Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1
Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.: Wprowadzenie i przypomnienia Lemat 4.1. Niech M będzie dowolną ale ustaloną interpretacją. Jeżeli M (A B) oraz M A, to M B. Lemat 4.2. Niech M = <U, > będzie dowolną ale ustaloną interpretacją. Załóżmy, że formuła D powstaje z formuły C poprzez zastosowanie jednej z pierwotnych reguł inferencyjnych KRP. Wówczas jeśli M C, to M D. Pierwotne reguły inferencyjne KRP, o których mówimy w lemacie 4.2, to oczywiście: RP, O, D, O i D. Podobnie jak poprzednio, mówiąc o formułach mamy na myśli formuły zdaniowe dowolnego ale ustalonego języka pierwszego rzędu, a mówiąc o interpretacjach mamy na myśli interpretacje tego języka. Przypomnijmy teraz: 2
Definicja 14.1: Derywacją formuły zdaniowej A w oparciu o zbiór formuł zdaniowych X nazywamy skończony ciąg formuł zdaniowych, którego ostatnim wyrazem jest formuła A, taki, że dowolna formuła zdaniowa będąca wyrazem tego ciągu: (1) należy do zbioru X, lub (2) powstaje z jakiegoś wcześniejszego wyrazu rozważanego ciągu poprzez zastosowanie: - reguły podstawiania RP, lub - reguły opuszczania dużego kwantyfikatora O, lub - reguły dołączania dużego kwantyfikatora D, lub - reguły opuszczania małego kwantyfikatora O, lub - reguły dołączania małego kwantyfikatora D, lub (3) powstaje z jakichś wcześniejszych wyrazów tego ciągu poprzez zastosowanie reguły odrywania RO. Symbolem Cn(X) oznaczamy zbiór wszystkich formuł, dla których istnieje przynajmniej jedna derywacja w oparciu o zbiór formuł X (tj. zbiór tych wszystkich formuł, które można wyprowadzić, korzystając z pierwotnych reguł inferencyjnych KRP, ze zbioru przesłanek X). Innymi słowy, A Cn(X) wtw istnieje przynajmniej jedna derywacja A w oparciu o X. 3
Derywacje a dziedziczenie prawdziwości Gdy mamy do czynienia z derywacją formuły A w oparciu o zbiór formuł X, formułę A nazywamy wnioskiem tej derywacji, natomiast formuły należące do X określamy mianem przesłanek tej derywacji. Twierdzenie 5.1. Jeżeli formuła A jest wnioskiem derywacji, której wszystkie przesłanki są prawdziwe przy (dowolnej ale ustalonej) interpretacji M, to formuła A jest również prawdziwa przy interpretacji M. Dowód: Podobny do dowodu twierdzenia 4.4. Widzimy zatem, że derywacje w oparciu o prawdziwe przesłanki muszą prowadzić do prawdziwych wniosków. Oznaczmy symbolem Vr(M) zbiór wszystkich formuł zdaniowych rozważanego języka, które są prawdziwe przy interpretacji M tego języka. Treść twierdzenia 5.1 możemy teraz wyrazić następująco: dla dowolnej interpretacji M: jeżeli A Cn(X) oraz X Vr(M), to A Vr(M) albo poprzez frazę: operacja konsekwencji Cn nie wyprowadza poza zbiór formuł prawdziwych (przy danej interpretacji języka). 4
Konsekwencja logiczna a dziedziczenie prawdziwości Jak pamiętamy (? :)), często jest tak, iż wyprowadzając/ usiłując wyprowadzić daną formułę z jakiegoś zbioru przesłanek rzeczowych, wykorzystujemy w charakterze dodatkowych przesłanek pewne tezy logiki i/lub korzystamy z jakichś wtórnych reguł inferencyjnych (co zresztą sprowadza się w istocie do przypadku pierwszego). Ponieważ wiemy już, że tezy KRP są prawdziwe przy każdej interpretacji języka (są tautologiami), zatem takie derywacje nie mogą prowadzić od prawdziwych przesłanek do fałszywych wniosków. Zachodzi: Twierdzenie 5.2. Jeżeli formuła A jest wnioskiem derywacji [prowadzonej] w oparciu o zbiór formuł zdaniowych X i niepusty zbiór tez KRP, a ponadto wszystkie formuły zdaniowe w X są prawdziwe przy interpretacji M, to formuła A jest również prawdziwa przy interpretacji M. Dowód: Korzystamy z twierdzenia 5.1 oraz twierdzenia 4.5. Na następnym slajdzie ujmiemy powyższe idee w sposób bardziej zadowalający zawodowców :) 5
Przypomnijmy: Konsekwencja logiczna a dziedziczenie prawdziwości Symbolem Arp oznaczamy zbiór wszystkich aksjomatów KRP. Definicja 14.3: A Cn L (X) wtw A Cn(X Arp) Napis A Cn L (X) czytamy A jest jedną z konsekwencji logicznych zbioru X. Pojęcie definiowane przez definicję 14.3 to pojęcie konsekwencji logicznej na gruncie logiki pierwszego rzędu, czyli KRP. Możemy łatwo udowodnić: Twierdzenie 5.3. Jeżeli A Cn L (X) oraz X Vr(M), to A Vr(M). Dowód: Proszę spróbować swoich sił :) Jednocześnie mamy: ($) Jeżeli Y Cn(Arp) oraz A Cn(X Y), to A Cn L (X). Tak więc twierdzenie 5.2 jest wnioskiem z twierdzenia 5.3. Treść intuicyjną tego ostatniego twierdzenia wyraża fraza: operacja konsekwencji logicznej Cn L nie wyprowadza poza zbiór formuł prawdziwych (przy danej interpretacji języka). 6
Wynikanie logiczne: intuicje Pojęcia derywacji, dowodu, konsekwencji i konsekwencji logicznej to pojęcia syntaktyczne. Syntaktyczny charakter ma też pojęcie tezy KRP. Jak już wspomnieliśmy, semantycznym odpowiednikiem pojęcia tezy KRP jest pojęcie tautologii. Natomiast semantycznym odpowiednikiem konsekwencji logicznej jest wynikanie logiczne. Intuicja leżąca u podstaw definicji tego pojęcia jest następująca: wniosek wynika logicznie z przesłanek dokładnie wtedy, gdy nie może być tak, że wszystkie przesłanki są prawdziwe, a wniosek nie jest prawdziwy. Warunek typu nie może być tak, że jest oczywiście silniejszy od warunku typu nie jest tak, że. 7
Rozważmy: Każda abra jest kadabrą. Każda kadabra jest memeną. ---------------------------------------- Każda abra jest memeną. Wynikanie logiczne: intuicje Otóż nie może być tak, że obie przesłanki są prawdziwe, a wniosek nie jest prawdziwy przy czym zupełnie nieistotne jest tu, czym są abra, kadabra i memena. Innymi słowy: jakkolwiek interpretujemy predykaty jest abrą, jest kadabrą i jest memeną, nie jest tak, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek prawdziwy nie jest. Powyższy przykład daje nam klucz do definicji (semantycznego) pojęcia wynikania logicznego. 8
Wynikanie logiczne: definicja Definicja 5.1. Formuła zdaniowa A języka pierwszego rzędu L wynika logicznie ze zbioru formuł zdaniowych X języka L wtw zachodzi: (#) dla każdej interpretacji M języka L: jeżeli wszystkie formuły ze zbioru X są prawdziwe przy interpretacji M, to również formuła A jest prawdziwa przy interpretacji M. To, że formuła A wynika logicznie ze zbioru formuł X, zapisujemy: X A. Używając wprowadzonej wcześniej notacji, możemy powiedzieć krótko: X A wtw dla każdej interpretacji M: jeżeli X Vr(M), to A Vr(M). Jest oczywiste, że powyższe stwierdzenie jest równoważne z: X A wtw nie istnieje interpretacja M taka, że: X Vr(M) oraz A Vr(M). 9
Wynikanie logiczne Wnioskiem z twierdzenia 5.1 i definicji 5.1 jest: Twierdzenie 5.4. Jeżeli A Cn(X), to X A. Z kolei z twierdzenia 5.3 dostajemy: Twierdzenie 5.5. Jeżeli A Cn L (X), to X A. Można również udowodnić, że gdy X A, to A Cn L (X). Wrócimy jeszcze do tego. Natomiast nie zachodzi odwrotność twierdzenia 5.4. 10
Teraz spójrzmy na następującą tabelkę: Wynikanie logiczne A Cn(X) / A Cn L (X) / X A X Vr(M) X Vr(M) A Vr(M) A Vr(M) lub A Vr(M) Komentarz: Żadna z podanych definicji (konsekwencji, konsekwencji logicznej i wynikania logicznego) nie zakłada, że X zbiór przesłanek - musi być zbiorem formuł prawdziwych (przy danej interpretacji języka). Jeśli jednak w X-ie są wyłącznie prawdy (przy danej interpretacji języka), to A jest też prawdą (przy tej samej interpretacji języka). Jeśli natomiast co najmniej jedna formuła w X-ie nie jest prawdziwa przy danej interpretacji języka, to może się zdarzyć zarówno to, że A nie jest prawdą przy tej interpretacji języka, jak i to, że A jest prawdą przy tej interpretacji. To, co faktycznie się zdarzy, zależy od postaci formuł w X-ie i postaci formuły A, oraz od tego, czym jest rozważana interpretacja. Niby to oczywiste, ale warto to głośno powiedzieć :) 11
Wynikanie logiczne: monotoniczność Notacja: Pisząc X non A, mamy na myśli, że A nie wynika logicznie z X. Udowodnimy teraz: Twierdzenie 5.6. Jeżeli Y A oraz Y X, to X A. Dowód: Załóżmy, że: Y A oraz Y X, a ponadto X non A. Skoro X non A, to istnieje interpretacja M, przy której A nie jest prawdą, natomiast wszystkie formuły w X są prawdziwe. Ponieważ jednak Y X, zatem wszystkie formuły w Y są prawdziwe przy interpretacji M. Tak więc Y non A. Otrzymaliśmy sprzeczność. Twierdzenie 5.6 pokazuje, że wynikanie logiczne określone przez definicję 5.1 jest monotoniczne: to, co wynika logicznie z pewnego zbioru formuł, wynika też z każdego szerszego zbioru formuł, w którym wyjściowy zbiór jest zawarty. Dygresja: Istnieją logiki nieklasyczne, w których wynikanie logiczne nie jest monotoniczne. O nich jednak powiemy dopiero na trzecim roku :) 12
Wynikanie logiczne: własności Definiując wynikanie logiczne, nie nałożyliśmy żadnych ograniczeń na zbiór przesłanek X. Tak więc X może być zarówno zbiorem nieskończonym, jak i zbiorem skończonym; jeśli natomiast X jest skończony, to X może mieć dokładnie jeden element, lub więcej niż jeden element, lub być zbiorem pustym. Następujące twierdzenie przyjmiemy chwilowo bez dowodu: Twierdzenie 5.7 (o finitystyczności/ zwartości wynikania logicznego) X A wtw istnieje skończony podzbiór Y zbioru X taki, że Y A. Widzimy zatem, że w logice pierwszego rzędu (tj. w KRP) z nieskończonego zbioru formuł nie wynika logicznie nic więcej niż z jakiegoś skończonego podzbioru tego zbioru. 13
Przypominam, że symbolem oznaczamy zbiór pusty. Udowodnimy teraz: Wynikanie logiczne: własności Twierdzenie 5.8. A wtw A jest tautologią. Dowód: ( ) Załóżmy, że A oraz że A nie jest tautologią. Istnieje wówczas interpretacja M taka, że M non A, czyli A Vr(M). Skoro jednak A, to na mocy definicji 5.1 istnieje formuła B taka, że B oraz M non B. Wnosimy stąd, że istnieje formuła B taka, że B, co nie jest możliwe. Otrzymaliśmy sprzeczność. ( ) Załóżmy, że A jest tautologią, ale non A. Skoro non A, to na mocy definicji 5.1 istnieje interpretacja M taka, że M non A. Zatem A nie jest tautologią. Otrzymaliśmy sprzeczność. Widzimy zatem, że tautologie i tylko one wynikają logicznie z pustego zbioru formuł. Konsekwencją twierdzeń 5.7 i 5.8 jest: Twierdzenie 5.9. Każda tautologia wynika logicznie z dowolnego zbioru formuł. 14
Wynikanie logiczne: własności Definicja 5.2. Zbiór formuł zdaniowych X języka L nazywamy sprzecznym wtw nie istnieje interpretacja języka L, przy której wszystkie formuły należące do zbioru X są [jednocześnie] prawdziwe. Zachodzi: Twierdzenie 5.10. Jeżeli X jest sprzecznym zbiorem formuł zdaniowych, to X A dla dowolnej formuły zdaniowej A. Dowód: Zapraszam na wykład :) Widzimy zatem, że ze sprzecznego zbioru formuł zdaniowych wynika logicznie każda formuła zdaniowa. Nawiasem mówiąc, twierdzenie 5.10 można wzmocnić do równoważności; w dowodzie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia 5.10 wystarczy rozważyć dowolna formułę niespełnialną. Pozostawiam to Państwu :) 15
Wynikanie logiczne formuły z formuły Często zamiast mówienia o wynikaniu logicznym formuły (zdania) ze zbioru formuł (zdań), mówimy o wynikaniu formuły z pojedynczej formuły (zdania). Można wprowadzić osobne pojęcie dla tego przypadku: Definicja 5.3. Formuła zdaniowa A języka pierwszego rzędu L wynika logicznie z formuły zdaniowej B języka L (symbolicznie: B A) wtw zachodzi: (#) dla każdej interpretacji M języka L: jeżeli formuła B jest prawdziwa interpretacji M, to formuła A jest prawdziwa przy interpretacji M. Można też zdefiniować odpowiednie pojęcie korzystając z pojęcia wynikania formuły ze zbioru formuł: Definicja 5.4. B A wtw {B} A. Jakkolwiek postąpimy, jest oczywiste, że zachodzi: Twierdzenie 5.11. {B 1,..., B n } A wtw B 1... B n A. 16
Wynikanie logiczne a tautologiczność Jak pamiętamy (? :)), w rachunku zdań wynikanie logiczne na gruncie KRZ - formuły A (języka KRZ) ze skończonego zbioru formuł {B 1,..., B n } (języka KRZ) zachodziło wtedy i tylko wtedy, gdy formuła (języka KRZ) o postaci B 1... B n A była tautologią KRZ. W logice pierwszego rzędu nie jest tak prosto, niestety mamy tu obok zdań również funkcje zdaniowe. Potrzebujemy teraz technicznego pojęcia domknięcia uporządkowanego formuły zdaniowej. Niech dom(b) oznacza domknięcie uporządkowane formuły zdaniowej B (gdzie B jest formuła dowolnego ale ustalonego języka pierwszego rzędu). Definicja 5.4. (a) Jeżeli B jest zdaniem, to dom(b) = B. są wszystki- (b) Jeżeli B jest funkcją zdaniową, natomiast x i 1,..., x in mi zmiennymi wolnymi w B, przy czym i 1 <...< i n, to dom(b) = x i 1... x in B. 17
Wynikanie logiczne a tautologiczność Budując domknięcie uporządkowane funkcji zdaniowej B, po prostu poprzedzamy B dużymi kwantyfikatorami wiążącymi wszystkie zmienne wolne w B, przy czym czynimy to w kolejności wyznaczanej przez wskaźniki zmiennych wolnych od wskaźnika najmniejszego do coraz większych. Zachodzi: Lemat 5.1. M A wtw M dom(a). Dowód: Zostanie podany na ćwiczeniach :) Udowodnimy teraz: Twierdzenie 5.12. {B 1,..., B n } A wtw formuła o postaci jest tautologią. dom(b 1 )... dom(b n ) A 18
Dowód: ( ) Załóżmy, że {B 1,..., B n } A i przypuśćmy, że: Wynikanie logiczne a tautologiczność dom(b 1 )... dom(b n ) A nie jest tautologią. Istnieją zatem: interpretacja M oraz M-wartościowanie s takie, że: (a) M dom(b i ) [s] - dla każdego i takiego, że 1 i n, (b) M non A [s]. Skoro każde dom(b i ) jest zdaniem (1 i n), to na mocy twierdzenia 3.3: (c) M dom(b i ) - dla każdego i takiego, że 1 i n. Na mocy lematu 5.1 z (c) dostajemy: (d) M B i dla każdego i takiego, że 1 i n. Z kolei z (b) dostajemy: (e) M non A Tak więc {B 1,..., B n } non A. Otrzymaliśmy sprzeczność. 19
Wynikanie logiczne a tautologiczność ( ) Załóżmy, że dom(b 1 )... dom(b n ) A jest tautologią i przypuśćmy, że: {B 1,..., B n } non A. Wówczas istnieje interpretacja M taka, że: (a) M B i - dla każdego i takiego, że 1 i n oraz istnieje M-wartościowanie s, dla którego zachodzi: (b) M non A [s]. Skoro jednak dom(b 1 )... dom(b n ) A jest tautologią, to mamy: (c) M non dom(b i ) [s] dla pewnego i takiego, że 1 i n czyli: (d) M non dom(b i ) dla pewnego i takiego, że 1 i n skąd na mocy lematu 5.1 dostajemy: (e) M non B i dla pewnego i takiego, że 1 i n. Otrzymaliśmy sprzeczność. 20
Wynikanie logiczne a tautologiczność Przykład 5.1. Aby pokazać, że powyższe rozważania nie są zawieszone w powietrzu, rozważmy następujące formuły: (a) P(x) (b) x P(x) Otóż formuła P(x) x P(x) nie jest tautologią. Jednocześnie mamy: P(x) x P(x) ponieważ formuła x P(x) x P(x) jest tautologią. Komentarz: Podobnie jak w przypadku KRZ, również tezy KRP o schemacie: B 1... B n A gdzie n 1, kodują informacje o wynikaniu logicznym z tym, że gdy jakieś B i jest funkcją zdaniową, należy przejść do jego domknięcia. 21
Wynikanie logiczne a tautologiczność Skoro jednak domknięcie uporządkowane zdania jest po prostu tym zdaniem, z twierdzenia 5.12 dostajemy: Twierdzenie 5.13. Niech B 1,..., B n będą zdaniami. Wówczas {B 1,..., B n } A wtw formuła o postaci B 1... B n A jest tautologią. Czyli w przypadku wynikania logicznego ze skończonych zbiorów zdań sytuacja jest analogiczna do znanej z rachunku zdań. 22
Dodatek dla koneserów W podanej tu definicji wynikania logicznego odwołaliśmy się do pojęcia prawdy, a nie do pojęcia spełniania. W literaturze przedmiotu wynikanie logiczne dla języków pierwszego rzędu określa się czasami inaczej: Definicja 5.1*. Formuła zdaniowa A języka pierwszego rzędu L wynika logicznie ze zbioru formuł zdaniowych X języka L wtw zachodzi: (##) dla każdej interpretacji M języka L: dowolne M-wartościowanie spełniające wszystkie formuły w X spełnia też formułę A. Dla zbiorów zdań oba te pojęcia pokrywają się (zakresowo), natomiast dla funkcji zdaniowych już nie. Przykładowo, nie jest tak, że każde wartościowanie spełniające funkcję zdaniową P(x) spełnia też formułę x P(x) a zatem nie zachodzi wynikanie logiczne w sensie definicji 5.1* formuły x P(x) z formuły P(x). Jednocześnie jeśli każde wartościowanie spełnia P(x), to każde wartościowanie spełnia x P(x) - czyli z P(x) wynika logicznie w sensie definicji 5.1 formuła x P(x). To, którą z definicji wynikania logicznego przyjmiemy, zależy od wybranego sposobu rozumienia zmiennych wolnych uogólniającego lub uszczegółowiającego. O tym jednak przy innej okazji. 23