Budownitwo i Arhitektura 4 (29) 5-3 Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi o niskim stopniu zbrojenia Politehnika Lubelska, Wydział Inżynierii Budowlanej i Sanitarnej, Katedra Konstrukji Budowlanyh, ul. Nadbystrzyka 4, 2-618 Lublin, e-mail: p.smarzewski@pollub.pl Streszzenie: W artykule przedstawiono analizę wytężenia zginanyh belek żelbetowyh wykonanyh z betonu wysokiej wytrzymałośi o niskim stopniu zbrojenia. Modelowanie deformaji elementów pod obiążeniem statyznym do zniszzenia włąznie z uwzględnieniem nieliniowośi fizyznyh betonu i stali zbrojeniowej przeprowadzono z wykorzystaniem zasad metody elementów skońzonyh. W elu zweryfikowania przyjętyh modeli materiałów konstrukyjnyh wyniki analiz numeryznyh przedstawiono na tle wyników eksperymentalnyh dostępnyh w literaturze. Słowa kluzowe: metoda elementów skońzonyh, elementy żelbetowe, belki. 1. Wprowadzenie W ostatnih latah wraz z większą wydajnośią systemów oblizeniowyh oraz możliwośią ih zastosowania w proesie analizy i projektowania konstrukji inżynierskih nastąpił intensywny rozwój metod numeryznyh używanyh w zakresie oblizeń statyznyh, wymiarowania i analizy zahowania konstrukji aż do osiągnięia przez nią stanów graniznyh. Metody numeryzne są jedyną drogą do uzyskania praktyznie przydatnyh rozwiązań w analizie złożonyh ustrojów przestrzennyh wykonanyh z materiałów nie podlegająyh prawom liniowej sprężystośi. Ze wszystkih metod numeryznyh najzęśiej stosowana jest Metoda Elementów Skońzonyh, która stała się podstawowym narzędziem analizy w bardzo wielu dziedzinah naukowyh i praktye inżynierskiej. Polega ona na podziale kontinuum o nieskońzonej lizbie punktów na skońzoną lizbę elementów połązonyh ze sobą w węzłah. Wszystkie zmienne w równaniu zagadnienia wyraża się przez przemieszzenia punktów węzłowyh wyznazane z układu równań algebraiznyh. Wymaga to sformułowania zależnośi geometryznyh oraz przyjęia związków konstytutywnyh uzależniająyh składowe stanu naprężenia i odkształenia. We współzesnym piśmiennitwie jest wiele monografii i artykułów poświęonyh tej metodzie. Do podstawowyh pra w tym zakresie należą monografie Zienkiewiza i Taylora [17], Crisfielda [6], Bathe [2], Kleibera [9], Boneta i Wooda [3]. Analiza wytężenia elementów konstrukyjnyh jest ważnym zagadnieniem mehaniki konstrukji, szzególnie w odniesieniu do materiałów kruhyh, gdyż
6 umożliwia oenę jej bezpiezeństwa i optymalne projektowanie. Zwiększenie nośnośi elementów konstrukyjnyh wykonanyh z materiałów kruhyh uzyskuje się przez zastosowanie zbrojenia w postai wiotkih prętów stalowyh rozłożonyh w materiale matryy elementu w tyh strefah, w któryh występują naprężenia roziągająe wywołująe zarysowanie materiału. Dynamizny rozwój tehniki komputerowej stworzył również możliwośi wykonania analiz nieliniowyh dotyząyh żelbetowyh układów konstrukyjnyh ze szzególnym uwzględnieniem zróżniowanyh sprężysto-plastyznyh harakterystyk materiałowyh: betonu i stali, rzezywistego układu zbrojenia, wzajemnej współpray obu materiałów oraz symulaji mehanizmu zniszzenia elementów konstrukyjnyh. Jak dowiodła praktyka inżynierska, zrealizowane dotyhzas konstrukje z betonu, zaprojektowane bez wspomagania komputerowego, spełniają najzęśiej swoje zadanie i nie uległy awariom, niemniej jednak różne wpływy fizyzne, takie jak skurz, oddziaływania termizne, naprężenia przyzepnośi i pełzanie lub geometryzne, takie jak złożony układ konstrukyjny były oeniane w dużym stopniu jedynie na podstawie intuiji inżynierskiej. Prowadziło to zęsto do znaznego przewymiarowania konstrukji w elu zapewnienia im wymaganego bezpiezeństwa oraz odpowiednih walorów użytkowyh. Analiza zahowania belek żelbetowyh wykonanyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi była przedmiotem wielu pra doświadzalnyh m.in. Taerwe [15], Pee i Fabbroino [11], Rashida i Mansura [12]. W kraju podstawową praą w tym zakresie jest praa Kamińskiej [8], będąa źródłem wzorowyh wyników, do któryh odnoszone są własne rozwiązania teoretyzne. Beton wysokowartośiowy, zyli beton o wysokiej wytrzymałośi i jednoześnie wysokiej szzelnośi, zawiera wszystkie składniki już wześniej stosowane do betonów, ale dozowane w innyh proporjah. Szzegółowe informaje dotyząe klasyfikaji i właśiwośi tyh kompozytów materiałowyh na bazie ementu zostały przedstawione w monografii Aïtina [1]. Niewątpliwie zastosowanie betonów wysokowartośiowyh w budownitwie będzie stale wzrastało zarówno ze względu na jego wysoką wytrzymałość, jak i na wysoki moduł sprężystośi. Ponadto w bardzo wielu praktyznyh zastosowaniah olbrzymie znazenie ma wysoka odporność betonu wysokowartośiowego na wpływy klimatyzne i oddziaływanie agresywnego środowiska związana z jego bardzo wysoką szzelnośią. Speyfizne ehy betonów wysokowartośiowyh skłaniają ku konieznośi podjęia nie tylko badań doświadzalnyh, ale również teoretyznyh badań z zakresu konstytutywnego modelowania właśiwośi materiałowyh, w szzególnośi modelowania zahowania zbrojonyh elementów konstrukyjnyh oraz analizy mehanizmów wytężenia i zniszzenia konstrukji wykonanyh z takiego materiału. Przedmiotem pray są belki żelbetowe z betonu wysokiej wytrzymałośi traktowane jako kompozyja materiałowa składająa się z matryy betonowej wzmonionej wiotkimi prętami stalowymi rozłożonymi dyskretnie w materiale matryy. Głównym elem pray jest modelowanie mehanizmów zniszzenia belek żelbetowyh obiążonyh statyznie, proesów statyznego odkształania belek żelbetowyh wykonanyh z betonu wysokiej wytrzymałośi z uwzględnieniem nieliniowośi fizyznyh materiałów konstrukyjnyh betonu i stali zbrojeniowej.
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 7 Osiągnięie tego elu wymagało zrealizowania elów szzegółowyh, do któryh należą: opraowanie własnego modelu teoretyznego betonu dla materiału sprężysto-plastyznego z uwzględnieniem osłabienia materiałowego przy śiskaniu i roziąganiu, opraowanie oryginalnyh analiz zahowania przestrzennyh belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi pod obiążeniem statyznym, opraowanie efektywnej metody oblizeniowej długośi łuku Crisfielda w analizah niezwykle gwałtowanyh proesów zniszzenia: zarysowania i miażdżenia w elu dokładniejszego oszaowania pokrytyznego zahowania elementów konstrukyjnyh. Zakres pray obejmuje rozważania dotyząe modelowania niesprężystyh właśiwośi materiałów, modelowania proesów odkształania przestrzennyh ustrojów konstrukyjnyh oraz opraowanie rozwiązań numeryznyh. 2. Modelowanie właśiwośi materiałów konstrukyjnyh 2.1. Modelowanie właśiwośi betonu 2.1.1. Pięioparametrowa powierzhnia granizna betonu Powierzhnię granizną betonu przedstawiono za pomoą modelu pięioparametrowego Willama i Warnke [16]. W elu opisania paraboliznego kształtu południków powierzhni graniznej model trójparametrowy uzupełniono o dodatkowe dwa parametry. Kryterium zniszzenia betonu w złożonym stanie naprężenia opisano wyrażeniem: F - S ³ f w którym: F funkja stanu naprężeń s, s, s xp yp zp działająyh w kierunkah prostokątnego układu współrzędnyh xyz,,, S - powierzhnia granizna zależna od naprężeń głównyh s, s, s, gdzie: s = max s s s 1 2 3 1 (,, xp yp zp ), s min s, s, s (1) = 3 ( xp yp zp ) i s ³ s ³ s oraz pięiu parametrów: f 1 2 3 wytrzymałośi na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia (wywołująej miażdżenie), f t wytrzymałośi na roziąganie w jednoosiowym stanie naprężenia (wywołująej zarysowanie), f b wytrzymałośi w stanie dwuosiowego śiskania (wywołująej miażdżenie), f 1 wytrzymałośi w stanie dwuosiowego śiskania nałożonej w stanie naprężenia hydrostatyznego s h a oraz f 2 wytrzymałośi w stanie jednoosiowego śiskania nałożonej w stanie naprężenia hydrostatyznego s a h. Powierzhnia granizna betonu jest wykorzystywana jako kryterium zniszzenia zgodnie z następująą interpretają. Materiał znajduje się w stanie zniszzenia, gdy nierówność (1) jest spełniona. Jako stany zniszzenia rozróżnia się stan zarysowania, jeżeli dowolne naprężenie główne jest roziągająe, oraz stan zmiażdżenia, gdy wszystkie naprężenia główne są śiskająe. Powierzhnia granizna S jest definiowana przez pięć parametrów wytrzymałośiowyh f, f, f, f, f i stan hydrostatyznego naprężenia s a h t b 1 2.
8 Opis zniszzenia betonu określa się w ztereh zakresah stanu naprężenia: 1. ³ s ³ s ³ s (śiskanie-śiskanie-śiskanie), 1 2 3 2. s ³ ³ s ³ s (roziąganie-śiskanie-śiskanie), 1 2 3 3. s ³ s ³ ³ s (roziąganie-roziąganie-śiskanie), 1 2 3 4. s ³ s ³ s ³ (roziąganie-roziąganie-roziąganie). 1 2 3 W każdym zakresie stanu naprężenia, niezależne funkje F, F, F, F 1 2 3 4 i S, S, S, S opisują odpowiednio funkję stanu naprężeń F i powierzhnię 1 2 3 4 granizną S. Funkje te szzegółowo opisano w praah [13, 14] w każdym zakresie stanu naprężenia. Powierzhnię granizną i interpretaję grafizną promieni przekroju dewiatorowego r, r t w zależnośi od parametrów wytrzymałośiowyh x i kąta Lodego q przedstawiono na Rys. 1. zp /f (a) (b) a f 2 xp yp zp r f r t r r t r r r t yp /f f 1 r t b f b t f t xp /f Rys. 1. Konstrukja powierzhni graniznej: (a) w obszarze naprężeń głównyh i (b) w przekroju hydrostatyznym. Fig. 1. Spatial failure surfae: (a) in prinipal stress spae and (b) in hydrostati setion. Promień przekroju dewiatorowego r t jest określony przez parametry a, a, a 1 2 dobrane w taki sposób, aby f, f, f t b 1 leżały na powierzhni graniznej. Promień przekroju dewiatorowego r jest wyrażony przez parametry b, b, b określone na podstawie zależnośi zahodząyh wzdłuż południka śiskania przy q = 6. Wartośi 1 2 f, f 1 2 dobrano na poziomie stanu hydrostatyznego naprężenia dla konstrukji rzezywistej s a h. Powierzhnia granizna jest wypukła, jeśli wartośi parametrów spełniają silnie ogranizająe nierównośi: a >, a, a 1 2 b >, b, b 1 2 5, < r t < 125, r Model powierzhni graniznej opisany powyżej łatwo redukuje się do prostszyh modeli powierzhni graniznyh: ylindra Misesa, gdy: a = b, a = b = a = b =, stożka Drukera-Pragera, gdy: a = b, a = b, a = b =, 1 1 2 2 1 1 2 2 (2)
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 9 stożka z nieobrotową podstawą, gdy: a a 1 =, a = b = lub stożka z krzywoliniowymi tworząymi i nieobrotową podstawą, gdy: a a a 2 2 b b 1 1 2 = =. Wartośi b b b 1 2 parametrów harakteryzująyh ten model są łatwe do wyznazenia na podstawie standardowyh prób wytrzymałośiowyh. Zawiera on wszystkie trzy niezmienniki naprężeń w równoważnej formie naprężeń średnih s h, F i kąt Lodego q. Na Rys. 2 przedstawiono powierzhnię granizną w dwuosiowym stanie naprężenia po zrzutowaniu na płaszzyznę s xp s yp w obszarze największyh niezerowyh naprężeń normalnyh s xp, s yp. Stany bezpieznej pray materiału znajdują się wewnątrz tej powierzhni, której ewoluja będzie reprezentować wzmonienie lub osłabienie materiałowe. Osiągnięie przez śieżkę naprężenia powierzhni graniznej skutkuje wzrostem odkształeń bez zmiany naprężenia lub osłabieniem materiałowym opisująym spadek naprężeń. Na powierzhni graniznej natomiast są położone punkty odpowiadająe zniszzeniu w funkji znaku naprężenia normalnego s zp w kierunku z. Fizyznie niemożliwy jest stan, któremu odpowiada punkt położony na zewnątrz ogranizonego obszaru. Jeżeli w kierunkah x, y występuje śiskanie ( s xp <, s yp < ), a w kierunku z roziąganie ( s zp > ), to rysa powstanie w płaszzyźnie prostopadłej do naprężenia roziągająego s zp. Materiał zostanie zmiażdżony, gdy wartość naprężenia normalnego jest nieznaznie mniejsza lub równa zero ( s zp ). Moduł sprężystośi zmiażdżonego elementu materiału matryy betonowej we wszystkih kierunkah jest równy zero. yp f zarysowanie f t zarysowanie f t xp zp > (zarysowanie lub mia d enie) zp = (mia d enie) zp < (mia d enie) f zarysowanie Rys. 2. Powierzhnia granizna w obszarze naprężeń normalnyh w dwuosiowym stanie naprężenia. Fig. 2. Failure surfae in prinipal stress spae with biaxial stress.
1 2.1.2. Propozyja własna prawa ewoluji powierzhni graniznej w przestrzeni naprężeń Równania opisująe krzywą zależnośi pomiędzy odkształeniami i naprężeniami są bardzo użytezne w zastosowaniah do analizy konstrukji. Interpretują wyniki analiz numeryznyh belek żelbetowyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi zauważono, że zastosowanie proponowanyh literaturowyh równań opisująyh zależnośi pomiędzy odkształeniami i naprężeniami prowadzi do znaznego zmniejszenia graniznyh ugięć konstrukji. Mniejsze krzywizny granizne oznazają zmniejszenie możliwośi redystrybuji sił wewnętrznyh w konstrukji, niekorzystne z punktu widzenia jej bezpiezeństwa. Na Rys. 3 na podstawie przeprowadzonyh doświadzeń numeryznyh belek żelbetowyh w konfrontaji z wynikami doświadzalnymi belek żelbetowyh przedstawionymi w pray Kamińskiej [8] zaproponowano własną konepję zahowania betonu o wysokiej wytrzymałośi w stanie jednoosiowego śiskania i roziągania w konstrukji żelbetowej. Istotą własnej zależnośi naprężenie-odkształenie dla betonu jest uwzględnienie w stanie jednoosiowego śiskania fazy sprężysto-plastyznego wzmonienia i fazy osłabienia materiałowego oraz potwierdzonej doświadzalnie m.in. przez Pee, Fabbroino [11] i Kamińską [8] obserwaji o znaznie większyh wartośiah graniznyh odkształeń uzyskanyh w konstrukjah niż na próbkah, związanyh ze zbrojeniem konstrukji i efektem skali. (a) t (b) f f t,8f E f t f /3 dla < dla R t E t =E 1 u k k t Rys. 3. Propozyja zależnośi naprężenie-odkształenie dla betonu: (a) w stanie jednoosiowego śiskania, (b) w stanie jednoosiowego roziągania. Fig. 3. Proposal stress-strain relationship for onrete: (a) in uniaxial ompression, (b) in uniaxial tension. Zakres fazy sprężystej w betonie przy śiskaniu jest uzależniony od stopnia zbrojenia konstrukji i wytrzymałośi betonu. Dla betonu o wysokiej wytrzymałośi przy wysokim stopniu zbrojenia większym od 1,5 % założono liniowy przebieg funkji naprężenie-odkształenie przy śiskaniu do ok. 7 % wartośi graniznej wytrzymałośi na śiskanie f. Związany jest on również z bardziej sztywnym zahowaniem betonu wysokowartośiowego niż betonu zwykłego z powodu większej wytrzymałośi warstwy kontaktowej kruszywo-matrya i mniejszą ilośią mikrospękań. Powyżej występuje faza sprężysto-plastyznego wzmonienia matryy betonowej z liniowym przyrostem naprężenia do graniznej wytrzymałośi na śiskanie f. Po jej osiągnięiu beton ulega osłabieniu do 8 % wartośi graniznej
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 11 wytrzymałośi na śiskanie przy graniznym odkształeniu e u, a gałąź krzywej opada łagodnie w obszarze osłabienia materiałowego. W wielu modelah powstałyh w opariu o badania próbek opadająa zęść krzywej jest tym moniej nahylona im wyższa jest wytrzymałość betonu, o świadzy o większej kruhośi betonu wysokiej wytrzymałośi. Ta prawidłowość nie zawsze jednak znajduje odzwieriedlenie w zahowaniu betonu w żelbetowyh elementah konstrukyjnyh. Ponadto wyniki badań doświadzalnyh wykazały, że obawy o niską odkształalność betonu wysokiej wytrzymałośi w elementah konstrukyjnyh są nieuzasadnione. W badaniah Kamińskiej [8] stwierdzono, że w tyh elementah, które uległy zniszzeniu przez zmiażdżenie betonu strefy śiskanej, odkształenia betonu osiągały aż 6 i były dwukrotnie wyższe niż odkształenia niszząe rejestrowane na próbkah, o jest korzystne z punktu widzenia bezpiezeństwa konstrukji. Przyjęie zbyt małyh możliwośi odkształania się betonu wysokiej wytrzymałośi przy śiskaniu, jak np. w zaleeniah Model Code 9 [4], powoduje znazne zmniejszenie graniznyh krzywizn elementów konstrukyjnyh. Z tyh powodów w modelu do analiz konstrukji żelbetowyh zaproponowano większą możliwość odkształania się betonu przy śiskaniu. Założono odkształenia e 1 odpowiadająe graniznej wytrzymałośi na śiskanie f równe 6, a odkształenia granizne przy śiskaniu e u równe 12. Krzywa naprężenie-odkształenie dla betonu przy roziąganiu ma przebieg liniowy do graniznej wytrzymałośi na roziąganie f t. Założono na podstawie pray Lyndona i Balendrana [1], że moduł sprężystośi przy roziąganiu jest równy modułowi przy śiskaniu. Po osiągnięiu tej wartośi powstają rysy w betonie i następuje kruhy spadek wytrzymałośi związany z pękaniem do wartośi większej lub równej 6 % graniznej wytrzymałośi na roziąganie. Wartość parametru T powinna być dobrana z przedziału zamkniętego T Î 61, ;. W wyniku przyzepnośi na odinku między rysami beton przejmuje znaząe wielkośi naprężeń roziągająyh stal zbrojeniową i w konsekwenji konstrukja żelbetowa zwiększa swoją sztywność. Taki efekt usztywnienia uwzględniono przez założenie stopniowego, łagodnego spadku wytrzymałośi na roziąganie do zera przy zniszzeniu betonu przy średnih odkształeniah równyh:,8, gdy T = 6, oraz 1,4, gdy T = 1. 2.1.3. Charakterystyka elementów skońzonyh materiału matryy betonowej W analizie konstrukji betonowyh zastosowanie elementów sześiośiennyh jest korzystne ze względu na zazwyzaj ortogonalny przebieg zbrojenia. Element skońzony materiału matryy betonowej jest definiowany przez izotropowe właśiwośi materiału i osiem punktów węzłowyh o trzeh stopniah swobody w każdym z nih, to jest przemieszzenia w punktah węzłowyh w kierunkah x, yz,. W każdym elemenie skońzonym we wszystkih punktah numeryznego ałkowania w trzeh płaszzyznah lokalnego układu współrzędnyh prostopadłyh oblizane są odkształenia i naprężenia. Shemat elementu skońzonego i oblizeniowe punkty numeryznego ałkowania przedstawiono na Rys. 4.
12 5 P 6 4 O C 8 x z M I y 2 L N J 3 1 K z y C 1 C 2 Rys. 4. Element skońzony materiału matryy betonowej i punkty numeryznego ałkowania w tym elemenie. Fig. 4. Finite element of the onrete matrix material and integration points in onrete solid element. Założony model rysy rozmytej umożliwia opis zarysowania w każdym punkie numeryznego ałkowania na trzeh kierunkah prostopadłyh w przestrzeni naprężeń głównyh. Rysa powstaje wtedy, gdy roziągająe naprężenie główne jest większe od wytrzymałośi betonu na roziąganie. W grafiznej reprezentaji wyników zarysowanie jest przedstawione w postai okręgu widoznego w kierunku prostopadłym do głównego naprężenia, jak zilustrowano na Rys. 5. y C 5 x C 4 C6 C 7 C 3 oznazenie rysy punkt numeryznego a kowania x kierunek napr e g ównyh Rys. 5. Oznazenie zarysowania. Fig. 5. Craking sign. z W następnej kolejnośi naprężenia styzne do płaszzyzny pierwszej rysy mogą wywołać drugą i trzeią rysę, która powstanie w punkie numeryznego ałkowania w kierunku prostopadłym do wywołująej ją odpowiedniej składowej naprężenia głównego. W stanie zarysowania lub zmiażdżenia betonu w elemenie skońzonym jest dodawana mała wartość sztywnośi dla zahowania równowagi numeryznej.
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 13 2.1.4. Związki konstytutywne betonu Maierz sprężystośi [ D ] dla materiału izotropowego jest przedstawiona w postai: é E D ù ëê ûú = 1+ n 1 2n ( )( - ) é 1 - n n n n 1 - n n n n 1 - n 1-2n 2 1-2n 2 1-2n ëê 2 gdzie: E moduł sprężystośi betonu, n współzynnik Poissona. W stanie zarysowania i miażdżenia maierz sztywnośi jest odpowiednio dostosowana do harakteru uszkodzenia. W modelowaniu numeryznym, w którym posługujemy się rozmytym obrazem rys, koniezne jest zastosowanie opisu uwzględniająego ehy betonu po powstaniu rys. Powstanie rysy w punkie numeryznego ałkowania opisuje zmodyfikowana maierz sztywnośi z wprowadzoną płaszzyzną osłabienia usytuowaną w kierunku prostopadłym do powierzhni rysy. Parametr b t jest mnożnikiem redukująym nośność na śinanie przy obiążeniu wywołująym poślizg w płaszzyźnie prostopadłej do powierzhni rysy. Zależność między naprężeniem a odkształeniem dla materiału zarysowanego w jednej płaszzyźnie jest zapisana w postai maierzowej: éd ëê k ù E ûú = 1 + n é R ëê t ( 1 + n ) ù E 1 n 1-n 1-n n 1 1 -n 1 -n b t 2 1 2 b t 2 ûú w której indeks k opisuje maierz sztywnośi w układzie współrzędnyh z osią x k, analogiznym z kierunkiem naprężeń głównyh. Interpretaję grafizną modułu osłabienia R t i mnożnika sztywnośi strefy roziąganej w fazie zarysowania T przy uwzględnieniu naprężeń relaksayjnyh po zarysowaniu przedstawiono na Rys. 3b. Podzas zamykania się rysy w maierzy é k D ù ëê jest wprowadzony parametr ûú śinania b : ù úû (3) (4)
14 éd ëê k ù E ûú = 1+ n 1 2n ( )( - ) é 1 - n n n n 1 - n n n n 1- n b 1 2n ( - ) 2 1-2n 2 b 1-2n ëê 2 ( ) ù (5) ûú Maierz sztywnośi dla betonu zarysowanego w dwóh i trzeh płaszzyznah jest postai: éd ëê k é t R E t R E 1 ù E t ûú = b 21 ( + n ) bt 2( 1 + n ) bt 21+ ë ê n ( ) a w przypadku, gdy rysy zamykane są w dwóh i trzeh płaszzyznah to zależność jest wyrażona w postai maierzowej (5). Rozwarie lub zamknięie rysy w punkie numeryznego ałkowania zależy od znaku odkształenia przy zarysowaniu e k k. Miażdżenie betonu w punkie numeryznego ałkowania powstaje, gdy ulega on zniszzeniu przy jednoosiowym, dwuosiowym lub trójosiowym śiskaniu. Miażdżenie w elemenie skońzonym jest opisane zgodnie z założeniami teorii plastyznego płynięia jako końowy stan proesu osłabienia materiałowego przy śiskaniu. 2.2. Modelowanie właśiwośi stali zbrojeniowej W konstrukjah betonowyh stal jest używana w postai prętów zbrojeniowyh. Upraszza to znaznie problem modelu materiałowego stali do jednoosiowego stanu naprężenia. W oblizeniah numeryznyh założono model materiałowy stali zbrojeniowej sprężysto-plastyzny o identyznyh harakterystykah przy roziąganiu i śiskaniu. Na Rys. 6 przedstawiono modele materiałowe stali zastosowane w analizie konstrukyjnej ustrojów żelbetowyh. Dla płyt stalowyh usytuowanyh w miejsah podparia i przyłożenia siły skupionej założono model materiałowy liniowo-sprężysty. ù û ú (6)
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 15 s 2 f s f y E s 1 iskanie E T su y s y su s rozi ganie E s 1 E T f y 2 s f st Rys. 6. Wykresy naprężenie-odkształenie dla stali zbrojeniowej zastosowane w analizah modelowyh belek żelbetowyh: linia 1 materiał sprężysto idealnie plastyzny, linia 2 materiał sprężysto plastyzny ze wzmonieniem. Fig. 6. Stress-strain urve for steel reinforement used for the analyses reinfored onrete beam models: line 1 elasti perfetly plasti material, line 2 elasti plasti material with hardening. W modelowaniu stali zbrojeniowej zastosowano przestrzenny element prętowy zilustrowany na Rys. 7, posiadająy dwa punkty węzłowe o trzeh stopniah swobody. w v s J u I y x z Rys. 7. Element skońzony stali zbrojeniowej. Fig. 7. Finite element of the steel reinforement. Sześiośienny element skońzony stali zastosowany do modelowania płyt na podporze belki i w strefie przyłożenia siły skupionej odpowiada elementowi przedstawionemu na Rys. 4.
16 3. Metoda analizy 3.1. Modele elementu żelbetowego W modelowaniu belek zastosowano model zbrojenia dyskretnego w elemenie betonowym. Siatkę przestrzennyh elementów skońzonyh prętów zbrojeniowyh powiązano z siatką elementów skońzonyh matryy betonowej poprzez modelowanie zgodnośi przemieszzeń węzłów wspólnyh obydwu siatek, Rys. 8. Dla tak dyskretyzowanego ustroju maierz sztywnośi jest sumą sztywnośi elementów skońzonyh matryy betonowej i sztywnośi elementów skońzonyh zbrojenia. C 8 element sko zony materia u matryy betonowej C 5 C 7 C 4 C6 C 3 S 1 C 1 C 2 element sko zony stali zbrojeniowej Rys. 8. Połązenie elementu skońzonego z betonu z elementem stalowym. Fig. 8. Connetivity onrete solid and steel link finite elements. S 2 3.2. Warunki brzegowe i obiążenie zastępze Warunki brzegowe wprowadzono w dwóh płaszzyznah symetrii belki. Na Rys. 9 przedstawiono warunki brzegowe w analizowanyh modelah numeryznyh. y B y h A ogranizenie w kierunku x x b z x z L Rys. 9. Warunki brzegowe w płaszzyznah symetrii dla ½ belki BP-1a. Fig. 9. Boundary onditions for planes of symmetry use of a ½ beam BP-1a. Warunki brzegowe na podporah modelowano jako poziome płyty stalowe przekazująe siły węzłowe elementów materiału matryy betonowej na poprzezny
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 17 wałek stalowy umożliwiająy obrót belki w płaszzyźnie zginania. Obiążenie siłą skupioną F jest przyłożone za pośrednitwem poziomej płyty stalowej. Przyjęto równomierny rozkład siły w węzłah w kierunku poprzeznej osi symetrii płyty stalowej. Przykładowe warunki na podporze i w strefie obiążenia zilustrowano na Rys. 1. obi enie przy o one w w z ah p yty F B A wale na podporze z mo liwo i obrotu w p aszzy nie (x,y) Rys. 1. Warunki brzegowe na podporze i w strefie przyłożenia obiążenia dla ½ belki BP-1a. Fig. 1. Boundary onditions for support and at the loading plate use of a ½ beam BP-1a. 3.3. Metody numeryzne rozwiązania układu równań równowagi 3.3.1. Metoda Newtona-Raphsona Metoda Newtona-Raphsona przedstawiona grafiznie na Rys. 11 jest proesem iterayjnego rozwiązywania równań nieliniowyh postai: é T K ù a Du F F ëê i i i nr ûú { }= { }- { } { u u u i+ }= { i}+ { D 1 i } (8) é T Ki ù ëê ûú maierz sztywnośi styznej, i indeks odpowiadająy numerowi kroku nr przyrostowego, { F i } wektor wewnętrznyh sił węzłowyh odpowiadająyh stanowi naprężenia panująemu w dyskretyzowanym układzie. Maierz é T K ù ëê i ûú i wektor F nr { i } oblizono na podstawie wartośi wektora przemieszzenia { u i }. (7)
18 F a F i+2 nr K T i+2 [K ]= T obi enie, F F i+1 nr F i nr K T i u i iteraja 1 u i+1 u i+2 K T i+1 iteraja 2 iteraja 3 u i u i+1 Rys. 11. Metoda Newtona-Raphsona. Fig. 11. Newton-Raphson solution. u i+2 u i+3 przemieszzenie, u 3.3.2. Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym Metoda spadku adaptayjnego przedstawiona w pray Eggerta i in. [7] polega na zmianie śieżki rozwiązania w pobliżu punktu graniznego i poruszaniu się wstez wzdłuż sieznej aż do szybkiego uzyskania zbieżnośi rozwiązania numeryznego. Maierz sztywnośi w równaniu Newtona-Raphsona (7) jest opisana jako suma dwóh maierzy: ( ) é ëê ék ù K K ëê i ûú = x é ù ëê ûú + 1 - x T S T ù ûú é K ëê S ù maierz sztywnośi sieznej, é ù KT maierz sztywnośi styznej, ûú ëê ûú x parametr spadku adaptayjnego. Metoda polega na uzgodnieniu parametru spadku adaptayjnego x podzas iteraji równowagi. Maierz sztywnośi sieznej jest generowana w metodzie numeryznej w wyniku rozwiązywania nieliniowyh zagadnień dotyząyh uplastyznienia materiału, sztywnośi konstrukji z dużymi odkształeniami, zmiażdżenia betonu z uwzględnieniem naprężeń relaksayjnyh po zarysowaniu. 3.3.3. Metoda Crisfielda W przedstawionej na Rys. 12 metodzie numeryznej długośi łuku Crisfielda równanie (7) uzależniono od parametru obiążenia l : (9)
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 19 é T K ù a Du l F F ëê i i i nr ûú { }= { }- { } (1) u 1 II u 1 I iteraja 1 (u 1, 1F a ) iteraja 2 (u 2, 2F a ) iteraja 3 (u, F a ) 3 3 ie ka równowagi nowy punkt zbie no i F a F a F a K T i l ukowa powierzhnia ogranizaj a obi enie, F F a F 1 nr poprzedni punkt zbie no i (u, F a ) F 3 nr u u 1 u 2 u 3 przemieszzenie, u Rys. 12. Metoda długośi łuku Crisfielda [5]. Fig. 12. Crisfield ar-length method [5]. W metodzie tej zmienny parametr obiążenia l poszukiwany w równaniah równowagi w proedurze elementów skońzonyh jest wprowadzony z przedziału -11,. Równanie w pośrednim kroku obiążenia jest postai: ( ) { }- { } é T K ù a a u F F F ëê nr i ûú { D i }- Dl{ }= l + Dl i i (11) Dl parametr przyrostu obiążenia. Na podstawie równania (11) poszukiwany wektor przyrostu przemieszzenia Du i { } złożony z dwóh składowyh opisano jako: Du D Du I II { Du i}= l { i }+ { i } I { Du i } wektor przyrostu przemieszzenia wywołany jednostkowym parametrem { } wektor przyrostu przemieszzenia w metodzie Newtona-Ra- II obiążenia, Du i phsona. (12) Parametr przyrostu obiążenia Dl określono wg równania długośi łuku:
3 3 2 T = + i i { n } { n } 2 2 2 l Dl b Du Du b parametr skalowania, Du n suma przyrostów przemieszzenia Du i w bieżąym kroku iterayjnym. Oblizenia parametru Dl przeprowadzono w opariu o zasadę prostopadłośi: (13) T - { } { } I + i { n} { i } II r Du Du i n i Dl = T 2 b Dl Du Du r i niezrównoważony parametr otrzymywany w wyniku skalarnego mnożenia wektora normalnego i styznego. 4. Doświadzenia numeryzne belek żelbetowyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi W numeryznyh modelah przestrzennyh belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi zastosowano wymiary elementów oraz właśiwośi materiałów jak dla wolnopodpartyh belek prostokątnyh BP-1a, BP-1b badanyh przez Kamińską. Wszystkie elementy wykonano z betonu o wytrzymałośi f = 7-8 MPa. Wymiary i przekrój poprzezny belek wraz z układem zbrojenia i shematem obiążenia przedstawiono na Rys. 13. (14) F blaha stalowa 8 x 15 x 2 BP-1a F blaha stalowa 8 x 15 x 2 strzemiona 1 1 9 x 1 7 x 2 8 14 8 9 x 1 2 3 2 6 2 28 3 BP-1b F blaha stalowa 8 x 15 x 2 F 1 15 blaha stalowa 8 x 15 x 2 1 strzemiona 9 x 1 9 x 1 8 14 8 2 3 2 Rys. 13. Wymiary i przekrój poprzezny belek BP-1 wraz z układem zbrojenia i shematem obiążenia. Fig. 13. Dimensions and ross-setion of BP-1 beams with reinforement and loading arrangements.
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 21 Właśiwośi materiałów konstrukyjnyh ustalone doświadzalnie przez Kamińską określają następująe parametry modeli konstytutywnyh podane w kolejnośi dla belek BP-1a, BP-1b: BETON WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI wytrzymałość na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia f = 81,2 MPa, 72,8 MPa, moduł sprężystośi E = 353 MPa, 34 MPa, wytrzymałość na roziąganie w jednoosiowym stanie naprężenia f t = 5,23 MPa, 4,73 MPa, współzynnik Poissona n =,15, gęstość betonu r = 26 kg/m 3, granizne odkształenia w fazie wzmonienia sprężysto-plastyznego e 1 = 6, granizne odkształenia w fazie osłabienia e u = 12, parametr nośnośi na śinanie dla rozwaria rys b t =,5, parametr nośnośi na śinanie dla zamknięia się rys b =,99. STAL ZBROJENIOWA moduł sprężystośi dla f 1 ze stali A-III E s = 194 GPa, dla f 6 ze stali A-II E s = 21 GPa, grania plastyznośi dla f 1 ze stali A-III f y = 42 MPa, dla f 6 ze stali A-II f y = 353 MPa, wytrzymałość stali na roziąganie i śiskanie dla f 1 ze stali A-III f st = 624 MPa, dla f 6 ze stali A-II f st = 466 MPa, granizne odkształenia w zakresie plastyznośi dla f 1 ze stali A-III e su = 116, dla f 6 ze stali A-II e su = 75, moduł odkształenia plastyznego dla f 1 ze stali A-III E T = 1792,1 MPa, dla f 6 ze stali A-II E T = 1542,8 MPa, współzynnik Poissona n s =,3, gęstość stali r s = 78 kg/m 3. STAL PŁYT PODPOROWYCH I PŁYT PRZEKAZUJĄCYCH OBCIĄŻENIE moduł sprężystośi E s = 21 GPa, współzynnik Poissona n s =,3, gęstość stali r s = 78 kg/m 3. Uwzględniają podłużną symetrię elementu, modelowano ½ belki o długośi 17 mm, szerokośi 15 mm i wysokośi 3 mm. Na Rys. 14 przedstawiono podział belek BP-1a i BP-1b na elementy skońzone z zaznazonymi punktami obserwaji zmian przemieszzenia i odkształenia.
22 element betonowy 2 x 25 x 25 BP-1a element p yty stalowej w miejsu przy o enia obi enia: 2 x 25 x 2 s u d BP-1b s u d s u d element p yty stalowej na podporze: 2 x 25 x 2 Rys. 14. Podział belek BP-1 na elementy skońzone z oznazonymi punktami obserwaji zmian przemieszzenia i odkształenia. Fig. 14. FEM disretization for BP-1 beams with appointed items of observation of variations defletion and strain. 4.1. Wyniki doświadzeń numeryznyh 4.1.1. Analiza stanu zarysowania Na Rys. 15 przedstawiono zestawienie obrazu rzezywistego zarysowania dla ałej belki z numeryznym obrazem rys rozmytyh dla lewej połowy belki przy tym samym poziomie obiążenia. F = 23 kn
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 23 Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym [N-R ad] Metoda długośi łuku Crisfielda [A-L] Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym [N-R ad] Metoda długośi łuku Crisfielda [A-L] Rys. 15. Eksperymentalny i numeryzny obraz zarysowania belek BP-1. Fig. 15. Experimental and numerial of rak patterns for BP-1 beams. Otrzymane wyniki numeryzne obszarów zarysowanyh są jakośiowo zgodne, o do usytuowania, kierunku i konentraji z wynikami doświadzalnymi, przy zym zaobserwowano nieznaznie większe obszary rys w kierunku podpory w przypadku wyników numeryznyh. Zarówno w belkah modelowyh, jak i doświadzalnyh o niskim stopniu zbrojenia BP-1a na odinku zystego zginania układ głównyh rys dokładnie pokrywa się z układem strzemion. Ponadto uzyskane numeryznie obrazy rys rozmytyh potwierdzają tendenję o kształtowaniu się rys zbiorzyh w elementah z betonu o wysokiej wytrzymałośi, zaobserwowaną również w badaniah doświadzalnyh, które praktyznie uniemożliwiają ustalenie średniego rozstawu pomiędzy rysami. W wyniku braku strzemion w modelowyh, jak i doświadzalnyh belkah BP-1b o niskim stopniu zbrojenia na odinku zystego zginania układ rys jest przypadkowy.
24 Numeryznie obrazy rys rozmytyh uzyskane przy wykorzystaniu metody długośi łuku Crisfielda najlepiej odzwieriedlają rzezywisty obraz zarysowania. Niedokładnośi w obszarah rys, związane z ih znaznym zagęszzeniem, można prawdopodobnie wyeliminować poprzez redukję minimalnego kroku przyrostu obiążenia, o równoześnie spowoduje znazne wydłużenie zasu trwania oblizeń numeryznyh. Niewątpliwie tak uzyskane wyniki będzie harakteryzować większa dokładność, gdyż zostaną uwzględnione wszystkie fazy pray zginanyh belek żelbetowyh, poprawiona będzie lokalizaja rys pierwotnyh z równozesnym uzyskaniem wąskih obszarów rys rozmytyh we wszystkih etapah obiążenia. 4.1.2. Analiza stanu odkształenia i naprężenia Do obserwaji zmian odkształenia betonu w zależnośi od obiążenia przyjęto punkt na górnej krawędzi w przekroju środkowym belek BP, natomiast do rejestraji zmian odkształenia stali w zależnośi od obiążenia przyjęto punkt w poziomie pręta podłużnego w strefie roziąganej w przekroju środkowym belek, Rys. 14. Na Rys. 16 przedstawiony jest rozwój odkształeń skrajnyh włókien strefy śiskanej betonu w środku doświadzalnyh belek BP i w ih modelah numeryznyh. Metoda N-R ad Metoda A-L BP-1a F [kn] F [kn] 32 28 24 2 16 12 32 28 24 2 16 12 8 4 8 4 Kami ska MES -1-2 -3-4 Kami ska ] -1-2 -3 ] MES F [kn] BP-1b F [kn] 32 28 24 2 16 12 8 4 32 28 24 2 16 12 8 4 Kami ska MES -1-2 -3-4 ] Kami ska -1-2 -3 ] Rys. 16. Porównanie rozwoju odkształeń skrajnyh włókien strefy śiskanej betonu w środku belek BP-1. Fig. 16. Comparison of development of strain in extreme fibres of the onrete ompression zone for BP-1 beams at midspan. MES
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 25 Z kolei na Rys. 17 prezentowane są wykresy zależnośi odkształenia pręta podłużnego strefy roziąganej w funkji obiążenia F w środku eksperymentalnyh belek BP i w ih modelah numeryznyh. W przypadku krzywyh doświadzalnyh belek BP-1 przedstawiono również gałęzie odiążenia elementu zarejestrowane w hwili wyzerpania możliwośi stanowiska badawzego do dalszego odkształania się elementów o niskim stopniu zbrojenia. Metoda N-R ad Metoda A-L BP-1a 32 32 28 28 24 MES 24 MES F [kn] 2 16 12 Kami ska F [kn] 2 16 12 Kami ska 8 8 4 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 s ] s ] 32 28 BP-1b 32 28 F [kn] 24 2 16 12 Kami ska MES F [kn] 24 2 16 12 Kami ska MES 8 8 4 4 1 2 3 4 5 s ] 1 2 3 4 5 s ] Rys. 17. Porównanie rozwoju odkształeń pręta podłużnego strefy roziąganej w środku belek BP-1. Fig. 17. Comparison of development of strain in longitudinal bar of the tension zone for BP-1 beams at midspan. Wykresy obiążenie-odkształenie stali zbrojeniowej w środku belki harakteryzują się zgodnym przebiegiem z krzywymi eksperymentalnymi. W obszarze zahowania liniowo-sprężystego odkształenia pręta podłużnego określone numeryznie są prawie identyzne z pomierzonymi doświadzalnie. Niezgodnośi pomiędzy wynikami numeryznymi i doświadzalnymi dla betonu śiskanego i zbrojenia roziąganego obserwuje się w fazie sprężysto-plastyznej pray belki po zarysowaniu betonu, a następnie po uplastyznieniu zbrojenia. Na wykresah otrzymanyh w wyniku oblizeń numeryznyh metodą długośi łuku [A-L] widozny jest harakterystyzny nieznazny spadek obiążenia w hwili powstania pierwszyh rys. Wyraźnie widozne jest załamanie wykresów związane z uplastyznieniem zbrojenia roziąganego.
26 4.1.3. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia Na Rys. 18 zilustrowano porównania nieliniowyh zależnośi obiążenieprzemieszzenie pionowe w środku belek otrzymane w analizah numeryznyh i doświadzeniah. W obszarze naprężeń sprężystyh i po zarysowaniu modelowa belka harakteryzuje się prawie taką samą sztywnośią jak belka eksperymentalna, gdyż w betonie o wysokiej wytrzymałośi tworzy się mniej mikrorys, o przejawia się bardziej gwałtownym pękaniem. Metoda N-R ad Metoda A-L BP-1a F [kn] F [kn] 32 28 24 2 16 12 8 4 32 28 24 2 16 12 8 4 Kami ska MES 4 8 12 16 2 u d [mm] Kami ska 4 8 12 16 2 u d [mm] MES F [kn] BP-1b F [kn] 32 28 24 2 16 12 8 4 32 28 24 2 16 12 8 4 MES 4 8 12 16 2 u d [mm] Kami ska Kami ska 4 8 12 16 2 u d [mm] Rys. 18. Porównanie zależnośi przemieszzenia pionowego w środku belki od obiążenia. Fig. 18. Comparison of relationship load-defletion at midspan for beam. Drobne różnie dotyzą wartośi obiążenia rysująego i fazy powstania uplastyznienia stali zbrojeniowej. Na wykresie obiążenie-przemieszzenie faza uplastyznienia zbrojenia opisana jest standardowo, przez nagłe zmniejszenie sztywnośi belki. Zastosowane metody przyrostowo-iterayjne: zarówno tehnika ustalania spadku adaptayjnego (N-R ad adaptive desent), jak i długośi łuku Crisfielda (A-L ar-length) dają zadowalająe wyniki numeryzne, jakośiowo zgodne z wynikami eksperymentów. Ostatnio przeprowadzane badania belek żelbetowyh przy wykorzystaniu preyzyjnej aparatury pomiarowej [12] dowodzą, że skutki pęknięć belki w strefie MES
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 27 roziąganej nie są kompensowane przez sprężyste właśiwośi stali i plastyzność betonu w strefie śiskanej. W związku z tym na krzywej zależnośi obiążenie-ugięie obserwowane są efekty osłabienia w postai gwałtownyh spadków obiążenia. Takie efekty w oblizeniah numeryznyh uzyskano przy zastosowaniu algorytmu oblizeniowego Crisfielda umożliwiająego wygenerowanie kompletnej śieżki rozwiązania z lokalnymi spadkami sztywnośi i globalnym osłabieniem konstrukji. Ponadto algorytm ten harakteryzuje duża efektywność, a zmienny krok przyrostu obiążenia i prawidłowo dobrane parametry długośi łuku gwarantują znazne skróenie zasu oblizeń i uzyskanie bardzo dokładnego rozwiązania numeryznego. 5. Wnioski z doświadzeń numeryznyh 5.1. Wnioski dotyząe analizy zahowania belek żelbetowyh 1. Oblizenia numeryzne wykonano dla sprężysto-idealnie plastyznego modelu stali zbrojeniowej oraz sprężysto-kruhego modelu betonu z osłabieniem przy roziąganiu. Natomiast przy śiskaniu wykorzystano autorską propozyję sprężysto-plastyznego modelu betonu z wytrzymałośią resztkową. 2. Zahowanie numeryznyh modeli belek żelbetowyh opisywane zależnośią obiążenie-ugięie w środku rozpiętośi wskazuje na bardzo dobrą zgodność z wynikami doświadzalnymi w ałym zakresie obiążenia. Z eksperymentów numeryznyh przeprowadzonyh dla belek żelbetowyh wynika zależność wytężenia konstrukji od stopnia zbrojenia i sposobu jego rozkładu w materiale matryy betonowej w ałym zakresie pray konstrukji. 3. We wszystkih przypadkah różnie pomiędzy obiążeniami graniznymi uzyskanymi w oblizeniah numeryznyh a wynikami doświadzalnymi nie przekrazają 5%. Najmniejszy rozrzut wyników jest harakterystyzny dla belek rozwiązywanyh metodą długośi łuku Crisfielda. 4. W przedstawionyh zestawieniah rzezywistyh obrazów zarysowania belek żelbetowyh z numeryznymi obrazami rys rozmytyh przy tyh samyh poziomah obiążenia obserwowana jest bardzo dobra zgodność wyników. Shematy zarysowania uzyskane w rozwiązaniu numeryznym jakośiowo dobrze odpowiadają opisom mehanizmu zniszzenia w belkah doświadzalnyh. Model rysy rozmytej jest odpowiednim modelem numeryznym dla obrazowania mehanizmu zniszzenia zginanyh belek żelbetowyh w strefah zarysowania i miażdżenia. Ponadto jest szzególnie atrakyjny dla projektantów w sytuaji, gdy wymagane jest dokładne ustalenie ugięia elementu konstrukyjnego dla zadanego obiążenia. 5. Numeryzne modele belek harakteryzują się nieznaznie większą sztywnośią od belek doświadzalnyh. Większa sztywność numeryznego modelu belki jest najprawdopodobniej wywołana przez kilka zynników, m.in.: (1) homogenizność modelu konstytutywnego betonu nie uwzględniająego wszystkih efektów fizyznyh związanyh z proesami mikrozarysowania i rozwoju dyslokaji w płaszzyznah styku ziaren kruszywa i stwardniałego zazynu ementowego, (2) założenie idealnej przyzepnośi pomiędzy betonem i stalą zbrojeniową w modelu numeryznym belki w węzłah wspólnyh siatki podziału elementów
28 materiału matryy betonowej i stali zbrojeniowej, nie uwzględnienie efektu klokująego w prętah stalowyh, przyzepnośi w styku, poślizgu zbrojenia. 5.2. Wnioski dotyząe modelowania belek żelbetowyh 1. W modelowaniu belek żelbetowyh powinny być stosowane uproszzenia zapewniająe efektywność uzyskania rozwiązania: (1) wykorzystanie symetrii elementów konstrukyjnyh, (2) lokalizowanie elementów skońzonyh stali zbrojeniowej zgodnie z siatką podziału elementów skońzonyh materiału matryy betonowej. 2. Modelowanie płyt stalowyh w miejsah podparia i przyłożenia obiążeń skupionyh odzwieriedla warunki rzezywiste i jest podstawowym zynnikiem zapewniająym zgodnośi wyników numeryznyh z wynikami doświadzalnymi. 3. Modele numeryzne elementów żelbetowyh uwzględniająe fizyzne nieliniowośi materiałów są podatne na numeryzne niestabilnośi rozwiązania. W każdym elemenie skońzonym może powstać stan zarysowania lub zmiażdżenia w ośmiu punktah numeryznego ałkowania na trzeh kierunkah prostopadłyh. W tyh przypadkah w elemenie zmiażdżonym lub zarysowanym w kierunku prostopadłym do płaszzyzny powstania rysy jest wprowadzony parametr sztywnośi o małej wartośi w elu zahowania równowagi numeryznej w elemenie skońzonym. 4. Rząd rozwiązania odpowiada analizie dużyh odkształeń. W wyniku uwzględnienia nieliniowyh efektów geometryznyh w belkah żelbetowyh otrzymano lepszą zgodność wyników numeryznyh z doświadzalnymi, wyraźnie dostrzegalną w fazie po uplastyznieniu stali zbrojeniowej. 5. W pozątkowym etapie modelowania należy ustalić sposób podziału na elementy skońzone i zbadać zbieżność rozwiązania. W analizah nieliniowego zahowania numeryznyh modeli konstrukji żelbetowyh zbyt drobna siatka może powodować numeryzne niestabilnośi. Z drugiej jednak strony przyjęie zbyt dużej siatki może skutkować uzyskaniem niedokładnyh wyników. W betonie, w hwili powstania rysy lub grupy rys ih długość w wielu przypadkah jest większa od maksymalnego wymiaru kruszywa. W związku z powyższym, wymiary elementu skońzonego materiału matryy betonowej powinny być o najmniej dwa, trzy razy większe od maksymalnego wymiaru ziarna kruszywa w elu uzyskania poprawnego i realnego modelu zarysowania rozmytego. 6. W analizie nieliniowego zahowania belek żelbetowyh należy przyjąć parametr wzmaniająy zarysowany element betonowy po zarysowaniu. Dla rys zamkniętyh wartość przyjętego parametru powinna być nieznaznie mniejsza lub równa 1, a dla rys otwartyh powinna być dobrana z przedziału od,5 do,5. 7. W oblizeniah do rozwiązywania zagadnień niesprężystyh wykorzystano różne metody numeryzne. Trudnośi w otrzymaniu rozwiązania zbieżnego obserwowano przy sterowaniu obiążeniem i założeniu zbyt dużyh przyrostów obiążenia. Pozytywnie zweryfikowano przydatność zastosowania metody długośi łuku w analizah przestrzennyh modeli belek żelbetowyh przy uwzględnieniu osłabienia odkształeniowego konstrukji przy śiskaniu i zesztywnienia przy roziąganiu. Uzyskano kompletne śieżki obiążenie-przemieszzenie wykazująe
Analiza numeryzna niesprężystyh belek żelbetowyh... 29 potwierdzone doświadzalnie lokalne osłabienie konstrukji żelbetowej. Otrzymany iągliwy opis zniszzenia belek żelbetowyh jest harakterystyzny przy niskim stopniu zbrojenia. 8. W analizie nieliniowego zahowania belki żelbetowej, ałkowite obiążenie przyłożone w modelu powinno być podzielone na określoną lizbę małyh przyrostów obiążenia w harakterystyznyh fazah pray belki żelbetowej: powstawaniu rys, uplastyznieniu stali zbrojeniowej, przy osiąganiu graniznej nośnośi. Zastosowanie zmiennej wartośi przyrostu obiążenia w poszzególnyh fazah pray belki zapewnia poprawę zbieżnośi rozwiązania i skraa zas wykonania oblizeń numeryznyh. Literatura [1] Aïtin P.C., High-Performane Conrete, E & FN SPON, 1998. [2] Bathe K.J., Finite Element Proedures, Prentie-Hall In., Upper Saddle River, New Jersey, 1996. [3] Bonet J., Wood R.D., Nonlinear Continuum Mehanis for Finite Element Analysis, Cambridge University Press, 1997. [4] Comité Euro-Internaional du Beton, High Performane Conrete. Reommended to the Model Code 9. Researh Need, Bulletin d Information, Nr 228, 1995. [5] Crisfield M.A., An ar-length method inluding line searhes and aelerations, International Journal for Numerial Methods in Engineering, 19, s. 1269-1289, 1983. [6] Crisfield M.A., Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Strutures, John Wiley & Sons, In., 2. [7] Eggert, G.M., Dawson, P.R., Mathur K.K., An Adaptive Desent Method for Nonlinear Visoplastiity, International Journal for Numerial Methods in Engineering, Vol. 31, s. 131-154, 1991. [8] Kamińska M.E., Doświadzalne badania żelbetowyh elementów prętowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi, KILiW, PAN, Łódź, 1999. [9] Kleiber M., Metoda elementów skońzonyh w nieliniowej mehanie kontinuum, Wyd. PAN, Warszawa-Poznań, 1985. [1] Lyndon F.D., Balendran R.V., Some observations on elasti properties of plain onrete, Cement and Conrete Researh, 16, Nr 3, s. 314-324, 1986. [11] Pee M., Fabbroino G., Plasti Rotation Capaity of Beams in Normal and High-Performane Conrete, ACI Strutural Journal, s. 29-296, Marh-April 1999. [12] Rashid M.A., Mansur M.A., Reinfored High-Strength Conrete Beams in Flexure, ACI Strutural Journal, Vol. 12, Nr 3, s. 462-471, May-June 25. [13] Smarzewski P., Modelowanie mehanizmu zniszzenia belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi, Praa doktorska. Politehnika Lubelska, 28. [14] Smarzewski P., Stolarski A., Modelowanie zahowania niesprężystej belki żelbetowej, Biuletyn WAT, Vol. LVI, Nr 2, str. 147-166, 27. [15] Taerwe L.R., Brittleness versus Dutility of High Strength Conrete, Strutural Engineering Journal, 4, s. 4-45, 1991. [16] Willam K.J., Warnke E.P., Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Conrete, Proeedings, International Assoiation for Bridge and Strutural Engineering, Vol. 19, ISMES, Bergamo, Italy, 1975. [17] Zienkiewiz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method, Fifth Edition, Butterworth Heinemann, 2.
3 Numerial analysis of inelasti reinfored high-strength onrete beams with low reinforement ratio Lublin University of Tehnology, Faulty of Civil and Sanitary Engineering, Department of Civil Engineering, Nadbystrzyka 4, 2-618 Lublin, e-mail: p.smarzewski@pollub.pl Abstrat: Numerial modelling of flexural behavior of the reinfored highstrength onrete beams with low reinforement ratio is disussed in this paper. Modelling mehanism of failure reinfored onrete beams under stati load, stati deformation proesses of the reinfored high-strength onrete beams with regard to the physial nonlinearities of the strutural materials (i.e. onrete and reinforement steel) were developed using finite element analysis. The omparison of the numerial and experimental results as well as theoretial solutions, were presented. The ompared results indiate orretness of the onstitutive models of the strutural materials: onrete and reinforing steel and effetiveness of the solution method. Key words: finite element method, reinfored onrete members, beams.