Zastosowanie modelu Svenssona w procesie modelowania krzywej dochodowości polskich papierów skarbowych

Przemysław Sepielak Krzysztof Borowski Zastosowanie modelu Svenssona w procesie modelowania krzywej dochodowości polskich papierów skarbowych Wstęp Zagadnienie estymacji krzywej dochodowości spotyka się z szerokim zainteresowaniem zarówno ze strony sektora naukowobadawczego jak i instytucji operujących na rynku finansowym: bankowości centralnej, bankowości inwestycyjnej i komórek zarządzania ryzykiem (middle office). Krzywa ta jest wykorzystywana do badań nad strukturą terminową stóp procentowych rynku dłużnego, pomiaru rynkowych oczekiwań dotyczących przyszłego poziomu stóp procentowych, wyceny instrumentów finansowych i identyfikacji różnic między ceną rynkową a ceną teoretyczną [Bolder, Stréliski, 1999, s. 1]. Możliwość określenia całej struktury terminowej znajduje również zastosowanie w procesie: immunizacji portfela obligacji, kalibracji krzywych do oszacowania wartości VaR tego portfela, kalkulacji struktury ryzyka stopy procentowej. Krzywa struktury terminowej może być wykorzystana też jako dane wejściowe dla różnego rodzaju modeli matematycznych, w tym np. dla modeli afinicznych [Annaert i inni, 2012, s. 1]. Dostępność cen obligacji z rynku nie pozwala jednak na budowę pełnej struktury terminowej. Kwotowane ceny stanowią zaledwie pojedyncze punkty danych, od których rozpoczyna się proces estymacji ciągłej krzywej dochodowości dla dowolnych zapadalności. Pomimo braku ściśle naukowego uzasadnienia dla wyboru określonej metody konstrukcji krzywej i opieraniu się na technikach dopasowywania ciągłej krzywej do zbioru punktów (tzw. curve-fitting techniques), otrzymane struktury terminowe stóp procentowych okazują się powszechnie akceptowane wśród podmiotów wskazanych wyżej sektorów. Celem niniejszego opracowania jest opis konstrukcji zerokuponowej funkcji dochodowości dla rynku polskich papierów skarbowych przy pomocy wybranego modelu estymacji. Struktura opracowania jest następująca: w części wprowadzającej omówione zostaną najczęściej proponowane w literaturze przedmiotu rodziny modeli estymacji krzy-

2 wpis redakcji - A wej dochodowości. Następnie szczegółowo scharakteryzowana zostanie grupa tzw. modeli oszczędnych, w tym model Nielsona-Siegla oraz jego rozszerzenie, tj. model Svenssona, który wybrany został do przeprowadzenia badania empirycznego. Kolejną część pracy stanowi opis założeń przyjętych w zaimplementowanym modelu estymacji oraz charakterystyka algorytmu optymalizacyjnego stworzonego do budowy krzywej. Podane następnie wyniki badania empirycznego opisują dynamikę krzywej dochodowości polskich papierów skarbowych w 2012 r. oraz ekonomiczną interpretację parametrów funkcji dochodowości. Pracę podsumowują wnioski dotyczące przydatności modelu Svenssona na rynku polskich papierów skarbowych. 1. Modele estymacji krzywej dochodowości Przy budowie struktury terminowej do najważniejszych problemów jakie należy wziąć pod uwagę należą kwestie dotyczące estymacji - takie jak: wybór modelu, konstrukcja algorytmu optymalizującego parametry funkcji dochodowości oraz kwestia odpowiedniego doboru danych rynkowych [Bolder, Stréliski, 1999, s. 2]. Dane dostępne na rynku finansowym umożliwiają pozyskanie cen obligacji o określonej zapadalności i kuponie, na podstawie których szacowana jest struktura terminowa dochodowości instrumentów dłużnych, a następnie implikowane mogą być oczekiwania uczestników rynku finansowego odnoszące się do przyszłych poziomów stóp procentowych. W literaturze przedmiotu zaproponowanych zostało wiele technik estymacji krzywej dochodowości. Wybór konkretnej metody w dużej mierze zależy od planowanego zastosowania otrzymanej krzywej. Przykładowo, dla banku centralnego jednym z kluczowych wymagań dotyczących estymowanej krzywej jest wiarygodna prezentacja rynkowych oczekiwań przyszłych stóp procentowych, pomocna przy prowadzeniu polityki pieniężnej. W tym przypadku nie ma potrzeby wyceny instrumentów finansowych dla celów transakcyjnych, co oznacza, że wybrana krzywa powinna mieć łatwo interpretowalną formę i naturalność przy doborze parametrów, kosztem ewentualnego słabszego dopasowania do każdej dostępnej danej. Przy wyborze metody konstrukcji krzywej istotne jest uwzględnienie kryteriów jej racjonalności, takich jak [Świętoń, 2002, s. 57-58]: 1. Gładkość - oznaczająca względnie jednostajną monotoniczność i małą liczbę punktów ekstremalnych wzdłuż krzywej. Większa gładkość

wpis redakcji - T 3 oznacza zazwyczaj słabsze dopasowanie do danych empirycznych (i na odwrót, krzywa lepiej dopasowana do danych może okazać się mniej gładka). W przypadku banków centralnych, gładka krzywa pozwala na otrzymanie względnie jednorodnych oczekiwań odnośnie przyszłego zachowania stóp procentowych. Można to również ująć następująco: model powinien unikać nadmiernej ilości krzywizn, aby funkcja dochodowości przybierała jeden z czterech podstawowych kształtów (pozytywny, negatywny, płaski, z garbem) [Dziwok, 2008]. 2. Giętkość (elastyczność) możliwość odzwierciedlenia zmian zachodzących w strukturze cen papierów, zachodzących pod wpływem modyfikacji oczekiwań uczestników rynku. Cecha ta ma największe znaczenie na krótkim końcu krzywej, gdzie pod wpływem napływu informacji występują częstsze zmiany oczekiwań krótkoterminowych. 3. Stabilność model powinien zapewniać umiarkowany wpływ zmiany pojedynczej obserwacji (ceny jednej z obligacji) na przebieg całej krzywej. Ważne jest zwłaszcza, aby zmiana określonej ceny nie wpływała istotnie na segmenty krzywej położone z dala od tej obligacji. Spełnienie tego wymagania może stać w opozycji w stosunku do dwóch poprzednich kryteriów. Nie jest jednak możliwe, aby otrzymana krzywa dochodowości wypełniała w wysokim stopniu wszystkie powyższe kryteria jednocześnie. Spełnianie w znacznym stopniu jednej z własności, może implikować, że inna własność będzie spełniona w stopniu umiarkowanym. Jak już zostało wspomniane, dobór poszczególnych cech krzywej może wtedy stanowić efekt kompromisu i zależeć od jej zastosowania. Postuluje się jednakże, aby w każdym przypadku zastosowania dobry model umożliwiał otrzymanie krzywych spełniających tzw. historyczne fakty stylizowane dla rynkowych rentowności [Diebold, Li, 2006, s. 343-344]: 1. Krzywa dochodowości w sensie średnim jest rosnąca i wklęsła. 2. Krzywa może przyjmować różne kształty i być płaska, rosnąca, malejąca, z garbem lub z odwróconym garbem. 3. Krzywa cechuje się mniejszą dynamiką swojego ogólnego poziomu, natomiast większa może być zmienność jej nachylenia, spreadu pomiędzy poszczególnymi jej segmentami. 4. Krótki koniec krzywej jest bardziej zmienny niż długi, poziomy długich stóp cechują się większą trwałością niż krótkich.

4 wpis redakcji - A Modele służące do estymacji krzywej dochodowości podzielić można na kilka głównych rodzin, wśród których najczęściej wymienia się modele regresyjne, wielomianowe, sklejane i oszczędne. Przed dokładną charakterystyką modelu wybranego do estymacji, warto scharakteryzować pokrótce każdą z najważniejszych grup modeli. Oprócz ogólnego wprowadzenia do techniki estymacji krzywej dochodowości, ułatwi to również uzasadnienie wyboru modelu użytego w niniejszym opracowaniu. Modele regresyjne, stanowiące najprostszy sposób estymacji, opierają się na dopasowaniu krzywej modelowej do znanych rentowności obligacji za pomocą techniki regresji. Jako przykłady tych modeli można wymienić modele Bradley a-crane a, Elliota-Echolsa czy Dobbiego- Wilkiego. Modele te na skutek prostej budowy nie pozwalają na oddanie wszystkich kształtów jakie przyjmuje krzywa rynkowa, a szacowane parametry mogą podlegać dużej zmienności. Dodatkowo, przyjmowanie rentowności jako punktu wyjścia dla oszacowań implikuje problem związany z tzw. coupon effect. Wynika on z faktu, że obligacje o tej samej zapadalności a o różnych kuponach mogą implikować różne rentowności, wobec czego przepływ pieniężny dla danej daty nie byłby dyskontowany jedną stopą procentową. Ponadto zaburzenia krzywej generowane na podstawie rentowności wynikały z faktu, że im wyższy kupon obligacji, tym większa waga przypisywana wczesnym płatnościom, co z kolei oznacza w oszacowaniach większe znaczenie stóp z początku krzywej [Stander, 2005, s. 39]. Modele wielomianowe do określenia postaci funkcji dyskontowej wykorzystują pojedynczy wielomian. Kluczowym wyborem przy konstrukcji takiego modelu jest określenie stopnia wielomianu. Wiadomo, że im wyższy będzie jego stopień, tym lepiej będzie przybliżał funkcję dochodowości, ale zbyt wysoki stopień może generować ekstrema funkcji pomiędzy obserwacjami empirycznymi, co przeczy racjonalności ekonomicznej. Z kolei zbyt niski stopień wielomianu pogarsza jakość dopasowania na odcinkach o niższej koncentracji obligacji, czyli poza krótkim końcem krzywej [Świętoń, 2002, s. 59]. Modele funkcji sklejanych (spline-based models) zaproponowane przez McCullocha stanowiły odpowiedź na niedostatki modeli wielomianowych poprzez przyjęcie bardziej wysublimowanej procedury. Polega ona na podzieleniu krzywej na segmenty, estymację każdego segmentu oddzielną funkcją i finalnym połączeniu ich w jedną funkcję, któ-

wpis redakcji - T 5 ra powinna spełniać warunek ciągłości i różniczkowalności. Poprzez przybliżenie jednego wielomianu wyższego stopnia wielomianami składowymi niższego stopnia generowane są krzywe charakteryzujące się względnie większą stabilnością przy podobnym stopniu dopasowania. Jedną z częściej proponowanych metod jest funkcja oparta o wielomiany trzeciego stopnia (cubic spline methods). Warto zauważyć, że łączenie wielomianów w punktach węzłowych (knot points) wymaga aby były one sobie równe w tych punktach, podobnie jak ich pierwsze i drugie pochodne [Świętoń, 2002, s. 59]. Rezultatem tych modeli mogą być jednak ujemne stopy forward. Nawet nałożenie zapobiegających temu ograniczeń nie eliminuje problemu niestabilności krzywych przyszłych stóp procentowych [Stander, 2005, s. 43]. Istotną kwestią przy budowie modelu funkcji sklejanych jest odpowiedni dobór liczby punktów węzłowych. McCulloch podaje, że zbyt mała liczba punktów węzłowych uniemożliwia dobre dopasowanie funkcji dyskontowej do danych przy bardziej skomplikowanych kształtach, a zbyt duża ich liczba sprawia, że krzywa modelowa ulega zbytniemu wpływowi obserwacji nietypowych. Zasugerował też, aby liczbę punktów węzłowych definiować jako liczbę całkowitą najbliższą pierwiastkowi z liczby obligacji w zbiorze danych [McCulloch, 1971, s. 31]. Dodatkowym problemem wynikającym z tego typu procedury estymacji mogą być zmiany w pozycji węzłów zachodzące jedynie wobec zmian w zbiorze dostępnych obligacji w związku z emisją nowych obligacji i zapadalnością poprzednich serii. Mogą one modyfikować całą modelowaną strukturę terminową bez szczególnego uzasadnienia w zmianie rzeczywistej krzywej. Rozwinięciem tej metody są modele wygładzanych funkcji sklejanych (smoothing spline methods), które wprowadzają restrykcję ograniczającą nadmierną elastyczność modelu, jeśli występuje ona kosztem pogorszenia gładkości funkcji i niestabilnych parametrów [Stępniak, Zieliński, 2000, s. 8-9]. Ograniczenie to uwzględnia się w modelu poprzez dodanie do funkcji celu oceny stopnia krzywizny funkcji, mierzonej kwadratem wartości drugiej pochodnej funkcji wzdłuż krzywej. Wśród stosowanych kryteriów gładkości warto wymienić model zaproponowany przez Waggonera, w którym parametr krzywizny jest zmienny (variable roughness penalty) i zależy od zapadalności, co oznacza dopuszczenie większej krzywizny na krótkim końcu krzywej [Waggoner, 1997, s. 5].

6 wpis redakcji - A Finalnie, ostatnią popularną w literaturze grupą modeli są modele oszczędne skonstruowane dla estymacji chwilowej stopy terminowej, zapewniające poprawną postać zarówno funkcji dyskontowej, jak i forward. W modelach tych używa się niewielkiej liczby parametrów, a ich wartości można interpretować. Do tej rodziny należy model Nelsona- Siegla oraz jego rozwinięcia, takie jak model Svenssona. Dzięki licznym zaletom tych modeli, zostały one wybrane do implementacji i zostaną szczegółowo omówione w dalszej części pracy. 2. Charakterystyka modelu Nelsona-Siegla i Svenssona Rodzina modeli, do której zalicza się zarówno model Nelsona- Siegla [Nelson, Siegel, 1987], jak i model Svenssona [Svensson, 1994] określana jest mianem modeli oszczędnych (parsimonious models) ze względu na niewielką liczbę parametrów występujących w analitycznej postaci funkcji. Modele te zostały stworzone z myślą o estymacji struktury stóp procentowych rynku obligacji, dzięki czemu parametry funkcji posiadają interpretację ekonomiczną. Pozwalają one także na bezpośrednie modelowanie stóp forward. Modele te cechuje również potencjał dostosowania się do różnego rodzaju kształtów krzywej spotykanych na rynku. Do innych zalet modeli oszczędnych należy proces estymacji oparty o przepływy pieniężne, a nie samą strukturę rentowności, dzięki czemu można uniknąć wspomnianego problemu związanego z tzw. coupon effect [Bolder, Stréliski, 1999, s. 40-41]. Krzywe otrzymane w tych modelach mogą przybierać wiele kształtów spotykanych na rynku. Również krzywa dyskontowa otrzymywana w tej rodzinie modeli realizuje podstawowe własności krzywej dyskontowej, które nie zawsze były spełnione w pozostałych modelach, np. równość jedności dla terminu wynoszącego zero, a w nieskończoności zmierzanie wartości funkcji do zera. Z kolei podstawową niedogodnością związaną z estymacją dla tej grupy modeli jest czasochłonna procedura optymalizacji funkcji celu, ze względu na występowanie ekstremów lokalnych funkcji. Oznacza to konieczność doboru odpowiednio stabilnego algorytmu i badania wielu zestawów parametrów startowych. Całkowitą pewność uzyskania prawdziwego minimum globalnego można uzyskać teoretycznie dopiero po zbadaniu nieskończenie wielu zestawów parametrów z dziedziny funkcji. Modele Nelsona-Siegla i Svenssona bazują na koncepcji chwilowej stopy terminowej (instantaneous forward - stopy procentowej dla przy-

wpis redakcji - T 7 szłych okresów, dla której czas inwestycji zmierza do zera). Dzięki temu umożliwiają obliczenie implikowanej stopy forward, czyli oczekiwań względem przyszłych poziomów stóp procentowych, i posiadają wyjątkową zaletę generowania gładkiej krzywej stóp terminowych. Postać funkcji stosowanej w modelu Nelsona-Siegla wygląda następująco [Nelson, Siegel, 1987, s. 475]: T T T f ( T ) = α0 + α1 exp + α 2 exp (1) β1 β1 β1 gdzie: f(t) chwilowa stopa terminowa dla inwestycji o początku w czasie T α0, α1, α2, α3, β1, β2 estymowane parametry funkcji o podanej poniżej interpretacji Odpowiadając na krytykę modelu Nelsona-Siegla dotyczącą niewystarczającej elastyczności funkcji, Svensson zaproponował dodanie kolejnego składnika, który pozwala na uzyskanie większego spektrum obserwowanych kształtów poprzez potencjał generowania drugiego garbu 1. Wzór na stopę natychmiastową forward w modelu Svenssona przedstawia się następująco [Svensson, 1994, s. 6]: T T T T T f ( T ) = α 0 + α1 exp + α 2 exp + α 3 exp (2) β1 β1 β1 β 2 β 2 Aby na podstawie wzoru (2) otrzymać wzór dla stóp zerokuponowych, można wykorzystać fakt, że stopa zerokuponowa jest średnią z natychmiastowych stóp forward [Nelson, Siegel, 1987, s. 475]: T f ( u) du r( T ) = 0 (3) T gdzie r(t) stopa zerokuponowa dla inwestycji o czasie trwanie równym T Po dokonaniu odpowiednich przekształceń 2 otrzymujemy postać parametryczną krzywej dochodowości dla stóp zerokuponowych w modelu Svenssona [Svensson, 1994, s. 6]: 1 Należy jednak pamiętać, że zwiększenie elastyczności odbywa się na ogół kosztem ograniczenia stabilności krzywej. 2 Szczegóły przekształceń można odnaleźć w [Bolder, Gusba, 2002, s. 52-54].

8 wpis redakcji - A T T 1 exp 1 exp β1 β1 T f ( T ) = α + 0 + α1 + α 2 exp T T β 1 β 1 β1 (4) T 1 exp β 2 T + α 3 exp T β 2 β 2 Poszczególne parametry równania (4) można zinterpretować następująco [Meier, 1999, s. 10-12]: 1. α0 oznacza rentowność obligacji wieczystej (o zapadalności zmierzającej do nieskończoności) i odpowiada za poziom krzywej (zagadnienie to zostanie omówione w dalszej części artykułu). Jest to stopa, do której krzywa zbiega asymptotycznie, gdy zapadalność obligacji zmierza do nieskończoności. Można pokazać, że: lim r( T ) = α T + 2. Suma α0 + α1 to nieskończenie krótka stopa procentowa 3, w praktyce interpretowana niekiedy jako stopa overnight, dla której zachodzi warunek, że: lim r ( T ) = α + α T 0 Nie należy jednak utożsamiać jej ściśle ze stopą O/N rynku pieniężnego, pamiętając, że modelowa nieskończenie krótka stopa procentowa estymowana jest wyłącznie na podstawie rynku obligacji. 3. α1 to spread między nieskończenie długą a nieskończenie krótką stopą procentową i odpowiada za nachylenie krzywej. Dla α1 mniejszego od zera nachylenie krzywej jest pozytywne, natomiast α1 większe od zera oznacza ujemne nachylenie krzywej. 4. α2 i α3 opisują krzywiznę funkcji, absolutna wartość tych parametrów decyduje o wielkości garbu na danych odcinkach krzywej, a znak o ich kierunku. 5. Relacja α1/α2 i α1/α3 decyduje czy funkcja osiąga ekstrema lokalne. Jeżeli jest ona co do modułu mniejsza niż 1, to w danych punktach 0 0 1 3 W analogicznym ujęciu jak ma to miejsce w rachunku różniczkowym czy całkowym.

wpis redakcji - T 9 może występować maksimum (dla dodatniego parametru α2 lub α3) albo minimum (dla ujemnego parametru α2 lub α3). 6. β1 i β2 odpowiadają za rozmieszczenie garbów wzdłuż krzywej [Kliber, 2009, s. 117]. Funkcję Nelsona-Siegla można zdekomponować na części składowe, z których każda wpływa na kształt określonego sektora krzywej. Komponent długoterminowy, równy parametrowi α0, jako niezależny od czasu wskazuje na długoterminowy poziom stopy procentowej. Komponent krótkoterminowy, równy: T 1 exp β 1 α1 T β oddziałuje na krótki koniec krzywej i zależnie od znaku parametru, określa czy nachylenie krzywej jest malejące czy rosnące. Komponent średnioterminowy: α i+ 1 1 T 1 exp β i T exp T β i β i dla i=1 w przypadku modelu Nelsona-Siegla oraz i {1,2} dla modelu Svenssona, może generować garb w środku krzywej, natomiast dla początku i końca krzywej równy jest zero. W przypadku modelu Svenssona występują dwa komponenty średnioterminowe, które pozwalają na uzyskanie dwóch garbów wzdłuż krzywej, a które znikają na końcach krzywej (tzn. ich wartości zmierzają do zera przy czasie zmierzającym zarówno do zera, jak i do nieskończoności). Wpływ poszczególnych komponentów na krzywą dochodowości ilustruje rysunek 7 oraz rysunek 8 w Załączniku 1. 3. Przyjęta funkcja celu Założenia opisujące konstrukcję funkcji celu, jak również kryteria dotyczące algorytmu optymalizacyjnego, opisane w rozdziale 4, opracowane zostały w oparciu o praktykę przyjętą w literaturze tematu, jak również na podstawie wcześniej dokonanych testów różnych form mo-

10 wpis redakcji - A delu estymacji krzywej dochodowości. Przyjęty w badaniu model Svenssona jest często wykorzystywany przez banki centralne na potrzeby realizacji polityki pieniężnej 4. Należy jednak zaznaczyć, że założenia optymalizacyjne wykraczają poza konstrukcję samego modelu Svenssona, który dotyczy budowy postaci funkcyjnej krzywej dochodowości. W przeprowadzonym badaniu estymowana krzywa dochodowości dopasowana została do krzywej empirycznej poprzez minimalizowanie zadanej funkcji celu, która została określona jako pierwiastek ze średniej ważonej błędów modelu. Poprzez błąd modelu rozumie się tutaj kwadrat różnicy między ceną brudną obligacji (ceną rynkową powiększoną o narosłe odsetki) a ceną obliczoną na podstawie modelu. Jako pierwotne wagi błędów, zmieniające się dla każdego badanego dnia roboczego, przyjęto odwrotności modified duration 5 obligacji. Konieczność wprowadzenia założenia dotyczącego różnych wag w przypadku estymacji dokonywanej na cenach obligacji wynika z właściwości, że wraz z coraz dłuższym terminem zapadalności rośnie wrażliwość ceny na zmianę rentowności. Dzięki przyjęciu odpowiednio mniejszych wag dla obligacji o dłuższych terminach zapadalności, kwotowania wszystkich uwzględnionych instrumentów mają zbliżony wpływ na kształt estymowanej krzywej, co stanowi pokonanie problemu heteroskedastyczności występującego w błędach cen. Bez przyjęcia różnych wag krzywa byłaby zbyt dokładnie dopasowana na długim końcu, kosztem gorszego dopasowania na krótkim końcu krzywej dochodowości. Niska wartość obrotu danym instrumentem dłużnym prowadzi do powstania mniej wiarygodnych kwotowań, co może wpływać na gorszą jakość estymacji. Problem ten pojawia się np. dla obligacji bliskich swojej zapadalności. Rozwiązaniem w tym przypadku może być usunięcie obligacji ze zbioru branego pod uwagę do estymacji [BIS, 2005, s. viii]. Dodatkowo, wydaje się, że problem gorszych kwotowań dla mniej popularnych obligacji można uwzględnić biorąc pod uwagę określoną miarę płynności obligacji jako składnik jej wagi w konstrukcji funkcji celu. Na 4 Opis metod wykorzystywanych przez banki centralne można znaleźć w [Bank for International Settlements, 2005]. 5 Modified duration (MD) to wskaźnik określający wrażliwość ceny obligacji na zmiany rynkowych stóp procentowych. MD wskazuje, że dla obligacji o dłuższym czasie do wykupu określona zmiana ceny ma większy wpływ na zmianę rentowności niż w przypadku obligacji o krótszej zapadalności. MD stanowi liniowe przybliżenie rzeczywistej nieliniowej zależności między ceną a rentownością obligacji [Jajuga, Jajuga, 2012, s.128-138].

wpis redakcji - T 11 opisane wyżej pierwotne wagi (stanowiące odwrotność modified duration) została nałożona korekta uwzględniająca płynność obligacji, wyrażona jako względny rozmiar jej aktualnej emisji. Dzięki temu eliminowany jest potencjalny wpływ instrumentów niepłynnych, których ceny mogą kształtować się pod wpływem pojedynczych transakcji. Korekta ta polega na przemnożeniu pierwotnej wagi przez relację wielkości emisji danego papieru do średniej wielkości emisji obligacji skarbowych. Ostatecznie, skorygowana waga ma postać: 1 emisjai wi = (7) MD 1 i n i = emisja 1 i n gdzie: wi skorygowana waga przypisana obligacji i MDi modified duration obligacji i emisjai wielkość emisji (w PLN) obligacji i n liczba obligacji wchodzących w skład fixingu SPW. Funkcja celu, która jest minimalizowana w procesie estymacji została na potrzeby tego opracowania skonstruowana w postaci 6 : gdzie: n w i= 1 i n i= 1 ε w i 2 i min εi różnica między ceną modelową a rynkową obligacji i (tzw. błąd modelu). 4. Wybór zakresu danych i algorytmu optymalizacyjnego Estymacja funkcji dochodowości została przeprowadzona dla każdego dnia roboczego w 2012 r., tj. w okresie od 2 stycznia 2012 r. do 28 grudnia 2012 r., w oparciu o model Svenssona na podstawie cen obligacji Skarbu Państwa o stałym oprocentowaniu 7. Ceny obligacji pochodzą z Fixingów Skarbowych Papierów Wartościowych mających miejsce o godzinie 16:30. Spośród wszystkich obligacji dostępnych w 2012 r. nie uwzględniony został papier o najdłuższej zapadalności wśród wyemitowanych stałokuponowych obligacji skarbowych, zapadający 25 kwiet- (8) 6 Funkcja celu pod pierwiastkiem podzielona została przez sumę współczynników przy εi, aby zapewnić sumowanie się wag do 1. 7 Wzięto pod uwagę obligacje hurtowe, denominowane w PLN i emitowane na rynek krajowy.

12 wpis redakcji - A nia 2037 r., gdyż nie znajduje się on na liście obligacji fixingowych. Warto również zauważyć, że ze względu na niską wartość emisji i wysoką modified duration wspomnianej obligacji WS0437 wyłączenie tego papieru ma marginalne znaczenie dla ostatecznego kształtu estymowanej krzywej. Lista obligacji wykorzystanych w modelu została zamieszczona w tablicy 1 w załączniku 2. Należy zaznaczyć, że pewnym ograniczeniem badania jest brak wiarygodnych danych dotyczących instrumentów o krótkim pozostałym czasie trwania. Obligacje zapadające w najbliższym nadchodzącym standardowym dniu zapadalności SPW 8 wyłączane są z listy fixingowej, natomiast ich ceny rynkowe podawane np. przez system Reutera ulegają znacznym wahaniom. Z kolei w przypadku bonów skarbowych brak jest cen fixingowych, emisje przeprowadzane są stosunkowo rzadko, a kwotowania dostępne w systemach informacyjnych nie zmieniają się przez dłuższe okresy. Na skutek tego bony skarbowe nie zostały uwzględnione w portfelu instrumentów wykorzystanych w badaniu. W związku z wspomnianymi ograniczeniami początek krzywej estymowany jest w oparciu o parametry oszacowane na podstawie cen obligacji o dłuższej zapadalności, wynoszącej co najmniej trzy miesiące. Istotnym elementem algorytmu optymalizacyjnego jest przyjęcie przedziałów, w jakich mogą znajdować się poszczególne parametry funkcji dochodowości. W przeprowadzonym badaniu założono, że: 1. Dla stopy długoterminowej górnym ograniczeniem jest maksymalna w analizowanym okresie rentowność obligacji o najdłuższej zapadalności, powiększona o dwa odchylenia standardowe. Analogicznie, dolnym ograniczeniem stopy długoterminowej jest minimalna rentowność najdłuższej obligacji w zbiorze danych pomniejszona o dwa odchylenia standardowe. 2. Stopa krótkoterminowa jest nieujemna. 3. Krótki koniec krzywej jest bardziej giętki niż długi, co jest osiągane poprzez dobór ograniczeń dla parametrów α2 i α3. 4. Ewentualny pierwszy garb krzywej może występować nie dalej niż na średnim końcu krzywej (do 5 lat, parametr β1), zaś drugi dla zapadalności do 10 lat (parametr β2) 9. 8 Obecnie jest to 25. dzień stycznia, kwietnia, lipca i października każdego roku. 9 Położenie garbu na krzywej i odpowiedni dobór parametru β omawia się m.in. w [Diebold, Li, 2006, s. 341-342].

wpis redakcji - T 13 Do poszukiwania globalnego minimum funkcji celu zastosowano algorytm oparty o funkcję GlobalSearch z pakietu Global Optimization Toolbox programu Matlab. W przyjętym sposobie postępowania dla każdej obserwacji najpierw ma miejsce pojedyncze uruchomienie funkcji z przyjętym punktem startowym równym optymalnym wartościom parametrów dla poprzedniego dnia, po czym następuje dziesięć powtórzeń funkcji z punktami startowymi wybranymi losowo z dopuszczalnych przedziałów. Spośród otrzymanych 11 wektorów parametrów wybierany jest ten zestaw, który minimalizuje funkcję celu. W rezultacie przyjęty algorytm ma zapewniać stabilność parametrów (dzięki założeniu, że poprzedni dzień może być odpowiednim punktem startowym), jak i umożliwiać znalezienie globalnego minimum w przypadku znaczniejszych zmian postaci krzywej (dzięki optymalizacji rozpoczynanej również od losowo wybranych punktów). 5. Wyniki empiryczne Na podstawie danych empirycznych i zgodnie z algorytmem optymalizacyjnym opisanym szczegółowo w rozdziale 4 przeprowadzono estymację parametrów funkcji Svenssona dla każdego dnia roboczego 2012 r. Podstawiając otrzymane parametry do równania (4) dla poszczególnych zapadalności obligacji, otrzymana została modelowa krzywa dochodowości dla poszczególnych dni, co pozwala na analizę dynamiki krzywej w czasie (zobacz rys. 1). Ponadto, zgodnie z opisanymi w rozdziale 2 własnościami modeli oszczędnych, możliwa jest ekonomiczna interpretacja samych otrzymanych parametrów funkcji. Do najważniejszych obserwacji uzyskanych w wyniku przeprowadzonej estymacji struktury terminowej należą następujące zmiany modelowej krzywej dochodowości w okresie od 2 stycznia do 28 grudnia 2012 r.: 1. Stopa krótkoterminowa początkowo rosła z poziomu 4,23% aż do maksimum wynoszącego 4,84% (osiągniętego 16 maja 2012 r. w związku z decyzją o podwyższeniu wysokości stóp procentowych NBP do 4,75%), po czym przez pozostałą część roku stopniowo się obniżała, aż do poziomu 3,12% osiągniętego 27 grudnia 2012 r. 10, od- 10 Warto przypomnieć, że zaprezentowany model oparty jest na notowaniach obligacji, więc modelowa stopa krótkoterminowa nie jest równoznaczna ze stopą overnight rynku pieniężnego, a jej wartość wynika z cen instrumentów o dłuższej pozostałej zapadalności (minimum 3M).

14 wpis redakcji - A zwierciedlając dyskontowanie przez rynek oczekiwanego poziomu przyszłych stóp procentowych (zobacz rys. 3). 2. Stopa długoterminowa w większości okresu analizy charakteryzowała się tendencją spadkową, zmniejszając się z 5,79% do poziomu 3,82%, osiągniętego na koniec roku. Najistotniejsza korekta, przekładająca się na ok. 30 pb wzrostu rentowności, odnotowana została w okresie od sierpnia do września. Mogła ona wynikać z wysokich oczekiwań inflacyjnych, przy wysokiej wtedy inflacji bieżącej i rosnącej konieczności łagodzenia polityki pieniężnej wobec słabnącej gospodarki (zobacz rys. 4) 3. Spread pomiędzy długim a krótkim końcem krzywej rentowności zmniejszył się z 156 pb do 63 pb, przejściowo obniżając się nawet do 21 pb pod koniec października (zobacz rys. 2). 4. Krótki koniec krzywej uległ odwróceniu: przez większą część roku najniższe rentowności występowały dla zapadalności od 1 do 3 lat i były niższe od modelowej stopy overnight nawet o 46 pb (w dniu 11 grudnia 2012 r.), a średnio o ponad 20 pb. Proces odwracania się krzywej widoczny był od końca marca 2012 r., co może sugerować, że już wtedy pojawiły się oczekiwania na obniżenie wysokości stóp procentowych i pogorszenie się koniunktury ekonomicznej (zobacz rys. 1). 5. Krótkoterminowy wpływ decyzji Rady Polityki Pieniężnej dotyczących wysokości stóp procentowych NBP i komunikatu przekazywanego po posiedzeniu RPP był najbardziej widoczny, gdy stanowiły one zaskoczenie dla uczestników rynku finansowego (zobacz rys. 9-11). Parametry uzyskane w procesie estymacji pozwalają również na oszacowanie krzywej implikowanych stóp terminowych. Zgodnie z teorią oczekiwań, obserwacja tej krzywej pozwala wnioskować o spodziewanej przez rynek ścieżce przyszłych stóp procentowych. Tzw. czysta teoria oczekiwań mówi, że stopa dochodowości instrumentów długoterminowych kształtuje się tylko pod wpływem oczekiwań dotyczących przyszłego poziomu stóp i nie zawiera premii w stosunku do stóp dochodowości obligacji krótkoterminowych [Świętoń, 2002, s. 18]. Innymi słowy, stopa forward stanowi najlepszy wyznacznik oczekiwanej stopy natychmiastowej w przyszłości, a premie za ryzyko wyrażone w kwotowaniach stawek forward są pomijalne [Dziwok, 2008]. Dokonane w

wpis redakcji - T 15 badaniu porównanie implikowanych krzywych stóp forward trzymiesięcznych (3M, odpowiadających oczekiwanemu oprocentowaniu trzymiesięcznych bonów skarbowych) może wskazywać, że na koniec 2012 r. oczekiwania rynkowe co do ścieżki przyszłych stóp procentowych były niższe przeciętnie o 206 pb niż na początku 2012 r. Największe zmiany dotyczą oczekiwań w horyzoncie 4-5 lat, dla którego oczekiwania obniżyły się o ok. 240 pb (rys. 6). Warto mieć na uwadze, że choć hipoteza o zerowych premiach za ryzyko jest często odrzucana, to szacowania premii wskazują na ich małe wartości [Svensson, 1994, s. 8-9]. Jeśli jednak premie za ryzyko są zawarte w cenach rynkowych, to ich zmienność dla różnych okresów może utrudniać interpretację wartości implikowanych stóp forward [Deutsche Bundesbank, 1997, s. s. 66]. Zakończenie Wyniki przeprowadzonej estymacji wskazują, że model na podstawie danych dotyczących 2012 r. dawał zadowalające rezultaty, zarówno pod względem stabilnego w czasie średniego błędu 11, jak i postaci otrzymanej krzywej, podobnej do krzywej rynkowej i podążającej za jej zmianami. Model sprawdził się nawet w warunkach znacznych wahań na rynku obligacji, przy istotnych zmianach poziomów rentowności oraz przy ewolucji kształtu krzywej, odwzorowując tendencje krzywej empirycznej. Możliwy był też pomiar krótkoterminowych zmian krzywej pod wpływem modyfikacji polityki pieniężnej, obserwowanych w dniach decyzji Rady Polityki Pieniężnej dotyczących wysokości stóp procentowych NBP. Dzięki rozwiniętemu obecnie rynkowi obligacji skarbowych w Polsce, model Svenssona dysponuje dostateczną liczbą danych, aby stanowić poprawne narzędzie modelowania zerokuponowej krzywej dochodowości. Estymacja krzywej pozwala na otrzymanie ciągłej struktury stóp zerokuponowych, tzn. możliwe jest obliczenie dochodowości dla dowolnie wskazanego terminu zapadalności hipotetycznego instrumentu dłużnego. Dzięki temu możliwe jest również oszacowanie oczekiwań rynkowych dotyczących przyszłych stóp terminowych dla dowolnego punktu w czasie i dla dowolnej zapadalności, a także badanie zmian zachodzących na rynku między dowolnie wybranymi terminami. 11 Pierwiastek średniego ważonego błędu modelu, czyli zadana funkcja celu, wynosiła w 2012 r. przeciętnie 0,796 (dla 1 000 PLN nominału każdej obligacji), przy odchyleniu standardowym równym 0,196.

16 wpis redakcji - A Literatura 1. Anderson N., Breedon F., Deacon M., Derry A., Murphy G (1996)., Estimating and Interpreting The Yield Curve, Wiley. 2. Anderson, N., Sleath J. (1999), New Estimates of the UK Real and Nominal Yield Curves, Bank of England Quarterly Bulletin, November, pp-384-392. 3. Annaert J., Claes A.G.P., De Ceuster M.J.K., Zhang H. (2012), Estimating the Yield Curve Using the Nelson-Siegel Model - A Ridge Regression Approach, Working Paper, Universiteit Antwerpen. 4. Bolder D., Gusba S. (2002), Exponentials, Polynomials, and Fourier Series: More Yield Curve Modelling at the Bank of Canada, Bank of Canada Working Paper 2002-29. 5. Bolder D., Stréliski D. (1999), Yield Curve Modelling at the Bank of Canada, Bank of Canada Technical Report No. 84. 6. Csajbók A. (1998), Zero-coupon Yield Curve Estimation from a Central Bank Perspective, NBH Working Paper 1998/2. 7. Deacon M., Derry A. (1994), Estimating the Term Structure of Interest Rates, Bank of England. 8. Diebold F., Li C. (2006), Forecasting the term structure of government bond yields, Journal of Econometrics, 130. 9. De Pooter M. (2007), Examining the Nelson-Siegel Class of Term Structure Models, Tinbergen Institute Discussion Paper 2007-043/4. 10. Dziwok E. (2008), Krzywa dochodowości. Metody konstrukcji i zastosowanie, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Katowicach, Katowice. 11. Estimating the term structure of interest rates (2008), Deutsche Bundesbank Monthly Report October 1997. 12. Gilli M., Grosse S., Schumann E. (2010), Calibrating the Nelson Siegel Svensson model, COMISEF Working Paper Series, WPS-031. 13. Gurazdowski E. (2003), Wykorzystanie modelu zmiennej sztywności krzywej stop terminowych do przybliżania krzywej rynku pieniężnego, Bank i Kredyt nr 34(2), NBP. 14. Jajuga K., Jajuga T. (2012), Inwestycje, WN PWN, Warszawa. 15. Kliber P. (2009), Estymacja struktury terminowej stóp procentowych w Polsce, Bank i Kredyt nr 40(1), NBP.

wpis redakcji - T 17 16. Marciniak M. (2006), Yield Curve Estimation at the National Bank of Poland Spline Based Methods, Curve Smoothing and Market Dynamics, Bank i Kredyt, nr 37(10), NBP. 17. McCulloch J. H. (1971), Measuring the Term Structure of Interest Rates, Journal of Business, Vol. 44, No. 1. 18. Meier I. (1999), Estimating the term structure of interest rates: the Swiss case, Swiss National Bank Working Paper, Zurich. 19. Nelson C.N. (1987), Siegel A.F., Parsimonious Modeling of Yield Curves, Journal of Business, Vol. 60(4). 20. Schich S.T. (1997), Estimating the German Term Structure, Discussion Paper 4/97, Economic Research Group of the Deutsche Bundesbank. 21. Stander Y.S. (2005), Yield Curve Modeling, Palgrave Macmillan. 22. Stępniak I., Zieliński J. (2000), Estymacja i interpretacja zerokuponowej krzywej dochodowości, Materiały i Studia, nr 108, NBP. 23. Svensson L.E.O. (1994), Estimating and interpreting forward interest rates: Sweden 1992-94, IMF Working Paper 114. 24. Świętoń M. (2002), Terminowa struktura dochodowości skarbowych papierów wartościowych w Polsce w latach 1998 2001, Materiały i Studia, nr 150, NBP. 25. Waggoner D.F. (1997), Spline methods for extracting interest rate curves from coupon bond prices, Federal Reserve Bank of Atlanta Working Paper No. 97-10. 26. Zero-Coupon Yield Curves: Technical Documentation (2005), BIS Papers 25, Bank for International Settlements. Streszczenie Artykuł prezentuje metody estymacji krzywej dochodowości ze szczególnym uwzględnieniem modeli oszczędnych, do których należy model Nelsona-Siegla (1987) i model Svenssona (1994). To drugie podejście zostało wykorzystane do oszacowania krzywej dochodowości polskich papierów skarbowych w 2012 r. Końcowa część pracy zawiera wyniki badania empirycznego, prezentując analizę dynamiki estymowanej krzywej i interpretację wartości parametrów funkcji Svenssona w badanym okresie. Słowa kluczowe estymacja krzywej dochodowości, oczekiwania rynkowe, polityka pieniężna

18 wpis redakcji - A Svensson model for the Polish yield curve estimation (Summary) The paper presents yield curve estimation methods, focusing at particular on parsimonious models, including models developed by Nelson and Siegel (1987) and Svensson (1994). The latter approach was used to estimate Polish yield curve in 2012. The final part of the paper provides results of the empirical study, containing a detailed analysis of the estimated yield curve dynamics and an interpretation of Svensson model estimates for the period under review. Keywords yield curve estimation, market expectations, monetary policy

wpis redakcji - T 19 Załącznik 1. Graficzna ilustracja zmian estymowanej krzywej dochodowości w 2012 r. Rysunek 1. Powierzchnia krzywej dochodowości w analizowanym okresie Źródło: KDPW, opracowanie własne. Rysunek 2. Spread między długim a krótkim końcem krzywej dochodowości w okresie analizy 2,00% 1,75% 1,50% 1,25% 1,00% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% sty 12 mar 12 maj 12 lip 12 wrz 12 lis 12 Źródło: KDPW, opracowanie własne.

20 wpis redakcji - A Rysunek 3. Stopa krótkoterminowa (t 0) oszacowana na podstawie modelu Svenssona 5,00% 4,75% 4,50% 4,25% 4,00% 3,75% 3,50% 3,25% 3,00% sty 12 mar 12 maj 12 lip 12 wrz 12 lis 12 Źródło: KDPW, opracowanie własne. Rysunek 4. Stopa długoterminowa (t + ) oszacowana na podstawie modelu Svenssona 6,00% 5,75% 5,50% 5,25% 5,00% 4,75% 4,50% 4,25% 4,00% 3,75% sty 12 mar 12 maj 12 lip 12 wrz 12 lis 12 Źródło: KDPW, opracowanie własne. Rysunek 5. Zerokuponowa krzywa dochodowości otrzymana z modelu Svenssona i rynkowe stopy zerokuponowe 6,25% 5,75% 5,25% 4,75% 4,25% 3,75% 3,25% 2,75% Zapadalność 0 5 Stopy zero 2-01-2012 10 15 20 Krzywa modelowa 2-01-2012 Stopy zero 28-12-2012 Krzywa modelowa 28-12-2012 Uwaga: Stopy zero obliczone metodą bootstrappingu z rentowności rynkowych Źródło: KDPW, opracowanie własne.

wpis redakcji - T 21 Rysunek 6. Stopy procentowe 3M dla przyszłych okresów (forward) implikowane z krzywej dochodowości 6,75% 6,25% 5,75% 5,25% 4,75% 4,25% 3,75% 3,25% 2,75% Czas 0 5 10 15 20 2012-01-02 2012-12-28 Źródło: KDPW, opracowanie własne. Rysunek 7. Krzywa i jej poszczególne komponenty na początek badanego okresu (2 stycznia 2012 r.) 7,00% 6,00% 5,00% 4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% -1,00% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2,00% Krzywa dochodowości Komponent krótkoterminowy Źródło: KDPW, opracowanie własne. α 0 = 5,79% α 1 = -1,56% α 2 = -1,90% α 3 = 2,50% β 1 = 2,32 β 2 = 5,55 Komponent długoterminowy Komponent średnioterminowy Rysunek 8. Krzywa i jej poszczególne komponenty na koniec badanego okresu (28 grudnia 2012 r.) 5,00% 4,00% 3,00% 2,00% 1,00% α 0 = 3,82% α 1 = -0,63% α 2 = -2,99% α 3 = 2,50% β 1 = 3,04 β 2 = 6,93 0,00% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1,00% Krzywa dochodowości Komponent długoterminowy Komponent krótkoterminowy Komponent średnioterminowy Źródło: KDPW, opracowanie własne.

22 wpis redakcji - A Rysunek 9. Wpływ decyzji RPP z 9 maja 2012 r. o podwyższeniu wysokości stóp procentowych o 25 pb na krzywą dochodowości polskich obligacji 5,75% 5,50% 5,25% 5,00% 4,75% 4,50% 0 5 10 15 20 2012-05-08 2012-05-09 Źródło: KDPW, opracowanie własne. Rysunek 10. Wpływ decyzji RPP z 7 listopada 2012 r. o obniżeniu wysokości stóp procentowych o 25 pb na krzywą dochodowości polskich obligacji 4,75% 4,50% 4,25% 4,00% 3,75% 3,50% 0 5 10 15 20 2012-11-06 2012-11-07 Źródło: KDPW, opracowanie własne. Rysunek 11. Wpływ decyzji RPP z 5 grudnia 2012 r. o obniżeniu wysokości stóp procentowych o 25 pb na krzywą dochodowości polskich obligacji 4,50% 4,25% 4,00% 3,75% 3,50% 3,25% 0 5 10 15 20 2012-12-04 2012-12-05 Źródło: KDPW, opracowanie własne.

Załącznik 2. Zbiór wykorzystanych danych wpis redakcji - T 23 Tablica 1. Obligacje wykorzystane do estymacji zerokuponowej krzywej dochodowości Okres znajdowania się obligacji w Obligacja Zapadalność bazie Od Do PS0412 25.04.2012 r. 02.01.2012 r. 25.01.2012 r. OK0712 25.07.2012 r. 02.01.2012 r. 25.04.2012 r. OK1012 25.10.2012 r. 02.01.2012 r. 25.07.2012 r. OK0113 25.01.2013 r. 02.01.2012 r. 25.10.2012 r. PS0413 25.04.2013 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. OK0713 25.07.2013 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. DS1013 24.10.2013 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. OK0114 25.01.2014 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. PS0414 25.04.2014 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. OK0714 25.07.2014 r. 30.07.2012 r. 28.12.2012 r. PS0415 25.04.2015 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. DS1015 24.10.2015 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. PS0416 25.04.2016 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. PS1016 25.10.2016 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. PS0417 25.04.2017 r. 28.05.2012 r. 28.12.2012 r. DS1017 25.10.2017 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. PS0418 25.04.2018 r. 26.11.2012 r. 28.12.2012 r. DS1019 25.10.2019 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. DS1020 25.10.2020 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. DS1021 25.10.2021 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. WS0922 23.09.2022 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. DS1023 25.10.2023 r. 12.11.2012 r. 28.12.2012 r. WS0429 25.04.2029 r. 02.01.2012 r. 28.12.2012 r. Źródło: Reuters, opracowanie własne.