Regionalne Koło Matematyczne

Podobne dokumenty
Regionalne Koło Matematyczne

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

LX Olimpiada Matematyczna

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

GEOMETRIA ELEMENTARNA

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Regionalne Koło Matematyczne

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

Podstawowe pojęcia geometryczne

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

Projekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Regionalne Koło Matematyczne

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

LVIII Olimpiada Matematyczna

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09

I. Funkcja kwadratowa

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie. Joanna Sendorek

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Geometria analityczna

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

Zabawa z odległościami

Zadanie 2. ( 4p ) Czworokąt ABCD ma kąty proste przy wierzchołkach B i D. Ponadto AB = BC i BH = 1.

2 Figury geometryczne

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2009/10. Test (nr 3) do samodzielnego treningu

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących

KRZYŻÓWKA Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

Metoda objętości zadania

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:

Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym.

Tematy: zadania tematyczne

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1

Indukcja matematyczna

Matematyczne słowa Autorki innowacji: Jolanta Wójcik Magda Kusyk

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia

I. Funkcja kwadratowa

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Rejonowy

Własności punktów w czworokątach

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków?

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

Wielokąty foremne. (Konstrukcje platońskie)

Skrypt 14. Figury płaskie Okrąg wpisany i opisany na wielokącie. 7. Wielokąty foremne. Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Transkrypt:

Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 15 (20.02.2010) Zbiory wypukłe Definicja. Zbiór X nazywamy wypukłym, jeśli dla dowolnych punktów A, B X odcinekab jest zawarty w zbiorzex. Przykłady zbiorów wypukłych: odcinek, prosta, koło, trójkąt (z wnętrzem!), czworokąt wypukły (z wnętrzem), dowolny wielokąt foremny (z wnętrzem), wycinek koła, punkt, zbiór pusty. Przykłady zbiorów, które nie są wypukłe: okrąg, brzeg trójkąta, dwa różne punkty, czworokąt wklęsły, ramiona dowolnego kąta (różnego od0 o i180 o ), 1

dwie proste prostopadłe. Zadanie 1. Jakie własności wyróżniają wielokąty wypukłe spośród wszystkich wielokątów? Rozwiązanie. Takimi własnościami są na przykład: wielokąt wypukły leży w całości po jednej stronie każdego ze swoich boków; dowolna przekątna wielokąta wypukłego leży w całości wewnątrz tego wielokąta; każdy kąt wewnętrzny wielokąta wypukłego ma miarę mniejszą niż180 o ; wielokąt wypukły jest częścią wspólną pewnej liczby półpłaszczyzn. Zadanie 2. Uzasadnij, że część wspólna dwóch zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym. Czy suma dowolnych dwóch zbiorów wypukłych też jest zbiorem wypukłym? Rozwiązanie. Uzasadnimy, że część wspólna dwóch zbiorów wypukłych M, N jest zbiorem wypukłym. W tym celu musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch punktówa,b M N cały odcinekab jest zawarty w zbiorzem N. Z definicji części wspólnej, jeżelia,b M N, toa,b M oraza,b N. Ale zbiorym in są wypukłe, zatemab M iab N. Korzystając znowu z definicji części wspólnej otrzymujemy, żeab M N. Odpowiemy teraz na pytanie, czy suma dowolnych dwóch zbiorów wypukłych też jest zbiorem wypukłym. Rozważmy dwa kołak 1,K 2 rozłączne zewnętrznie. Wiemy, że zbioryk 1 ik 2 są wypukłe. Czy zbórk 1 K 2 też jest wypukły? Oczywiście odpowiedź brzmi NIE. Istotnie niecha K 1,B K 2. WówczasAB K 1 K 2 (Rys. 1). K 1 K 2 A B Rysunek 1 Zadanie 3. Na płaszczyźnie dane są cztery zbiory wypukłe, takie, że każde trzy z nich mają punkt wspólny. Udowodnić, że część wspólna wszystkich czterech zbiorów jest niepusta. Rozwiązanie. Oznaczmy dane zbiory przezm 1,M 2,M 3,M 4, zaś punkty przecięcia trójek zbiorów jako odpowiednio:a 1 - dla zbiorówm 2,M 3,M 4,A 2 - dla zbiorów M 1,M 3,M 4,A 3 - dla zbiorówm 1,M 2,M 4 ia 4 dla zbiorówm 1,M 2,M 3. Rozpatrzmy możliwe położenia punktówa 1,A 2,A 3,A 4 : 2

1) albo punkty te tworzą czworokąt wypukły, 2) albo jeden z nich leży wewnątrz trójkąta utworzonego przez pozostałe 3 punkty. Rozpatrując przypadek 1) załóżmy, że czworokąt ten toa 1 A 2 A 3 A 4. Oznaczmy przez P punkt przecięcia przekątnycha 1 A 3 ia 2 A 4. Pokażemy, że punkt ten należy do wszystkich czterech zbiorów. Z określenia punktówa 1 ia 3 wynika, że oba należą zarówno do zbiorówm 2 jak im 4. Zbiory te są wypukłe, więc cały odcineka 1 A 3 należy do tych zbiorów. Analogicznie pokazujemy, że cały odcineka 2 A 4 należy do zbiorówm 1 im 3. Zatem punkt przecięciaa 1 A 3 za 2 A 4 należy do wszystkich czterech zbiorów. W drugim przypadku możemy bez zmniejszania ogólności rozważań założyć, żea 4 leży wewnątrz trójkąta utworzonego przeza 1,A 2 ia 3. Z definicji punktya 1,A 2 i A 3 należą dom 4, więc cały trójkąt - a zatem także punkta 4 również należy dom 4. AleA 4 należał także dom 1,M 2,M 3. Jest to więc punkt wspólny wszystkich czterech zbiorów. Zadanie 4. Udowodnić następujące Twierdzenie Helly ego: Na płaszczyźnie danych jestnfigur wypukłych, przy czym dowolne trzy z nich mają punkt wspólny. Wówczas istnieje punkt należący do każdej z tych figur. Rozwiązanie. Dowód tego twierdzenia przeprowadzimy przez indukcję ze względu na liczbę figur. Dlan=4 udowodniliśmy tezę w zadaniu 3. Załóżmy teraz, że twierdzenie zachodzi dla pewnegon 4. Pokażemy, że również dlan+1 teza jest prawdziwa. NiechM 1,M 2,...,M n,m n+1 będą danymi figurami wypukłymi. Oznaczmy przezm n część wspólnąm n im n+1. Z zadania 2 wynika, że jest to zbiór wypukły. Zauważmy, że dowolne trzy spośród figurm 1,M 2,...,M n 1,M n mają punkt wspólny. Dla trójek, w których nie ma zbiorum n wynika to z założeń twierdzenia. Rozważmy trójkę zawierającąm n oraz pewne dwa inne zbiorym i oraz M j. Wiadomo, że każda trójka spośród zbiorówm i,m j,m n,m n+1 ma punkt wspólny, zatem na mocy poprzedniego zadania istnieje punkt wspólny tych czterech zbiorów, czyli zbiorówm i,m j,m n. Z założenia indukcyjnego wynika, że istnieje punkt wspólny zbiorówm 1,M 2,...,M n 1,M n. Jest to jednocześnie punkt wspólny zbiorów M 1,M 2,...,M n,m n+1. Zadanie 5. Na płaszczyźnie danych jestnpunktówp 1,...,P n, przy czym każde trzy z nich należą do pewnego koła o promieniu 1. Udowodnić, że wszystkie te punkty znajdują się w kole o promieniu 1. Rozwiązanie. Rozważmynkół o środkach wp 1,...,P n i promieniach 1. Oczywiście są to zbiory wypukłe. Uzasadnimy, że każde trzy z tych zbiorów mają punkt wspólny. Z założeń zadania wynika, że dowolne trzy punktyp i,p j,p k należą do pewnego koła o promieniu 1. Zatem ich odległość od środka takiego koła jest nie większa niż jeden - czyli środek ten należy również do każdego koła o środku, odpowiednio, wp i,p j,p k i promieniu 1. Mamy zatem zbiory spełniające założenia twierdzenia Helly ego. Zbiory te mają więc punkt wspólnyx. PunktX oddalony jest od każdego z punktówp 1,P 2,...,P n 3

o co najwyżej 1. A zatem koło o środku w punkciex i promieniu 1 zawiera wszystkie dane punkty. Zadanie 6. NiechW 1, będą wielokątami wypukłymi i niech W 1. Udowodnić, że obwód wielokąta jest nie większy od obwodu wielokątaw 1. Rozwiązanie. Dowód przeprowadzimy na dwa sposoby. Za każdym razem metodę omówimy dokładnie w przypadku, gdyw 1, są trójkątami. Następnie pokażemy, że rozumowanie można uogólnić. Sposób I. Rozważmy trójkątyw 1 i takie, że W 1 (Rys. 3). y x W 1 t a b z c Rysunek 3 Przedłużamy jeden z boków trójkąta. Stosując oznaczenia jak na powyższym rysunku, mamy O W1 =x+y+z+c, O W2 =a+b+c. Korzystając z nierówności trójkąta otrzymujemy a+t<x+y, b<z+t. Zatema+b<x+y+z, co oznacza, żeo W2 <O W1. Rozważmy teraz dowolne dwa wielokąty wypukłew 1 i takie, że W 1. Prowadzimy prostą zawierającą jeden z boków wielokąta (Rys. 4). Otrzymujemy odcinek XY taki, że XY XA + AB + BY. Zatem O XYCDEF O W1. 4

Y C T B Z D A X W 1 E F Rysunek 4 Prowadzimy teraz prostązt zawierającą kolejny bok wielokąta i podobnie jak poprzednio otrzymujemy, że ZT ZY + YC + CT oraz O ZTDEFX O XYCDEF. Kontynuując rozumowanie otrzymujemy, że O W2 O W1. Sposób II. Rozważmy trójkątyw 1 i takie, że W 1. Poprowadźmy proste prostopadłe do dwóch bokówa,b trójkąta (Rys. 5). Niechx, y będą długościami przeciwprostokątnych w powstałych trójkątach prostokątnych. W 1 x a b y c Rysunek 5 Wówczasa<x, b<y oraz a+b<x+y. Zatem O W2 =a+b+c<x+y+c<o W1. Rozważmy teraz dowolne dwa wielokąty wypukłew 1 i takie, że W 1. Prowadzimy proste prostopadłe do kolejnych boków wielokąta przechodzące przez jego wierzchołki (Rys. 6). 5

a b b 2 b 1 W 1 a 1 a 2 Rysunek 6 Wówczas a a 1 +a 2, b b 1 +b 2. Kontynuując rozumowanie otrzymujemy, że O W2 O W1. 6