Teoria Chaosu. Proste modele ze złożonym zachowaniem: o teorii chaosu w ekologii.

Podobne dokumenty
Podręcznik. Przykład 1: Wyborcy

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO

Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Fizyka układów złożonych

Stała w przedsionku chaosu

Układy dynamiczne Chaos deterministyczny

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

Wykresy i interfejsy użytkownika

samopodobnym nieskończenie subtelny

Fraktale deterministyczne i stochastyczne. Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

TEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska

PROJEKT Nowoczesne komputerowe metody kształcenia dla regionalnych kadr innowacyjnej gospodarki: icse

Uniwersalność wykresu bifurkacyjnego w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW

Fraktale wokół nas. Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski. informatyka +

Efekt motyla i dziwne atraktory

Fraktale. i Rachunek Prawdopodobieństwa

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

Zadania domowe. Ćwiczenie 2. Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL

Filip Piękniewski 10:50:29 1 /56. Fraktale i Chaos Filip Piękniewski 2004

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

EGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka

ODWZOROWANIE RZECZYWISTOŚCI

Rys.1. Obraz Pollocka. Eyes heat.

Rys. 1. Kalafior podzielony na coraz mniejsze bardzo podobne do siebie fragmenty

Metody numeryczne w przykładach

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

CHAOS DETERMINISTYCZNY W BADANIU DYNAMIKI ZMIAN ORGANIZACJI

Chaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu

Równania różniczkowe zwyczajne

Podręcznik. Wzór Shannona

O geometrii semialgebraicznej

Dyskretne modele populacji

Proste modele o zªo»onej dynamice

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

WYKAZ PRZEDMIOTÓW OBOWIĄZKOWYCH ZAWARTYCH W STANDARDACH KSZTAŁCENIA

Rodzinę odwzorowań {f i : X X} k i=1 nazywamy iterowanym układem funkcyjnym (ang. IFS iterated function system).

MODELE WIELOPOPULACYJNE. Biomatematyka Dr Wioleta Drobik

Własności multifraktalne serii czasowych

Zbiór Cantora. Diabelskie schody.

MODELE ROZWOJU POPULACJI Z UWZGLĘDNIENIEM WIEKU

Co wspólnego ze sztuką ma reaktor chemiczny?

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Ataki na RSA. Andrzej Chmielowiec. Centrum Modelowania Matematycznego Sigma. Ataki na RSA p. 1

Dyskretne modele populacji

Sierpiński Carpet Project. W ZSTiL Zespół Szkół Technicznych i Licealnych

Matematyka dyskretna

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Wprowadzenie do środowiska MATLAB z zastosowaniami w modelowaniu i analizie danych

Modele i symulacje - Scratch i Excel

Wykład 1 BIOMATEMATYKA DR WIOLETA DROBIK

Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D

Symulacje komputerowe w fizyce Fraktale

N(t) = N 0 e rt MODELE WZROSTU POPULACJI Z CZASEM CIĄGŁYM. Dr Wioleta Drobik-Czwarno

Zasady krytycznego myślenia (1)

14 Modele z czasem dyskretnym

INTERAKTYWNA KOMUNIKACJA WIZUALNA. Systemy Lindenmayera (L-systemy)

Ekologia wyk. 1. wiedza z zakresu zarówno matematyki, biologii, fizyki, chemii, rozumienia modeli matematycznych

Systemy Lindenmayera (L-systemy)

FRAKTALE. nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą

Układy dynamiczne i całkowanie równań różniczkowych zwyczajnych, układy nieliniowe i chaotyczne

Superdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska

Modelowanie komputerowe układów złożonych

WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU

Obliczenia inspirowane Naturą

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1

W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Chaos, fraktale i statystyka

Optymalizacja. Wybrane algorytmy

XV FESTIWAL NAUKI 2011 WPROWADZENIE DO BIOCYBERNETYKI

Chaos, fraktale oraz euroatraktor

Specjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa

Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa

Plan prezentacji. Cechy charakterystyczne fraktali Zastosowanie fraktali Wymiar fraktalny D. Iteracyjny system funkcji (IFS)

Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8

Kryptoanaliza algorytmu chaotycznego szyfrowania obrazu

dr hab. Andrzej Krawiecki rezonans fal spinowych, rezonans stochastyczny, sieci ewoluujące, sieci złożone

Afiniczne krzywe algebraiczne

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

K_U13, K_U14 5 MAT2002 K_W01, K_W02, K_U07 K_W01, K_W02, K_W03, K_U01, K_U03, K_U08, K_U09, K_U13, K_U14 K_W01, K_W02, K_W03, K_U01,

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

01, 02, 03 i kolejne numer efektu kształcenia. Załącznik 1 i 2

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra

MATEMATYKA PLAN STUDIÓW STACJONARNYCH DRUGIEGO STOPNIA

Lp. SYMBOL NAZWA ZAJĘĆ EFEKTY KSZTAŁCENIA (P/K/PW)** ECTS K_K ŁĄCZNIE 50

Voter model on Sierpiński fractals Model głosujący na fraktalach Sierpińskiego

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się.

Algorytmy sztucznej inteligencji

Fizyka komputerowa(ii)

Fraktale i Chaos czyli czemu nie można zmierzyć powierzchni trawnika?

FRAKTALE WOKÓŁ NAS I KILKA SŁÓW O CHAOSIE

Ćwiczenie 3. Python 3: Python 3: Funkcje, moduły i operacje na plikach

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa

Obliczenia inspirowane Naturą

Fraktale. Jerzy Pogonowski. Funkcje rekurencyjne. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Transkrypt:

Teoria Chaosu Proste modele ze złożonym zachowaniem: o teorii chaosu w ekologii.

Zanim zaczniemy... Komputer - symulacja wizualizacja w fizyce.

Zanim zaczniemy Prowadzimy pilotażowe warsztaty w szkołach, chętnych prosimy o kontakt.

Robert May, Oxford 1976 W latach siedemdziesiątych XX wieku, na Uniwersytecie w Oxford, australijski uczony Robert May zajmował się teoretycznymi aspektami ekologii.

Robert May, Oxford 1976 Ekologia Teoretyczna dyscyplina naukowa poświęcona badaniu układów ekologicznych z wykorzystaniem metod teoretycznych, takich jak: modeli matematycznych symulacji komputerowych zaawansowanej analizy danych.

Co badał Robert May w 1976? Rozważmy populację owadów. Niech Ni oznacza liczebność w i-tym roku. Równanie ewolucji może wyglądać tak:

Co badał Robert May w 1976? a = 0.5 x = 142 for i in range(10): x = a*x print x link 71.0000000000000 35.5000000000000 17.7500000000000 8.87500000000000 4.43750000000000 2.21875000000000 1.10937500000000 0.554687500000000 0.277343750000000 0.138671875000000

Co badał Robert May w 1976? a = 1.5 x = 142 for i in range(10): x = a*x print x link 213.000000000000 319.500000000000 479.250000000000 718.875000000000 1078.31250000000 1617.46875000000 2426.20312500000 3639.30468750000 5458.95703125000 8188.43554687500

Co badał Robert May w 1976? Niech pożywienie będzie ograniczone: mało osobników - rozmnażają się bez ograniczenia dużo osobników - brakuje pożywienia i rozmnażają się wolniej za dużo osobników, wszystkie giną z głodu!

Mapa logistyczna

Własności mapy logistycznej a = 0.5 x = 0.45 for i in range(10): x = a*x*(1-x) print x 0.123750000000000 0.0542179687500000 0.0256391903073120 0.0124909111138487 0.00616744412669733 0.00306470337982070 0.00152765548650721 0.000762660877610875 0.000381039612998319 Permalink 0.000190447210905822

Punkt stacjonarny f(x)=x a = 2.0 x = 0.1 for i in range(10): x = a*x*(1-x) print x 0.180000000000000 0.295200000000000 0.416113920000000 0.485926251164467 0.499603859187429 0.499999686144913 0.499999999999803 0.500000000000000 0.500000000000000 0.500000000000000

Punkt stacjonarny o okresie 2 a = 3.2 x = 0.45 for i in range(10): x = a*x*(1-x) print x 0.792000000000000 0.527155200000000 0.797640304361472 0.516512797502753 0.799127448059626 0.513672863415475 0.799401768979270 0.513147458342669 0.799446861885209 0.513061046102722

Bifurkacje

Pajęczyna w służbie matematyka f(x1) f(x2) f(x0) x0 x1 x2

Wykres pajęczynowy

Wykres pajęczynowy

Wykres pajęczynowy

Wykres pajęczynowy

Wykres pajęczynowy

Wykres pajęczynowy

Wykres pajęczynowy Jednocześnie symulowaliśmy dwie trajektorie Punkt startowe różną sie o 0.000001

Wykres pajęczynowy Jednocześnie symulowaliśmy dwie trajektorie Punkt startowe różną sie o 0.000001

Samodzielna zabawa w Sage var('r,x0,n') @interact def cobweb(r=slider(0,4.001,0.001,default=2),x0=slider(0,1,0.1,default=0.4)): f(x)=r*x*(1-x) p = plot(f(x)==0,(x,0,1),ymin=-0.1,ymax=1.5,xmin=0,xmax=1.5,color='black') p += plot(x,(x,0,1),color='green',figsize=7) for n in range(50): th = 1 if n>45: th = 1.5 color='red' elif n < 5: color='blue' th=1.5 else: color='grey' th =0.5 l1 = line([(x0,x0),(x0,f(x0))],color=color,thickness=th) l2 = line([(x0,f(x0)),(f(x0),f(x0))],\ color=color,thickness=th,xmin=0,xmax=1,ymin=0,ymax=1) p = p+l1+l2 x0 = f(x0) p.axes_labels(["$x_n$","$x_{n+1}$"]) p.show(aspect_ratio=1) Permalink

Punkty stałe mapy logistycznej Mapa ma punkt stały jeżeli odwzorowanie f go nie zmienia:

Diagram bifurkacyjny

Punkty stałe mapy logistycznej Punkt o okresie 2 var('a x') f(x) = a*x*(1-x) show( expand( f(f(x))==x) ) s = solve(f(f(x))==x,x) show(s) Permalink

Diagram bifurkacyjny

Diagram bifurkacyjny

a=3.569 94 Diagram bifurkacyjny

Diagram bifurkacyjny

Diagram bifurkacyjny

Diagram bifurkacyjny

Diagram bifurkacyjny

Generacja diagramu bifurkacyjnego Permalink import numpy as np Nx = 100 Na = 400 x = np.linspace(0,1,nx) x = x + np.zeros((na,nx)) x = np.transpose(x) a=np.linspace(1,4,na) a=a+np.zeros((nx,na)) for i in range(1000): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] for a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] point(pt,size=1,figsize=(7,5))

Benoît Mandelbrot, 1967 Pytanie: Jaka jest długość linii brzegowej Anglii? przyczyniło się do odkrycia Fraktali: obiekty o ułamkowym wymiarze i własnościa samopodobieństwa.

Jaka jest długość linii brzegowej Anglii? jednostka: 200km, wynik: 2400km jednostka: 50km, wynik: 3400km

Jaka jest długość linii brzegowej Anglii? Źle postawione zagadnienie: długość brzegu zdaje się rosnąć do nieskończoności!!! Okazuje się, że brzeg Anglii ma wymiar ok 1.25!

Co to jest wymiar? punkt, d=0 odcinek, d=1 koło, d=2 cylinder, d=3

Co to jest wymiar? Wymiar korelacyjny: Z jaką potęgą rośnie liczba punktów w otoczeniu punktu ze zbioru?

Fraktal: objekt z ułamkowym wymiarem Zbiór Cantora, wymiar: 0.6309

Fraktal: objekt z ułamkowym wymiarem Krzywa Kocha, wymiar d=1.26186

Diagram bifurkacyjny a 4 9 9 6 5 = 3.

Chaos deterministyczny w a=4

Nasi i nienasi Pionierzy Chaotyczni Andrzej Lasota James Alan Yorke

Układ chaotyczny Posiada czułość na warunki startowe. Nieregularność rozwiązań. Niezwykle często występuje w fizyce. Proste układy posiadają niezwykle skomplikowane zachowanie. Majac deterministycze reguły, praktycznie nie znamy przyszłości.

dziekuję za uwagę!