Elektrotechnika elektronika miernictwo Franciszek Gołek (golek@ifd.uni.wroc.pl) www.pe.ifd.uni.wroc.pl Wykład 3. Obwody prądu sinusoidalnego (Omówimy jak powstają sinusoidalne wymuszenia, jak analizujemy obwody prądu zmiennego z pomocą liczb i funkcji zespolonych)
Obecnie powszechnie dostępna energia elektryczna jest produkowana w postaci sinusoidalnego napięcia wymuszającego sinusoidalne natężenie prądu elektrycznego. Częstotliwość tego zmiennego (mówimy też przemiennego) napięcia wynosi 50 Hz w Europie lub 60 Hz w Ameryce północnej. Dzięki transformatorom łatwo można zmieniać wielkość amplitud napięć i prądów zmiennych. Energia elektryczna (= U sk I sk t) w postaci dużych zmiennych napięć przy małych natężeniach prądów jest łatwa do ekonomicznego transportu przy użyciu sieci linii transmisyjnych krajowego systemu energetycznego. Wszędzie gdzie pożądane jest napięcie stałe stosowane są układy konwersji nazywane prostownikami.
Generowanie napięć zmiennych w elektrowniach polega na zamianie innych rodzajów energii na energię elektryczną z wykorzystaniem prawa Faradaya E = -db/dt czyli SEM = - dφ/dt (jedno z równań Maxwella). Dostępną energię (wiatrową, wodną, jądrową czy cieplną) wykorzystuje się do wirowania odpowiednimi zwojnicami w silnym polu magnetycznym.
Idea źródła napięcia sinusoidalnego: Uzwojenie w postaci ramki wiruje ze stałą prędkością kątową ω w stałym polu magnetycznym o indukcji B. Końce ramki połączone są z pierścieniami, które ocierają się (ślizgają) o dociskane sprężynowo szczotki. Oznaczając przez A pole powierzchni obejmowanej ramką możemy określić zależność czasową strumienia Φ przenikającego ramkę jako: Φ = B A cos(ωt). Generowana siła elektromotoryczna (SEM) e = -dφ/dt = ωbasin(ωt) = E max sin(ωt)
W elektrotechnice podstawowym przebiegiem napięć i prądów (wymuszeń i skutków) jest przebieg sinusoidalny. Takie przebiegi są generowane przez wirujące maszyny elektryczne zwane generatorami prądu zmiennego. Z podstaw trygonometrii wiadomo, że przebieg sinusoidalny można otrzymać przez rzutowanie promienia koła trygonometrycznego, wirującego ze stałą prędkością kątową ω na nieruchomą oś. Wynik rzutowania na oś y jest identyczny z rzutowaniem na oś x, ale przesunięty w czasie.
Liczby zespolone Dysponując tylko liczbami rzeczywistymi mamy problem z rozwiązaniem takich równań jak np.: X 2 + 1 = 0. Jeżeli jednak za X podstawimy coś co nie jest liczbą rzeczywistą: -1, to podnosząc do kwadratu tę dziwną wielkość otrzymujemy liczbę rzeczywistą -1. Zatem to coś spełnia równanie: X 2 + 1 = 0. Podobnie możemy podstawić za X wartość - -1. Jeżeli uznamy wielkość -1 za coś realnego i oznaczymy przez j to z łatwością rozwiążemy wiele innych równań, przykładowo równanie X 2 + 9 = 0 spełniają rozwiązania: X = - 3j oraz +3j. W elektronice stosujemy symbol: j = -1 = (-1) 0.5, chociaż w matematyce używany jest symbol i = (-1) 0.5. Powód: bo i w elektronice to prąd elektryczny.
Liczby i funkcje zespolone w elektrotechnice i elektronice. Liczby zespolone mają postać dwuskładnikową (zespoloną): Z = x + jy. Gdzie j = -1 jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby -1. Taka notacja przypomina zapis położenia punktu na płaszczyźnie przy pomocy dwóch (równoprawnych) współrzędnych: Z = (x, y). W dziedzinie liczb zespolonych jest jednak pewna asymetria np. kwadrat liczby czysto rzeczywistej (x + j0) jest wielkością czysto rzeczywistą dodatnią (x 2 + j0) a kwadrat liczby czysto urojonej (0 + jy) jest wielkością czysto rzeczywistą ujemną (-y 2 + j0) bo j 2 = -1. Dlatego liczby zespolone traktujemy jako zapis położenia punktu na płaszczyźnie zespolonej. Wielkości zespolone (liczby i funkcje) są wyjątkowo udaną abstrakcją stosowaną w opisie oscylacyjnych przebiegów napięć i prądów w elektryczności oraz elektronice. Dobrym tego przykładem są tzw. wykresy wskazowe, które zastosujemy przy analizie układów RLC zasilanych napięciami sinusoidalnymi. Zapis przebiegów sinusoidalnych w postaci funkcji zespolonych jest niezastąpiony przy analizie zależności amplitudowych i fazowych.
Przypomnijmy równość Eulera: e jx = cos(x) + jsin(x) oraz równoważność formuł: Ae j(ωt + φ) = Acos(ωt + φ) + jasin(ωt + φ) z obrazem punktu wirującego na płaszczyźnie zespolonej z prędkością kątową ω - zwaną też pulsacją.
Równość Eulera po raz pierwszy pojawiła się w 1714 roku w postaci: Przy pomocy rozwinięć w szereg potęgowy można pokazać:
Mnożenie wielkości zespolonych jest łatwe gdy zastosujemy postać wykładniczą! Przykładowo zapis prawa Ohma jako iloczynu zespolonego prądu I i tzw. zawady Z (Z to zespolona - uogólniona oporność, jak zobaczymy niebawem): U = I Z = Ie j(ωt + α) Ze jβ = ZIe j(ωt + α+ β) j(ωt + θ) = Ue Mamy tu doskonałą ilustruję relacji amplitudowej i fazowej: amplitudowa: U = IZ i faz początkowych: α oraz θ = α + β Faza wyniku mnożenia to suma faz czynników! Zapis zespolony ilustruje też zależności faz od czasu: faza U = argument U = ωt + α + β = ωt + θ.
Zilustrujmy iloczyn z poprzedniej strony: U = I Z = Ie j(ωt + α) Ze jβ = ZIe j(ωt + α+ β) j(ωt + θ) = Ue Przy pomocy obrazów: W iloczynie mamy sumę argumentów i iloczyn modułów.
Zatem dowolną wielkość np. napięcie u = U m cos(ωt + ϕ) o amplitudzie A = U max możemy rozumieć jako część rzeczywistą napięcia zapisanego w postaci zespolonej U = U max e j(ωt + ϕ). Ze względu na zmienną t czas, dobrą ilustracją może być animacja/film pokazująca jak z upływem czasu wektor U wiruje bo rośnie jego argument, czyli kąt między nim a osią odciętych: ωt + ϕ. Przy analizie i obliczeniach wybieramy jednak sytuację zatrzymaną w kadrze czyli wybieramy jakąś dogodną chwilę np. t = 0. Dla wybranej dowolną wielkość zespoloną A możemy i będziemy zapisywać na 4 równoważne sposoby: http://faraday.ee.emu.edu.tr/eeng224/lecture_notes.htm http://staff.southwest.tn.edu/kfoster/links_4.htm
Zajmiemy się teraz pojemnością i indukcyjnością, które znane są między innymi z tego, że napięcia i prądy w nich występujące nie są zgodne w fazie. Początek ładowania kondensatora to duży prąd i małe napięcie, a koniec to zero prądu i maksymalne napięcie! Tu prąd jest potrzebny do zmian napięcia. W cewce aby rozpędzić prąd zaczynamy od dużego napięcia i powoli rosnącego prądu. Gdy prąd osiągnie maksimum i przestaje się zmieniać mamy zerowe napięcie. Tu napięcie jest potrzebne do zmian natężenia prądu.
Kondensatory w obwodach elektronicznych (podobnie jak oporniki i cewki) są elementami biernymi, nie mogą wzmacniać czyli zwiększać moc sygnału elektrycznego. Kondensator jest dwójnikiem (dwa zaciski) i składa się z dwóch okładzin przewodzących o dużej powierzchni odizolowanych dielektrykiem o dużej przenikalności elektrycznej. Kondensatory realizują koncepcję magazynowania energii w postaci pola elektrycznego między naładowanymi elektrycznie okładkami. Ich efektywność zależy od powierzchni i kształtu okładek, od odstępu oraz materiału między okładkami. Żywotność zależy od takich parametrów pracy jak: przykładane napięcia czy temperatura. Stosowane konstrukcje i materiały są rozmaite i nadal ulepszane. Kondensatory, podobnie jak rezystory należą do grupy podstawowych elementów elektroniki. Schemat zastępczy
Uwagi o odczycie parametrów kondensatorów Kondensatory o dużych pojemnościach (podobnie jak rezystory dużej mocy) są na tyle duże, że na ich obudowie wystarcza miejsca na napisanie wartości pojemności razem z jednostkami. Przykład: kondensatory elektrolityczne. Napis: +500MF oznacza, że końcówka bliższa znaku + musi mieć potencjał nie niższy od potencjału drugiej końcówki (w przeciwnym wypadku kondensator ulegnie zniszczeniu), pojemność kondensatora wynosi 500 µf. Znak - oznacza końcówkę, dla której przewidziany jest niższy potencjał. Kondensatory o mniejszych rozmiarach to np. kondensatory tantalowe. Napis +4R7µ oznacza 4.7µF (R oznacza miejsce dziesiętne). Taki sam kondensator może być oznaczony napisem: +475k, k oznacz tu tolerancję (±10%) natomiast cyfry 475 oznaczają 47 10 do potęgi 5 pf. Jednostki należy odgadnąć na podstawie następujących wskazówek. 1) Przeważnie stosujemy mikro i pikofarady a unikamy mili- i nano-faradów, największe wśród typowych pojemności to około 500 μf i znaczne rozmiary kondensatora. Przykładowo napis: 680 musi zatem oznaczać 680 pf. 2) Pikofarad jest bardzo małą wartością i zwykle spotykamy kondensatory o pojemności większej od 1 pf. Oznacza to, że znajdując napis:.01 należy go odczytać jako 0.01µF. Zatem wcześniejszy napis: 475 oznacza 4.7 10 5 pf. Przykładowo napis.02m 1kV oznacza 0.02 mikrofaradów, M oznacza tu tolerancję 20%, a 1kV oznacza, że kondensator wytrzymuje naładowanie do napięcia 1000V.
Napis: 560M 1kV oznacza 560pF o tolerancji 20% i napięcie 1kV. Napis: 101k 200V oznacza 100pF i kondensator na 200V. Kody tolerancji: Z - +80%,-20%, M - ±20%, K - ±10%, J - ±5%, G - ±2%, F - ±1%, D - ±0.5%, C - ±0.25%, B - ±0.1%, A - ±0.05%, N - ±0.02%. Spotykamy i stosujemy kondensatory o różnej budowie. Np. kondensatory Mylarowe (mailarowe) występują w postaci długich, zwiniętych folii metalowych oddzielonych folią z mylaru. Znak paska oznacza końcówkę folii zewnętrznej. Kondensatory te nie nadają się do pracy w układach wysokiej częstotliwości, gdyż długie zwinięte folie stanowią zbyt dużą indukcyjność dla napięć w. cz.. Kondensatory ceramiczne wyglądają jak płaskie kostki lub dyski ( lizaki ) i w przeciwieństwie do kondensatorów mylarowych dobrze pracują w układach wysokiej częstotliwości. Kondensatory ferroelektryczne: tanie i o dużej pojemności, są nieprecyzyjne i stosowane do odsprzęgania i filtracji. Ogólnie produkowane są kondensatory o pojemnościach od 0,1pF do około 5F w szeregach E6 i E12. Największe dostępne obecnie pojemności to kondensatory UltraCap do 3000F.
Ładunek i napięcie na idealnym kondensatorze spełniają następujący związek: Q = CU. Różniczkując obie strony po czasie otrzymujemy dq/dt = CdU/dt. dq/dt jest oczywiście prądem ładowania I.
Z równości I = CdU/dt widać, że stały prąd (ładowania) oznacza stałe tempo zmian napięcia na kondensatorze. Prąd jest wprost proporcjonalny nie do napięcia, jak dla opornika, lecz do szybkości zmian napięcia! Brak proporcjonalności między wartościami chwilowymi napięcia i prądu wyklucza zastosowanie prawa Ohma w dziedzinie liczb rzeczywistych. Zobaczymy też, że: Dla amplitud lub wartości skutecznych jednak prawo Ohma obowiązuje, a prawa Kirchhoffa NIE!!! Okazuje się, że dla wartości chwilowych pochodną można zastąpić mnożeniem w sytuacji, gdy mamy do czynienia z przebiegami sinusoidalnymi i ich zapisem zespolonym.
Zobaczmy to dokładniej. Z definicji pojemności mamy: Q = CU Przy zmianach ładunku: dq/dt = CdU/dt I = CdU/dt Mając napięcie sinusoidalne U = U max cos(ωt+φ) uzyskamy: I = CdU/dt = CU max d(cos(ωt+φ))/dt = ωcu max (-sin(ωt+φ)) = ωcu max (cos(ωt+φ +90 o )) Czyli prąd w kondensatorze uzyskaliśmy mnożąc przez ωc napięcie, któremu zmieniliśmy fazę o 90 o. To oznacza, że mając prąd wystarczy podzielić go przez ωc i przesunąć (cofnąć) jego fazę o -90 o i otrzymamy napięcie. Widać, że nie ma tu współczynnika proporcjonalności między chwilowymi!wartościami prądu i napięcia
Jeżeli jednak funkcję U = U max cos(ωt+φ) potraktujemy jako część rzeczywistą wielkości zespolonej U max e j(ωt+φ) to: U = Re(U max e j(ωt+φ) ) I = Cd(U max e j(ωt+φ) )dt = jωcu max e j(ωt+φ) I = jωcu = B C U gdzie B C = jωc albo U = I/jωC = X C I gdzie X C = 1/jωC Zatem w zapisie zespolonym dla wartości chwilowych jest współczynnik! Jest prawo Ohma dla pojemności! B C taka przewodność to susceptancja
Ilustracja. Jeżeli przez kondensator płynie jakiś prąd zmienny to na tym kondensatorze mamy też zmienne napięcie. Prawo Ohma dla kondensatora, którego reaktancją jest X C = 1/jωC = -j/ωc = [1/ωC] e -jπ/2, i w którym mamy prąd I = I max e j(ωt+φ) wyrażamy tak: U = I X C = I max e j(ωt+φ) 1/ωCe -jπ/2 = I max /ωc e j(ωt+φ-π/2) ; widzimy tu iloczyn modułów I max i 1/ωC jako moduł napięcia a w wykładniku do aktualnego kąta prądu dodany kąt ujemny: π/2 Zatem napięcie U ma tu w każdej chwili fazę przesuniętą o π/2 względem fazy prądu. Wniosek: Pomnożenie prądu przez impedancję Xc daje napięcie opóźnione o ćwierć kąta pełnego (koresponduje to z prostym stwierdzeniem, że ładując kondensator na początku ładowania mamy duży prąd i zerowe napięcie, a po naładowaniu zerowy prąd i maksymalne napięcie).
Cewki indukcyjne. Modelem indukcyjności jest cewka, czyli też element z dwoma zaciskami dwójnik. Ze względu na rodzaj rdzenia wyróżniamy cewki: ferrytowe, metalowe, powietrzne. Cewka realizuje ideę magazynowania energii kinetycznej prądu elektrycznego, który wytwarza pole magnetyczne. Schemat zastępczy
Indukcyjność ma taką własność, że prędkość zmian jej prądu jest proporcjonalna do panującego na niej napięcia. Tu stałe napięcie wymusza stały wzrost prądu. L jest indukcyjnością cewki. Z takiej relacji między prądem a napięciem wynika, że dla wartości chwilowych prądu i napięcia na cewce też nie działa prawo Ohma.
Mamy związek: U = LdI/dt, załóżmy że wymuszamy prąd sinusoidalny w cewce: I = I max cos(ωt+φ) U = LdI/dt = LI max d(cos(ωt+φ))/dt = ωli max (-sin(ωt+φ)) = ωli max (cos(ωt+φ+90 o )) Czyli napięcie na cewce uzyskaliśmy mnożąc przez ωl prąd, któremu jeszcze zmieniliśmy fazę o 90 o. To oznacza, że mając prąd wystarczy pomnożyć go przez ωl i przesunąć jego fazę o 90 o i otrzymamy napięcie. Widać, że nie ma tu współczynnika proporcjonalności między prądem a napięciem!
Jeżeli jednak funkcję I = I max cos(ωt+φ) potraktujemy jako część rzeczywistą wielkości zespolonej I max e j(ωt+φ) to: I = Re(I e j(ωt+φ) ) max U = Ld(I e j(ωt+φ) )dt = jωli e j(ωt+φ) max max U = jωli = X I gdzie X = jωl albo I = L L (1/jωL)U = B U gdzie B = 1/jωL L L Zatem w zapisie zespolonym: Jest współczynnik! Jest prawo Ohma dla indukcyjności! X L reaktancja cewki B L susceptancja cewki
Ilustracja. Jeżeli przez cewkę płynie jakiś prąd zmienny to na jej zaciskach mamy też zmienne napięcie. Prawo Ohma dla indukcyjności, której impedancją jest X L = jωl = ωle jπ/2 i w której mamy prąd I = I max e j(ωt+φ) wyrażamy następująco: U = I X L = I max e j(ωt+φ) ωle jπ/2 = I max ωle j(ωt+φ+π/2) ; widzimy tu iloczyn modułów I max i ωl jako moduł napięcia a w wykładniku do aktualnego kąta prądu dodany kąt dodatni: π/2 Zatem napięcie U ma tu w każdej chwili fazę przesuniętą o π/2 względem fazy prądu. Wniosek: Pomnożenie prądu przez impedancję X L daje napięcie wyprzedzające o ćwierć kąta pełnego prąd. Koresponduje to z prostym stwierdzeniem, że na początku rozpędzania ładunku mamy jeszcze zerowy prąd a maksymalne napięcie. Gdy prąd osiągnie maksymalną wartość to napięcie odpowiedzialne za jego zerowe zmiany jest zerowe!
Chociaż i tu nie występuje proporcjonalność między chwilowymi wartościami napięcia i prądu. Zachodzi jednak proporcjonalność między wartościami skutecznymi lub amplitudami (tj. modułami czyli wartościami maksymalnymi, ale pojawiającymi się niejednocześnie - występuje przesunięcie fazowe). Jak widać dla indukcyjności i pojemności współczynniki X L i X C są czysto urojone zatem wektory prądu z wektorami napięcia tworzą kąty proste. To oznacza, że iloczyn skalarny U I - moc tracona w idealnym kondensatorze lub indukcyjności jest zerem?! Ten efekt odróżnia kondensatory i cewki od rezystorów. W rzeczywistości mamy do czynienia z pewnymi stratami mocy w dielektryku kondensatora i rdzeniu cewki. W obwodach LC dominujące są jednak straty mocy na rezystancji uzwojenia cewki. Zachowanie się cewek i kondensatorów zależy od częstotliwości sygnału elektrycznego bo impedancje X L i X C zależą od ω. Dławik to solenoid o dużej indukcyjności pełniący rolę dużej impedancji dla prądów zmiennych.
Szeregowy obwód RLC. Stosując napięciowe prawo Kirchhoffa do pojedynczego oczka na rysunku obok, możemy napisać równanie: u(t) = u R (t) + u L (t) + u C (t) Przykładając sinusoidalne napięcie: u(t) = U m e j(ωt+φ) musimy otrzymać prąd: i(t) = I m e j(ωt+ψ) (periodyczna przyczyna to i periodyczny skutek). Wstawmy zatem do równania obwodu wyrażenie: i(t) = I m e j(ωt+ψ). Otrzymamy: U m e j(ωt+φ) = RI m e j(ωt+ψ) + (1/C) I m e j(ωt+ψ) dt + Ld(I m e j(ωt+ψ) )/dt. U m e j(ωt+φ) = RI m e j(ωt+ψ) + (1/jωC)I m e j(ωt+ψ) + jωli m e j(ωt+ψ) U m e j(ωt+φ) = I m e j(ωt+ψ) (R+ 1/jωC + jωl) U m e j(ωt+φ) = I m e j(ωt+ψ) (R+ j(ωl 1/ωC)) U m e j(ωt+φ) = I m e j(ωt+ψ) (R 2 + (ωl 1/ωC) 2 ) 0,5 e j arctg((ωl 1/ωC)/R) -> U = I Z czyli: U Zespolone napięcie = I Zespolony prąd Z Impedancja zespolona.
U m e j(ωt+φ) = I m e j(ωt+ψ) (R 2 + (ωl 1/ωC) 2 ) 0,5 j arctg((ωl 1/ωC)/R) e U = I Z czyli: U Zespolone napięcie = I Zespolony prąd Z Impedancja zespolona. Zespolona impedancja szeregowo połączonych R, L i C ma zatem postać: Z = R+ j(ωl 1/ωC) = R + j(x L X C ) = R +X = Ze j θ, możemy też zapisać: Z = R + X L + X C, Z = Z 1 + Z 2 + Z 3. Ponadto U = I Z po rozpisaniu: U = IZ 1 + IZ 2 + IZ 3 opisuje dzielnik napięcia zależny od ω.
Dzielniki napięcia zawierające elementy typu C lub L - mogą dzielić napięcie zależnie od częstotliwości. Zatem mogą zmieniać kształt sygnału, sygnał wyjściowy jest inny od wejściowego, chociaż są to elementy liniowe! Podobnie działają dzielniki prądu zawierające elementy typu C lub L dzielą prąd zależnie od częstotliwości. Dla układów R L C obowiązuje uogólnione prawo Ohma: U = I Z, I = Y U, gdzie Y = 1/Z, Z - impedancja, Y admitancja, i wszystkie wielkości są wyrażane w postaci zespolonej. Obliczanie wypadkowej impedancji Z w dla układu złożonego z elementów Z 1, Z 2,...Z n, odbywa się podobnie jak obliczanie wypadkowej rezystancji układu złożonego z elementów R 1, R 2,... R n. Różnicę daje tylko samo zastosowanie liczb zespolonych.
Należy pamiętać, że rzeczywistą wartością chwilową napięcia jest: U(t) = Re(U(t)). Rzeczywistą wartością chwilową prądu jest I(t) = Re(I(t)). Impedancję wyrażamy jako: Z = R + X, zawada = oporność czynna + oporność bierna = rezystancja + reaktancja, gdzie: X = X L + X C, X L = jωl i X C = 1/jωC. R jest rezystancją, a jωl i 1/jωC nazywamy reaktancjami, impedancjami biernymi. Admitancje to (odwrotności impedancji = drożności ) Y = 1/Z = G+jB, G = 1/R - konduktancja, B = 1/X - susceptancja, Y C = jωc, Y L = 1/jωL. Jednostką admitancji jest Simens 1S = 1/Ω.
Przykład 3.1. Wiedząc, że w układzie obok jest prąd zmienny o natężeniu I = 5cosωt A, ω = 2π50 rad/s = 314 rad/s, R = 0,5 Ω, L = 1 mh, C = 4 mf, obliczyć wszystkie napięcia. Rozw. U R = IR = (5cosωt A)(0,5 Ω) = 2,5cosωt V, lub U R = [5(cosωt +jsinωt) A](0,5 Ω) = 2,5(cosωt +jsinωt) V, albo: U R = (5e jωt A)(0,5 Ω) = 2,5e jωt V = 2,5 0 V U L = IX L = I (jωl) = [5(cosωt + jsinωt) A](j0,314 Ω) = 1,57(- sinωt + jcosωt) V = 1,57[cos(ωt + π/2) + jsin(ωt + π/2)] V, albo U L = 5e jωt 0,314e jπ/2 AΩ = 1,57e j(ωt+π/2) V = 1,57 π/2 V. U C = IX C = I(1/jωC) = I(-j/ωC) = (5e jωt A)(-j/1,26 Ω) = 5e jωt 0,796e -jπ/2 = 3,98e j(ωt-π/2) V = 3,98 -π/2 V. U = U R + U L + U C, dla t = 0: U = 2,5 V + 1,57[jsin(0 + π/2)] V + 3,98[jsin (0 - π/2)] V =[2,5 + j1,57 - j3,98] V = 2,5 V j 2,41 V. Arctan(-2,41/2,5) = -0,767rad. (2,5 2 + 2,41 2 ) 0,5 =3,47 -> U = 3,47e j(ωt - 0,767) V= 3,47-0,767 V.
U = 3,47e j(ωt - 0,767) V graficzna ilustracja tego wyniku : -> Wykresy wskazowe Wskaz, fazor (ang. phasor) jest liczbą zespoloną Ae jφ i wektorem na płaszczyźnie zespolonej reprezentującym sinusoidalny przebieg Acos(ωt +Φ). Np. u(t) = U max cos(ωt +Φ) = Re[U max e j(ωt +Φ) ] = Re[U max e jφ e jωt ]. Wskazem napięcia jest tu U max e jφ (taki wskaz bywa zapisywany jako: U max Φ) czyli jest to zespolona postać napięcia U w pewnej dogodnej chwili t (zwykle t = 0). Zatem wykres wskazowy do poprzedniego przykładu można przedstawić jak obok:
Podkreślmy, że fazorem (wskazem) F = F m e jφ nazywamy wielkość zespoloną, która reprezentuje funkcję sinusoidalnie zmieniającą się w czasie. Zbiorem wartości F = F m e j(ωt+φ) jest okrąg o promieniu F m ze środkiem w początku układu płaszczyzny zespolonej (Re, Im). Wykresem wskazowym nazywamy graficzną prezentację napięć i prądów sinusoidalnych w danym układzie prądu zmiennego o zadanej częstotliwości. Wykres ilustruje wielkości amplitud prądów i napięć oraz ich relacje fazowe w układzie w stanie stacjonarnym (tj. po czasie od włączenia źródeł znacznie dłuższym od okresu oscylacji T). Pojedynczy wykres dotyczy jednej wybranej częstotliwości. Wykresy wskazowe są też graficzną ilustracją równań jakie dają nam prawa Kirchhoffa oczywiście zapisane w postaci zespolonej. Dlatego początkujący często wykreślają wskazy na płaszczyźnie zespolonej z zaznaczonymi osiami Im i Re. W rzeczywistości na takiej płaszczyźnie wszystkie wektory powinny wirować zgodnie z pulsacją ω, natomiast wykres jest uchwyceniem ułożenia wektorów w określonej, dogodnej chwili (np. gdy jakiś prąd lub napięcie przechodzi przez swoje maksimum). Z wykresu znajdujemy relacje między długościami wektorów (tj. amplitudami) napięć i prądów oraz ich względne przesunięcia fazowe. Wykresy wskazowe są szeroko stosowane w elektrotechnice (tu zamiast amplitud można spotkać wartości skuteczne przy analizie przekazu mocy). Przy analizie filtrów mogą stanowić dogodną ilustrację relacji między sygnałem wejściowym i wyjściowym danego filtra dla wybranej częstotliwości.
Ważne! W przykładach, w których zastosujemy zapis wielkości w postaci zespolonej należy zauważyć, że: 1) Do zapisu równań będących prawami Kirchhoffa wstawiamy wszystkie napięcia, prądy i impedancje w postaci zespolonej. Prawa Kirchhoffa nie obowiązują dla wartości skutecznych i dla modułów czyli amplitud. Oczywiście po napisaniu równania możemy wziąć moduły obu stron (całych stron!). 2) Gdy prawo Ohma jest treścią równania (jedna wielkość = iloczyn lub iloraz dwu innych) to możemy go zapisać nie tylko dla wielkości zespolonych ale również dla modułów i dla wartości skutecznych.
Przykład 3.2. Obliczyć zawadę układu oraz natężenie prądu po przyłożeniu Napięcia U = 240cos(314t). Rozw. Z = X L + R + X C = R + jωl j/ωc = 1Ω + j(ω10-6 - 1/ω10-6 )Ω = 1Ω + j(3,1410-4 - 1/(3,14 10-4 ))Ω =1Ω + j3183ω = 3183 89,98 Ω. I = U/Z = 240 0 / 3183 89,98 A = 75,4mV -89,98 A. Przykład 3.3. Obliczyć zależność zawady od ω. Rozw. Z = X L + X C R/(R + X C ) = jωl j(r/ωc)/(r j/ωc) = jω j(10 12 /ω)/(10 6 j10 6 /ω) = jω j10 6 /(ω j) = 10 6 /(ω 2 + 1) + jω(1 10 6 /(ω 2 + 1)).
Przykład 3.4. Znajdź zastępczy układ Thevenina podanego układu. Rozw. Z punktu widzenia zacisków: Z 1 II Z 2, Jeżeli Z 1 i Z 2 są równoległe to Z T obliczymy ze wzoru na zastępczą impedancję połączenia równoległego:
czyli: Im(I ) = - Im(I ). Równoległy obwód RLC. Aby wyznaczyć częstotliwość rezonansową tego układu pomożemy sobie wykresem wskazowym, na którym umieścimy prądy i niektóre napięcia w tym obwodzie. Wymuszenie: u = U 0 e j(ωt + 0), I C = u/(-j/ωc) = juωc, I RL = u/(r + jωl) = u(r - jωl)/(r 2 + ω 2 L 2 ) Wybierając moment gdy u jest czysto rzeczywiste czyli wektor u leży na osi Re narysujemy: u = u = U 0, I RL = u(r - jωl)/(r 2 + ω 2 L 2 ) I C = juωc, Re(I RL ) = ur/(r 2 + ω 2 L 2 ) Im(I RL ) = -uωl/(r 2 + ω 2 L 2 ). Z wykresu wskazowego widać, że dla uzyskania zgodności fazy wypadkowego prądu (czyli sumy I C i I RL ) z fazą napięcia wymuszającego Im(I C ) + Im(I RL ) = 0
Równoległy obwód RLC. I RL = u(r - jωl)/(r 2 + ω 2 L 2 ) I C = juωc, Re(I RL ) = ur/(r 2 + ω 2 L 2 ) Im(I RL ) = -uωl/(r 2 + ω 2 L 2 ). Im(I C ) = Im(I RL ) Im(I C ) = -Im(I RL ) uωc = uωl/(r 2 + ω 2 L 2 ); C = L/(R 2 + ω 2 L 2 ); R 2 + ω 2 L 2 = L/C ω 2 L 2 = L/C R 2 ω 2 = 1/LC R 2 /L 2 ω r = (1/LC R 2 /L 2 ) 1/2
6. Narysuj wykres wskazowy i obliczyć wartości przepięcia w rezonansie układu dla R = 1 Ω, i R = 0,1 Ω przy zasilaniu napięciem o amplitudzie 1 V. 7. Znajdź częstotliwość rezonansową dla układu. E-E-M. Lista-03 1. Mając dwie liczby zespolone A = 3 + j3, B = 1 + j 3, oblicz AB oraz A/B. 2. Narysować wykres wskazowy dla szeregowo połączonych rezystora 10Ω i kondensatora 1mF, przez które płynie prąd I = 2sin(2π50t) A. Oblicz całkowite napięcie przyłożone do układu RC oraz różnice faz między prądem i wszystkimi napięciami. 3. Do indukcyjności L = 1 mh o rezystancji uzwojenia 1Ω należy dołączyć szeregowo kondensator tak aby uzyskać rezonans dla częstotliwości 1MHz. Narysować wykres wskazowy dla zasilania napięciem U = 1Vsin(2π10 6 t). 4. Obliczyć zawadę układu dla częstotliwości kątowej (pulsacji) 1rad/s i 1Mrad/s. Obliczyć różnicę faz między przyłożonym napięciem a prądem w tym układzie. 5. Oblicz zawadę układu dla pulsacji 1rad/s i 1Mrad/s. Oblicz różnicę faz między napięciem i prądem w tym układzie.
Dodatek dla opornych. Co znaczą następujące zapisy? 1) I = Icos(ωt +β) = I amplituda cos(ω pulsacja t czas + β kąt początkowy dla t = 0s ) jest to zapis kosinusoidalnego (sinusoidalnego) przebiegu natężenia prądu. 2) I = Icos(ωt +β) + jisin(ωt +β) = Ie j(ωt +β) oznacza ten sam prąd co w punkcie poprzednim ale zapisanym w postaci zespolonej pozwalającej łatwo czynić poprawne obliczenia! Jeżeli zamiast informacji, że I = 5cos(ωt + π/2) otrzymamy informacje że w pewnej chwili t = 0 s prąd miął natężenie I = 0 A to nie wiemy czy w następnych chwilach prąd będzie niezerowy. Gdy jednak informacją będzie, że danej chwili I = 0 + j5 [A] = j5 A to wiemy, że chociaż teraz I = 0 A to po chwili już I 0 A, a w pewnej chwili będzie 5 A!!!
Na elementach obwodu prądu sinusoidalnie zmiennego występują napięcia dające się zapisać jako U = U max cos(ωt+φ). Funkcje takie możemy traktować jako części rzeczywiste periodycznych funkcji zespolonych U = U max e j(ωt+φ) czyli U = Re(U = U max e j(ωt+φ) ). Gdy tak zapisane napięcie pojawi się na kondensatorze to z relacji między prądem i napięciem dla kondensatora: I = CdU/dt wynika, że dla prądów zmiennych impedancja kondensatora czyli współczynnik ( proporcjonalności ) między prądem i napięciem wyraża się funkcją zespoloną: Z C = X C = 1/jωC. bo podstawiając zespoloną postać napięcia: U = U m e j(ωt+φ) do wyrażenia I = CdU/dt otrzymujemy: I = CjωU, mamy mnożenie zamiast pochodnej! Z tego, że I = CjωU mamy: U = I/jωC, U = (1/jωC)I, albo krócej: U = X C I, X C = 1/jωC
U = X C I jest prawem Ohma dla kondensatora zapisanym przy pomocy funkcji zespolonych! Mamy to dzięki temu, że operator różniczkowania działając na e jωt daje tyle co proste pomnożenie przez stałą jω (tj. współczynnik przy t wykładnika w e jωt ) *. W dziedzinie liczb zespolonych mnożenie daje, oprócz zmiany modułu, również obrót wektora! Wielkość 1/jωC nazywamy reaktancją (lub impedancją) kondensatora. Zespolony spadek napięcia na idealnym kondensatorze jest iloczynem zespolonego natężenia prądu i impedancji X C (czysto urojonej). Istotną wadą rzeczywistych kondensatorów jest ich upływność i tzw. straty w dielektryku a dla prądów o wysokiej częstotliwości dodatkowy problem stanowi indukcyjność doprowadzeń i okładek. * Do zamiany równań różniczkowo-całkowych na równania algebraiczne w wielu dziedzinach techniki stosowana jest transformata Laplace a. W bieżącym wykładzie ograniczamy się do stosowania liczb zespolonych.