Ćwiczenie A2 : Filtry bierne

Ćwiczenie A2 : Filtry bierne Jacek Grela, Radosław Strzałka 29 marca 29 1 Wstęp 1.1 Wzory Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i deinicje, których używaliśmy w obliczeniach: 1. Stała czasowa iltru RC Gdzie: R rezystancja opornika, C pojemność kondensatora, wchodzących w skład iltru. τ = RC (1) 2. Związek między stałą czasową a częstością i częstotliwością graniczną dla iltrów ω g = 1 τ = 2π g (2) Na podstawie tych wzorów obliczymy stałe czasowe i częstotliwości dla poszczególnych iltrów. 3. Czas narastania/opadania w unkcji stałej czasowej 4. Transmitancja operatorowa t r = 2.2τ (3) K(s) = U out(s) U in (s) 5. Transmitancja widmowa ˆ Filtr dolnoprzepustowy (układ całkujący) 1-biegunowy ( ) 1 K(jω) = 1 + j ω, K 1 = ω g g ( ) (5) 2 1 + g ˆ Filtr górnoprzepustowy (układ różniczkujący) 1-biegunowy ( ) 1 K(jω) = 1 + j ω, g K g 1 = ω 1 + ( g (4) ) 2 (6) ˆ Filtr górnoprzepustowy (układ różniczkujący) 2-biegunowy - układ dwóch iltrów górnoprzepustowych połączonych szeregowo (przypadek: 1 2 ) ( ) 1 1 K(jω) =, 1 + j ω1 ω 1 + j ω2 K g 1 1 = ω ( ) 2 ( ) (7) 2 1 + 1 1 + 2 Jeżeli stałe czasowe obu iltrów są równe, to otrzymujemy 1 biegun podwójny. ˆ Filtr pasmowoprzepustowy 1-biegunowy - układ dwóch iltrów: dolno- i górnoprzepustowego połączonych szeregowo ( g iltru dolnoprzepustowego jest mniejsza niż dla iltru górnoprzepustowego). 6. Przejście z jednostek [V/V ] na [db] = 2 log( K(jω) ) (8) 1

2 Wyniki pomiarów i opracowanie W trakcie pomiarów na wejściu podawaliśmy różne sygnały o stałej amplitudzie U = 4 [V ] (2 2V P P ). Zbadaliśmy iltry dolno- i górnoprzepustowe 1-biegunowe, górnoprzepustowy 2-biegunowy oraz pasmowoprzepustowy. 2.1 Filtry dolno- i górnoprzepustowe 1-biegunowe 2.1.1 Filtr dolnoprzepustowy Układ składał się z opornika R 1 = 2 [kω] oraz z kondensatora C 1 = 47 [pf ]. W związku z tym stała czasowa (wyliczona ze wzoru (1)) wynosi τ 1 = 9.4 [µs]. W oparciu o te dane (wzór (2)) określamy teoretyczną wartość częstotliwości granicznej: g1 = 16931 [Hz]. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa Na wyjściu podawaliśmy sygnał sinusoidalny o amplitudzie U i zmiennej częstotliwości. Na oscyloskopie obserwowaliśmy przeiltrowany sygnał. Zadaniem było odtworzenie charakterystyki i w oparciu o wykres k() określenie częstotliwości granicznej g1 oraz asymptotycznego nachylenia charakterystyki. (-18.37 +/-.22) [db/dec] (1863,-3) -3 1 1 1 1e+6 Wyk.1 Charakterystyka iltru dolnoprzepustowego 1-biegunowego. Określamy nachylenie wykresu w zakresie dużych częstotliwości. Dla ostatnich ośmiu punktów pomiarowych dopasowujemy linię prostą, której nachylenie wynosi ( 18.37 ±.22) [db/dec]. Wiemy, że dla układu 1-biegunowego nachylenie powinno wynosić 2 [db/dec]. Odstępstwo wynika ze zbyt małej ilości punktów pomiarowych w zakresie odpowiednio dużych częstotliwości. Częstość graniczną określamy w następujący sposób: do punktów pomiarowych dopasowujemy unkcję analityczną (daną wzorem (5)) ze sparametryzowaną wartością częstotliwości granicznej e g1. Uzyskaliśmy wartość: e g1 = (1863 ± 178) [Hz] Częstość graniczną można też określić szukając współrzędnej punktu przecięcia charakterystyki z unkcją stałą wzmocnienia k = 3 [db] (zostało to uwidocznione na Wyk.1 ). Jednakże ta metoda jest mniej dokładna, ponieważ nie dysponujemy tak gęstą liczbą punktów w okolicach domniemanego g1, żeby wyznaczyć dokładnie punkt przecięcia. Wyznaczona z wykresu wartość częstotliwości granicznej jest większa niż przewidywana, a błąd względny wynosi 1%. 2

Odpowiedź układu całkującego na sygnał wejściowy Na wejście podajemy sygnał prostokątny o czasie trwania t w = 5τ 1 = 47 [µs]. Oscyloskop pokazał następującą odpowiedź układu: Wyk.2 Odpowiedź układu całkującego. W oparciu o technikę określania czasu opadania/narastania (zasada 1% i 9% przedstawiona schematycznie na Wyk.2 ) z oscyloskopu odczytaliśmy wartości t e r = 19.2/18.4 [µs]. Wartość teoretyczna t r = 2.7 [µs] (wzór (3)). Błędy względne uzyskanych wartości wyniosły dla opadania i narastania odpowiednio 7% i 11%. Obserwacja skuteczności analogowego całkowania Zbadaliśmy sygnał prostokątny w trzech wariantach częstotliwości. W przypadku dużej częstotliwości uzyskaliśmy sygnał trójkątny na wyjściu, co jest wynikiem całkowania. Wyk.3 Skuteczność analogowego całkowania sygnału prostokątnego. 3

Dla sygnału trójkątnego na wejściu, odpowiedź układu jest sygnałem parabolicznym (pochodna unkcji liniowej jest unkcją kwadratową). Tym razem zbadaliśmy dwa warianty częstotliwości. Wyk.4 Skuteczność analogowego całkowania sygnału trójkątnego. 2.1.2 Filtr górnoprzepustowy Filtr górnoprzepustowy rozpatrywaliśmy w dwóch przypadkach. Rezystancje w obu wynosiły R 2 = 2 [kω], a pojemności C 2a = 22 [nf ] (nazywany dalej 2a) oraz C 2b = 2.2 [nf ] (nazywany 2b). W takim razie stałe czasowe τ 2a = 44 [µs] a τ 2b = 44 [µs]. Teoretyczne wartości częstości granicznych : g2a = 362 [Hz], g2b = 362 [Hz]. W tym podpunkcie oraz dalszej części działamy w dużej mierze analogicznie, przez co komentowane będą jedynie elementy nie opisane dotychczas. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa (414,-3) -3-4 (21.6 +/- 1.1) [db/dec] 1 1 1 1 Wyk.5 Charakterystyka iltru górnoprzepustowego 2a. 4

(3683,-3) -3 (2. +/-.23) [db/dec] 1 1 1 1 Wyk.6 Charakterystyka iltru górnoprzepustowego z pojemnością 2b. Przy dopasowywaniu unkcji korzystaliśmy ze wzoru (6). Z Wyk.5 i Wyk.6 obliczamy doświadczalne wartości parametrów: Tab.1 Tabela z parametrami iltrów górnoprzepustowych 2a i 2b. Nachylenie [db/dec] Częstość graniczna [Hz] Błąd wzgl. częstości granicznej [%] 2a 21.6 ± 1.1 414 ± 11 14 2b 2. ±.23 3683 ± 4 2 Porównując wartości eksperymentalne i teoretyczne widzimy, że dla iltru 2a rozbieżność jest znacznie większa niż w przypadku 2b, dla którego zgodność jest niemal idealna (zarówno w przypadku nachylenia jak i częstotliwości granicznej). Uzyskana niezgodność możemy tłumaczyć źle przyjętą strategią eksperymentalną - wykonaliśmy zbyt mało pomiarów w zakresie niskich częstotliwości. Odpowiedź układu różniczkującego na sygnał wejściowy W Tab.2 zestawiliśmy wielkości potrzebne do zbadania czasu narastania i opadania dla sygnału prostokątnego oraz przewidywane teoretycznie wartości. Tab.2 Tabela z parametrami prostokątnych sygnałów wejściowych dla iltrów górnoprzepustowych. t = 5τ [µs] = 1/2t [Hz] t r [µs] 2a 22 227 968 2b 22 227 96.8 Gdzie: t czas trwania impulsu, częstotliwość sygnału, t r teoretyczny czas narastania/opadania impulsu (wyznaczony ze wzoru (3)), 5

Wyk.7 Sygnał i odpowiedź dla układu różniczkującego 2a i 2b. Jak widać na Wyk.7, dla iltra 2b czasy odczytane z oscyloskopu zgadzają się z teorią (błędy względne kolejno 1% oraz 3%) natomiast dla 2a wartości eksperymentalne są zaniżone (błędy względne kolejno 9% i 11%). Na podstawie powyższych wyników oraz tych uzyskanych dla iltru dolnoprzepustowego wnioskujemy, że dla dużych częstotliwości zależność (3) przestaje być słuszna. Z tego wynika, że odpowiedź układu na skok napięcia traci charakter eksponencjalny. W świetle dobrych wyników dla jednego przypadku mało prawdopodobny wydaje się błąd pomiarowy. Obserwacja skuteczności analogowego różniczkowania Wyk.8 Skuteczność analogowego różniczkowania sygnału prostokątnego przez iltr 2a. Badaliśmy odpowiedź układu różniczkującego na sygnał prostokątny przy dwóch częstościach : 3 [Hz] oraz 1 [Hz]. Idealne zróżniczkowanie tego sygnału daje nam nieskończone piki (pochodna skoku potencjału jest deltą Diraca). 6

2.2 Filtr górnoprzepustowy 2-biegunowy Podawaliśmy sygnał sinusoidalny o amplitudzie U = 4 [V ]. Badaliśmy charakterystykę dla dwóch przypadków : C I = C II oraz C I C II. Filtr drugiego rzędu budujemy z kaskadowo połączonych iltrów górnoprzepustowych wykorzystanych w poprzedniej części ćwiczenia. W takim razie parametry poszczególnych stopni pozostają takie jak poprzednio. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa 1. Przypadek równych stałych czasowych (C I = C II = C 2b ) (3686,-6) -3 (37.8 +/- 1.) [db/dec] -6 [db] 1 1 Wyk.9 Charakterystyka iltru górnoprzepustowego 2-biegunowego z równymi pojemnościami. Tab.3 Tabela z parametrami iltru 2-biegunowego przy C I = C II. Relacja stałych czasowych Nachylenie [db/dec] Częstotliwość graniczna [µs] τ I = τ II 37.8 ± 1. 3686 ± 34 Nachylenie charakterystyki iltru 2-biegunowego powinno teoretycznie wynosić 4 [db/dec] zaś częstotliwość graniczna powinna być taka sama jak iltru 1-biegunowego. Dostaliśmy bowiem jeden biegun drugiego rzędu - stąd zwiększenie nachylenia. Z innym charakterem krzywej łączy się także przesunięcie pomocniczej linii stałego wzmocnienia do 6 [db]. Uzyskaliśmy zadowalające wartości zarówno nachylenia jak i częstotliwości granicznej (błąd względny 2%). 7

2. Przypadek różnych stałych czasowych (C I C II ; C I = C 2a i C II = C 2b ) (3568,-3) (423,-21.6) -3-4 (36.5 +/-.3) [db/dec] (22.2 +/-.7) [db/dec] -45 1 1 1 Wyk.1 Charakterystyka iltru górnoprzepustowego 2-biegunowego z różnymi pojemnościami. Wyznaczenie mniejszej częstości granicznej nie dałoby się wykonać poprzez metodę stałej linii wzmocnienia, wartość punktu została więc wyznaczona z dopasowanej krzywej. Tab.4 Tabela z parametrami iltru 2-biegunowego przy C I C II. Relacja stałych czasowych Nachylenie [db/dec] Częstotliwość graniczna [µs] Błąd częstotl. gr. [%] τ I = 1τ II 22.2 ±.7 3568 ± 52 1 36.5 ±.3 423 ± 11 17 Nachylenia odpowiadają mniej więcej oczekiwanym wartościom teoretycznym jednakże ragment odpowiadający biegunowi drugiego rzędu jest wypłaszczony, zaś odpowiadający biegunowi rzędu pierwszego zbyt stromy. Częstotliwość większa zgadza się bardzo dobrze z teorią, mniejsza już nie. Częstotliwości graniczne są przesunięte ku sobie. Można próbować wytłumaczyć tę sytuację swego rodzaju sprzężeniem obydwu iltrów. Być może, eektem tego sprzężenia jest także zawyżenie wartości mniejszej częstotliwości granicznej. Kompensacja ujemnego przerzutu Kompensacji dokonywaliśmy na układzie z różnymi stałymi czasowymi. Na wejściu podaliśmy sygnał prostokątny o czasie trwania wielokrotnie przewyższającym stałe czasowe. W odpowiedzi dostaliśmy eksponentę z ujemnym przerzutem. Manipulując wartością oporu R b rezystora dopiętego równolegle do pojemności na drugim członie różniczkującym obserwowaliśmy zmianę zależności U(t). Wartość R b dobraliśmy tak, żeby skompensować ujemny przerzut. Przy pomocy miernika cyrowego zmierzyliśmy wartość tego oporu : Rb e = 18.7 [kω]. Wartość teoretyczna R b = τ I C II = 2 [kω]. Jest ona większa od obliczonej w pomiarze (błąd względny: 1%). Przyczyny tego upatrujemy w niedoskonałej metodzie dopasowania oporu do przebiegu charakterystyki U(t), przy której znika przerzut. Konkretnie, zmiany oporu w dość szerokim zakresie regulatora, nie odbijały się w znacznej zmianie kształtu odpowiedzi układu (wykresu U(t)). 8

2.3 Filtr pasmowoprzepustowy Filtr pasmowoprzepustowy zbudowany został z zestawionych kaskadowo iltrów górnoprzepustowego 2a i dolnoprzepustowego. Zbadaliśmy charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową, której kształt odtwarzamy na poniższym wykresie: (41,-3) (1774,-3) -3 (19.43 +/-.34) [db/dec] (-19.96 +/-.22) [db/dec] 1 1 1 1 1 1e+6 Wyk.11 Charakterystyka iltru pasmowoprzepustowego. Pasmo przenoszenia częstotliwości naszego iltru zawiera się w przedziale ok. (4 : 177) [Hz], przy czym te granice są częstotliwościami granicznymi iltru odpowiednio górnoprzepustowego 2a i dolnoprzepustowego, których używaliśmy w ćwiczeniu. W tym zakresie charakterystyka k() jest w miarę płaska, więc te częstotliwości są przenoszone bez straty amplitudy. Tab.5 Tabela z parametrami iltru pasmowoprzepustowego. Nachylenie [db/dec] Częstotliwość graniczna [Hz] Częstotliwość teoretyczna [Hz] Błąd częstotl. [%] 19.43 ±.34 41 ± 3 g2a = 362 11 19.96 ±.22 1774 ± 133 g1 = 16931 5 Zauważamy, że wartości częstotliwości granicznych, obliczone w dyskusji iltru pasmowego, są bliższe wartościom teoretycznym niż w przypadku obliczeń dla iltrów oddzielnie (paragra 2.1.1 i 2.1.2 ). Również nachylenia charakterystyk są dokładniejsze. Wytłumaczyć możemy to aktem, że zebraliśmy większą liczbą dokładniejszych punktów pomiarowych, które pozwoliły odtworzyć nam wiernie charakterystykę. 9