Wielowymiarowa analiza statystyczna wyników wzbogacania rudy miedzi w ZWR Polkowice

97 CUPRUM Czasopismo Naukowo-Techniczne Górnictwa Rud nr (75) 015, s. 97-108 Wielowymiarowa analiza statystyczna wyników wzbogacania rudy miedzi w ZWR Polkowice Magdalena Duchnowska 1), Ewelina Kasińska-Pilut ), Alicja Bakalarz 1), Andrzej Konieczny ), Przemysław Kowalczuk 1), Andrzej Łuszczkiewicz 1) 1) Politechnika Wrocławska, Wrocław, magdalena.duchnowska@pwr.edu.pl ) KGHM Polska Miedź S.A., Oddział Zakłady Wzbogacania Rud, Polkowice Streszczenie W pracy dokonano analizy zależności pomiędzy wzbogacaniem miedzi, srebra i węgla organicznego podczas procesu flotacji. Dokonano wielowymiarowej analizy statystycznej podstawowych wskaźników wzbogacania polkowickiej rudy miedzi w oparciu o wyniki przemysłowe flotacji za lata 011-015 w ZWR Polkowice. Celem pracy było wyznaczenie, oddzielnie dla każdego z ciągów technologicznych zakładu, równań, pozwalających na ocenę wzbogacania węgla organicznego w stosunku do wzbogacania miedzi i srebra. Wyznaczone równania łączą Cu, Ag i Corg, tak że na podstawie wskaźników selektywności Cu i Ag można wyznaczyć selektywność węgla organicznego, a następnie oszacować jego zawartości w produktach flotacji. Wyznaczone równania pozwalają na przewidywanie wyników wzbogacania węgla organicznego na podstawie analiz miedzi i srebra. Słowa kluczowe: ruda miedzi, wzbogacanie, wskaźnik selektywności flotacji Multivariate statistical analysis of upgrading copper ore in ZWR Polkowice Abstract The aim of this paper is determination of relationship between the contents of copper, silver and organic carbon in industrial flotation circuits. A multivariate statistical analysis of basic upgrading parameters distribution of the copper ore from the Polkowice Divisions of Concentrators on the basis of industrial results obtained between 011 and 015 was conducted. For each single flotation line, three equations, which connect the selectivity of copper, silver and organic carbon upgrading were determined. The obtained equations allow to calculate the upgrading selectivity and the content of Corg in the flotation products on the basis of Cu and Ag upgrading selectivities. The equations predict the results of upgrading in organic carbon basing on the data for copper and silver. Key words: copper ore, upgrading, selective indicator Wstęp Metody modelowania ilościowego stanowią podstawę do dokładnego zrozumienia i rozpoznania procesów. W większości przypadków dąży się do tego, aby stosowane modele opierały się na podstawowych prawach, opisujących zjawiska fizyczne,

98 jak na przykład na prawie zachowania masy. W przypadku opisu procesu wzbogacania krajowych rud miedzi dotyczą one głównie opisu przeróbki materiałów uziarnionych [11] bądź optymalizacji układów technologicznych Zakładów Wzbogacania Rud [8, 13]. W literaturze można wyróżnić dwa sposoby oceny i analizy wzbogacania krajowych rud miedzi. Pierwszy z nich polega na analitycznej i graficznej ocenie bilansów wzbogacania oraz krzywych wzbogacania, natomiast drugi opiera się na metodach statystycznych i modelowaniu matematycznym procesu przemysłowego. Ocena i analiza wzbogacania wymaga dostosowania metodyki oceny procesu do odpowiedniego typu rudy i powinna być prowadzona indywidualnie dla każdego przypadku. W przypadku dużej liczby parametrów opisujących proces, optymalnym rozwiązaniem wydaje się zastosowanie metod statystycznej analizy wielowymiarowej. Analizy statystyczne można w prosty sposób skoordynować z metodami graficznymi, co pozwala na zintegrowanie ze sobą większej ilości informacji. Celem pracy jest wyznaczenie równania korelacji wielowymiarowej, pozwalającego na predykcję wyników wzbogacania węgla organicznego na podstawie wyników wzbogacania miedzi i srebra, bez konieczności przeprowadzania kosztownych analiz chemicznych węgla organicznego. 1. Statystyczna analiza wielowymiarowa Statystyka pozwala na weryfikację praw opisujących daną zbiorowość, a także na wyznaczanie nowych zależności opisujących daną rzeczywistość. Statystyczny opis pozwala na lepsze rozumienie zachodzących zjawisk, a tym samym na ich przewidywanie [7]. Klasyczne metody statystyczne, zwłaszcza metody jednowymiarowe, znalazły szerokie zastosowanie między innymi w badaniach empirycznych. Jednakże w wielu praktycznych przypadkach, zwłaszcza w opisie złożonych struktur, są one niewystarczające [5]. W praktyce przemysłowej rzeczywistość opisywana jest za pomocą wielu skomplikowanych wskaźników, co często nie wyjaśnia zależności w istniejącej strukturze, a często dodatkowo ją komplikuje. Wiąże się to między innymi z tym, że ta sama przestrzeń określana jest przez wiele różnych wskaźników. Prowadzi to do szumu informacyjnego, określanego jako przeinformowanie osób kierujących daną przestrzenią [10]. Dlatego istotne jest wyznaczanie metody, pozwalającej na jednoczesną analizę wielu zmiennych, która eliminuje wzajemne powiązania pomiędzy zmiennymi. Metoda ta pozwoliłaby na dokonanie szybkiej oceny działania badanej jednostki (np. Zakładu Wzbogacania Rud). Do metod, które opisują złożone przestrzenie, należą metody statystycznej analizy wielowymiarowej [14]. Rozwój teorii statystyki wielowymiarowej miał miejsce na przełomie XIX i XX wieku, kiedy to statystycy i matematycy doszli do wniosku, że klasyczne metody statystyki jednowymiarowej można przenieść na struktury charakteryzowane przez wiele zmiennych [7]. Praktyczny rozwój teorii statystycznych analiz wielowymiarowych nastąpił wraz z rozwojem technik komputerowych [5]. Wielowymiarowa analiza statystyczna tworzy zbiór metod statystycznych, których zadaniem jest badanie relacji pomiędzy wieloma zmiennymi zależnymi, a także współzależnymi [14]. Termin ten odnosi się do grupy metod statystycznych, za pomocą których bada się obiekty (jednostki statystyczne), opisywane za pomocą minimum trzech zmiennych [4]. Z uwagi na fakt, że metody te znajdują szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, podział głównych metod zależny jest od celów, jakim metody te

99 mają służyć. Do podstawowych metod, określających statystyczne zależności wielowymiarowe, należą między innymi uogólnione analizy korelacji, regresji oraz wariancji (zwłaszcza korelacja cząstkowa i wieloraka), a także analiza głównych składowych, klasyfikacja, analiza czynnikowa, uogólnienie testów jednorodności czy analiza dyskryminacyjna [1]. Jednym z ważniejszych elementów statystycznej analizy wielowymiarowej jest badanie związków korelacyjnych pomiędzy zmiennymi. Element ten często stanowi punkt wyjścia przy bardziej złożonych analizach. Korelacja cząstkowa określa współzależność pomiędzy dwiema zmiennymi, wybranymi z większego zbioru, przy czym eliminuje wpływ pozostałych zmiennych na badane zmienne [9]. Wartość współczynnika korelacji cząstkowej można wyznaczyć na podstawie wzoru: r 1.34... p r 1.34...( p 1) r 1p.34...( p 1) p.34...( p 1) ( 1 r1p.34...( p 1) )(1 rp.34...( p 1) ) r, (1) gdzie p oznacza liczbę zmiennych, natomiast r 1.34 (p-1) współczynnik korelacji niższego rzędu. W ogólnym znaczeniu współczynnik korelacji cząstkowej pierwszego rzędu oznacza wartość wyznaczoną dla zbioru trzech zmiennych korelacja pomiędzy dwoma zmiennymi z pominięciem trzeciej zmiennej [1]. Współczynnik korelacji wielorakiej określa relacje pomiędzy zmienną jednowymiarową i zmienną wymiarową (kombinacją grupy zmiennych niezależnych traktowanych jako jedna zmienna) [1]. Współczynnik korelacji wielorakiej można wyznaczyć na podstawie wzoru: R 1(3... p) 1 1(3... p) S1 S, () 1(3... p) gdzie S oznacza wariancje resztowe, natomiast S określa wariancje zmiennej zależnej [1]. Na podstawie współczynników korelacji, można wyznaczyć równanie hiperpłaszczyzny regresji wielorakiej, oznaczającej zbiór punktów w przestrzeni p wymiarowej [9]. W przypadku trzech zmiennych równanie płaszczyzny określa wyrażenie w postaci: x 1 a0 a1x ax3 1, (3) gdzie współczynniki regresji zmiennej x 1 (zależnej) względem zmiennych x oraz x 3 mają postać [1]: s a 1 1 r1.3 s s a 1 r13. s, (4), (5)

100 a 0 y a1x 1 ax. (6) Cechą charakterystyczną korelacji wielorakiej oraz cząstkowej, w przeciwieństwie do większości metod statystycznej analizy wielowymiarowej, jest to, że podczas prowadzenia analizy jedną ze zmiennych przeciwstawia się innym zmiennym, traktując ją jako zmienną zależną [1].. Statystyczna analiza wyników wzbogacania w ZWR Polkowice Wśród składników złoża rud miedzi na monoklinie przedsudeckiej węgiel organiczny ma znaczenie szczególne, jest bowiem jednym z najważniejszych elementów genetycznych związanych z powstawaniem złoża, a także, oprócz składników metalicznych, jednym z decydujących składników w technologii wzbogacania flotacyjnego rudy oraz w procesach metalurgicznego przerobu koncentratów [3, 6]. W rejonie Polkowice-Sieroszowice miedź koncentruje się głównie w skałach węglanowych i łupkach, bogatych w węgiel organiczny. W ostatnich kilku latach nastąpił wzrost zawartości Corg w nadawach do procesu wzbogacania. Zmiany te wiązane są zazwyczaj przez technologów z właściwościami flotacyjnymi frakcji łupkowej rudy, która jest głównym nośnikiem Corg. Obserwowany wzrost zawartości węgla organicznego w koncentratach, a zwłaszcza występujące okresowe jego wahania, mają istotne znaczenie dla przebiegu procesów hutniczych i ich efektywności. W technologii pieca szybowego (HM Legnica i HM Głogów I) węgiel organiczny jest składnikiem korzystnym ze względów energetycznych. Natomiast w jednostadialnej technologii pieca zawiesinowego, ze względu na ograniczone możliwości odbioru ciepła w procesie, przekroczenie poziomu 7% zawartości węgla organicznego w koncentracie powoduje konieczność obniżenia wydajności pieca, a zatem zwiększa koszty produkcji. Analiza zawartości węgla organicznego w koncentratach miedziowych jest istotnym problemem również z uwagi na stosunkowo długi czas analiz chemicznych tej substancji oraz stosunkowo wysoki ich koszt [3]. Znaczący jest również fakt, że kontrola zawartości węgla organicznego w koncentratach miedziowych prowadzona jest w rozliczeniu miesięcznym, bez dodatkowych analiz ułatwiających sterowanie procesem w systemie zmianowym. Układ technologiczny ZWR Polkowice składa się z trzech ciągów produkcyjnych. W czasie wzbogacania najwyższą zawartość miedzi i najniższą zawartość węgla organicznego w koncentratach końcowych otrzymuje się z III ciągu (rys. 1). Na przestrzeni lat zawartość miedzi w koncentratach końcowych wyraźnie spada, co jest skorelowane ze wzrastającą zawartością węgla organicznego w tych koncentratach. Spośród trzech ciągów najwyższe zawartości węgla organicznego w koncentracie końcowym charakterystyczne są dla ciągu II, co wiąże się z najwyższą selektywnością wzbogacania węgla organicznego i najniższą efektywnością wzbogacania miedzi w tym układzie.

101 15 7 14 Zawartość miedzi w koncentracie, b, % 5 3 1 19 17 Ciąg I Ciąg II Ciąg III 13 1 11 10 9 8 7 6 Zawartość węgla org. w koncentracie, b, % 15 0 6 1 18 4 30 36 4 48 czerwiec grudzień czerwiec grudzień czerwiec grudzień czerwiec grudzień 011 01 013 014 Rys. 1. Średnie zawartości miedzi i węgla organicznego w koncentratach końcowych ZWR Polkowice 5.1. Metodyka badań Przedmiotem analiz statystycznych były dane określające jakość nadaw, koncentratów oraz odpadów w ZWR Polkowice w latach 011-015 (analiza wyników miesięcznych, osobno dla każdego z ciągów ZWR Polkowice dane zakładowe tabela 1, rys. 1). Proces wzbogacania oceniono pod względem selektywności wzbogacania miedzi, srebra, a także węgla organicznego. W pierwszym etapie pracy na podstawie zawartości miedzi srebra i węgla organicznego w nadawach do procesu oraz w produktach flotacji wyznaczono uzyski tych składników w koncentratach oraz uzyski pozostałych składników w odpadach. Następnie dla każdego z pierwiastków wyznaczono miesięczne wskaźniki selektywności według wzoru: r a, (7) 100 gdzie: a wskaźnik selektywności wzbogacania dla krzywej Fuerstenaua symetrycznej względem diagonalnej, uzysk rozpatrywanego składnika w koncentracie, r uzysk pozostałych składników w odpadzie. Im wyższa wartość wskaźnika selektywności tym niższa selektywność wzbogacania rozpatrywanego składnika []. r

10 Tabela 1. Wskaźniki selektywności miedzi, srebra i węgla organicznego wyznaczone dla wszystkich ciągów ZWR Polkowice (styczeń 011-luty 015) (na podstawie danych ZWR KGHM Polska Miedź S.A.) rok 011 01 013 014 015 miesiąc Ciąg I Ciąg II Ciąg III a Cu a Ag a Corg. a Cu a Ag a Corg. a Cu a Ag a Corg. styczeń 100,75 100,80 109,77 100,83 101,66 111,15 100,83 101,34 111,15 luty 100,81 101,10 109,50 100,73 101,33 110,33 100,90 101,18 110,33 marzec 100,76 101,6 108,46 100,73 101,33 110,9 100,85 100,96 110,9 kwiecień 100,76 101,5 109,47 100,77 101,06 110,97 100,8 100,90 110,97 maj 100,77 101,70 108,5 100,74 101,04 109,85 100,84 101,17 109,85 czerwiec 100,75 101,1 109,69 100,71 101,83 110,43 100,75 101,1 110,43 lipiec 100,73 101,50 108,05 100,68 101,18 110,8 100,75 101,15 110,8 sierpień 100,74 101,0 108,39 100,68 101,06 110,34 100,7 101,0 110,34 wrzesień 100,83 100,89 109,3 100,75 101,1 110,49 100,76 101,3 110,49 październik 100,8 101,01 111,33 100,70 101,4 113,60 100,71 101,46 113,60 listopad 100,76 101,3 110,15 100,65 101,35 111,40 100,75 101,38 111,40 grudzień 100,77 101,37 111,84 100,70 101,07 110,63 100,70 101,43 110,63 styczeń 100,73 101,70 109,98 100,69 101,65 110,98 100,69 101,51 110,98 luty 100,79 101,33 111,50 100,67 101,63 111,5 100,67 100,76 111,5 marzec 100,78 101,13 111,5 100,67 101,4 111,6 100,70 101,66 111,6 kwiecień 100,76 101,18 111,07 100,65 101,63 111,41 100,75 101,39 111,41 maj 100,75 101,00 109,85 100,64 101,08 110,08 100,78 101,50 110,08 czerwiec 100,75 101,70 111,6 100,66 101,17 11,76 100,71 101,6 11,76 lipiec 100,74 100,79 108,9 100,64 101,60 110,55 100,70 100,83 110,55 sierpień 100,73 101,31 109,56 100,65 101,04 109,70 100,65 101,38 109,70 wrzesień 100,70 101,1 109,61 100,7 100,70 111,35 100,65 101,38 111,35 październik 100,71 101,3 108,54 100,7 101,00 108,5 100,61 101,39 108,5 listopad 100,73 100,91 109, 100,70 100,81 109,11 100,53 100,89 109,11 grudzień 100,70 100,99 11,6 100,75 101,30 110,3 100,6 101, 110,3 styczeń 100,66 101,39 11,44 100,73 101,4 110,99 100,59 101,87 110,99 luty 100,65 101,03 110,85 100,75 101,10 108,80 100,59 101,5 108,80 marzec 100,73 100,86 110,43 100,70 101,1 111,13 100,60 101,0 111,13 kwiecień 100,71 100,45 110,0 100,63 101,33 110,03 100,65 100,54 110,03 maj 100,67 101,49 108,56 100,66 101,16 108,45 100,61 101,01 108,45 czerwiec 100,67 101,14 107,88 100,60 101,04 108,87 100,58 100,68 108,87 lipiec 100,73 100,61 108,59 100,71 100,88 109,66 100,6 100,97 109,66 sierpień 100,70 100,91 106,79 100,70 100,91 107,56 100,67 100,7 107,56 wrzesień 100,66 101,43 108,03 100,65 101,77 109,81 100,68 101, 109,81 październik 100,64 100,7 108,43 100,71 101,16 109,19 100,69 100,90 109,19 listopad 100,65 100,87 107,67 100,71 101,35 107,86 100,65 101,13 107,86 grudzień 100,65 100,85 110,48 100,66 101,13 108,57 100,69 101,06 108,57 styczeń 100,68 100,91 107,40 100,57 101,05 107,74 100,70 101,17 107,74 luty 100,64 100,94 108,19 100,69 100,81 108,38 100,6 101,13 108,38 marzec 100,64 100,94 108,41 100,66 101,4 107,5 100,6 100,75 107,5 kwiecień 100,68 100,80 108,30 100,71 101,1 107,18 100,6 100,84 107,18 maj 100,63 100,86 108,17 100,69 101,15 107,08 100,71 101,0 107,08 czerwiec 100,6 100,71 108,56 100,66 100,55 108,1 100,65 101,0 108,1 lipiec 100,58 101,34 109,11 100,67 101,84 108,7 100,69 100,75 108,7 sierpień 100,65 101,3 107,38 100,65 101,11 107,1 100,71 100,7 107,1 wrzesień 100,63 101,39 106,68 100,68 101,35 106,97 100,58 101,10 106,97 październik 100,64 100,79 108,30 100,65 101,13 108,7 100,65 100,65 108,7 listopad 100,64 101,07 108,0 100,65 100,44 108,16 100,65 101,19 108,16 grudzień 100,59 101,74 108,73 100,6 101,36 110,07 100,6 101,9 110,07 styczeń 100,6 101,4 109,97 100,63 100,85 109,34 100,63 101,39 109,34 luty 100,59 101,06 10,58 100,57 101,14 10,1 100,57 101, 10,1

103 W tabeli dla zbioru wartości wskaźników selektywności z tabeli 1 wyznaczono najważniejsze parametry statystyczne, takie jak wartość średnia czy odchylenie standardowe. Dokonano również analizy punktów odstających. W przypadku ciągu I oraz II do wyznaczenia korelacji wielowymiarowej pomiędzy wskaźnikiem selektywności wzbogacania miedzi, srebra i węgla organicznego przyjęto zbiór, składających się z 50 danych, w przypadku ciągu III z 48 (pominięto dwa punkty wyraźnie odstające.). Tabela. Najważniejsze parametry statystyczne wskaźników selektywności wzbogacania dla miedzi, srebra i węgla organicznego ZWR Polkowice Ciąg I Ciąg II Ciąg III Statystyka Ag Cu C org. Ag Cu C org. Ag Cu C org. liczba danych 50 50 50 wartość minimalna 100,45 100,58 10,58 100,57 100,44 10,1 100,53 101,56 10,57 wartość maksymalna 101,74 100,83 11,44 100,83 101,84 113,60 100,90 104,64 114,84 wartość średnia 101,1 100,70 109,16 100,68 101,0 109,48 100,68 10,74 106,69 odchylenie standardowe 0,30 0,06 1,69 0,05 0,30 1,86 0,08 0,53 1,63 Na podstawie równań 1-6 oraz obliczeń z tabeli wyznaczono korelację wielowymiarową pomiędzy wskaźnikiem selektywności wzbogacania węgla organicznego a wskaźnikami selektywności wzbogacania miedzi i srebra. Korelację wielowymiarową wyznaczono, zakładając poziom istotności wynoszący 0,05. Na podstawie tablicy statystycznej wyznaczono równanie, określające minimalną wartość współczynnika korelacji, która pozwala na stwierdzenie, że pomiędzy danymi istnieje korelacja [15]: R 0,09ln( n) 1,0669, (8) gdzie n oznacza liczbę stopni swobody. Obliczono, że dla istniejącego zbioru parametrów wzbogacania minimalna wartość współczynnika korelacji powinna wynosić 0,5 (dla wyników z 50 miesięcy). Dla wszystkich ciągów warunek ten został spełniony. W tabeli 3 podano współczynniki równania opisującego selektywność wzbogacania węgla organicznego, wyliczone na podstawie selektywności wzbogacania miedzi i srebra, oraz obliczono, z jakim standardowym błędem estymacji równania te zostały wyznaczone. Na podstawie wyznaczonych równań (tabela 3) obliczono modelowe wskaźniki selektywności wzbogacania węgla. Wyniki naniesiono na wykresy trójwymiarowe, osobno dla danych rzeczywistych i osobno dla danych wyprowadzonych na podstawie równania korelacji wielowymiarowej (dane modelowe). Na podstawie analizy rys. można stwierdzić, że wyprowadzone równania charakteryzują się wysokim stopniem dokładności i pozwalają na przewidywanie wyników wzbogacania węgla organicznego na podstawie wzbogacania miedzi oraz srebra. Układ punktów na wykresach trójwymiarowych wskazuje, że największe różnice pomiędzy danymi rzeczywistymi i modelowymi występują przy punktach najbardziej odbiegających od wartości średniej. Model zmniejsza różnice pomiędzy wartościami odstającymi względnie wartości średnich.

104 Tabela 3. Współczynniki korelacji wyznaczone na podstawie wzajemnych relacji pomiędzy wskaźnikami selektywności wyznaczonymi dla węgla organicznego, miedzi i srebra Ciąg I współczynniki korelacji zupełnej współczynniki korelacji cząstkowej r 1 r 13 r 3 r 1.3 r 13. r 3.1 0,057 0,116 0,470 0,003 0,101 0,467 współczynniki korelacji wielorakiej współczynniki kierunkowe równania wyraz wolny R 3(1) a 31 a 3 0,479 0,5171 1,638908-115,4355 F(,47)=6,98158 błąd stand. estymacji SEE: 1,5165 p<0,0014 Ciąg II współczynniki korelacji zupełnej współczynniki korelacji cząstkowej r 1 r 13 r 3 r 1.3 r 13. r 3.1 0,078 0,81 0,373-0,030 0,73 0,367 współczynniki korelacji wielorakiej współczynniki kierunkowe równania wyraz wolny R 3(1) a 31 a 3 0,451 1,559994 13,388983-1396,456 F(,47)=5,989564 błąd stand. estymacji SEE: 1,693 p<0,004818 Ciąg III współczynniki korelacji zupełnej współczynniki korelacji cząstkowej r 1 r 13 r 3 r 1.3 r 13. r 3.1 0,114 0,455-0,03 0,145 0,46-0,095 współczynniki korelacji wielorakiej współczynniki kierunkowe równania wyraz wolny R 3(1) a 31 a 3 0,463 1,630983-1,0914 51,5771 F(,45)=6,16866 błąd stand. estymacji SEE: 0,901 p<0,004433 1 wskaźnik selektywności wyznaczony na podstawie krzywej wzbogacania Fuerstenaua dla srebra, wskaźnik selektywności wyznaczony na podstawie krzywej wzbogacania Fuerstenaua dla miedzi, 3 wskaźnik selektywności wyznaczony na podstawie krzywej wzbogacania Fuerstenaua dla węgla org. Najwyższą dokładnością estymacji charakteryzuje się równanie wyznaczone dla ciągu III, dla którego średni błąd estymacji wyniósł 0,90. Tabela 4. Równania opisujące zależności pomiędzy wskaźnikami selektywności wzbogacania Ciąg Równanie I a Corg. 0,5171 aag 1,638908 acu 115, 4355 II a Corg. 1,559994 aag 13,388993 acu 1396, 456 III a 1,630983 a 1,09114 a 51, 5771 Corg. Ag Cu

105 DANE RZECZYWISTE DANE MODELOWE CIĄG I CIĄG II CIĄG III Rys.. Średnie miesięczne wartości wskaźników selektywności miedzi, srebra i węgla organicznego w koncentratach końcowych ZWR Polkowice Na wykresach (rys. 3) wykreślono krzywe wzbogacania Fuerstenaua dla średnich wartości wskaźnika selektywności, osobno dla każdego z ciągów (dane tabela ). Następnie na podstawie wartości standardowego błędu estymacji (tabela 3) wyznaczono dodatkowo po dwie krzywe Fuerstenaua, pierwszą poprzez dodanie wartości standardowego błędu estymacji do średniej wartości wskaźnika selektywności (a+see), drugą poprzez odjęcie tej wartości (a-see). W ten sposób otrzymano zakres zmienności wskaźnika selektywności, wynikający ze standardowego błędu estymacji.

106 Dodatkowo na wykresach na rys. 3. przedstawiono krzywe wzbogacania, pokazujące niepewność średniej wartości wskaźnika selektywności, w zależności od wielkości błędów analiz chemicznych, określających zawartości węgla organicznego w produktach wzbogacania. W obu przypadkach jako średnie wartości wskaźnika selektywności przyjęto średnie wyznaczone w tabeli. Średni błąd wyznaczania wskaźnika selektywności wzbogacania (równanie 7), wynikający z błędu oznaczeń chemicznych zawartości węgla organicznego w produktach wzbogacania, został wyznaczony na podstawie następującego równania: f f r r error a s s (9) gdzie s to odchylenie standardowe wyznaczone na podstawie błędów oznaczeń chemicznych (średni błąd oznaczeń dla koncentratu wynosi ±0,% podanej wartości, a dla nadawy i odpadu ±0,1%), a f to pochodne cząstkowe równania 7 po wskaźniku selektywności, dla których uzyski rozpatrywanych składników koncentracie i uzyski pozostałych składników w odpadzie zostały wyznaczone dla średnich zawartości w nadawach i produktach wzbogacania z okresu od stycznia 011 do lutego 015 r. Na podstawie równania 9 wyznaczono niepewności wartości wskaźnika selektywności a dla węgla organicznego, wynikające z błędu analizy chemicznej. Wartości średniej + niepewność wynoszą: dla ciągu I a=109,16 +/- 0,56, dla ciągu II a=109,48 +/- 0,55 oraz dla ciągu III a= 106,69 +/- 1,79 (rys. ). Uzysk pozostałych składników w odpadzie, e r, % 100 80 60 40 0 100 98 96 94 9 idealne wzbogacanie 90 40 4 44 46 48 50 CIĄG I średnia średnia a =109,16 średnia + błąd analizy chemicznej a =109,16 +/- 0,56 średnia + błąd standardowy estymacji a =109,16 +/- 1,5 0 0 0 40 60 80 100 Uzysk węgla organicznego w koncentracie, e, % Uzysk pozostałych składników w odpadzie, e r, % 100 80 60 40 0 100 98 96 94 9 idealne mieszanie idealne wzbogacanie 90 45 47 49 51 53 55 Uzysk pozostałych składników w odpadzie, e r, % 100 80 60 40 0 100 średnia średnia a=106,69 średnia + błąd analizy chemicznej a=106,69 +/- 1,79 średnia + błąd standardowy estymacji a=106,69 +/- 0,90 0 0 0 40 60 80 100 Uzysk węgla organicznego w koncentracie, e, % 98 96 94 9 idealne wzbogacanie 90 40 4 44 46 48 50 CIĄG II średnia średnia a =109,48 średnia + błąd analizy chemicznej a =109,48 +/- 0,55 średnia + błąd standardowy estymacji a =109,48 +/- 1,69 0 0 0 40 60 80 100 Uzysk węgla organicznego w koncentracie, e, % CIĄG III Rys. 3. Krzywe Fuerstenaua dla średnich wartości wskaźników selektywności wzbogacania węgla organicznego w ZWR Polkowice idealne mieszanie idealne mieszanie

107 Przeprowadzona analiza wskazuje na stosunkowo wysoki stopień dokładności wyprowadzonych równań. Wartości standardowego błędu estymacji są mniejsze niż 1,7 wartości wskaźnika selektywności. W przypadku gdy zakres jego zmienności na krzywej Fuerstenaua charakteryzuje się funkcją wykładniczą [3], dla wartości wyższych wskaźnika selektywności ta różnica jest niewielka, co pokazano na rys. 3. Dla ciągu I oraz II błąd estymacji jest trzy razy większy niż różnica wartości wskaźnika selektywności, wynikająca z dokładności analiz chemicznych. W przypadku ciągu III sytuacja jest odwrotna, co oznacza, że dla tego układu równanie zostało wyznaczone z najlepszą dokładnością. Podsumowanie i wnioski Na podstawie przeprowadzonej wielowymiarowej analizy statystycznej wyprowadzono równania matematyczne, opisujące selektywność wzbogacania rudy w węgiel organiczny w zależności od selektywności wzbogacania miedzi i srebra na trzech ciągach ZWR Polkowice. Wyznaczone równania pozwalają na predykcję wyników wzbogacania węgla organicznego ze stosunkowo niskim standardowym błędem estymacji, w przypadku ciągu III, mieszczącym się w granicach średniego błędu analiz chemicznych, w pozostałych przypadkach nieznacznie wyższym od wartości błędu oznaczeń chemicznych. W wyniku przeprowadzonych analiz potwierdzono fakt istnienia korelacji pomiędzy wzbogacaniem węgla organicznego oraz srebra i miedzi w koncentratach miedziowych (współczynniki korelacji wielowymiarowej powyżej 0,45). Wyprowadzone równania pozwalają na szybką i efektywną kontrolę zawartości węgla w koncentratach miedziowych, opartą jedynie na wynikach zawartości miedzi i srebra w nadawach i produktach flotacji. W przypadku każdego z ciągów szybka informacja o zawartości węgla pozwoli na natychmiastowe reakcje załogi, w przypadku wystąpienia problemów podczas procesu wzbogacania, na przykład poprzez zwiększenie dawki dozowanych odczynników zbierających w przypadku wzrastających wartości wskaźnika selektywności miedzi i spadających wartości wskaźnika selektywności węgla organicznego. Wykorzystanie i uwzględnienie tych informacji przy wzbogacaniu w warunkach technologicznych może wpłynąć na poprawę selektywności wzbogacania, poprzez efektywne kontrole i ograniczenie zawartości węgla organicznego w koncentratach miedziowych, a co za tym idzie poprawę jakości koncentratów miedziowych zgodnie z zapotrzebowaniem huty. Praca wykonana w ramach badań statutowych Politechniki Wrocławskiej (S40 166 oraz S40 08). Bibliografia [1] Balicki A., 1998, Statystyka w badaniach ochrony środowiska, Główny Urząd Statystyczny, Warszawa. [] Drzymała J., Ahmed H.A.M., 005, Mathematical equations for approximation of separation results using the Fuerstenau upgrading curves, Int. J. Miner. Process., vol. 76 (1-), s. 55-65.

108 [3] Duchnowska M., Łuszczkiewicz A., Drzymała J., Konopacka Ż., Kowalczuk P., Bakalarz A., Foszcz D., Szyszka D., Karwowski P., Opracowanie technologii wydzielenia węgla organicznego na etapie flotacji wstępnej, Raport Nr I-11/014/S-1, Instytut Górnictwa Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, listopad 014. [4] Hair J.F., Anderson R.E., Tatham R.L., Black W.C., 1995, Multivariate Data Analysis with Readings, Prentice Hall International, London. [5] Jajuga K., 1993, Statystyczna analiza wielowymiarowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. [6] Kijewski P., Leszczyński R., Węgiel organiczny w rudach miedzi znaczenie i problemy. Zeszyty Naukowe Instytutu Gospodarki Surowcami Mineralnymi i Energi Polskiej Akademii Nauk, nr 79, 010, s. 131-146. [7] Makać M., Urbanek-Krzysztofiak D., 011, Metody opisu statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk. [8] Konieczny A., Pawlos W., Jach M., Pępkowski R., Krzemińska M., Kaleta R., 011, Zastosowanie systemu wizualizacji do sterowania parametrami pracy maszyn flotacyjnych w KGHM Polska Miedź S.A. Oddział Zakłady Wzbogacania Rud, Górnictwo i Geologia, t. 6, z., s. 61-71. [9] Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M., 011, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz., Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. [10] Pluta W., 1977, Wielowymiarowa analiza porównawcza w badaniach ekonomicznych, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa. [11] Tumidajski T., 010, Aktualne tendencje w opisie i modelowaniu matematycznym procesów przeróbki materiałów uziarnionych, Gospodarka Surowcami Mineralnymi. T. 6, z. 3, s. 111-11. [1] Tumidajski T., Saramak D., 009, Metody i modele statystyki matematycznej w przeróbce surowców mineralnych, Wydawnictwo AGH, Kraków. [13] Tumidajski T., Saramak D., Foszcz D., Niedoba T., 005, Methods of modeling and optimization of work effects for chosen mineral processing systems, Acta Montanistica Slovaca, 01, s. 115-10. [14] Walesiak M., 1996, Metody analizy danych marketingowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. [15] Volk W., 1973, Statystyka stosowana dla inżynierów, Wydawnictwa Naukowo- -Techniczne, Warszawa.