Zawartość. Zawartość

Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011

Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ... 6 4. Przedział ufności dla średniej... 7 5. Przedział ufności dla odchylenia standardowego... 8 6. Przedział ufności dla wskaźnika struktury... 9 7. Test dla średniej w populacji generalnej... 10 8. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach... 11 9. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji... 12 9. Test dla wariancji w populacji generalnej... 13 10. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen.... 14 11. Test zgodności χ 2... 15 12. Test niezależności χ 2... 16 14. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1)... 17 15. Rozkład t-studenta. Wartości krytyczne... 18 16. Rozkład χ 2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne... 19 13. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne... 20 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 2 gbiesok@ath.eu

1. Rozkład normalny 1. Rozkład normalny Funkcja gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości rozkładu normalnego dana jest wzorem: = 1 2 (1) Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego prezentuje rys. 1. σ f(x) Oznaczenia Parametry rozkładu N(m, σ) m σ średnia (jednocześnie maksimum funkcji) odchylenie standardowe zmiennej m Rys. 1. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego krzywa Gaussa (krzywa dzwonowa) Właściwość funkcji gęstości Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjmie wartości z przedziału [A ; B], jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod wykresem funkcji gęstości pomiędzy punktami A i B (rys. 2). ;= (2) σ f(x) Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość z przedziału [A;B] jest równe polu pod wykresem funkcji gęstości w tym przedziale A m B Rys. 2. Sposób wykorzystania funkcji gęstości do określania prawdopodobieństwa 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 3 gbiesok@ath.eu

Dystrybuanta rozkładu normalnego 1. Rozkład normalny Oznaczenia Parametry rozkładu N(m, σ) m σ średnia odchylenie standardowe zmiennej Dystrybuanta rozkładu normalnego dana jest wzorem: = = 1 2 (3) Wartość dystrybuanty w punkcie x jest równa polu powierzchni pod wykresem funkcji gęstości (całce oznaczonej) w przedziale od - do x (porównaj tablica na str. 17). Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego prezentuje rys. 3. 1 F(x) 0,5 Rys. 3. Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego m Właściwość dystrybuanty Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjmie wartości z przedziału [A ; B], jest równe różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach. ;= (4) 1 F(B) F(x) P F(A) A B Rys. 4. Sposób wykorzystania dystrybuanty do określania prawdopodobieństwa 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 4 gbiesok@ath.eu

2. Rozkład normalny standardowy 2. Rozkład normalny standardowy Rozkład normalny standardowy to rozkład normalny z parametrami m = 0 i σ = 1. Funkcja gęstości rozkładu normalnego standardowego dana jest wzorem: = 1 2 (5) f(z) σ =1 z m = 0 Rys. 5. Funkcja gęstości rozkład normalnego standardowego N(0;1) Zwyczajowo zmienną mającą rozkład normalny z tymi parametrami oznacza się symbolem Z. Standaryzacja zmiennej Jeżeli zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym σ, to prawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [A ; B], jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziału [za ; zb]: = ; = (6) Ten zabieg matematyczny nazywa się standaryzacją zmiennej. 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 5 gbiesok@ath.eu

3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ Tab. 1 m σ A B Dane wejściowe Średnia analizowanej zmiennej o rozkładzie normalnym Odchylenie standardowe tej zmiennej Lewy kraniec przedziału, dla którego liczone jest prawdopodobieństwo Prawy kraniec przedziału, dla którego liczone jest prawdopodobieństwo Procedura 1. Obliczyć standaryzowane krańce przedziałów z A i z B = = 2. Znaleźć wartość dystrybuanty rozkładu normalnego standardowego w punktach A i B odczytując F(zA) i F(zB) z tablic korzystając z funkcji arkusza kalkulacyjnego F(zA) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(zA) F(zB) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(zB) 3. Obliczyć szukane prawdopodobieństwo p = 4. Interpolacja wartości kryt. dla df spoza tablic Tab. 2 Dane wejściowe F2,, df2 Znana wartość krytyczna (F2) dla większej liczby stopni swobody df2 F1,, df1 Znana wartość krytyczna (F1) dla mniejszej liczby stopni swobody df1 F, df Poszukiwana wartość krytyczna dla zadanych df stopni swobody = (7) 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 6 gbiesok@ath.eu

5. Przedział ufności dla średniej 5. Przedział ufności dla średniej Tab. 3 Dane wejściowe xśr Średnia obliczona z próby Jedno z odchyleń: σ odchylenie standardowe w populacji generalnej (o ile jest znane) s odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, N) ŝ odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, N 1) n Liczebność próby 1 α Zakładany poziom ufności (bardzo często równy 0,95) α Prawdopodobieństwo popełnienia błędu w oparciu o poziom ufności p = 1-α/2 1 Obliczone w oparciu o poziom ufności Procedura 1. Czy znane jest σ odchylenie standardowe zmiennej w populacji generalnej? TAK TAK n 30 NIE 2. Czy n 30 NIE n<30 3. Znaleźć wart. krytyczną z 1-α/2 dla p = 1 α/2 z rozkładu normalnego standardowego 3. Znaleźć wart. krytyczną z 1-α/2 dla p = 1 α/2 z rozkładu normalnego standardowego 3. Znaleźć wart. krytyczną t 1-α/2; n-1 dla p=1 α/2 i df = n 1 stopni swobody z rozkładu t-studenta 4. Obliczyć szerokość przedziału ufności c = / 4. Obliczyć szerokość przedziału ufności c = / = / 4. Obliczyć szerokość przedziału ufności c = /; 1 = /; 5. Wyznaczyć przedział ufności dla średniej i błąd względny B przedział ufności to: ś ±, a zatem ś ; ś + = ś 100% Ocena możliwości wnioskowania B < 5% duża precyzja oszacowania, można wynik uogólniać wynik na populację generalną, B od 5% do 10 % należy ostrożnie uogólniać wynik na populację generalną, B > 10 % nie należy uogólniać wyniku na populację generalną robić to z zastrzeżenie o wysokim błędzie względnym. 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 7 gbiesok@ath.eu

6. Przedział ufności dla odchylenia standardowego 6. Przedział ufności dla odchylenia standardowego Tab. 4 Dane wejściowe Jedno z odchyleń: s odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, metodą N) ŝ odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, metodą N 1) n Liczebność próby 1-α Zakładany poziom ufności (bardzo często równy 0,95) α Prawdopodobieństwo popełnienia błędu z przeliczenia powyższego p1 = 1-α/21 Obliczone w oparciu o poziom ufności p2 = α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności Procedura TAK n 30 s = ŝ 3. Znaleźć wart. krytyczną z 1-α/2 dla p = 1 α /2 z rozkładu normalnego standardowego 1. Czy próba była duża (n 30)? jako zwykłe (n) NIE n < 30 2. Jak obliczono odchylenie z próby? 3. Znaleźć wartości krytyczne χ 2 1-α/2; n 1 dla p 1 =1 α/2 χ 2 α/2; n 1 dla p 2 = α/2 z rozkładu χ 2 dla df = n 1 stopni swobody jako skorygowane (n-1) 4. Obliczyć szerokość przedziału ufności dla odchylenia standardowego c = / 2 4. Obliczyć przedział ufności dla wariancji (c 1 ; c 2) = /; = /; 4. Obliczyć przedział ufności dla wariancji (c 1 ; c 2) = 1 /;; = 1 /;; 5. Wyznaczyć przedział ufności i błąd względny B przedział ufności to: ±, a zatem ;+ = 100% 5. Wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego i błąd względny B przedział ufności dla odchylenia st. to: ; = 100% 2 Ocena możliwości wnioskowania podobnie, jak w przypadku przedziału ufności dla średniej. 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 8 gbiesok@ath.eu

7. Przedział ufności dla wskaźnika struktury 7. Przedział ufności dla wskaźnika struktury Tab. 5 Dane wejściowe w Wskaźnik struktury (frakcja, częstość względna) obliczony z próby n Liczebność próby (powinna być wielka >120 jednostek) 1-α Zakładany poziom ufności (zazwyczaj 0,95) α Prawdopodobieństwo popełnienia błędu z przeliczenia powyższego p = 1-α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności Procedura 1. Znaleźć wart. krytyczną z 1-α/2 dla p = 1 α /2 z rozkładu normalnego standardowego 2. Zwykły sposób szacowania 2. Ostrożny sposób szacowania 3. Obliczyć szerokość przedziału ufności c = / 1 3. Obliczyć szerokość przedziału ufności c 1 = / 2 4. Wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury i błąd względny B przedział ufności to: ±, a zatem ;+ = 100% Ocena możliwości wnioskowania podobnie, jak w przypadku przedziału ufności dla średniej.. 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 9 gbiesok@ath.eu

8. Test dla średniej w populacji generalnej 8. Test dla średniej w populacji generalnej Tab. 6 xśr σ s ŝ n m0 α Dane wejściowe Średnia obliczona z próby Jedno z odchyleń: odchylenie standardowe w populacji generalnej (o ile jest znane) odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, N) odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, N 1) Liczebność próby Testowana wartość średnia w populacji generalnej Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej 1. Czy znane jest σ odchylenie standardowe cechy w populacji generalnej? TAK NIE TAK 2. Czy n 30 NIE n 30 n < 30 3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny 3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny 3. Test T Wart. testowa ma rozkład t-studenta 4. Obliczyć s X = 4. Obliczyć s X = = 4. Obliczyć s X = 1 = 5. Obliczyć wartość testową (sprawdzian) z test = ś 5. Obliczyć wartość t test = ś Weryfikacja hipotez testowych H 0: m m 0 H 1: m < m 0 H 0: m = m 0 H 1: m m 0 H 0: m m 0 H 1: m > m 0 Obszar kryt. lewostronny = = dla p = α = ; = ; dla p = α i df = n 1 st. swobody Obszar kryt. obustronny = / dla p = 1 α/2 = /; dla p = 1 α/2 i df = n 1 st. swobody Obszar kryt. prawostronny = dla p = 1 α = ; dla p = 1 α i df = n 1 st. swobody 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 10 gbiesok@ath.eu

9. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach 9. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach Tab. 7 Dane wejściowe x1śr śr,, x2śr x Średnie obliczone z dwóch prób, pochodzących z dwóch populacji Jedne z odchyleń: σ1, σ1 odchylenia standardowe w obu populacjach (o ile jest znane) ŝ1, ŝ2 odchylenia standardowe obliczone z obu prób (skorygowane, N-1) n1,, n2 n Liczebność obu prób α Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej 1. Czy znane są σ 1 i σ 2 odchylenia standardowe cech w obu populacjach generalnych? TAK 3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny TAK n1 i n2 30 3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny NIE 2. Czy n 1 i n 2 30 NIE n1 n2 < 30 zał.: σ1 = σ2 3. Test T Wart. testowa ma rozkład t-studenta 4. Obliczyć s X = + 4. Obliczyć s X = + 4. Obliczyć s X = + + 2 1 + 1 5. Obliczyć wartość testową (sprawdzian) z test = ś ś 5. Obliczyć wartość t test = ś ś Weryfikacja hipotez testowych H 0: m 1 m 2 H 1: m 1 < m 2 H 0: m 1 = m 2 H 1: m 1 m 2 H 0: m 1 m 2 H 1: m 1 > m 2 Obszar kryt. lewostronny = = dla p = α = ; = ; dla p = α i df = n1+n2 1 st. swobody Obszar kryt. obustronny = / dla p = 1 α/2 = /; dla p = 1 α/2 i df = n1+n2 1 st. Obszar kryt. prawostronny = dla p = 1 α = ; dla p = 1 α i df = n1+n2 1 st. 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 11 gbiesok@ath.eu

10. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji 10. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji Tab. 8 Dane wejściowe xi, yi Zestaw par danych dla tych samych jednostek z tej samej populacji zi Zestaw przyrostów zi = yi xi zśr Przyrost średni sz Odchylenie standardowe przyrostów (zwykłe, N) n Liczebność próby α Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej 1. Test T Wart. testowa ma rozkład t-studenta 2. Obliczyć wartość testową t test = ś 1 Weryfikacja hipotez testowych H 0: m z 0 H 1: m z < 0 H 0: m z = 0 H 1: m z 0 H 0: m z 0 H 1: m z > 0 Obszar kryt. lewostronny = ; = ; dla p = α i df = n 1 st. swobody Obszar kryt. obustronny = /; dla p = 1 α/2 i df = n 1 st. swobody Obszar kryt. prawostronny = ; dla p = 1 α i df = n 1 st. swobody 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 12 gbiesok@ath.eu

11. Test dla wariancji w populacji generalnej 11. Test dla wariancji w populacji generalnej Tab. 9 s 2 ŝ 2 n σ 2 0 α Dane wejściowe Jedna z wariancji wariancja obliczona z dużej próby (zwykła, N) wariancja obliczona z dużej próby (skorygowane, N 1) Liczebność próby Testowana wartość wariancji w populacji generalnej Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej NIE, n < 30 2. Test χ Wartość testowa ma rozkład χ 2 1. Czy badana próba była duża (n 30)? TAK, n 30 2. Test Z Wartość testowa ma rozkład normalny 3. Obliczyć wartość testową χ 2 test 3. Obliczyć wartość testową z test = = 1 = 2 2 3 = 2 1 2 3 Weryfikacja hipotezy testowej ej y H 0: σ 2 = σ 2 0 H 1: σ 2 > σ 2 0 Obszar kryt. prawostronny = dla p = 1 α = ; dla p = 1 α i df = n 1 st. swobody > > 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 13 gbiesok@ath.eu

12. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen. 12. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen. Tab. 10 Dane wejściowe wp Wskaźnik struktury obliczony z próby w0 Testowana wartość wskaźnika struktury w populacji generalnej n Liczebność próby (powinna być wielka > 120) α Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej 1. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny 2. Obliczyć s w = 1 3. Obliczyć wartość testową z test = Weryfikacja hipotez testowych H 0: w w 0 H 1: w < w 0 H 0: w = w 0 H 1: w w 0 H 0: w w 0 H 1: w > w 0 Obszar kryt. lewostronny = = dla p = α Obszar kryt. obustronny = / dla p = 1 α/2 Obszar kryt. prawostronny = dla p = 1 α 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 14 gbiesok@ath.eu

13. Test zgodności χ2 13. Test zgodności χ 2 Tab. 11 [n] [np] i α Dane wejściowe Badany rozkład cechy z częstościami bezwzględnymi ni (np. rozkład empiryczny z próby) Rozkład odniesienia z częstościami bezwzględnymi npi (np. teoretyczny rozkład cechy) Ilość wartości (wariantów) cechy, na przykład ilość klas Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Procedura 1. Hipotezy testowe H 0: oba rozkłady są zgodne H 1: oba rozkłady są niezgodne (są różne) 2. Obliczyć wartość testową (sprawdzian testu) χ 2 test Wartość cechy = Do obliczenia wartości testowej można posłużyć sie tabelą: Częstości rozkładu badanego n Częstości rozkładu odniesienia np x1 n1 np1 χ 2 1 x2 n2 np2 χ 2 1............ xi ni npi χ 2 i χ 2 test = Σ χ 2 i χ 2 3. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny = ; dla p = 1 α i df = i 1 st. swobody 4. Zweryfikować hipotezy > 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 15 gbiesok@ath.eu

14. Test niezależności χ 2 14. Test niezależności χ2 Tab. 12 [n] [np] i j α Dane wejściowe Tablica korelacyjna rozkładu empirycznego dwóch cech X i Y z częstościami bezwzględnymi ni Tablica rozkładu cech teoretycznie niezależnych X i Y Ilość wartości cechy X Ilość wartości cechy Y Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Zasada konstrukcj k onstrukcji tablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnych n: X \ Y y1 y2... yj Sumy np: X \ Y y1 y2... yj x1 n11 n12... n1j Σn1j x2 n21 n22... n2j Σn2j.................. xi ni1 ni2 nij Σnij Sumy Σni1 Σni1... Σnij N x1 x2... xi itd. Podobnie, dla każdego pola tabeli np należy wykorzystać sumy z odpowiadających mu wierszy i kolumn w tabeli n. Procedura 1. Hipotezy testowe H 0: obie cechy są niezależne H 1: obie cechy są zależne 2. Zbudować tablicę χ 2 Dla każdej odpowiadającej sobie pary pól z tablicy n i np obliczyć = 2. Obliczyć wartość testową (sprawdzian testu) χ 2 test Jest to suma pól tablicy χ2 = 3. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny = ; dla p = 1 α i df = (i-1)(j-1) st. swobody 4. Zweryfikować hipotezy > 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 16 gbiesok@ath.eu

15. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1) 15. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1) Tablica zawiera wartości F(z) dystrybuanty rozkładu normalnego, standardowego z parametrami m=0 (średnia) i σ=1 (odchylenie standardowe). Wartość dystrybuanty w punkcie z to pole pod krzywą gęstości rozkładu normalnego w przedziale od - do z. F(z) pole pod krzywą N(0;1) od - do z Prawdopodobieństwo, że Z należy do przedziału [A; B]: ;= Wartości F dla ujemnych z: =1 z z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 17 gbiesok@ath.eu

16. Rozkład t-studenta. Wartości krytyczne 16. Rozkład t-studenta. Wartości krytyczne Tablica zawiera wartości odwróconej dystrybuanty (wartości krytyczne) rozkładu t-studenta. Dla danej ilości stopni swobody (df) oraz zadanego prawdopodobieństwa pokazuje wartość zmiennej t. Prawdopodobieństwo p 0,9 0,95 0,975 0,98 0,99 0,995 0,999 0,9995 Istotność α = 2(1-p) dwustronny ob. kr. 0,2 0,1 0,05 0,04 0,02 0,01 0,002 0,001 Istotność α = (1-p) jednostronny ob. kr. 0,1 0,05 05 0,025 0,02 0,01 0,005 05 0,001 0,0005 05 df = 1 3,0777 6,3138 12,7062 15,8945 31,8205 63,6567 318,3088 636,6192 2 1,8856 2,9200 4,3027 4,8487 6,9646 9,9248 22,3271 31,5991 3 1,6377 2,3534 3,1824 3,4819 4,5407 5,8409 10,2145 12,9240 4 1,5332 2,1318 2,7764 2,9985 3,7469 4,6041 7,1732 8,6103 5 1,4759 2,0150 2,5706 2,7565 3,3649 4,0321 5,8934 6,8688 6 1,4398 1,9432 2,4469 2,6122 3,1427 3,7074 5,2076 5,9588 7 1,4149 1,8946 2,3646 2,5168 2,9980 3,4995 4,7853 5,4079 8 1,3968 1,8595 2,3060 2,4490 2,8965 3,3554 4,5008 5,0413 9 1,3830 1,8331 2,2622 2,3984 2,8214 3,2498 4,2968 4,7809 10 1,3722 1,8125 2,2281 2,3593 2,7638 3,1693 4,1437 4,5869 11 1,3634 1,7959 2,2010 2,3281 2,7181 3,1058 4,0247 4,4370 12 1,3562 1,7823 2,1788 2,3027 2,6810 3,0545 3,9296 4,3178 13 1,3502 1,7709 2,1604 2,2816 2,6503 3,0123 3,8520 4,2208 14 1,3450 1,7613 2,1448 2,2638 2,6245 2,9768 3,7874 4,1405 15 1,3406 1,7531 2,1314 2,2485 2,6025 2,9467 3,7328 4,0728 16 1,3368 1,7459 2,1199 2,2354 2,5835 2,9208 3,6862 4,0150 17 1,3334 1,7396 2,1098 2,2238 2,5669 2,8982 3,6458 3,9651 18 1,3304 1,7341 2,1009 2,2137 2,5524 2,8784 3,6105 3,9216 19 1,3277 1,7291 2,0930 2,2047 2,5395 2,8609 3,5794 3,8834 20 1,3253 1,7247 2,0860 2,1967 2,5280 2,8453 3,5518 3,8495 21 1,3232 1,7207 2,0796 2,1894 2,5176 2,8314 3,5272 3,8193 22 1,3212 1,7171 2,0739 2,1829 2,5083 2,8188 3,5050 3,7921 23 1,3195 1,7139 2,0687 2,1770 2,4999 2,8073 3,4850 3,7676 24 1,3178 1,7109 2,0639 2,1715 2,4922 2,7969 3,4668 3,7454 25 1,3163 1,7081 2,0595 2,1666 2,4851 2,7874 3,4502 3,7251 26 1,3150 1,7056 2,0555 2,1620 2,4786 2,7787 3,4350 3,7066 27 1,3137 1,7033 2,0518 2,1578 2,4727 2,7707 3,4210 3,6896 28 1,3125 1,7011 2,0484 2,1539 2,4671 2,7633 3,4082 3,6739 29 1,3114 1,6991 2,0452 2,1503 2,4620 2,7564 3,3962 3,6594 30 1,3104 1,6973 2,0423 2,1470 2,4573 2,7500 3,3852 3,6460 40 1,3031 1,6839 2,0211 2,1229 2,4233 2,7045 3,3069 3,5510 50 1,2987 1,6759 2,0086 2,1087 2,4033 2,6778 3,2614 3,4960 60 1,2958 1,6706 2,0003 2,0994 2,3901 2,6603 3,2317 3,4602 80 1,2922 1,6641 1,9901 2,0878 2,3739 2,6387 3,1953 3,4163 100 1,2901 1,6602 1,9840 2,0809 2,3642 2,6259 3,1737 3,3905 120 1,2886 1,6577 1,9799 2,0763 2,3578 2,6174 3,1595 3,3735 150 1,2872 1,6551 1,9759 2,0718 2,3515 2,6090 3,1455 3,3566 200 1,2858 1,6525 1,9719 2,0672 2,3451 2,6006 3,1315 3,3398 300 1,2844 1,6499 1,9679 2,0627 2,3388 2,5923 3,1176 3,3233 400 1,2837 1,6487 1,9659 2,0605 2,3357 2,5882 3,1107 3,3150 500 1,2832 1,6479 1,9647 2,0591 2,3338 2,5857 3,1066 3,3101 600 1,2830 1,6474 1,9639 2,0582 2,3326 2,5840 3,1039 3,3068 700 1,2828 1,6470 1,9634 2,0576 2,3317 2,5829 3,1019 3,3045 800 1,2826 1,6468 1,9629 2,0571 2,3310 2,5820 3,1005 3,3027 900 1,2825 1,6465 1,9626 2,0567 2,3305 2,5813 3,0993 3,3014 1000 1,2824 1,6464 1,9623 2,0564 2,3301 2,5808 3,0984 3,3003 1,2816 1,6449 1,9600 2,0537 2,3263 2,5758 3,0902 3,2905 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 18 gbiesok@ath.eu

17. Rozkład χ2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne 17. Rozkład χ 2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne Tablica zawiera wartości odwróconej dystrybuanty (wartości krytyczne) rozkładu chi-kwadrat. Dla danej ilości stopni swobody (df) oraz zadanego prawdopodobieństwa pokazuje wartość zmiennej χ 2. Prawd. p = 1-1 α 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,2 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 α = 1-p prawostr. 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,8 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 ob. kryt. df = 1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 1,642 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,446 3,219 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,005 4,642 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,649 5,989 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,343 7,289 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750 6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,070 8,558 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 3,822 9,803 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 4,594 11,030 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,380 12,242 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,179 13,442 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 6,989 14,631 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 7,807 15,812 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 8,634 16,985 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 9,467 18,151 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 10,307 19,311 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,152 20,465 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,002 21,615 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 12,857 22,760 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 13,716 23,900 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 14,578 25,038 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 15,445 26,171 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 16,314 27,301 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 17,187 28,429 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 18,062 29,553 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559 25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 18,940 30,675 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 19,820 31,795 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 20,703 32,912 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 21,588 34,027 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 22,475 35,139 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336 30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 23,364 36,250 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 32,345 47,269 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 41,449 58,164 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 60 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 50,641 68,972 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 70 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 59,898 79,715 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215 80 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 69,207 90,405 96,578 101,879 106,629 112,329 116,321 90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 78,558 101,054 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299 100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 87,945 111,667 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169 110 75,550 78,458 82,867 86,792 91,471 97,362 122,250 129,385 135,480 140,917 147,414 151,948 120 83,852 86,923 91,573 95,705 100,624 106,806 132,806 140,233 146,567 152,211 158,950 163,648 150 109,142 112,668 117,985 122,692 128,275 135,263 164,349 172,581 179,581 185,800 193,208 198,360 200 152,241 156,432 162,728 168,279 174,835 183,003 216,609 226,021 233,994 241,058 249,445 255,264 300 240,663 245,972 253,912 260,878 269,068 279,214 320,397 331,789 341,395 349,874 359,906 366,844 400 330,903 337,155 346,482 354,641 364,207 376,022 423,590 436,649 447,632 457,305 468,724 476,606 500 422,303 429,388 439,936 449,147 459,926 473,210 526,401 540,930 553,127 563,852 576,493 585,207 19

18. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne 18. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne Rozkład normalny Przykładowa wartość krytyczna lewostronna f(z) p = α p = 1 α z Tablice Arkusz kalk. Dystrybuanta rozkładu normalnego W tablicy znaleźć wartość poszukiwanego prawdopodobieństwa p, odczytać z pierwszej kolumny i nagłówka tablicy wartość zp =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(p) zα = (z1 α) z1 α Rozkład t-studenta t Przykładowa wartość krytyczna obustronna f(t) p = α/2 tα/2 = (t1 α/2) p = 1 α t1 α/2 p = α/2 t Tablice Arkusz kalk. Wartości kryt. rozkładu t-studenta Odczytać z tablicy wartość bezpośrednio dla danego prawdopodobieństwa p ( odpowiadającej mu istotności α) i df stopni swobody Wartość krytyczna dla p =ROZKŁAD.T.ODW(2*(1-p); df) Wartość krytyczna obustronna dla istotności α =ROZKŁAD.T.ODW(α; df) Wartość krytyczna jednostronna dla istotności α =ROZKŁAD.T.ODW(2*α; df) dla danej ilości stopni swobody df Rozkład χ 2 Przykładowa wartość krytyczna prawostronna f(χ 2 ) p = 1 α χ 2 1 α p = α χ 2 Tablice Arkusz kalk. Wartości kryt. rozkładu χ2 Odczytać z tablicy wartość bezpośrednio dla danego prawdopodobieństwa p ( odpowiadającej mu istotności α) i df stopni swobody Wartość krytyczna dla p =ROZKŁAD.CHI.ODW((1-p); df) Wartość krytyczna prawostr. dla istotności α =ROZKŁAD. CHI.ODW(α; df) dla danej ilości stopni swobody df 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 20 gbiesok@ath.eu