Matematyka dla biologów wykład 2 (skrót).

Matematyka dla biologów wykład 2 (skrót). Dariusz Wrzosek 11 października 2016 Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 1 / 39

Zbiory Zbiory Przez wieki poszukiwano pojęcia podstawowego, za pomoca którego można by określić przedmiot badań matematyków. Na przełomie XIX i XX wieku zaczęło kształtować się przekonanie, że podstawowym pojęciem w matematyce jest pojęcie zbioru. Tego pojęcia nie definiuje się formalnie, jest to tak zwane pojęcie pierwotne, którego znaczenie przedstawia się opisowo odnoszac się do intuicji. Koncepcja zbioru w matematyce Zbiór jest pewnym obiektem, który albo nic nie zawiera, to znaczy nie należa do niego żadne elementy, albo zawiera jakieś elementy, które też moga hierarchicznie składać się z jakiś elementów i.t.d. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 2 / 39

Zbiory Pojęcia należenia do zbioru i inkluzji Jest rzecza podstawowej wagi by rozróżnić dwa pojęcia: 1 pojecie pierwotne należenia elementu do jakiegoś zbioru, albo inaczej bycia elementem zbioru; 2 od pojęcia inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim lub inaczej bycia podzbiorem zbioru. Sens stwierdzenia, że x należy do zbioru A, czyli x jest elementem zbioru A uznajemy za powszechnie zrozumiały. W tym sensie pojęcie należenia elementu do zbioru uznajemy za pierwotne. Powszechnie używa się zapisu x A, co oznacza, x należy do A. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 3 / 39

Zbiory Pojęcie inkluzji definicja W oparciu o pierwotne pojęcie należenia do zbioru i pojęcie implikacji określamy pojęcie zawierania się zbiorów, czyli inkluzji zbiorów. Definicja Zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co oznaczamy A B w.t.w. gdy prawda jest, że (x A) (x B). Zbiór A zawarty w zbiorze B nazywamy jego podzbiorem. W szczególności każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem. Taki podzbiór, który jest różny od całego zbioru nazywamy podzbiorem właściwym. Nawiasy klamrowe { oraz } oznaczaja w zapisie poczatek i koniec listy elementów danego zbioru. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 4 / 39

Zbiory Niech A będzie zbiorem dwóch elementów A = {a, b}. Zbiór którego jedynym elementem jest a, czyli {a} jest zawarty w zbiorze A, co zapisujemy jako {a} A. Zbiór pusty Zbiór pusty, to taki zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem Z definicji implikacji wynika, że dla dowolnego zbioru A A. Z punktu widzenia matematyki jest niepoprawne stwierdzenie, że liczba 2 zawiera się w zbiorze liczb parzystych. Powiemy poprawnie, że liczba 2 należy do zbioru liczb parzystych. Natomiast zbiór, którego jedynym elementem jest liczba 2, czyli {2} jest zawarty w zbiorze liczb parzystych. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 5 / 39

Aksjomaty Aksjomaty Matematyka jest nauka aksjomatyczna pojęcia pierwotne sa niezbędne, aby wprowadzić podstawy teorii ujęte w postaci aksjomatów. Za pomoca aksjomatów postuluje się istnienie pewnych zbiorów i wprowadza się ich podstawowe własności. Postać tych aksjomatów została zaakceptowana przez zdecydowana większość matematyków. Aksjomaty inaczej pewniki to zdania, których prawdziwość godzimy się przyjać bez dowodu. Warto tu podkreślić różnicę pomiędzy naukami aksjomatycznymi, takimi jak matematyka lub logika oraz naukami przyrodniczymi, takimi jak biologia czy fizyka. Tu pojęcia podstawowe takie jak gen lub materia sa wciaż przedmiotem gruntownych badań. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 6 / 39

Aksjomaty Aksjomaty teorii mnogości Znane jako system Zermelo-Fraenkla z 1905 roku. Większość aksjomatów ustanawia istnienie pewnych zbiorów. Oto niektóre z nich 1 Istnieje zbiór pusty, który nie zawiera żadnych elementów. Wyróżnienie każdego innego zbioru byłoby sporne, a zbiór pusty ma w pewnym sensie cechy zbioru minimalnego. 2 istnieje zbiór potęgowy danego zbioru A, który składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru A; 3 Zbiór A jest równy zbiorowi B, wtedy i tyko wtedy gdy ( x A x B) ( x B x A) 4 dotyczy istnienia w zbiorze A elementów spełniajacych ustalona funkcję zdaniowa ϕ tzn. {x A : ϕ(x)}. Aksjomatycznie wprowadza się także istnienie zbiorów: sumy, przecięcia i produktu zbiorów. Sa to aksjomaty określajace naturalne operacje, które Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 7 / 39

Aksjomaty Działanie na zbiorach: suma i iloczyn zbiorów 1. Suma zbiorów Suma zbioru A i zbioru B nazywa się zbiór oznaczany jako A B, który składa się z tych elementów, które należa do zbioru A lub do zbioru B, co zapisujemy następujaco: x A B (x A) (x B). A B 2. Przecięcie zbiorów (inaczej część wspólna albo iloczyn zbiorów) Przecięciem (iloczynem, częścia wspólna) zbiorów A i B nazywa się zbiór oznaczany jako A B, który składa się z tych elementów, które należa do zbioru A i do zbioru B, co zapisujemy następujaco: x A B (x A) (x B). A B Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 8 / 39

Aksjomaty Działanie na zbiorach 3. Różnica zbiorów Dla danych zbiorów A i B różnica zbiorów oznaczana jako A \ B jest zbiór tych wszystkich elementów ze zbioru A, które nie należa do zbioru B, czyli x A \ B (x A ) (x B) A B 4. Produkt kartezjański zbiorów (iloczyn kartezjański zbiorów) Dla dowolnych dwóch zbiorów A i B istnieje zbiór wszystkich uporzadkowanych par, oznaczany. A B, który nazywa się produktem kartezjańskim lub iloczynem kartezjańskim zbiorów, A B = {(a, b) : a A, b B}. B A B A Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 9 / 39

Liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste Liczby naturalne i całkowite Pojęcie liczby zdaje się być czymś pierwotnym. Dziecko spontanicznie próbuje liczyć na palcach. Mamy pewna sprawność w posługiwaniu się liczbami naturalnymi przy wykonywaniu podstawowych operacji arytmetycznych. Wiemy, że do dowolnej liczby naturalnej można dodać 1, aby otrzymać liczbę od niej większa i tak dalej w nieskończoność. Zbiór liczb naturalnych oznacza się zwykle jako. Przyjmujemy, że 0. Zbiór liczb naturalnych można rozszerzyć o liczby ujemne, które świetnie nadaja się do reprezentowania długów. Tak powstaje zbiór liczb całkowitych, który oznaczamy przez (w szkole zwykle jest oznaczany przez ). Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 10 / 39

Liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste Liczby wymierne i rzeczywiste Gdy chcemy określić proporcje różnych wielkości, np. stosunek wysokości danej osoby do jej obwodu w talii wyrażonych w centymetrach lub wziać ćwierć kilograma maki w celu wypieczenia ciasta pojawiaja się ułamki, czyli liczby wymierne, które oznaczamy przez. W zasadzie w zdecydowanej większości życiowych przypadków można się ograniczyć do tych trzech zbiorów liczb, gdyby nie frustrujacy przypadek kwadratu o boku 1. Nikt nie powatpiewa w istnienie takiego obiektu i nikt pewnie nie powatpiewa w istnienie przekatnej kwadratu odcinka łacz acego dwa jego przeciwległe wierzchołki. Problem pojawia się, gdy chcemy określić długość tej przekatnej. Zobaczymy dalej, że nie istnieje liczba wymierna, która określa długość przekatnej kwadratu o boku 1. Liczby wymierne uzupełnione o zbiór liczb niewymiernych tworza zbiór liczb rzeczywistych oznaczany przez. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 11 / 39

Liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste Aksjomatyka liczb naturalnych Liczby naturalne można wprowadzić aksjomatycznie za pomoca pojęcia pierwotnego liczba oraz własności bycia następnikiem. Pierwsza aksjomatyczna definicja liczb naturalnych pochodzi od Peano z 1889 r. Jedna z najważniejszych własności zbioru jest twierdzenie zwane zasada indukcji Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 12 / 39

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Przedstawimy teraz bardzo ważna metodę dowodzenia twierdzeń dotyczacych własności elementów zbiorów, które można ponumerować liczbami naturalnymi, poczawszy od jakiejś ustalonej liczby n 0 0. Metoda ta opiera się na twierdzeniu zwanym Zasada indukcji matematycznej Polega ona na: 1 sprawdzeniu, że teza danego twierdzenia jest prawdziwa dla n 0 0, 2 udowodnieniu, że jeśli teza jest prawdziwa dla liczby n, to jest także prawdziwa dla n + 1 (ten punkt nazywamy krokiem indukcyjnym) Wypełnienie obu punktów stanowi dowód, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n n 0. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 13 / 39

Zasada indukcji matematycznej Przykład zastosowania indukcji matematycznej Twierdzenie Dla dowolnej liczby n 1 zbiór n prostych na płaszczyźnie przechodzacych przez ten sam punkt P dzieli płaszczyznę na 2n rozłacznych podzbiorów, które otrzymamy po usunięciu wszystkich prostych. Dowód indukcyjny: 1. Sprawdzamy, że dla n = 1 istotnie jedna prosta dzieli płaszczyznę na dwie części. 2. Przypuśćmy, że podzielono płaszczyznę na 2n części za pomoca n prostych. Wstawiamy kolejna prosta (teraz jest ich n + 1) przechodzac a przez punkt P. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 14 / 39

Zasada indukcji matematycznej Przechodzi ona powiedzmy pomiędzy prostymi, które oznaczymy l i r. Jeśli wykluczyć dwa obszary pomiędzy prostymi l i r, pozostaje 2n 2 podzbiorów. Dołożenie kolejnej prostej spowodowało pojawienie się czterech nowych podzbiorów, zatem wszystkich ich jest (2n 2) + 4 = 2(n + 1), co kończy dowód kroku indukcyjnego i zarazem całego twierdzenia. l r P Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 15 / 39

Zasada indukcji matematycznej Indukcja matematyczna pozwala stwierdzić, że jakaś własność maja elementy zbioru nieskończonego bez sprawdzania jej dla każdego elementu tego zbioru z osobna, co w przypadku zbiorów nieskończonych jest niewykonalne w czasie skończonym. W naukach przyrodniczych buduje się zdania dotyczace cech elementów jakiegoś zbioru o nieokreślonej liczbie elementów. Przypomnijmy zdanie Wszystkie kruki sa czarne. Takie zdanie wypowiada się na podstawie dużej liczby przebadanych przypadków i uogólnienia. Jest to przykład indukcji niezupełnej. Indukcja niezupełna nie prowadzi do wiedzy niepodważalnej o rzeczywistości empirycznej, natomiast indukcja zupełna prowadzi do wiedzy niepodważalnej, ale o rzeczywistości idealnej (matematycznej). Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 16 / 39

Liczby i działania Przypomnimy definicje liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych. Ich podstawowe własności znane sa ze szkoły. W zbiorze liczb naturalnych określa się dodatkowa strukturę: działania dodawania i mnożenia. Badaniem zbiorów liczb wraz z działaniami na nich określonymi zajmuje się algebra, jedna z podstawowych dziedzin matematyki. Dodawanie i mnożenie nie wyprowadzaja poza zbiór liczb naturalnych n, m (n + m n m ). Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 17 / 39

Liczby i działania Liczby całkowite W wyniku odejmowania i dzielenia, tylko dla niektórych liczb naturalnych otrzymamy również liczbę naturalna. Odejmowanie powstaje, gdy chcemy rozwiazać równanie x + n = m i znaleźć niewiadoma x. Mamy x = m n. Wymóg wykonywalności odejmowania prowadzi do zbioru liczb całkowitych. Liczby całkowite oznaczamy przez = { 2, 1,, 0, 1, 2,... }. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 18 / 39

Liczby i działania Liczby wymierne Wykonywalność dzielenia prowadzi do liczb wymiernych. Szukajac rozwiazania równania z niewiadoma x, qx = p, gdzie p i q to liczby całkowite, dostajemy liczbę ułamkowa x = p, o ile q 0. q Każdy ułamek można doprowadzić do postaci nieskracalnej, tzn. takiej, dla której nie istnieje liczba całkowita większa od 1, będaca wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika. Każde dwa ułamki, które można doprowadzić do tej samej postaci 8 nieskracalnej wyznaczaja tę sama liczbę, np. 16 = 2 4 = 1 2. Zbiór wszystkich takich liczb nazywamy zbiorem liczb wymiernych i oznaczamy przez. = { p q : p, q \ {0} } Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 19 / 39

Liczby i działania Liczby całkowite a wymierne Następujaca własność odróżnia liczby wymierne od całkowitych Twierdzenie Dla dwóch różnych liczb wymiernych a i b istnieje liczba wymierna c, taka że a < c < b. Dowód: Na przykład: c = a + b 2. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 20 / 39

Liczby rzeczywiste Liczby rzeczywiste Ścisłe zdefiniowanie liczb rzeczywistych stanowiło problem przez dziesięciolecia. Wiadomo, że sa liczby, które nie sa wymierne np.: 2 długość przekatnej kwadratu o boku 1 π połowa obwodu okręgu o promieniu 1. Zbiór liczb rzeczywistych najlepiej charakteryzuje aksjomat ciagłości. Zamiast precyzyjnego sformułowania ograniczymy się do interpretacji. Aksjomat ciagłości mówi, że zbiór liczb rzeczywistych, który nazywa się także osia liczbowa, jest ciagły w tym sensie, że nie ma w nim luk każdemu punktowi na osi odpowiada jakaś liczba rzeczywista. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 21 / 39

Liczby rzeczywiste Zapis pozycyjny liczby rzeczywistej W systemie pozycyjnym dziesiętnym liczbę rzeczywista r, 0 r 1 przedstawia się w postaci rozwinięcia dziesiętnego r = 0,a 1 a 2 a 3..., gdzie a i moga przyjmować jedna z wartości 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Takiej liczbie odpowiada pewien szereg nieskończony (czyli suma nieskończenie wielu składników, w dalszej części kursu dowiemy się jak rozmieć taka nieskończona sumę) r = a 1 10 + a 2 10 2 + a 3 10 3 +.... Liczbę całkowita dodatnia w systemie dziesiętnym przedstawia się zapisujac po kolei cyfry stojace w rozwinięciu dziesiętnym przy kolejnych całkowitych potęgach liczby 10 np. 4845 = 4 10 3 + 8 10 2 + 4 10 1 + 5 10 0. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 22 / 39

Liczby rzeczywiste Zapis pozycyjny liczby rzeczywistej W ogólnym przypadku zapisujemy liczbę rzeczywista w postaci sumy części ułamkowej i całkowitej, np. 22,22 = 2 10 1 + 2 10 0 + 2 10 + 2 10 2. Wszystkie liczby niewymierne maja nieskończone rozwinięcia dziesiętne. Liczby wymierne maja rozwinięcia skończone, tzn. takie że od pewnego miejsca w zapisie występuja wyłacznie zera np. 1,230000000 = 1 10 0 + 2 10 1 + 3 10 2, lub nieskończone (od pewnego miejsca) okresowe np. 113 165 = 0,6848484(84), przy czym dwie ostatnie cyfry w nawiasie powtarzaja się dalej okresowo. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 23 / 39

Liczby rzeczywiste Niejednoznaczność zapisu pozycyjnego liczby rzeczywistej Każda liczbę wymierna majac a skończone rozwinięcie można także zapisać w postaci nieskończonego rozwinięcia. Na przykład liczbę 1 = 1,000000000... można zapisać za pomoca nieskończonego szeregu liczb 1 = 0,999... = 0 + 9 10 + 9 10 2 + 9 10 3 +.... Można zatem stwierdzić, że każda liczba rzeczywista ma istotnie nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 24 / 39

Liczby rzeczywiste Definicja Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżacych na osi liczbowej pomiędzy dwoma zadanymi liczbami nazywamy odcinkiem. na przykład (2, 3) oznacza odcinek z wyłaczonymi końcami 2 i 3, a [2, 3] oznacza odcinek wraz z końcami. Definicja Dla każdej pary liczb rzeczywistych a b oznaczamy (a, b) = {x : a < x < b} [a, b] = {x : a x b} Zauważmy, że jeśli a = b, to wówczas: (a, b) = oraz [a, b] = {a} = {b}. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 25 / 39

Liczby rzeczywiste Istnienie liczb niewymiernych Wykażemy teraz, że liczby niewymierne nie sa tylko wymysłem matematyków. Twierdzenie ( 2 nie jest liczba wymierna) Jeśli dla pewnej liczby a zachodzi a 2 = 2, to a nie jest liczba wymierna. Inne sformułowanie twierdzenia: Nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat wynosi 2. Oznacza to, że przekatna kwadratu o boku 1 nie jest liczba wymierna z twierdzenia Pitagorasa długość przekatnej kwadratu o boku 1 to właśnie 1 2 + 1 2 = 2. 1 2 1 Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 26 / 39

Liczby rzeczywiste Dowód niewymierności 2 Dowód niewprost: Dowód niewprost polega na wykazaniu, że zaprzeczenie twierdzenia (czyli zazwyczaj implikacji jeśli coś to coś innego ) jest fałszywe i skorzystaniu z prawa podwójnego zaprzeczenia: (twierdzenie) = fałsz ( (twierdzenie)) = twierdzenie = (fałsz) = prawda Z poprzedniego wykładu wiemy, że zaprzeczeniem implikacji jest koniunkcja poprzednika implikacji i zaprzeczenia następnika. Zaprzeczeniem implikacji twierdzenia jest zatem: Dla pewnej liczby a zachodzi a 2 = 2 i a jest liczba wymierna. Powyższe zdanie możemy łatwiej zapisać jako: Istnieje liczba wymierna a, taka że a 2 = 2. Aby udowodnić twierdzenie wystarczy wykazać, że to zdanie jest fałszywe. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 27 / 39 ( )

Liczby rzeczywiste Doprowadzenie do sprzeczności Skoro a jest liczba wymierna, to przedstawia się w postaci ilorazu a = p q, gdzie p i q 0 to pewne liczby całkowite. Zatem zdanie ( ) jest równoważne zdaniu: istnieja liczby całkowite p, q, takie że p 2 = 2q 2 Rozważmy możliwe przypadki: 1 p i q sa niepodzielne przez 2, czyli nieparzyste. W tym przypadku zdanie ( ) jest fałszywe, gdyż po lewej stronie równania p 2 = 2q 2 mamy liczbę nieparzysta, a po prawej parzysta. 2 p i q sa parzyste. Można je zatem przedstawić jako p = 2 n s oraz q = 2 m w, gdzie n 0, m 0 to liczby naturalne, a s i w to liczby nieparzyste. Podstawiajac to do równania p 2 = 2q 2 dostajemy 2 2n s 2 = 2 2m+1 w 2, co nie może być prawda, gdyż po lewej stronie 2 występuje parzysta liczbę razy, a po prawej nieparzysta, czyli zdanie ( ) jest fałszywe. ( ) Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 28 / 39

Liczby rzeczywiste 3 Tylko jedna z p, q liczb jest parzysta: Wniosek 1 q jest parzysta, p nieparzysta. Wówczas zdanie ( ) jest fałszywe, bo po lewej stronie równania p 2 = 2q 2 mamy liczbę nieparzysta, a po prawej parzysta. 2 q jest nieparzysta, p jest parzysta. Również w tym przypadku zdanie ( ) jest fałszywe, gdyż: p = 2n oraz q = 2m + 1, gdzie n, m to pewne liczby całkowite. Równanie p 2 = 2q 2 przyjmuje postać 4n 2 = 2(4m 2 + 4m + 1) 2n 2 = 4m 2 + 4m + 1. Po lewej stronie stoi liczba parzysta, a po prawej nieparzysta. Zdanie ( ) jest fałszywe, czyli fałszywe jest zdanie ( ). Zatem twierdzenie jest prawdziwe. Można oszacować wartość liczby 2 1,4142135623730950488... Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 29 / 39

Liczby zespolone Liczby zespolone Motywacje Zbiór liczb naturalnych rozszerzamy o kolejne elementy (liczby) aby móc rozwiazywać pewne równania. x + 5 = 2 daje x = 3, czyli liczbę ujemna = otrzymujemy zbiór liczb całkowitych. 2x = 3 daje x = 3/2, czyli liczbę wymierna = otrzymujemy zbiór liczb wymiernych. x 2 = 2 daje x = 2, czyli liczbę niewymierna = otrzymujemy zbiór liczb rzeczywistych. Poszukiwanie rozwiazań równania x 2 = 1 prowadzi do zbioru liczb zespolonych.. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 30 / 39

Liczby zespolone Zbiór liczb zespolonych pojawia się w naturalny sposób przy poszukiwaniu rozwiazań równań. Pełni on bardzo ważna rolę zarówno w samej matematyce jak i w fizyce. Zbiór liczb wymiernych nie zawiera rozwiazania równania drugiego stopnia x 2 = 2 (choć współczynniki sa liczbami wymiernymi). Zbiór liczb wymiernych uzupełniliśmy o liczby niewymierne w efekcie otrzymujemy liczby rzeczywiste. Podobny problem wiaże się z określeniem zbioru rozwiazań, czyli pierwiastków równie prostego równania x 2 = 1. Wiadomo, że nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat jest liczba ujemna. Aby takie równania miały rozwiazania wprowadzono zbiór liczb zespolonych oznaczany, który zawiera liczby rzeczywiste. Istnienie liczb zespolonych zaakceptowano wcześniej (w XVI w.) niż istnienie liczb ujemnych! Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 31 / 39

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Zdefiniujmy liczbę urojona oznaczana powszechnie jako i i 2 = 1. ( ) Ze względów historycznych nazywa się ja jednostka urojona. Termin liczby urojone (łac. imaginaris) zawdzięczamy Kartezjuszowi (1637), który chciał w ten sposób zaakcentować ich nierzeczywistość i absurdalność w odróżnieniu od dobrze znanych liczb istniejacych w rzeczywistości (rzeczywistych, łac. realis). Euler wprowadził symbol i. Zbiór liczb zespolonych Zbiór liczb zespolonych określa się jako zbiór uporzadkowanych par liczb rzeczywistych {(x, y) : x, y }. wraz z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia. Ze względu na pożadane własności arytmetyczne i tradycję parę (x, y) zapisuje się jako x + yi. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 32 / 39

Działania w zbiorze liczb zespolonych Dzięki takiemu zapisowi łatwo wykonuje się dodawanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych zdefiniowane tak, aby spełnione było równanie ( ) oraz by w odniesieniu do liczb rzeczywistych (czyli jeśli y = 0) działania te miały zwykły sens. Oznaczajac przez dodawanie liczb zespolonych i przez mnożenie mamy (x + yi) (z + wi) = x + z + (y + w)i, (x + yi) (z + wi) = xz yw + (xw + yz)i. Ostatnia równość jest konsekwencja konwencji, w myśl której wyrażenia zawierajace liczby zespolone przekształcamy w zgodzie z regułami zwykłej arytmetyki liczb rzeczywistych wzbogaconej o relację i 2 = 1. (x + yi) (z + wi) = xz + xwi + yzi + ywi 2 = xz yw + (xw + yz)i. Dla liczb rzeczywistych, tzn. gdy powyżej y = 0 oraz w = 0, otrzymujemy zwykłe mnożenie. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 33 / 39

Działania w zbiorze liczb zespolonych Interpretacja geometryczna i równanie kwadratowe Im(z) yi i Równanie kwadratowe x ax 2 + bx + c = 0 z = x + yi Re(z) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, o ile wyróżnik ( ) = b 2 4ac spełnia warunek > 0 oraz jeden pierwiastek podwójny, jeśli = 0. Oba pierwiastki x + i x oraz pierwiastek podwójny dane sa wzorem x +, = b ± 2a. ( ) Gdy < 0 równanie ( ) ma również dwa pierwiastki, które sa liczbami zespolonymi zadanymi tym samym wzorem ( ). Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 34 / 39

Działania w zbiorze liczb zespolonych Liczby zespolone sa pierwiastkami wielomianów o współczynnikach rzeczywistych Wyliczajac pierwiastki zespolone trzeba jedynie uwzględnić, że pierwiastkami z liczby ujemnej a sa dwie liczby zespolone a i oraz a i skoro a = ( 1) a, to ( a i) 2 = ( a i) 2 = a. Można sprawdzić ( ćwiczenia), że równanie kwadratowe ma wyróżnik oraz dwa pierwiastki x 2 2x + 2 = 0 = 4 = = 4 = 2i x = 1 i i x + = 1 + i. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 35 / 39

Działania w zbiorze liczb zespolonych Podstawowe twierdzenie algebry(dla trójmianu kwadratowego) tzn. równania ax 2 + bx + c = 0. Twierdzenie Każdy trójmian kwadratowy o współczynnikach zespolonych ma dokładnie 2 pierwiastki będace liczbami zespolonymi (pierwiastek podwójny tzn. 0 krotności 2 traktujemy jako dwa pierwiastki. Ogólnie prawda jest że Ponieważ równania tego typu i ich uogólnienia (równania wielomianowe) pełnia kluczowa rolę w zagadnieniach algebry i analizy matematycznej, trudno sobie wyobrazić matematykę, a co za tym idzie fizykę i chemię bez liczb zespolonych. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 36 / 39

Relacje Definicje Definicja relacji Z jest zbiorem jakiś obiektów obdarzonych pewnymi cechami. Jest rzecza naturalna łaczenie obiektów majacych pewne wspólne cechy w pary w celu ich sklasyfikowania lub uporzadkowania. Każde takie połaczenie obiektów w pary jest określeniem pewnej relacji w zborze Z. Definicja Niech A oraz B oznaczaja pewne zbiory. Dowolny podzbiór R zbioru A B nazywamy relacja. Jeżeli A = B, to mówimy, że R jest relacja w A. Aby zapisać, że a jest w relacji oznaczonej przez R z b, czyli (a, b) R A B, używa się skróconego zapisu arb lub a R b. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 37 / 39

Relacje Definicje Przykład relacji Oznaczmy przez A zbiór osób w audytorium. Określimy dwie różne relacje w tym zbiorze. 1 Osoba a jest w relacji R 1 z osoba b w.t.w. gdy urodziły się w tym samym miesiacu. 2 Osoba a jest w relacji R 2 z b w.t.w. gdy nie urodziła się o co najmniej o jeden dzień później niż b. Cechy sa wspólne. Osoba a w oczywisty sposób jest w relacji R 1, a także R 2 z sama soba. Ta własność to zwrotność relacji. Jeśli osoba a urodziła się w tym samym miesiacu co osoba b, a osoba b w tym samym miesiacu co osoba c, to osoba a urodziła się w tym samym miesiacu co osoba c. Tę własność nazywa się przechodniościa relacji. Przechodnie sa obie relacje R 1 i R 2. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 38 / 39

Relacje Definicje Przykład relacji Jeśli jakaś osoba a urodziła się w tym samym miesiacu co osoba b, to także zamiennie osoba b urodziła się w tym samym miesiacu co a. Ta własność to symetria. Relacja R 2 nie jest symetryczna, gdyż jeśli osoba a urodziła się o dwa dni wcześniej od osoby b, to zamienić miejscami a i b w tym zdaniu nie można. Matematyka dla biologów Wykład 2. 11 października 2016 39 / 39