, Ŝ 2 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 #
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Jeżeli X N(µ, σ), to n S 2 /σ 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody, to P N(µ,σ) { χ n 1 (α) n S 2 σ 2 χ n 1 (1 β) } = γ, gdzie χ ν (α) jest kwantylem rzędu α rozkładu chi-kwadrat o ν stopniach swobody oraz α + β = 1 γ
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Jeżeli X N(µ, σ), to n S 2 /σ 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody, to P N(µ,σ) { χ n 1 (α) n S 2 σ 2 χ n 1 (1 β) } = γ, gdzie χ ν (α) jest kwantylem rzędu α rozkładu chi-kwadrat o ν stopniach swobody oraz α + β = 1 γ Typowy wybór symetryczny : α = β = (1 γ)/2 #
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Przedział ufności dla wariancji σ 2 : P N(µ,σ) { n S 2 χ ν (1 β) σ2 n S 2 α = β = (1 γ)/2 χ ν (α) } = γ,
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Przedział ufności dla wariancji σ 2 : P N(µ,σ) { n S 2 χ ν (1 β) σ2 n S 2 α = β = (1 γ)/2 χ ν (α) } = γ, Przedział ufności dla odchylenia średniego σ: { } n S n S P N(µ,σ) σ = γ, χν (1 β) χν (α)
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Przedział ufności dla wariancji σ 2 : P N(µ,σ) { n S 2 χ ν (1 β) σ2 n S 2 α = β = (1 γ)/2 χ ν (α) } = γ, Przedział ufności dla odchylenia średniego σ: { } n S n S P N(µ,σ) σ = γ, χν (1 β) χν (α) Przedział symetryczny. Wybór optymalny : najkrótszy przedział ufności na danym poziomie ufności γ ( )
Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ =σ 0, K : σ >σ 0 (Np. zużywający się przyrząd pomiarowy) Jeżeli X N(µ, σ 0 ), to n S 2 /σ0 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody: { } P N(µ,σ0 ) S 2 > σ2 0 n χ n 1(1 α) Ozn: χ ν (γ) - kwantyl rzędu gamma, = α
Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ =σ 0, K : σ >σ 0 (Np. zużywający się przyrząd pomiarowy) Jeżeli X N(µ, σ 0 ), to n S 2 /σ0 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody: { } P N(µ,σ0 ) S 2 > σ2 0 n χ n 1(1 α) Ozn: χ ν (γ) - kwantyl rzędu gamma, Moc tego testu: β(σ) = P N(µ,σ) { S 2 = α σ 2 > σ2 0 n σ 2 χ n 1(1 α) } R: test-sigma-plus.r #
Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ =σ 0, K : σ <σ 0 (Np. nowy przyrząd pomiarowy) Jeżeli X N(µ, σ 0 ), to ns 2 /σ0 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody: { } P N(µ,σ0 ) S 2 < σ2 0 n χ n 1(α) = α
Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ =σ 0, K : σ <σ 0 (Np. nowy przyrząd pomiarowy) Jeżeli X N(µ, σ 0 ), to ns 2 /σ0 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody: { } P N(µ,σ0 ) S 2 < σ2 0 n χ n 1(α) = α Moc tego testu: β(σ) = P N(µ,σ) { S 2 σ 2 < σ2 0 n σ 2 χ (n 1)(α) } R: test-sigma-minus.r #
Rozkład t Studenta
Rozkład t Studenta (Rozkład Studenta,
Rozkład t Studenta (Rozkład Studenta, Rozkład t) Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(0, 1), zmienna losowa η ma rozkład chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli te zmienne losowe są niezależne, to rozkład zmiennej losowej t = ξ η/ν nazywa się rozkładem t Studenta o ν stopniach swobody
Rozkład t Studenta Gęstość rozkładu t Studenta o ν stopniach swobody: g ν (x) = 1 Γ( ν+1 πν Γ( ν 2 ) 2 ) [ 1 + x 2 ν ] ν+1 2 E ν (t) = 0, Var ν (t) = ν ν 2, < t < + R: rozk-t.r
Rozkład t Studenta Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Oznaczenia:. γ............. t ν ( 1+γ 2 ). q..... 1 t ν (q)
ROZKŁAD t STUDENTA P µ {t ν t ν (q)} = q P µ t (1 + γ ) ν t ν 2 = q
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Przypominam: X N(µ, σ) = X µ σ/ N(0, 1) n { } } X µ P µ σ/ n z γ = γ, P µ {µ X σ z γ n = γ
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Przypominam: X N(µ, σ) = X µ σ/ N(0, 1) n { } } X µ P µ σ/ n z γ = γ, P µ {µ X σ z γ n = γ ξ N(0, 1), η χ ν, ξ i η niezależne t = t ν η/ν ξ
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Przypominam: X N(µ, σ) = X µ σ/ N(0, 1) n { } } X µ P µ σ/ n z γ = γ, P µ {µ X σ z γ n = γ ξ N(0, 1), η χ ν, ξ i η niezależne t = t ν η/ν ξ X N(µ, σ) X µ σ/ n N(0, 1), ns 2 χ σ 2 n 1, X i S 2 niezależne X µ σ = n (n 1) tn 1 ns 2 = X µ σ 2 /(n 1) S #
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział jednostronny { } X µ P N(µ,σ) (n 1) tn 1 (γ) = γ S
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział jednostronny P N(µ,σ) { } X µ P N(µ,σ) (n 1) tn 1 (γ) = γ S µ X t n 1 (γ) S (n 1) = γ
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział dwustronny P N(µ,σ) { X µ S ( )} 1 + γ (n 1) tn 1 = γ 2
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział dwustronny P N(µ,σ) { X µ S ( )} 1 + γ (n 1) tn 1 = γ 2 X tn 1 ( 1+γ 2 ) ( ) S 1+γ (n 1), S X +tn 1 2 (n 1)
OZNACZENIA S =? t ν (γ) =? #
S =? t ν (γ) =? [WK s. 186-] Przykład 10.1. Dokonano n = 10 pomiarów wytrzymałości (w 10 5 N/m 2 ) pewnego materiału budowlanego i obliczono średnią x = 20.2 oraz wariancję s 2 = 0.96. Przyjmijmy, że zaobserwowane wyniki pomiarów możemy traktować jako próbę prostą z rozkładu normalnego o nieznanej wartości średniej µ oraz nieznanej wariancji σ 2. Podać 90-procentowy przedział ufności dla średniej µ. S. 181: S 2 = 1 n n 1 (X i X ) 2. S. 184: t n 1;α/2 - kwantyl rzędu i=1 1 α/2 dla rozkładu Studenta z ν = n 1 stopniami swobody. Przedział ufności [ X t n 1;α/2 S n, X + t n 1;α/2 S n ]
S =? t ν (γ) =? [BŁ s. 64] Przykład 2.21. Na podstawie danych z przykładu 2.19 wyznaczymy przedział ufności dla wartości oczekiwanej siły uplastyczniającej, przyjmując poziom ufności 0.95. Ocena punktowa x parametru µ wyznaczona na podstawie próby była równa 37799N, a odchylenie standardowe z próby s = 453.71N. Przedział ufności: ( X n + t α 2 S n 1, X n + t 1 α 2 ) S n 1
DŁUGOŚĆ PRZEDZIAŁU UFNOŚCI Długość przedziału ufności Studenta: ( ( 1+γ ) S X t n 1 2 (n 1), X +tn 1 ( 1+γ 2 ( 1+γ ) S 2 t n 1 2 (n 1) ) ) S (n 1) R: Pufn-Stud-Sym.R
PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA: Na podstawie obserwacji X 1, X 2,...,, dla dowolnie wybranej liczby n 1 2 obliczam Sn 2 1 = 1 n 1 (X i n X n1 ) 2 1 i=1
PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA: Na podstawie obserwacji X 1, X 2,...,, dla dowolnie wybranej liczby n 1 2 obliczam Sn 2 1 = 1 n 1 (X i n X n1 ) 2 1 Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolnie dobranej liczby d > 0 obliczam n 2 = n ( ( 1 1+γ ) ) 2 Sn1 t n 1 n 1 1 2 d i=1
PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA: Na podstawie obserwacji X 1, X 2,...,, dla dowolnie wybranej liczby n 1 2 obliczam Sn 2 1 = 1 n 1 (X i n X n1 ) 2 1 Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolnie dobranej liczby d > 0 obliczam n 2 = n ( ( 1 1+γ ) ) 2 Sn1 t n 1 n 1 1 2 d i=1 Wyznaczam n = max{n 1, n 2 } i obliczam X n.
PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA: Na podstawie obserwacji X 1, X 2,...,, dla dowolnie wybranej liczby n 1 2 obliczam Sn 2 1 = 1 n 1 (X i n X n1 ) 2 1 Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolnie dobranej liczby d > 0 obliczam n 2 = n ( ( 1 1+γ ) ) 2 Sn1 t n 1 n 1 1 2 d i=1 Wyznaczam n = max{n 1, n 2 } i obliczam X n. Wtedy ( X n d, X n + d) jest przedziałem ufności dla µ na poziomie ufności γ
PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic): n 1 S 2 n 1 σ 2 χ 2 n 1 1, X n2 µ n2 N(0, 1) σ ( X n2 µ) (n 1 1)n 2 S n1 n1 t n1 1
PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic): n 1 S 2 n 1 σ 2 χ 2 n 1 1, X n2 µ n2 N(0, 1) σ ( X n2 µ) (n 1 1)n 2 S n1 n1 t n1 1 Granice przedziału ufności na poziomie ufności γ: X n2 ± n ( 1 1+γ ) t n 1 S n1 (n 1 1)n 2 2 (./.)
PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic) c.d: Postulat n ( 1 1+γ ) t n 1 S n1 d (n 1 1)n 2 2
PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic) c.d: Postulat n ( 1 1+γ ) t n 1 S n1 d (n 1 1)n 2 2 Warunek dla n 2 : n 2 n ( ( 1 1+γ t n 1 n 1 1 2 ) Sn1 d ) 2 ( )
PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic) c.d: Postulat n ( 1 1+γ ) t n 1 S n1 d (n 1 1)n 2 2 Warunek dla n 2 : n 2 n ( ( 1 1+γ t n 1 n 1 1 2 ) Sn1 d ) 2 ( ) Problem: sumaryczna wielkość próby w dwuetapowej procedurze Steina ( ) Tu koniec wykładu 4 (26.X.2009) #