Modelowanie Rynków Finansowych

Modelowanie Rynków Finansowych Zajęcia 2 Katarzyna Lada Paweł Sakowski Paweł Strawiński 23 lutego, 2009

Ryzyko inwestycyjne CAPM Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Z każdą inwestycją są związane dwa typy ryzyka Ryzyko systematyczne ma wpływ na wszystkie aktywa. Przykładem jest ryzyko związane ze stopami procentowymi i cyklem koniunkturalnym. Ryzyko specyficzne jest związane z niespodziewanymi wydarzeniami i ma wpływ na cenę jednego lub niewielkiej liczby aktywów. Przykładem jest zmiana polityki państwa wobec konkretnej gałęzi przemysłu.

Założenia modelu (1/2) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Jednostki zachowują się podobnie Wszyscy inwestorzy zachowują się racjonalnie wybierając optymalną relację średniego zwrotu do ryzyka Jeden wspólny okres inwestycji Jedno uniwersalne aktywo Homogeniczne oczekiwania

Założenia modelu (2/2) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Brak zaburzeń na rynku kapitałowym Brak podatków i kosztów transakcyjnych Inwestorzy są cenobiorcami Możliwość krótkiej sprzedaży Inwestorzy są w stanie pożyczyć kapitał po stopie rynkowej

Model CAPM (1/3) CAPM Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Model równowagi rynku kapitałowego zbudowany na bazie koncepcji Mean-Variance Efficiency Markovitza. Model rozwijany przez: Sharpe (1964), Lintner (1965), a potem Black (1972) z portfelem o zerowej becie, tj. portfelem z minimalną wariancją wśród wszystkich portfeli nieskorelowanych z rynkiem główna teza: oczekiwana stopa zwrotu jest liniową funkcją kowariancji tego zwrotu i zwrotu z portfela rynkowego.

Model CAPM (2/3) CAPM Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM β jest miarą ryzyka systematycznego związanego z portfelem i. β i = σ i corr(r i, R m ) σ m = σ i cov(r i, R m ) = cov(r i, R m ) σ m σ i σ m var(r m ) ponadnormalna stopa zwrotu z aktywa i jest proporcjonalna do ponadnormalnej stopy zwrotu z portfela rynkowego (excess returns). Różnice w oczekiwanych stopach zwrotu są powodowane przez różne bety

Model CAPM (3/3) CAPM Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Badamy model postaci (SML): E(R i ) = R f + β i [E(R m ) R f ] lub bezpośrednio odnosząc się do ponadnormalnych zwrotów : E(Z i ) = β i E(Z m ) Z założeń CAPM wynika, że portfel rynkowy leży na granicy efektywnej (mean-variance efficient).

Model empiryczny CAPM Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM szacowany z wykorzystaniem klasycznego modelu regresji liniowej: R it = α i + β i R mt + ε it gdzie: R it - stopa zwrotu z i-tego portfela w okresie t α i - wyraz wolny, R mt - stopa zwrotu z portfela rynkowego w okresie t ε it IID(0, σ 2 ε)

Testowanie CAPM CAPM Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Testowanie CAPM polega na weryfikacji hipotez: (i) wyraz wolny jest równy 0. (ii) β jest jedynym czynnikiem wyjaśniającym zróżnicowanie stóp zwrotu z aktywów.

Praktyka CAPM CAPM Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM W oryginalnym sformułowaniu CAPM nie ma wymiaru czasowego jednak trudno z niego zrezygnować z badaniach ekonometrycznych. Korzystając z danych w postaci szeregów czasowych trzeba poczynić pewne założenia zwykle zakłada się, że badane zwroty mają rozkłady IID i że ich łączny rozkład jest wielowymiarowym rozkładem normalnym. W dominującej mierze praktyka ukształtowana jest przez badania amerykańskie, gdzie rynek to S&P 500, R f to rentowność obligacji skarbowych, a próba to zwykle 5 lat danych miesięcznych okazuje się, że dla miesięcznych stóp zwrotu założenia takie są do przyjęcia.

Szacowanie parametrów (1/2) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Aby oszacować parametry stosuje się dwuetapową procedurę: 1 W pierwszym etapie zakładamy, że β i jest stała w całym badanym okresie a następnie szacujemy regresję na danych czasowych. Dla każdego i szacujemy równanie: R it r t = α i + β i [E(R mt ) r t ] + ε it 2 Uzyskane w tym etapie oszacowania β i dla każdego i stosowane są w etapie następnym.

Szacowanie parametrów (2/2) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM 2 W drugim etapie na danych przekrojowych szacujemy regresję średnich zwrotów (np. miesięcznych) względem estymatorów β i : R i = λ 0 + λ 1 ˆβ i + ν i i testujemy czy istotne są tylko współczynniki przy β i.

Problemy ekonometryczne Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM estymator parametru beta w pierwszej regresji jest nieobciążony, ale jest mierzony z błędem, stąd w drugiej regresji mamy obciążenie estymatora MNK, jeśli rozkład składnika losowego w pierwszej regresji nie jest normalny, to mamy kłopoty z wnioskowaniem.

Rozwiązania problemów Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Niektóre z tych problemów da się rozwiązać: sortując pojedyncze aktywa według pewnej cechy (indywidualna beta, wielkość spółki, relacja wartości księgowej do rynkowej) oraz szacując bety dla portfeli, a następnie przypisując tak oszacowanym betom wszystkie indywidualne aktywa z danego portfela.

Jagannathan, Wang (1993) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Jagannathan, Wang (1993), The CAPM Is Alive and Well, Washington University = podstawowe dane o rynku dla okresu badania można znaleźć w Jagannathan, McGrattan (1995) (Table 1, 2, 3, Chart 1)

Jagannathan, Wang (1993) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Dla każdego roku (próba miesięczne dane dla okresu 1963.07 1990.12) przydzielamy firmy do jednego z 10 portfeli wyznaczonych przez decyle wartości firm. Dla każdej grupy decylowej szacujemy beta dla każdej firmy na podstawie próby liczącej od 24 do 60 miesięcy, gdzie portfelem rynkowym jest indeks wszystkich papierów z bazy danych CRSP (niefinansowe firmy notowane na NYSE i AMEX). Wyniki nazywamy dalej oszacowaniami pre-bet.

Jagannathan, Wang (1993) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Następnie w ramach każdej grupy decylowej wg wielkości dzielmy firmy na 10 decyli wg wartości pre-beta. Mamy w ten sposób 100 portfeli i obliczamy zwroty (jako nieważone średnie zwroty z akcji portfela) dla każdego z nich dla okresu 12 miesięcy następujących po okresie wykorzystanym dla szacowania pre-bet. Powtarzamy tę procedurę dla kolejnych miesięcy i daje nam to szereg czasowy 330 miesięcznych zwrotów dla każdego ze 100 portfeli wyznaczonych przez wielkość firmy i pre-bety. Zróżnicowanie tak otrzymanych wyników pokazuje Table 1.

Jagannathan, Wang (1993) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Otrzymane zróżnicowanie stóp zwrotu pokazuje zalety procedury sortowania zaproponowanej przez Famę i Frencha dostaliśmy bowiem bardzo zróżnicowane miesięczne stopy zwrotu od 0,61% do 1,72% Następnie liczymy beta portfela z regresji jego stopy zwrotu względem stopy zwrotu z indeksu CRSP. Wyniki pokazane są w Table 2. Otrzymane w ten sposób bety wahają się od 0,51 do 1,71.

Jagannathan, Wang (1993) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Sprawdzenie, czy bety wystarczają do wyjaśnienia całości zróżnicowania indywidualnych stóp zwrotu, podejmowane było w literaturze niekiedy w bardzo prostej postaci. Fama i French rozważali dwie bardzo proste regresje: R it = γ 0t + γ vwt β vw i R it = γ 0t + γ vwt β vw i + ε it + γ size,t log(me it ) + ε it Ich oszacowania (na danych niewiele różniących się od przedstawionych powyżej) przedstawione są w Table 4.

Jagannathan, Wang (1993) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM γˆ vw t γ size ˆ t ri 2 rii 2 Fama & 0.15 (0.46) French -0.15 (2.48) (1992) -0.37 (1.21) -0.17 (3.41) NYSE -0.10 (0.28) 1.26 26.92 i -0.10 (1.91) 23.01 AMEX -0.32 (0.95) -0.12 (2.47) 43.69-0.03 (0.08) 0.12 24.02 NYSE -0.11 (1.89) 19.23-0.23 (0.67) -0.12 (2.41) 37.70

Jagannathan, Wang (1993) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Fama i French (1992) interpretowali te wyniki jako świadectwo nieprawdziwości CAPM. Jednak porównanie wartości wskaźników z ostatnich 2 kolumn pokazuje, że bety wyjaśniają zróżnicowanie przekrojowe zwrotów w każdym pojedynczym miesiącu (ok. 27% lub 24%), natomiast nie wyjaśniają zróżnicowania przeciętnych zwrotów 100 portfeli (1,35% lub 0,12%). Nie można jednak utrzymać hipotezy (ii) wielkość spółki okazuje się również istotna!

Jagannathan, Wang (1993) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Możliwe są jednak i inne tzw. anomalie, tj. występowanie innych istotnych czynników np. P/E, BV/MV, etc. omówienie: Campbell, Lo, MacKinlay (1997), r. 5, Jagannathan, Wang (1993).

Krytyka Rolla (1977) (1/3) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM CAPM jest nietestowalny ponieważ portfel rynkowy jest nieobserwowany Problem nieodpowiednich (niewystarczających) proxies dla ryzyka systematycznego być może, CAPM nie może być testowane empirycznie, gdyż nie możemy zaobserwować prawdziwego portfela rynkowego.

Krytyka Rolla (1977) (2/3) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Istnieją dwa powody dlaczego użycie przybliżenia portfela rynkowego zaburza wyniki testów 1 proxy portfela rynkowego może być MVE, podczas gdy prawdziwy portfel rynkowy nie musi być efektywny 2 proxy może byc nieefektywne, ale to nic nie mówi o efektywności portfela rynkowego

Krytyka Rolla (1977) (3/3) Ryzyko systematyczne vs. specyficzne Założenia modelu Model Specyfikacja ekonometryczna Krytyka CAPM Udział akcji w majątku i dochodów z akcji w dochodach jest średnio równy zwykle kilku procentom = to spostrzeżenie przyczyniło się bardzo do popularności APT Ross (1976). APT dopuszcza więcej czynników ryzyka i nie wymaga określenia portfela rynkowego.

APT (1/3) Model zaproponowany przez Ross a (1976) Dopuszcza on więcej czynników ryzyka i nie wymaga specyfikacji portfela rynkowego Pomysł: Obliczenie relacji między oczekiwanymi zwrotami z różnych aktywów. Znajomość różnic uniemożliwi przeprowadzenie arbitrażu. Zwroty są funkcją czynników, ale model ich nie identyfikuje Prawo jednej ceny portfele z identyczną wrażliwością na czynniki powinny dawać identyczną stopę zwrotu

APT (2/3) Badanie wykonuje się dwuetapowo 1 szacowanie czynników 2 sprawdzanie czy czynniki wyjaśniają zróżnicowanie stóp zwrotu E(R i ) = R 0 + λ 1 β 1 + λ 2 β 2 +... + λ j β j gdzie: R i - zwrot z aktywu i, R 0 - zwrot z portfela bez ryzyka (portfela z zerową betą) β j - współczynnik reakcji: zmiana zwrotu z aktywa i wywołana jednostkową zmianą czynnika j λ k - premia za ryzyko związana z czynnikiem k

Szacowanie APT Parametry modelu są szacowane z wykorzystaniem klasycznego modelu regresji liniowej R it = β i0 + β i1 δ 1t +... + β ij δ Jt + u it gdzie: R it - stopa zwrotu z aktywu i w okresie t, δ jt - zwrot z aktywów przypadający na czynnik j β ij - oszacowania wrażliwość aktywu i na czynnik j u it IID (0, σ 2 u)

APT - ujęcie formalne (1/10) Huberman, Wang (2005), Arbitrage Pricing Theory, Federal Reserve Bank of New York Staff Report No. 216: Model APT zakłada, że inwestorzy wierzą, że następujący model czynnikowy tłumaczy zróżnicowanie stopy zwrotu z inwestycji kapitałowych: r = µ + βf + e (1) gdzie e jest wektorem czynników losowych (reszt), f jest wektorem czynników (factors), µ jest wektorem stałych oraz β jest macierzą ładunków czynnikowych.

APT - ujęcie formalne (2/10) Bez utraty ogólności rozważań możemy znormalizować (1) tak, aby E[f ] = 0 i E[e] = 0, gdzie E[ ] oznacza wartość oczekiwaną a 0 oznacza macierz zerową o odpowiednim wymiarze. Z modelu czynnikowego (1) wynika, że E[r] = µ. Zakładamy, że liczba aktywów uwzględnianych w modelu n jest dużo wyższa niż liczba uwzględnianych czynników k.

APT - ujęcie formalne (3/10) Model APT zapewnia istnienie takiej stałej, że dla każdego n, nierówność: (µ X λ)z 1 (µ X λ) a (2) jest spełniona dla wektora λ o wymiarze (k + 1) 1, i dodatnio określonej macierzy Z o wymiarze n n. W tym przypadku X oznacza macierz X = (1, β), złożoną z dwóch macierzy: wektora stałego 1 o wymiarze n 1 składającego się z jedynek, oraz macierzy ładunków czynnikowych β. Niech wektor λ 0 będzie pierwszą składową λ oraz macierz λ 1 zawiera pozostałe składowe. Jeżeli istnieje portfel bez ryzyka, wówczas λ 0 jest zwrotem z portfela bez ryzyka.

APT - ujęcie formalne (4/10) Jako dodatnio określoną macierz Z często przyjmuje się macierz wariancji-kowariancji E[ee ]. Dokładna formułę arbitrażową uzyskuje się jeżeli (2) jest zastępowane przez µ = X λ = 1λ 0 + βλ 1 (3)

APT - ujęcie formalne (5/10) Wektor λ 1 jest określany jako premia za ryzyko, a macierz β jest nazywana macierzą beta albo macierzą ładunków czynników ryzyka. Interpretacja równania (2) jest następująca: każdy składnik wektora µ w przybliżeniu zależy liniowo od odpowiedniego wiersza β. ta liniowa relacja jest stała względem rozpatrywanych aktywów. Przybliżenie jest tym lepsze, im mniejszą wartość przyjmuje stała a, dla a = 0 zależność jest dokładna równanie (3) jest spełnione.

APT - ujęcie formalne (6/10) Niemniej, w pracach empirycznych zwykle ignoruje się (2) i korzysta bezpośrednio z równości (3). Badanie wykonywane jest w dwóch krokach w pierwszym szacowane są czynniki (lub przynajmniej macierz β), następnie sprawdzane jest, czy zachodzi dokładna relacja opisana przez (3).

APT - ujęcie formalne (7/10) Bardziej formalnie oznacza to, że w pierwszym kroku szacuje się regresję postaci r t = α + βf t + e t (4) gdzie subskrypt t oznacza realizacje odpowiednich zmiennych w okresie t.

APT - ujęcie formalne (8/10) Czynniki obserwowane empirycznie mają często niezerową średnią, oznaczmy ją przez δ. Estymatory MNK dane są dla powyższej regresji następującymi wzorami: ˆµ = 1 T rt ˆβ = ˆδ = 1 T ft [ (rt ˆµ)(f t ˆδ) ][ (ft ˆδ)(f t ˆδ) ] 1

APT - ujęcie formalne (9/10) W następnym kroku szacujemy otrzymaną z (3) i (4) regresję postaci: r t = 1λ 0 + β(f + λ 1 ) + e t

APT - ujęcie formalne (10/10) Jeśli założymy, że stopy zwrotu i czynniki są IID i normalne, to estymatory MNW mają postać: ( (rt )( (ft ) 1 β = iλ 0 )(f t + λ 1 ) + λ 1 )(f t λ 1 ) Ω = 1 T e te t gdzie: e t = r t 1λ 0 β(f t + λ 1 ) λ = (X Σ 1 X ) 1 X Σ 1 (ˆµ βˆδ) gdzie X = (1, β)

Szacowanie macierzy β Uwaga: szacowanie macierzy β zakłada dokonanie, przynajmniej implicite, identyfikacji czynników. Można to zrobić wykorzystując jeden z trzech sposobów: 1 zastosować formalny statystyczny algorytm analizy oszacowania macierzy wariancji-kowariancji zwrotów, np. analizę czynnikową lub głównych składowych; 2 dokonać wizualnej analizy macierzy kowariancji, a następnie ekspercko zaproponować czynniki i szacować macierz β;

Szacowanie macierzy β 3 ekspercko zaproponować czynniki, oszacować ładunki czynnikowe i sprawdzić, czy zachodzi (3). Przykładami takich zmiennych mogą być stopy zwrotu z indeksów rynkowych, nachylenie krzywej dochodowości, inflacja, tempo wzrostu PKB, produkcji przemysłowej lub konsumpcji itp.

Porównanie CAPM i APT Przykład badania testującego, który z modeli APT czy CAPM nadaje się lepiej do modelowania rynku akcji w Indiach: Raj S. Dahnkar, Rohini Singh (2005) Arbitrage Pricing Theory and the Capital Asset Pricing Model - Evidence from the Indian Stock Market, Journal of Financial Management & Analysis vol 18/1, pp. 14-27. dane odejmują 158 akcji dużych i średnich przedsiębiorstw charakteryzujących się wysoką płynnością, wchodzących w skład jednego z trzech głównych indeksów. okres badania: styczeń 1991 - grudzień 2002

Dahnkar, Singh (2005) Rezultaty modelu APT dla przykładowego portfela Czynnik % wyjaśnionej wariancji przemysł beta losowo 1 80.81 85.08 85.93 2 4.17 3.45 1.94 3 2.55 1.61 1.82 4 1.83 1.45 1.53 5 1.57 1.18 1.26 RAZEM 90.93 92.77 92.40

Dahnkar, Singh (2005) Istnieje jeden czynnik główny, którego znaczenie lekko spada wraz z czasem, Wpływ poszczególnych czynników na zwroty zmienia się z czasem, Następuje rotacja czynników znaczących pierwszy czynnik jest najbardziej znaczący przy sortowaniu według bet oraz losowym doborze portfeli

Dahnkar, Singh (2005) APT R 2 = 0.537 R t = 0.28 (0.2) + 0.17 (1.18) b 1 + 0.13 (3.45) b 2 + 0.04 (1.22) b 3 + 0.11 (2.29) b 4 + 0.08 (1.46) b 5 CAPM R 2 = 0.06 R t = 1.28 (0.925) + 0.757 (0.48) β w nawiasach statystyki t-studenta

Dahnkar, Singh (2005) Model stała f1/beta Adj-R 2 Istotne F APT vs CAPM 158 akcji APT 5 czyn. -0,183 0,198 0,451 f1,f2,f4,f5 24.5+ CAPM 0,589 1,504 0,104 beta 15 portfeli alfabetycznych APT 5 czyn. 1,050 0,080 0,316-14.0+ CAPM 1,370 0,619 0,030 -

Dahnkar, Singh (2005) Model stała f1/beta Adj-R 2 Istotne F APT vs CAPM 15 portfeli przemysłowych APT 3 czyn. 0,979 0,091 0,294 f2 26.6+ APT 5 czyn. 0,280 0,157 0,537 f2,f4 79.0+ APT 7 czyn. 0,561 0,130 0,580 f2,f4 126.2+ APT 9 czyn. 0,657 0,121 0,487 f2 149.6+ CAPM 1,282 0,787 0,060 -

Dahnkar, Singh (2005) Model stała f1/beta Adj-R 2 Istotne F APT vs CAPM 15 portfeli wg bety APT 3 czyn. 1,356 0,048 0,530 - APT 5 czyn. 1,371 0,046 0,479 - APT 7 czyn. 1,716 0,013 0,358 - APT 9 czyn. 2,570 0,071 0,186 - CAPM 0,196 1,614 0,578 beta

Porównanie CAPM i APT Wnioski z badania: Model APT daje lepsze oszacowania oczekiwanych stóp zwrotu niż CAPM. Co więcej, model APT wyjaśnia większą część wariancji niż model CAPM. Autorzy zauważają, że trudno jest wyciągać ogólne wnioski na podstawie jednego badania, bowiem rezultaty mogą być determinowane przez dobór próby, czasu, okresu badania oraz metody szacowania. Autorzy sugerują, że powinno zwracać się większą uwagę na modele wieloczynnikowe.