Repetytorium z geometrii dla studentów I roku matematyki i informatyki

1 Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego Repetytorium z geometrii dla studentów I roku matematyki i informatyki Maciej Czarnecki maczar@math.uni.lodz.pl

Spis treści 0 Wstęp 3 1 Płaszczyzna 4 1.1 Punkty i proste.......................... 4 1.2 Wektory.............................. 6 1.3 Figury płaskie........................... 7 2 Przekształcenia 9 2.1 Izometrie............................. 9 2.2 Podobieństwa........................... 12 2.3 Rzuty............................... 13 3 Przestrzeń trójwymiarowa 14 3.1 Punkty, proste i płaszczyzny................... 14 3.2 Figury przestrzenne....................... 15 3.3 Przekształcenia przestrzeni................... 16 4 Własności miarowe figur 18 4.1 Wzajemne położenie prostych i okręgów............ 18 4.2 Długość krzywej i pole figury.................. 19 4.3 Trójkąty.............................. 20 4.4 Czworokąty............................ 23 4.5 Wielokąty foremne........................ 24 4.6 Koło................................ 24 4.7 Wielościany............................ 25 4.8 Bryły obrotowe.......................... 26 5 Geometria analityczna 28 5.1 Punkty i wektory w układzie współrzędnych.......... 28 5.2 Przekształcenia w układzie współrzędnych........... 29 5.3 Prosta............................... 30 5.4 Trójkąt.............................. 31 5.5 Okrąg............................... 32 5.6 Krzywe stożkowe......................... 32 2

Rozdział 0 Wstęp Niniejszy tekst jest próbą zgromadzenia faktów geometrycznych, które powinien znać student pierwszego roku matematyki i kierunków pokrewnych. Ze względu na częste zmiany programów nauczania wspólna dla wszystkich absolwentów szkół ponadgimnazjalnych podstawa wiedzy geometrycznej jest uboga. Z drugiej strony świeżo upieczeni studenci znają wiele faktów pobieżnie lub nawet intuicyjnie. Celem repetytorium jest uporządkowanie pewnych definicji i precyzyjne sformułowanie znanych twierdzeń. Pociąga to za sobą konieczność zawarcia wielu kompromisów: wybór tylko jednej z wielu możliwych definicji, w bardziej skomplikowanych przypadkach ograniczenie jej precyzji lub zakresu, wybór twierdzeń podstawowych kosztem wielu użytecznych wniosków, odwołania do materiału występującego w dalszym ciągu itd. Suche przytoczenie faktów ma zapewnić łatwy dostęp do informacji, a szerokie i precyzyjne poznanie tematyki jest możliwe w toku studiów. Układ materiału od syntetycznej geometrii płaskiej i przestrzennej poprzez przekształcenia do opisu analitycznego służy z jednej strony jak najbardziej efektywnemu opisowi a z drugiej przygotowuje do przedmiotu algebra liniowa z geometrią, który z kolei jest pierwszym etapem edukacji geometrycznej na studiach. Pewne wykroczenia poza obowiązujący program szkolny mają na celu przybliżenie obiektów, z którymi studenci mają często do czynienia. Tekst nie jest jeszcze pełny, oczywistym brakiem jest nieobecność rysunków i indeksu pojęć. Dyskusyjne jest, czy w takim opracowaniu powinny znaleźć się przykłady znacząco zwiększyłyby jego objętość. Brak jakiegoś faktu czy pojęcia może być spowodowany jego małą stosowalnością w matematyce wyższej, ale także zwykłym niedopatrzeniem. Uwagi Czytelników o dostrzeżonych błędach i pominięciach pozwolą na udoskonalenie kolejnych wersji repetytorium. Proszę kierować je na mój adres elektroniczny maczar@math.uni.lodz.pl. Dziękuję pani dr Monice Fabijańczyk za wiele życzliwych uwag, które pomogły mi ulepszyć pierwotną wersję tekstu. 3

Rozdział 1 Płaszczyzna Zgodnie z tradycję punkty będziemy oznaczać dużymi literami alfabetu, a ich zbiory figury małymi literami. 1.1 Punkty i proste Pojęcia: przestrzeń (trójwymiarowa), płaszczyzna, prosta i punkt traktujemy jako pierwotne, to znaczy nie definiujemy ich. Relacje pomiędzy tymi pojeciami opisują aksjomaty. Opis taki po raz pierwszy pojawił się w dziele Euklidesa pt. Elementy w roku 300 p.n.e. Obecnie stosowany układ aksjomatów dla geometrii (nawet płaskiej) jest dość skomplikowany i nie będziemy go w całości przytaczać. 1.1.1 Do każdej prostej należy nieskończenie wiele punktów. Punkty należące do jednej prostej nazywamy punktami współliniowymi. 1.1.2 Dla danego punktu istnieje nieskończenie wiele prostych zawierających (przechodzących przez) ten punkt. Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez punkt A oznaczamy przez (A) i nazywamy pękiem prostych o wierzchołku A. 1.1.3 Dla danych dwóch różnych punktów istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez te punkty. Dla danych punktów A i B tę jedyna prostą oznaczamy przez AB. 1.1.4 Istnieją punkty, które nie są współliniowe. 1.1.5 Dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny. 4

1.1. PUNKTY I PROSTE 5 Jeżeli różne proste l i m mają punkt wspólny A, to mówimy, że przecinają się w punkcie A. Jeżeli proste te są rozłączne, to mówimy, że są równoległe i piszemy l m. Przyjmujemy ponadto, że dwie proste pokrywające się są do siebie równoległe. 1.1.6 Dla dowolnej danej prostej i danego punktu istnieje dokładnie jedna prosta równoległa do danej i przechodząca przez dany punkt. Powyższy fakt nosi miano V postulatu Euklidesa. 1.1.7 Określimy odległość na płaszczyźnie jako funkcję, która dowolnym dwóm punktom A i B przypisuje liczbę nieujemną AB w taki sposób, że warunki 1. AB = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A = B, 2. AB = BA, 3. AB AC + CB (nierówność trójkąta) są spełnione dla dowolnych punktów A, B, C. Związek pomiędzy odległością punktów a ich współliniowością jest następujący: 1.1.8 Punkty A, B, C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków: 1. AB = AC + CB 2. AB = AC CB 3. AB = CB AC Zbiór wszystkich punktów C spełniających warunek 1. nazywamy odcinkiem o końcach A i B, a oznaczamy go przez AB. Punkt M AB taki, że AM = BM nazywamy środkiem odcinka AB, a odległość AB długością odcinka AB. Dla różnych punktów A, B zbiór wszystkich punktów C spełniających warunek 1. lub 2. nazywamy półprostą o początku A oraz zwrocie od A do B i oznaczamy przez AB. Zauważmy ponadto, że dla różnych punktów A, B zbiór wszystkich punktów C spełniających warunek 1. lub 2. lub 3. jest prostą AB. 1.1.9 Dla każdej półprostej AB i każdej liczby a 0 istnieje dokładnie jeden punkt C AB taki, że AC = a. 1.1.10 Jeżeli punkty A, B, C są niewspółliniowe i prosta l przecina jeden z odcinków AB, BC, CA, to przecina także jeszcze jeden z tych odcinków.

6 ROZDZIAŁ 1. PŁASZCZYZNA Powyższy fakt nazywamy aksjomatem Pascha. Wynika z niego, że dowolna prosta dzieli płaszczyznę na dwa podzbiory. Każdy z nich wraz z wyznaczająca go prostą nazywamy półpłaszczyzną. 1.2 Wektory Definicja 1.2.1 Uporządkowaną parę punktów (A, B) nazywamy wektorem zaczepionym o początku w punkcie A i końcu w punkcie B i oznaczamy przez AB. Wektory AB i CD nazywamy równymi, pisząc AB = CD, jeżeli środek odcinka AD jest jednocześnie środkiem odcinka BC. Wektorem swobodnym nazywamy zbiór wszystkich wektorów zaczepionych parami równych. Najczęściej mówiąc o wektorze mamy na myśli wektor swobodny, nawet jeżeli używamy dla jego oznaczenia początku i końca jednego z wektorów zaczepionych, który go reprezentuje. 1.2.2 Dla dowolnego punktu A i dowolnego wektora swobodnego v istnieje dokładnie jeden punkt B taki, że AB = v. Definicja 1.2.3 Sumą wektorów swobodnych u i v nazywamy wektor u + v równy wektorowi AC, gdzie A jest dowolnie ustalonym punktem oraz u = AB, v = BC. Definicja 1.2.4 Iloczynem wektora v przez liczbę a R nazywamy wektor a v równy wektorowi AC, gdzie A jest dowolnie ustalonym punktem, v = AB oraz punkt C określamy następująco: 1. jeżeli a 0, to C jest jedynym (por. 1.1.9) punktem półprostej AB takim, że AC = a AB ; 2. jeżeli a < 0, to C jest jedynym (por. 1.1.9) punktem półprostej AB 1 takim, że AC = a AB 1, gdzie B 1 AB oraz A jest środkiem odcinka BB 1. Oznaczmy przez θ wektor zerowy, czyli reprezentowany przez wektor zaczepiony AA. Dla dowolnego wektora v = AB niech v oznacza wektor reprezentowany przez wektor zaczepiony BA. Twierdzenie 1.2.5 Dla dowolnych wektorów swobodnych u, v, w i dowolnych liczb a, b R spełnione są warunki: 1. (u + v) + w = (u + v) + w, 2. u + v = v + u,

1.3. FIGURY PŁASKIE 7 3. v + θ = v, 4. v + ( v) = θ, 5. a (u + v) = (a u) + (a v), 6. (a + b) v = (a v) + (b v), 7. a (b v) = (ab) v, 8. 1 v = v. 1.3 Figury płaskie Definicja 1.3.1 Figurę nazywamy wypukłą, jeżeli wraz z każdą parą punktów zawiera odcinek o końcach w tych punktach. Definicja 1.3.2 Uporządkowaną parę półprostych o wspólnym początku nazywamy kątem skierowanym, a półproste go wyznaczające ramionami kąta. Kąt skierowany o ramionach OA i OB oznaczamy przez AOB. Kątem nieskierowanym nazywamy zbiór składający się z dwóch półprostych o wspólnym początku (ramion kąta) i części płaszczyzny, którą z niej wycinają (obszar kata). Kąt nieskierowany o ramionach OA i OB oznaczamy przez AOB. Miarę kąta skierowanego (por. rozdział 13 repetytorium niegeometrycznego ) oznaczamy przez AOB. Miara kąta nieskierowanego (oznaczana AOB ) jest równa wartości bezwzględnej miary tego spośród kątów skierowanych o tych samych ramionach, który zgodnie ze swoim zwrotem zakreśla obszar kąta. Opisu miary kąta można dokonać precyzyjniej przy użyciu narzędzi geometrii analitycznej. Definicja 1.3.3 Niech A będzie punktem, r liczbą dodatnią. Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu A wynosi r nazywamy okręgiem o środku A i promieniu r i oznaczamy przez O(A, r). Tym samym O(A, r) = {X p ; AX = r}. Zbiory: K(A, r) ={X p ; AX < r}, K(A, r) ={X p ; AX r}, Z(A, r) ={X p ; AX > r} nazywamy odpowiednio: kołem otwartym, kołem domkniętym i zewnętrzem koła o środku A i promieniu r.

8 ROZDZIAŁ 1. PŁASZCZYZNA Definicja 1.3.4 Łamaną nazywamy sumę ciągu odcinków, w którym jedynym punktem wspólnym każdych dwóch kolejnych odcinków jest ich wspólny koniec i każde kolejne dwa odcinki nie są współliniowe. Końce odcinków tworzących łamaną nazywamy jej wierzchołkami, same odcinki bokami łamanej, a sumę długości wszystkich boków długością łamanej. Łamaną nazywamy zamkniętą, gdy jej każdy wierzchołek jest wspólnym końcem co najmniej dwóch boków. Łamana jest zwyczajna, jeżeli każdy jej bok ma punkty wspólne tylko z bokami sąsiednimi (traktujemy bok pierwszy i ostatni także jako sąsiednie). Definicja 1.3.5 Figura jest ograniczona, jezeli jest zawarta w pewnym kole. Figura ma niepuste wnętrze, jeżeli zawiera pewne koło otwarte. Definicja 1.3.6 Wielokątem (wypukłym) nazywamy ograniczoną i mającą niepuste wnętrze część wspólną skończonej liczby półpłaszczyzn. Wierzchołki i boki łamanej zwyczajnej zamkniętej ograniczającej wielokąt nazywamy odpowiednio wierzchołkami i bokami wielokąta, a długość tej łamanej obwodem wielokąta. Przekątną wielokąta nazywamy każdy odcinek łączący jego wierzchołki, który nie jest jednocześnie bokiem tego wielokąta. Kątem wewnętrznym wielokąta nazywamy kąt o wierzchołku w wierzchołku wielokąta, którego ramiona zawierają boki wychodzące z tego wierzchołka i który zawiera cały wielokąt. Wielokąt o n wierzchołkach (czyli także n bokach) nazywamy n kątem. W dalszym ciągu będziemy rozważać tylko wielokąty wypukłe. Definicja 1.3.7 Okręgiem opisanym na wielokącie nazywamy okrąg zawierający wszystkie wierzchołki tego wielokąta. Okręgiem wpisanym w wielokąt nazywamy okrąg zawarty w wielokącie i styczny do wszystkich prostych (por. uwagę po tw. 4.1.4) zawierających boki wielokąta. Tradycyjnie oznaczamy wielokąt podając jednokrotnie kolejne wierzchołki łamanej go ograniczającej.

Rozdział 2 Przekształcenia 2.1 Izometrie Definicja 2.1.1 Izometrią płaszczyzny nazywamy takie przekształcenie F płaszczyzny na płaszczyznę, które zachowuje odległość punktów, to znaczy spełnia dla dowolnych punktów A, B warunek F (A)F (B) = AB. Twierdzenie 2.1.2 1. Przekształcenie tożsamościowe Id przypisujące każdemu punktowi ten sam punkt jest izometrią. 2. Złożenie dwóch izometrii jest izometrią. 3. Przekształcenie odwrotne do izometrii jest izometrią. Składanie izometrii nie jest na ogół przemienne. Definicja 2.1.3 Figury f i g nazywamy przystającymi, jeżeli istnieje izometria F taka, że F (f) = g (czyli figura g jest izometrycznym obrazem figury f). Definicja 2.1.4 Punktem stałym przekształcenia F nazywamy taki punkt A, że F (A) = A. Twierdzenie 2.1.5 1. Izometria płaszczyzny, która ma trzy niewspółliniowe punkty stałe, jest przekształceniem tożsamościowym. 2. Jeżeli A, B są różnymi punktami stałym izometrii, to cała prosta AB składa się z punktów stałych tej izometrii. Definicja 2.1.6 Izometrię, dla której wszystkimi punktami stałymi są punkty prostej l, nazywamy symetrią osiową względem prostej l i oznaczamy przez S l. 9

10 ROZDZIAŁ 2. PRZEKSZTAŁCENIA Izometrię, której jedynym punktem stałym jest punkt O, nazywamy symetrią środkową względem punktu O i oznaczamy przez S O. Definicja 2.1.7 Osią symetrii figury f nazywamy taką prostą l, że S l (f) = f (czyli obrazem figury f w symetrii osiowej względem prostej l jest ta sama figura). Środkiem symetrii figury f nazywamy taki punkt O, że S O (f) = f. Twierdzenie 2.1.8 Symetria osiowa (odpowiednio środkowa) jest inwolucją, to znaczy złożona sama ze sobą daje przekształcenie tożsamościowe. Definicja 2.1.9 Mówimy, że dwie różne proste l i m są prostopadłe, gdy l jest osią symetrii prostej m (lub co na jedno wychodzi m jest osią symetrii prostej l). Piszemy wtedy l m. Twierdzenie 2.1.10 Dla dowolnego punktu A i dowolnej prostej l istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez A i prostopadła do l. Twierdzenie 2.1.11 Jeżeli na płaszczyźnie proste k i m są prostopadłe do pewnej prostej l (czyli k l m), to proste k i m są równoległe (czyli k m). Definicja 2.1.12 Dwie proste l i m przecinające się w punkcie O tworzą cztery wypukłe kąty nieskierowane każdy z nich ma wierzchołek w punkcie O, jedno z jego ramion zawiera się w prostej l, a drugie w prostej m. Dwa spośród tych kątów nazywamy Kątami przyległymi jeżeli mają wspólne ramię, a kątami wierzchołkowymi jeżeli ich jedynym punktem wspólnym jest wierzchołek. Twierdzenie 2.1.13 Kąty wierzchołkowe mają równe miary. Suma miar kątów przyległych jest równa π. Jako miarę kąta pomiędzy prostymi przyjmujemy miarę dowolnego z czterch kątów wypukłych przez nie utworzonych. Nie prowadzi to do nieporozumień, bo proste przecinające się pod kątem α przecinają się także pod kątem π α. Kąt pomiędzy prostymi prostopadłymi jest kątem prostym, a jego miara jest równa π 2. Kąt o mierze z przedziału (0, π 2 ) nazywamy kątem ostrym, o mierze z przedziału ( π 2, π) kątem rozwartym, a kąt o mierze równej π kątem półpełnym. Definicja 2.1.14 Symetralną odcinka nazywamy oś symetrii tego odcinka różną od prostej zawierającej ten odcinek. Odległość figur jest określona w def. 4.1.1. Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku kąta, zawarta w kącie i jego osi symetrii.

2.1. IZOMETRIE 11 Twierdzenie 2.1.15 Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od końców tego odcinka. Twierdzenie 2.1.16 Dwusieczna kąta jest zbiorem wszystkich punktów kąta równoodległych od jego ramion. Twierdzenie 2.1.17 Każda izometria płaszczyzny różna od przekształcenia tożsamościowego jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych. Twierdzenie 2.1.18 Izometria przekształca: 1. prostą na prostą, 2. odcinek na odcinek o tej samej długości, 3. półprostą na półprostą, 4. okrąg na okrąg o tym samym promieniu, 5. koło otwarte (odpowiednio domknięte) na koło otwarte (odpowiednio domknięte) o tym samym promieniu. Twierdzenie 2.1.19 Izometria zachowuje: 1. równoległość prostych, 2. prostopadłość prostych, 3. kąt pomiędzy prostymi. Definicja 2.1.20 Złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach równoległych nazywamy translacją. Jeżeli l i m są prostymi równoległymi, to wektorem translacji S m S l nazywamy wektor 2 AB, gdzie A l, B m oraz AB l (wtedy także AB m). Definicja 2.1.21 Złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się nazywamy obrotem. Jeżeli l i m są prostymi przecinającymi się w punkcie O, to środkiem obrotu nazywamy punkt O, a kątem obrotu S m S l nazywamy kąt skierowany o mierze 2 AOB, gdzie A l\{o}, B m\{o}. Twierdzenie 2.1.22 Złożeniem translacji o wektor u z translacją o wektor v jest translacja o wektor u + v. Twierdzenie 2.1.23 Złożeniem obrotu o środku O o kąt α z obrotem o środku O o kąt β jest obrót o środku O o kąt α + β. Twierdzenie 2.1.24 Obrót o kąt π jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach prostopadłych czyli symetrią środkową.

12 ROZDZIAŁ 2. PRZEKSZTAŁCENIA 2.2 Podobieństwa Definicja 2.2.1 Podobieństwem na płaszczyźnie o skali k > 0 nazywamy takie przekształcenie F płaszczyzny na płaszczyznę, które mnoży odległość punktów przez liczbę k, to znaczy spełnia dla dowolnych punktów A, B warunek F (A)F (B) = k AB. Definicja 2.2.2 Figury f i g nazywamy podobnymi, jeżeli istnieje podobieństwo F takie, że F (f) = g. Definicja 2.2.3 Jednokładnością o środku O i skali s R \ {0} nazywamy przekształcenie JO s dane dla dowolnego punktu A warunkiem OJ s O(A) = s OA. 1. Jednokładność o skali s jest podobieństwem o ska- Twierdzenie 2.2.4 li s. 2. Złożeniem jednokładności o środku O i skali s 1 z jednokładnością o środku O i skali s 2 jest jednokładność o środku O i skali s 1 s 2. 3. Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o środku O i skali s jest jednokładność o środku O i skali 1 s. Twierdzenie 2.2.5 Każde podobieństwo jest złożeniem jednokładności z izometrią. Twierdzenie 2.2.6 Podobieństwo o skali k przekształca: 1. prostą na prostą, 2. odcinek o długości a na odcinek o długości ka, 3. półprostą na półprostą, 4. okrąg o promieniu r na okrąg o promieniu kr, 5. koło otwarte (odpowiednio domknięte) o promieniu r na koło otwarte (odpowiednio domknięte) o promieniu kr. Twierdzenie 2.2.7 Podobieństwo zachowuje: 1. równoległość prostych, 2. prostopadłość prostych, 3. kąt pomiędzy prostymi.

2.3. RZUTY 13 2.3 Rzuty Definicja 2.3.1 Jeżeli proste l i m nie są równoległe, to rzutem równoległym na prostą m w kierunku prostej l nazywamy przekształcenie przypisujące dowolnemu punktowi A punkt A m l będący jedynym punktem wspólnym prostej m oraz prostej równoległej do prostej l i przechodzącej przez punkt A. Zauważmy, że z samej definicji rzut równoległy nie jest przekształceniem różnowartościowym; w szczególności nie jest więc także izometrią. Twierdzenie 2.3.2 Rzut równoległy jest przekształceniem idempotentnym, to znaczy złożony sam ze sobą daje samego siebie. Definicja 2.3.3 Rzutem prostopadłym na prostą m nazywamy rzut równoległy na tę prostą w kierunku prostej prostopadłej do prostej m. Obraz dowolnego punktu A w rzucie prostopadłym na prostą m oznaczamy przez A m. Twierdzenie 2.3.4 Punkt S l (A) będący obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej l spełnia warunek A l S l (A) = AA l. Twierdzenie 2.3.5 (Talesa) Rzut równoległy zachowuje stosunek długości odcinków równoległych a nierównoległych do kierunku rzutowania. Innymi słowy, jeżeli odcinki AB i CD, o niezerowej długości, są równoległe do siebie, proste m nie jest równoległa do prostej l oraz AB l i CD l, to A m l Bl m Cl m Dl m = AB CD.

Rozdział 3 Przestrzeń trójwymiarowa W geometrii przestrzennej pojęciami pierwotnymi są: przestrzeń (trójwymiarowa) Π, płaszczyzny, proste i punkty. Pozostają w mocy wszystkie stwierdzenia dotyczące tylko punktów i prostych. 3.1 Punkty, proste i płaszczyzny 3.1.1 Każda płaszczyzna zawiera nieskończenie wiele prostych. Punkty należace do jednej płaszczyzny, jak i proste leżące w jednej płaszczyźnie, nazywamy współpłaszczynowymi. 3.1.2 Dla danych trzech punktów niewspółliniowych istnieje dokładnie jedna płaszczyzna przechodząca przez te punkty. Dla danych punktów A, B i C tę jedyna płaszczyznę oznaczamy przez ABC. 3.1.3 Istnieją punkty, które nie są współpłaszczyznowe. Część przestrzeni, która powstaje przez rozcięcie przestrzeni płaszczyzną, wraz z tą płaszczyzną, nazywamy półprzestrzenią. 3.1.4 Dwie różne płaszczyzny są rozłączne lub ich częścią wspólną jest prosta. Jeżeli różne płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej, to mówimy, że prosta ta jest ich wspólną krawędzią. Jeżeli płaszczyny są rozłączne lub pokrywają się, to mówimy, że są równoległe. 3.1.5 Dla dowolnej danej płaszczyzny i danego punktu istnieje dokładnie jedna płaszczyzna równoległa do danej i przechodząca przez dany punkt. Twierdzenie 3.1.6 Dwie proste w przestrzeni są równoległe lub przecinają się w jednym punkcie lub są rozłączne i nierównoległe. 14

3.2. FIGURY PRZESTRZENNE 15 W dwóch pierwszych przypadkach obie proste leżą na pewnej wspólnej płaszczyźnie; w przypadku trzecim mówimy, że proste są skośne (nie leżą one wtedy na jednej płaszczyźnie). 3.1.7 Płaszczyzna nie zawierająca danej prostej jest z nią rozłączna lub ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny. W pierwszym z przypadków mówimy, że prosta jest równoległa do płaszczyzny, a w drugim że przebija płaszczyznę. 3.2 Figury przestrzenne Definicja 3.2.1 Niech A będzie punktem, r liczbą dodatnią. Zbiór wszystkich punktów przestrzeni Π, których odległość od punktu A wynosi r nazywamy sferą o środku A i promieniu r i oznaczamy przez S(A, r). Tym samym S(A, r) = {X Π ; AX = r}. Zbiory: K(A, r) ={X Π ; AX < r}, K(A, r) ={X Π ; AX r} nazywamy odpowiednio: kulą otwartą i kulą domkniętą o środku A i promieniu r. Analogicznie jak w przypaku płaskim mówimy, że sfera S(A, r) jest styczna do płaszczyzny p, jeżeli odległość punktu A od płaszczyzny p jest równa r (lub równoważnie: gdy sfera ma z płaszczyzną dokładnei jeden punkt wspólny. Definicja 3.2.2 Figura przestrzenna jest ograniczona, jeżeli jest zawarta w pewnej kuli. a ma niepuste wnętrze, jeżeli zawiera pewną kulę otwartą. Definicja 3.2.3 Wielościanem (wypukłym) nazywamy ograniczoną i mającą niepuste wnętrze część wspólną skończonej liczby półprzestrzeni. Brzeg wielościanu składa się z wielokątów, które nazywamy ścianami, ich boki są krawędziami, a wierzchołki wierzchołkami wielościanu. Definicja 3.2.4 Sferą opisaną na wielościanie nazywamy sferę, do której należą wszystkie wierzchołki tego wielościanu. Sferą wpisaną w wielościan nazywamy sferę o środku należącym do wielościanu i styczną do wszystkich płaszczyzn zawierających ściany tego wielościanu.

16 ROZDZIAŁ 3. PRZESTRZEŃ TRÓJWYMIAROWA 3.3 Przekształcenia przestrzeni Definicja 3.3.1 Izometrią przestrzeni nazywamy przekształcenie przestrzeni na przestrzeń, zachowujące odległość punktów. Twierdzenie 3.3.2 1. Izometria przestrzeni, która ma cztery niewspółliniowe punkty stałe, jest przekształceniem tożsamościowym. 2. Jeżeli A, B, C są niewspółliniowymi punktami stałymi izometrii, to cała płaszczyzna ABC składa się z punktów stałych tej izometrii. Definicja 3.3.3 Izometrię, dla której wszystkimi punktami stałymi są punkty płaszczyzny p, nazywamy symetrią płaszczyznową względem płaszczyzny p i oznaczamy przez S p. Twierdzenie 3.3.4 Każda izometria przestrzeni różna od przekształcenia tożsamościowego jest symetrią płaszczyznową lub złożeniem co najwyżej czterech symetrii płaszczyznowych. Definicja 3.3.5 Płaszczyzną symetrii figury f nazywamy taką płaszczyznę p, że S p (f) = f. Definicja 3.3.6 Mówimy, że prosta l jest prostopadła do płaszczyzny p, gdy każda prosta przechodząca przez punkt A l p i leżąca w płaszczyźnie p jest prostopadła do prostej l. Mówimy, że dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeżeli jedna z nich zawiera prostą prostopadłą do drugiej płaszczyzny. Definicja 3.3.7 Jeżeli prosta l nie jest równoległa do płaszczyzny p, to rzutem równoległym na płaszczyznę p w kierunku prostej l nazywamy przekształcenie przypisujące dowolnemu punktowi A punkt będący jedynym punktem wspólnym płaszczyzny p oraz prostej równoległej do prostej l i przechodzącej przez punkt A. Rzutem prostopadłym na płaszczyznę p nazywamy rzut równoległy na tę płaszczyznę w kierunku prostej prostopadłej do płaszczyzny p. Definicja 3.3.8 Miarą kąta pomiędzy prostą l a nierównoległą do niej płaszczyzną p nazywamy miarę kąta pomiędzy prostą l i jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę p. Miarą kąta pomiędzy nierównoległymi płaszczyznami p i q przecinającymi się wzdłuż prostej l nazywamy miarę kąta pomiędzy prostymi k p i m q przechodzącymi przez punkt A l i prostopadłymi do prostej l. Twierdzenie 3.3.9 Izometria przestrzeni przekształca: 1. płaszczyznę na płaszczyznę,

3.3. PRZEKSZTAŁCENIA PRZESTRZENI 17 2. sferę na sferę o tym samym promieniu, 3. kulę otwartą (odpowiednio domkniętą) na kulę otwartą (odpowiednio domkniętą) o tym samym promieniu. Twierdzenie 3.3.10 Izometria przestrzeni zachowuje: 1. równoległość prostych i płaszczyzn, 2. prostopadłość prostych i płaszczyzn, 3. kąt pomiędzy prostymi i płaszczyznami.

Rozdział 4 Własności miarowe figur 4.1 Wzajemne położenie prostych i okręgów Definicja 4.1.1 Odległością dwóch figur niepustych f i g nazywamy liczbę d(f, g) = inf{ AB ; A f B g}. Powyższa definicja nie pociąga za sobą wniosku, że dla dowolnych figur f i g istnieją punkty A f i B g takie, że d(f, g) = AB. Twierdzenie 4.1.2 Odległość punktu A od prostej l jest równa AA l (czyli odległości punktu od jego rzutu prostopadłego na tę prostą). Twierdzenie 4.1.3 Odległość dwóch prostych przecinających się (a tym bardziej prostych pokrywających się) wynosi 0. Odległość dwóch prostych równoległych l i m jest równa długości odcinka prostopadłego łączącego punkty z obu prostych (czyli dla dowolnego punktu A l wynosi AA m ). Twierdzenie 4.1.4 Niech dla prostej l i okręgu O(S, r), położonych na jednej płaszczyźnie, liczba d będzie odległością punktu S od prostej l. Wówczas: 1. jeżeli d < r, to okrąg i prosta mają dokładnie dwa punkty wspólne. 2. jeżeli d = r, to okrąg i prosta mają dokładnie jeden punkt wspólny. 3. jeżeli d > r, to okrąg i prosta są rozłączne. W przypadku 1. mówimy, że prosta jest sieczną okręgu, a w przypadku 2. że jest styczna do okręgu. Twierdzenie 4.1.5 Jeżeli prosta l jest styczna do okręgu O(S, r) w punkcie A, to odcinek OA jest prostopadły do prostej l. 18

4.2. DŁUGOŚĆ KRZYWEJ I POLE FIGURY 19 Twierdzenie 4.1.6 Przez dowolny punkt z zewnętrza koła przechodzą dokładnie dwie proste styczne do okręgu ograniczającego to koło. Jeżeli dwie proste przecinają się w punkcie O i są styczne do tego samego okręgu, odpowiednio w punktach A i B, to OA = OB. Twierdzenie 4.1.7 Niech dla okręgów O(A 1, r 1 ) i O(A 2, r 2 ), położonych na jednej płaszczyźnie, liczba d będzie odległością ich środków. Wówczas: 1. jeżeli d = 0 i r 1 < r 2, to okręgi są rozłączne, a koło K(A 2, r 2 ) zawiera koło domknięte K(A 1, r 1 ). 2. jeżeli 0 < d < r 2 r 1 i r 1 < r 2, to okręgi są rozłączne, a koło K(A 2, r 2 ) zawiera koło domknięte K(A 1, r 1 ). 3. jeżeli d = r 2 r 1 i r 1 < r 2, to okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, a koło domknięte K(A 2, r 2 ) zawiera koło domknięte K(A 1, r 1 ). 4. jeżeli r 2 r 1 < d < r 1 + r 2, to okręgi mają dokładnie dwa punkty wspólne. 5. jeżeli d = r 1 +r 2, to okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, a koła K(A 1, r 1 ) i K(A 2, r 2 ) są rozłączne. 6. jeżeli d > r 1 + r 2, to koła domknięte K(A 1, r 1 ) i K(A 2, r 2 ) (a tym samym także okręgi) są rozłączne. W przypadku 1. o okręgach mówimy, że są koncentryczne, w przypadku 3. styczne wewnętrznie, w przypadku 4. przecinające się, a w przypadku 5. że są styczne zewnętrznie. 4.2 Długość krzywej i pole figury Krzywa jest ciągłym obrazem odcinka, ale do zrozumienia poniższej definicji wystarczy tylko intuicyjne wyczucie tego pojęcia. Definicja 4.2.1 Rozważmy wszystkie łamane wpisane w krzywą, to znaczy mające wszystkie wierzchołki leżące na tej krzywej i uporządkowane zgodnie z orientacją krzywej. Jeżeli zbiór długości takich łamanych posiada kres górny, to nazywamy ten kres górny długością krzywej. Oczywiście długość łamanej rozpatrywanej jako krzywa jest równa zwykłej długości łamanej. Powyższa definicja przydaje się na przykład do policzenia długości okręgu (poprzez wpisywanie w niego wielokątów foremnych o coraz większej liczbie boków).

20 ROZDZIAŁ 4. WŁASNOŚCI MIAROWE FIGUR Definicja 4.2.2 Rozważmy na płaszczyźnie siatki kwadratowe o długościach boków dążacych do zera, na przykład 1 2, n N. n Dla ustalonej figury f i siatki na poziomie n obliczmy sumę w n pól kwadratów całkowicie zawartych w figurze f oraz sumę z n pól kwadratów mających niepustą część wspólną z figurą f. Jeżeli ciągi (w n ) i (z n ) mają tę samą granicę, to tę wspólną wartość nazywamy polem figury f. Z powyższej definicji dość łatwo wynika, że pola wielokątów wyrażają się znanymi wzorami. Może ona jednak służyć do obliczania pola bardziej skomplikowanych figur, na przykład koła. 4.2.3 Podobnie jak pole figury płaskiej można zdefiniować objętość figury przestrzennej używając siatek sześciennych. 4.3 Trójkąty Definicja 4.3.1 Trójkąt o dwóch bokach równej długości nazywamy trójkątem równoramiennym, a jego równe boki ramionami trójkąta. Trójkąt o wszystkich trzech bokach równej długości nazywamy trójkątem równobocznym. Definicja 4.3.2 Wysokością w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającą przeciwległy bok. Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego mu boku. Twierdzenie 4.3.3 Wysokość w trójkącie równoramiennym mająca punkt wspólny z oboma ramionami jest jednocześnie środkową w tym trójkącie. Twierdzenie 4.3.4 Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosuku 2 : 1 (licząc od wierzchołka do środka przeciwległego boku). Punkt przecięcia środkowych trójkąta nazywamy jego środkiem ciężkości. Twierdzenie 4.3.5 Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi π. Definicja 4.3.6 Trójkąt o jednym kącie prostym nazywamy trójkątem prostokątnym, trójkąt o jednym kącie rozwartym trójkątem rozwartokątnym, a trójkąt o wszystkich kątach ostrych trójkątem ostrokątnym. Twierdzenie 4.3.7 Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

4.3. TRÓJKĄTY 21 W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych tego trójkąta. W szczególności, że zarówno symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, jak i dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie. W trójkącie ABC przyjmuje się standardowe oznaczenia: a = BC, b = CA, c = AB, α, β, γ oznaczają miary kątów wewnętrznych odpowiednio o wierzchołakch A, B, C, R oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, a r promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, p oznacza połowę obwodu trójkąta: p = a+b+c 2, h A, h B, h C oznaczają długości wysokości opuszczonych odpowiednio z punktów A, B, C. Twierdzenie 4.3.8 (Pitagorasa) Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat długości jednego z boków jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków. Przy standardowych oznaczeniach: γ = π 2 c2 = a 2 + b 2. W trójkącie prostokątnym bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną, a pozostałe dwa boki przyprostokątnymi. Twierdzenie 4.3.9 (cosinusów) W trójkącie kwadrat długości jednego z boków jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta wewnętrznego zawartego pomiędzy nimi. Przy standardowych oznaczeniach: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Twierdzenie 4.3.10 W trójkącie ostrokątnym kwadrat długości dowolnego boku jest mniejszy od sumy kwadratów długości pozostałych boków. W trójkącie rozwartokątnym kwadrat długości najdłuższego boku jest większy od sumy kwadratów długości pozostałych boków. Twierdzenie 4.3.11 (sinusów) W trójkącie stosunek długości boku do sinusa przeciwległego mu kąta wewnętrznego jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

22 ROZDZIAŁ 4. WŁASNOŚCI MIAROWE FIGUR Przy standardowych oznaczeniach: a sin α = b sin β = c sin γ = 2R. Twierdzenie 4.3.12 W trójkącie naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok. Twierdzenie 4.3.13 (cechy przystawania trójkątów) Jeżeli dwa trójkąty spełniają co najmniej jeden z warunków: 1. (bbb) mają po trzy boki o odpowiednio równych długościach, 2. (bkb) mają po dwa boki o odpowiednio równych długościach i kąty pomiędzy tymi bokami o tych samych miarach, 3. (kbk) mają po jednym boku tej samej długości i przylegające do niego kąty mają odpowiednio te same miary, to trójkąty te są przystające. Twierdzenie 4.3.14 (cechy podobieństwa trójkątów) Jeżeli dwa trójkąty spełniają co najmniej jeden z warunków: 1. (bbb) długości ich trzech boków są proporcjonalne, 2. (bkb) długości ich dwóch boków są proprorcjonalne i kąty pomiędzy tymi bokami mają tę samą miarę, 3. (kk) mają po dwa kąty o odpowiednio równych miarach, to trójkąty te są podobne. Twierdzenie 4.3.15 Pole P trójkąta ABC wyraża się przy standardowych oznaczeniach wzorami P = 1 2 ah A P = 1 ab sin γ 2 P =pr P = p(p a)(p b)(p c) P = abc 4R P =2R 2 sin α sin β sin γ (wzór Herona) Twierdzenie 4.3.16 W trójkącie równobocznym o boku długości a pole wynosi P = a2 3 4, a promienie okręgu opisanego i wpisanego są równe odpowiednio R = a 3 3 i r = a 3 6.

4.4. CZWOROKĄTY 23 4.4 Czworokąty Definicja 4.4.1 Czworokąt o dwóch bokach równoległych nazywamy trapezem, a dwa jego równoległe boki podstawami trapezu. Czworokąt o dwóch parach boków równoległych równoległobokiem. Trapez, którego dwa boki niewyróżnione jako podstawy są równej długości nazywamy trapezem równoramiennym, a równoległobok o wszystkich bokach równej długości rombem. Twierdzenie 4.4.2 Czworokąt ABCD jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy środki jego przekątnych AC i BD pokrywają się. Twierdzenie 4.4.3 Czworokąt ABCD jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy AB = DC. Twierdzenie 4.4.4 Suma miar kątów wewnętrznych czoworokąta wynosi 2π. Definicja 4.4.5 Czworokąt o wszystkich kątach prostych nazywamy prostokątem, a prostokąt o wszystkich bokach równej długości kwadratem. Twierdzenie 4.4.6 Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów są równe. Okrąg można opisać na przykład na prostokącie i trapezie równoramiennym (o ile nie jest równoległobokiem). Twierdzenie 4.4.7 W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Okrąg można wpisać na przykłąd w romb. Twierdzenie 4.4.8 W kwadracie o boku długości a promienie okręgu opisanego i wpisanego są równe odpowiednio R = a 2 2 i r = a 2. Twierdzenie 4.4.9 Pole P prostokąta o bokach długości a i b wynosi P = ab. W szczególności pole kwadratu o boku długości a wynosi a 2. Twierdzenie 4.4.10 Pole P równoległoboku o bokach długości a i b, kącie wewnętrznym α i wysokości opuszczonej na bok a długości h a wynosi P = ab sin α = ah a.

24 ROZDZIAŁ 4. WŁASNOŚCI MIAROWE FIGUR Twierdzenie 4.4.11 Pole P trapezu o bokach równoległych długości a i b, i wysokości opuszczonej na którykolwiek z nich długości h wynosi P = a + b 2 h. Twierdzenie 4.4.12 Proste zawierające przekątne rombu są prostopadłe i zawierają dwusieczne jego kątów wewnętrznych. Pole P rombu o przekatnych długości d 1 i d 2 wynosi 4.5 Wielokąty foremne P = d 1d 2 2. Definicja 4.5.1 n kąt nazywamy foremnym jeżeli wszystkie jego boki są równej długości, a wszystkie kąty wewnętrzne jednakowej miary. Trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny, a czworokątem foremnym kwadrat. Istnieją wielokąty foremne o dowolnej liczbie boków. Twierdzenie 4.5.2 W n kącie foremnym o boku a pole wynosi P = na2 4 ctg π n, a promienie okręgu opisanego i wpisanego są odpowiednio równe R = a 2 sin π n i r = a 2 ctg π n. Twierdzenie 4.5.3 Sześciokąt foremny o boku długości a jest sumą sześciu trójkątów równoobocznych o boku a. Jego pole wynosi P = 3a2 3 2, a promienie okręgu opisanego i wpisanego są odpowiedni równe R = a i r = a 3 2. 4.6 Koło Definicja 4.6.1 W danym okręgu kątem środkowym nazywamy kąt o wierzchołku w środku tego okręgu, a kątem wpisanym kąt wypukły o wierzchołku w punkcie leżącym na okręgu i przecinający koło otwarte ograniczone przez dany okrąg. Twierdzenie 4.6.2 (o kątach w kole) Kąt wpisany w okrąg ma miarę równą połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku mają równe miary. Twierdzenie 4.6.3 W okręgu kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej tego trójkąta. Twierdzenie 4.6.4 Długość okręgu o promieniu r jest równa 2πr. Pole koła o promieniu r wynosi πr 2.

4.7. WIELOŚCIANY 25 Definicja 4.6.5 Wycinkiem kołowym nazywamy część wspólną koła i kąta środkowego dla danego koła. Twierdzenie 4.6.6 Pole wycinka kołowego o promieniu r i kącie rozwarcia α wynosi P = r2 α 2, a długość łuku okręgu ograniczającego ten wycinek jest równa l = rα. 4.7 Wielościany Definicja 4.7.1 Wielościan, w którym jedna ze ścian jest obrazem innej w translacji i pozostałe krawędzie łączą ich odpowiadające sobie wierzchołki, nazywamy graniastosłupem, jego dwie wyróżnione ściany podstawami, a krawędzie o końcach na różnych podstawach krawędziami bocznymi. Graniastosłup prosty ma krawędzie boczne prostopadłe do podstaw, a graniastosłup prawidłowy ma ponadto w podstawie wielokąt foremny. Definicja 4.7.2 Objętość graniastosłupa wynosi V = P p H, gdzie P p jest jest jego polem podstawy, a H wysokością (czyli odległością dowolnego punktu jednej z podstaw od płaszczyzny zawierającej drugą podstawę). Definicja 4.7.3 Graniastosłup prosty o podstawie będącej prostokątem nazywamy prostopadłościanem, a prostopadłościan o wszystkich krawędziach tej samej długości sześcianem. Twierdzenie 4.7.4 Objętość prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c wynosi V = abc. Twierdzenie 4.7.5 W sześcianie o krawędzi długości a objętość wynosi V = a 3, a promienie sfery opisanej i wpisanej są równe odpowiednio R = a 3 2 i r = a 2. Definicja 4.7.6 Wielościan, w którym istnieje ściana i wierzchołek takie, że krawędzie nie będące krawędziami wyróznionej ściany łączą wierzchołki tej ściany z wyróżnionym wierzchołkiem, nazywamy ostrosłupem, jego wyróżnioną ścianę podstawą, wyróżniony wierzchołek wierzchołkiem ostrosłupa, a krawędzie łączące podstawę z wierzchołkiem krawędziami bocznymi. Ostrosłup prawidłowy ma ponadto w podstawie wielokąt foremny, a odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem ostrosłupa jest prostopadły do podstawy.

26 ROZDZIAŁ 4. WŁASNOŚCI MIAROWE FIGUR Definicja 4.7.7 Objętość ostrosłupa wynosi V = 1 3 P ph, gdzie P p jest jest jego polem podstawy, a H wysokością (czyli odległością wierzchołka od płaszczyzny zawierającej podstawę). Definicja 4.7.8 Ostrosłup o podstawie będącej trójkątem nazywamy czworościanem, a czworościan o wszystkich krawędziach równej długości czworościanem foremnym. Twierdzenie 4.7.9 W czworościanie foremnym o krawędzi długości a objętość wynosi V = a3 2 12, a promień sfery opisanej i wpisanej są równe odpowiednio R = a 6 4 i r = a 6 12. Definicja 4.7.10 Wielościanem foremnym nazywamy wielościan, którego wszystkie ściany są parami przystającymi wielokątami foremnymi i każdy wierzchołek jest końcem tej samej liczby krawędzi wielościanu. Twierdzenie 4.7.11 Jedynymi wielościanami foermnymi są tak zwane bryły platońskie czyli 1. czworościan foremny, 2. sześcian, 3. ośmiościan foremny (o ścianach będących trójkątami równobocznymi), 4. dwunastościan foremny (o ścianach będących pięciokątami foremnymi), 5. dwudziestościan foremny (o ścianach będących trójkątami równobocznymi), 4.8 Bryły obrotowe Kulę można otrzymać w wyniku obrotu koła wokół prostej zawierającej średnicę tego koła. Twierdzenie 4.8.1 Objętość kuli o promieniu r wynosi V = 4 3 πr3. Pole sfery o promieniu r wynosi P = 4πr 2. Definicja 4.8.2 Bryłę otrzymaną w wyniku obrotu prostokąta wokół prostej zawierającej jeden z jego boków nazywamy walcem. Długość boku prostokąta, wokół którego obracaliśmy, nazywamy wysokością walca, długość boku sąsiadującego promieniem podstawy walca, koła zakreślone przez promienie podstawami walca, a figurę zakreśloną przez bok równoległy do osi obrotu powierzchnią boczną walca.

4.8. BRYŁY OBROTOWE 27 Twierdzenie 4.8.3 Objętość walca o promieniu podstawy r i wysokości H wynosi V = πr 2 H, a pole powierzchni bocznej tego walca P = 2πrH. Definicja 4.8.4 Bryłę otrzymaną w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych nazywamy stożkiem. Długość przyprostokątnej, wokół którego obracaliśmy, nazywamy wysokością stożka, długość drugiej przyprostokątnej promieniem podstawy stożka, koło zakreślone przez promień podstawą stożka, a figurę zakreśloną przez przeciwprostokątną powierzchnią boczną stożka. Twierdzenie 4.8.5 Objętość stożka o promieniu podstawy r i wysokości H wynosi V = 1 3 πr2 H, a pole powierzchni bocznej tego stożka P = πrl, gdzie l = r 2 + H 2.

Rozdział 5 Geometria analityczna 5.1 Punkty i wektory w układzie współrzędnych Na płaszczyźnie wprowadzamy prostokątny układ współrzędnych, to znaczy przypisujemy każdemu punktowi A dwie liczby: odciętą x i rzędną y. Piszemy wówczas po prostu A = (x, y). Dla punktów A = (x 1, y 1 ) i B = (x 2, y 2 ) wektor AB utożsamiamy z parą liczb [x 2 x 1, y 2 y 1 ]. Tak określone punkty i wektory spełniają warunki 1.2.2, 1.2.3 oraz 1.2.5. Definicja 5.1.1 Iloczynem skalarnym wektorów u = [u 1, u 2 ] i v = [v 1, v 2 ] nazywamy liczbę u v = u 1 v 1 + u 2 v 2. Długością wektora v = [v 1, v 2 ] nazywamy liczbę v = v v = v1 2 + v2 2. Twierdzenie 5.1.2 Dla dowolnych wektorów u, v, w i liczb a, b R spełnione są warunki: 1. (a u + b v) w = au w + bv w, 2. u v = v u, 3. v v > 0 o ile v θ. Twierdzenie 5.1.3 Dla dowolnych wektorów u, v i liczby a R spełnione są warunki: 1. v = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy v = θ, 2. a v = a v, 3. u + v u + v. 28

5.2. PRZEKSZTAŁCENIA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH 29 Twierdzenie 5.1.4 Dla dowolnych wektorów u, v zachodzi nierówność u v u v. Zauważmy, że w powyższym wyrażeniu po lewej stronie występuje zwykła wartość bezwględna liczby. Twierdzenie 5.1.5 Odległość punktów A = (x 1, y 1 ) i B = (x 2, y 2 ) wyraża się wzorem AB = AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Definicja 5.1.6 Dla dowolnych wektorów niezerowych u, v jedyną liczbę α [0, π] spełniającą warunek cos α = u v u v nazywamy kątem pomiędzy wektorami i oznaczamy przez (u, v). Wektory u, v są prostopadłe, gdy kąt pomiędzy nimi jest prosty lub co na jedno wychodzi u v = 0. Wektory u, v są równoległe, gdy kąt pomiędzy nimi jest zerowy lub pół- u pełny, czyli gdy det(u, v) = 1 u 2 v 1 v 2 = 0. Twierdzenie 5.1.7 Dla dowolnych wektorów niezerowych u, v zachodzi związek u v = u v cos (u, v). Twierdzenie 5.1.8 Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy tworzą ona kąt ostry. Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy tworzą ona kąt rozwarty. 5.2 Przekształcenia w układzie współrzędnych W celu opisania przekształcenia płaszczyzny podajemy jakie nowe współrzędne (x, y ) będzie miał punkt (x, y) po wykonaniu tego przekształcenia lub (co często jest wygodniejsze) jak opisać stare współrzędne za pomocą nowych 5.2.1 Translacja o wektor v = [a, b] wyraża się wzorami: { x = x a y = y b { x = x + a y = y + b

30 ROZDZIAŁ 5. GEOMETRIA ANALITYCZNA 5.2.2 Obrót o kąt α dokoła punktu O(0, 0) wyraża się wzorami: { x = x cos α + y sin α y = x sin α + y cos α { x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α 5.2.3 Jednokładność o środku O(0, 0) i skali s 0 wyraża się wzorami: { x = 1 s x y = 1 s y { x = sx y = sy 5.3 Prosta 5.3.1 Prostą opisujemy równaniem ogólnym Ax + By + C = 0, gdzie A, B, C są ustalonymi liczbami oraz A 2 + B 2 > 0. Wektor u = [B, A] jest równoległy do tak opisanej prostej (jest jej wektorem kierunkowym), a wektor v = [A, B] jest prostopadły do tej prostej. Twierdzenie 5.3.2 Niech dane będą proste: l : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 m : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Wówczas 1. proste l i m są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy A 1 B 1 A 2 B 2 = 0. 2. proste l i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 Tym samym równanie prostej równoległej do prostej Ax + By + C = 0 można sprowadzić do postaci Ax+By+C = 0, a prostej do niej prostopadłej do postaci Bx Ay + C = 0. 5.3.3 Prostą, która nie jest równoległa do osi Oy (czyli w jej równaniu ogólnym B 0) można przedstawić w postaci kierunkowej y = ax + b. Współczynnik a nazywamy wtedy współczynnikiem kierunkowym tej prostej. Twierdzenie 5.3.4 Niech dane będą proste: Wówczas l : y = a 1 x + b 1 m : y = a 2 + b 2.

5.4. TRÓJKĄT 31 1. proste l i m są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 = a 2. 2. proste l i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 a 2 = 1. Tym samym równanie prostej równoległej do prostej y = ax + b jest postaci y = ax + b, a prostej do niej prostopadłej postaci y = 1 a x + b o ile a 0 lub x = c gdy a = 0. 5.3.5 Prostą przechodząca przez punkt A = (a 1, a 2 ) i równoległą do wektora v = [v 1, v 2 ] można przedstawić za pomocą równania parametrycznego { x = a1 + tv 1 y = a 2 + tv 2, gdzie t przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych. Twierdzenie 5.3.6 Środkiem odcinka o końcach A = (x 1, y 1 ) i B = (x 2, y 2 ) jest punkt ( x1 + x 2 M =, y ) 1 + y 2. 2 2 Twierdzenie 5.3.7 Odległość punktu A = (x 0, y 0 ) od prostej l : Ax+By+ C = 0 wyraża się wzorem d(a, l) = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2. Twierdzenie 5.3.8 Odległość dwóch prostych równoległych l : Ax + By + C 1 = 0 i m : Ax + By + C 2 = 0 wyraża się wzorem d(l, m) = C 2 C 1 A 2 + B 2. 5.4 Trójkąt 5.4.1 Przy dowodzeniu faktów dotyczących trójkąta ABC metodą analityczną rozważa się często jego szczególne położenie A = (0, 0), B = (a, 0), C = (b, c), gdzie a, c > 0. Jeżeli dodatkowo założymy, że kąt przy wierzchołku C jest ostry, to możemy także przyjąć, b > 0. Takie położenie trójkąta nie zmniejsza ogólności rozważań (można jest otrzymać po przekształceniu przez izometrię), a redukuje liczbę rozważanych parametrów (współrzędnych punktów) z 6 do 3.

32 ROZDZIAŁ 5. GEOMETRIA ANALITYCZNA Twierdzenie 5.4.2 Środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) i C = (x 3, y 3 ) jest punkt ( x1 + x 2 + x 3 S =, y ) 1 + y 2 + y 3. 3 3 Twierdzenie 5.4.3 Jeżeli trójkąt jest rozpięty na wektorach u = [u 1, u 2 ] i v = [v 1, v 2 ] (to znaczy wektory u, v są dwoma różnymi wektorami opisującymi boki trójkąta), to jego pole wyraża się wzorem P = 1 2 det(u, v) = 1 2 u 1 u 2 v 1 v 2 Twierdzenie 5.4.4 Pole trójkąta o wierzchołkach A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) i C = (x 3, y 3 ) wynosi P = 1 1 x 1 y 1 2 1 x 2 y 2 = 1 1 x 3 y 3 2 x 2y 3 + x 3 y 1 + x 1 y 2 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3. 5.5 Okrąg 5.5.1 Okrąg o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 ma równanie (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. 5.5.2 Okrąg o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 można przedstawić parametrycznie { x = a + r cos t, y = b + r sin t gdzie t przebiega przedział [0, 2π]. Twierdzenie 5.5.3 Jeżeli punkt A = (x 0, y 0 ) należy do okręgu o środku (0, 0) i promieniu r > 0 (czyli o równaniu x 2 +y 2 = r 2 ), to prosta o równaniu x 0 x + y 0 y = r 2 jest styczna do tego okręgu w punkcie A. 5.6 Krzywe stożkowe Definicja 5.6.1 Elipsą nazywamy krzywą o równaniu x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, gdzie a, b > 0 oraz każdą krzywą, której równanie można po przekształceniu przez izometrię do tej postaci sprowadzić..

5.6. KRZYWE STOŻKOWE 33 Definicja 5.6.2 Hiperbolą nazywamy krzywą o równaniu x 2 a 2 y2 b 2 = 1, gdzie a, b > 0 oraz każdą krzywą, której równanie można po przekształceniu przez izometrię do tej postaci sprowadzić. Definicja 5.6.3 Parabolą nazywamy krzywą o równaniu y 2 = 2px, gdzie p > 0 oraz każdą krzywą, której równanie można po przekształceniu przez izometrię do tej postaci sprowadzić. Definicja 5.6.4 Krzywą stożkową nazywamy każdy zbiór, który można uzyskać poprzez przecięcie dwustronnego nieskończonego stożka (lub jego zdegenerowanej postaci: nieskończonego walca) płaszczyzną lub, co na jedno wychodzi, zbiór wszystkich rozwiązań ogólnego równania stopnia 2 z dwiema niewiadomymi ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, gdzie a, b, c, d, e, f są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Twierdzenie 5.6.5 Dowolna krzywa stożkowa jest dokładnie jednej z następujących postaci: 1. zbiorem pustym, 2. punktem, 3. prostą, 4. sumą dwóch prostych równoległych, 5. sumą dwóch prostych przecinających się, 6. elipsą, 7. hiperbolą, 8. parabolą.