ROZWIĄZYWANIE BELEK Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI HEAVISIDE A I DIRACA**

Górnictw i Geinżynieria Rk 1 Zeszyt 007 Włdzimierz Hałat* ROZWIĄZYWANIE BELEK Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI HEAVISIDE A I DIRACA** 1. Wprwadzenie W wielu prblemach budwnictwa, dnszących się d zginania belek, wyznaczanie wartści sił reakcji nie jest mżliwe d uzyskania bez wcześniejszeg wyznaczenia przemieszczeń. Dtyczy t zagadnień statycznie niewyznaczalnych, w których liczba sił biernych (reakcji więzów) jest większa niż ilść dstępnych równań statyki. Przedstawina w pracy analiza belki pddanej zginaniu sfrmułwana zstała w przemieszczeniach. Spsób ten pzwala rzwiązywać, prócz zagadnień statystycznie niewyznaczalnych, również zagadnienia statystycznie wyznaczalne bez ptrzeby przeprwadzania ddatkwych bliczeń. Dstarcza n pełnych infrmacji przebiegu sił wewnętrznych i ugięć wzdłuż całej długści belki. Jest t niekiedy spsób pstępwania dść żmudny, wymagający znajdwania wielu stałych całkwania równań różniczkwych, drga ta jednak w wielu zastswaniach jest najwygdniejsza. Zastswanie metdy zaprpnwanej przez A. Clebscha upraszcza rzwiązywanie zginanych belek. Pzwala na również na wprwadzenie d rzwiązywanych zagadnień funkcji Heaviside a i Diraca związanych z terią dystrybucji []. Funkcje te w płączeniu z abstrakcyjnym peratrem różniczkwania znaczanym symblem D pzwalają, w spsób zwarty [5, 6], na zapisanie w języku rachunku symbliczneg i wyknywanie bliczeń związanych ze zginaniem belek. Przedstawiny w artykule arkusz rzwiązania belki pzwala na rzwiązywanie belek jednprzęsłwych dwlnie bciążnych i dwlnie pdpartych. Aby mżna był teg dknać, należy w arkuszu zapisać swją funkcję bciążenia i zapisać nwy, inny spsób pdparcia pprzez uwzględnienie dpwiednich warunków brzegwych. * Wydział Górnictwa i Geinżynierii, Akademia Górnicz-Hutnicza, Kraków ** Niniejszy artykuł party jest na badaniach statutwych AGH nr 11.11.100.588 161

. Ugięcie belek pprzez całkwanie równania bciążenia W belkach najczęściej sptykanych w budwnictwie [7, 9], mających małe wymiary pprzeczne w stsunku d rzpiętści, nie uwzględniamy wpływu sił pprzecznych T = f ( x) na ugięcie. Zakładając, że sztywnść zginania EJ jest stała na całej długści belki (przypadki pwszechnie sptykane w praktyce inżynierskiej), mżemy zapisać, że pmiędzy bciążeniem q = f ( x), siłą pprzecznąt = f ( x), mmentem zginającym M = f ( x), kątem 1 brtu K = f ( x) raz ugięciemu ( ) = f x 5 zachdzą następujące związki: d y = EJ * q( x) dx (1) d y = = ( ) + EJ * T ( x) q x d x _ C1 dx () ( ( ) ) d y = = + + EJ * M ( x) q x dx d x _ C1* x _ C dx () dy EJ * = EJ * K( x) = M ( x) d x + _ C dx ( ( ( ) ) ) _ C1* x = q x dx dx d x+ + _ C* x+ _ C ( ( )) ( ) EJ* y x = EJ* U( x) = M x d x+ _ C* x+ _ C ( ( ( ( ) ) ) ) _ C1* x _ C* x = q x dx dx dx d x+ + + _ C* x+ _ C 6 () (5) Spsób rzwiązywania równania różniczkweg czwarteg rzędu (1) zależy d jeg prawej strny. Jeżeli jest na znaną funkcją x, t całkwanie przebiega w spsób tradycyjny. Aby trzymać ugięcie U( x), perację całkwania trzeba przeprwadzać czterkrtnie, kreślając z warunków brzegwych cztery stałe całkwania. Warunki brzegwe mgą być statyczne lub kinematyczne. Frmułujemy je w siłach bądź w przemieszczeniach. Stawiane są na kńcach belki i w myślwych przekrjach; ptwierdzają ciągłść przemieszczeń raz sił wewnętrznych. Warunki brzegwe dla x = 0 i różnych spsbów pdparcia zestawin w tabeli 1. Zazwyczaj przebieg linii ugięcia belki wyznaczany jest z pdstawweg równania różniczkweg [7] zapisaneg w pstaci (). Mamy wówczas d wyznaczenia dwie stałe całkwania. 16

TABELA 1 Warunki brzegwe dla różnych spsbów pdparcia belek Spsób pdparcia belki Warunki brzegwe lub y ( 0) = 0, θ ( 0) = 0 y( ) y ( ) 0 = 0, ' 0 = 0 y ( 0) = 0, M ( 0) = 0 y( ) y ( ) 0 = 0, '' 0 = 0 y ( 0) = 0, M ( 0) = 0 y( ) y ( ) 0 = 0, '' 0 = 0 M ( 0) = 0, T( 0) = 0 y ( ) y ( ) '' 0 = 0, ''' 0 = 0 θ ( 0) = 0, T ( 0) = 0 y ( ) y ( ) '0 = 0, '''0 = 0. Funkcja Heaviside a i funkcja Diraca raz peratry różniczkwania w Maple Metda całkwania, pdstawweg równania różniczkweg (), staje się uciążliwa i czaschłnna, kiedy w belce mamy kilka przedziałów charakterystycznych. Rzwiązania teg typu prblemów kmplikują się, jakklwiek mgą ne być uprszczne pprzez metdę zaprpnwaną i rzwiniętą przez niemieckieg matematyka A. Clebscha (k. 186 r.). Metda ta wymaga zachwania pewnych warunków spsbu zapisu. Pzwala na również na wprwadzenie d rzwiązywanych zagadnień funkcji ugólninych, które kreślane są przedziałami. Należą d nich funkcja Heaviside a raz funkcja impulswa Diraca []. 16

jest jak Funkcja Heaviside a ( ) 0 H( x x ) = 1 W punkcie x (7) i (8): H x x x < x x > x jest t tzw. funkcja skku jednstkweg. Definiwana = x funkcja H ( x x ) jest nieciągła. Ma własnści pisane zależnściami 0 ( ) x < x f ( x) * H( x x ) = f x x > x ( x1 x) (, ) 0 x, g( x) = f ( x) H( x x1) H( x x) = f ( x) x x x f x z funkcjami Heaviside a pwduje wy- Wynika stąd wnisek, że złżenie funkcji ( ) gaszenie funkcji f ( x) dla x ( x, x ). 1 1 (6) (7) (8) Pchdna funkcji Heaviside a w tradycyjnym sensie nie istnieje. Funkcja δ Diraca uważana jest za graniczny przypadek pchdnej funkcji H ( x a). Ma na własnści: δ( x x ) = x x 0 x = x (9) Przedstawia na prstkąt nieskńcznej wyskści i zerwej szerkści plu równym jednści []. Maple ma wbudwane dwie różne peracje różniczkwania: pierwsza z nich znaczana jest symblem diff, funkcja zmienna przedziałami w każdym z przedziałów różniczkwana jest ddzielnie. Druga peracja różniczkwania, znaczana symblem D, jest abstrakcyjnym peratrem różniczkwania, który mże wyknywać perację różniczkwania funkcji [6]. Za pmcą peratra D w prsty spsób zapisujemy warunki pczątkwe dla równań różniczkwych. Operatr D w płączeniu z funkcją Heaviside a i funkcją Diraca pzwala na uprszczenie zapisu algrytmu rzwiązywania zginanych belek. Otrzymany wynik jest funkcją w przedstawieniu peratrwym [5].. Rzwiązanie belek za pmcą rachunku symbliczneg raz funkcji Heaviside a i Diraca Przykład rzwiązania belki statycznie niewyznaczalnej, w parciu twierdzenie Menabre a Castiglian wraz z elementarnymi wiadmściami prgramie Maple niezbędnymi d zagadnień zginania belek, pdan w pracy []. Twierdzenie Menabre a Castiglian wymaga zapisania równań równwagi raz brania wielkści statycznie niewyznaczalnych. 16

Rys. 1. Schemat belki Rzwiązując belkę statystycznie niewyznaczalną (rys. 1) w parciu rachunek dystrybucyjny 1, nie musimy zapisywać równań równwagi ani bierać wielkści statycznie niewyznaczalnych. Belka zstała bciążna bciążeniem natężeniu: x q x = l ( ) q cs. Wiersz pleceń dzwierciedlający pstać równania (5) dla schematu belki z rysunku 1 w zapisie języka symbliczneg Maple ma pstać : > dslve({diff(y(x),x$) = -q[]*cs((pi*x)/(*l))/ej},y(x));# w wyniku rzwiązania trzymujemy: x 16qt cs l _ Cx 1 _ Cx y( x) = + + + _ C x+ _ C. EJ 6.1. Arkusz rzwiązania belki w języku symblicznym Maple Pniżej przedstawin klejne zakdwane wiersze pleceń języka symbliczneg Maple (Wrksheet ), umżliwiające rzwiązywanie belek za pmcą funkcji Heaviside a raz Diraca: > restart; > D1:=x->D(x):D1(x); D:=x->D(D(x)):D(x); D:=x->D(D(D(x))): D(x); D( x ) 1 W pracy [8] pdan przykłady zastswania rachunku dystrybucyjneg w dniesieniu d belek statystycznie wyznaczalnych. Wiersze pleceń Maple wyświetlane są w klrze czerwnym, dane wyjściwe w klrze niebieskim. Tak nazywane są twarte arkusze sesji Maple. 165

( ) ( D )( x ) () ( D )( x ) >H:=a->Heaviside(x-a); mh:=x->1-h(x);l:=6:p:=-q[]*cs((pi*x)/(*l)): H : = a Heaviside( x a) ( ) mh : = x 1 H x >S:=(wa,wb,a,b)->(wa*H(a)+H(a)*(x-a)*(wb-wa)/(b-a))*mH(b); ( )( )( ) H a x a wb wa S : = ( wa, wb, a, b) wa H( a) + mh b b a ( ) >F_Hew:=(S(p,p,0,l));# funkcja Heaviside rzwiązywanej belki x F _ Hew: = qcs Heaviside x 1 Heaviside x 6 1 ( )( ( )) >Warunki:={y(l)=0,D(y)(l)=0,y(0)=0,D(y)(l)=0}; ( ) { y( ) y( ) ( D )( )( ) ( )( ) } y D y Warunki: = 0 = 0, 6 = 0, 6 = 0, 6 = 0 >yy:=ej*diff(y(x),x$)=f_hew;# zapis równania różniczkweg d x yy : = EJ y x = q cs Heaviside x 1 Heaviside x 6 dx 1 ( ) ( )( ( )) >dslve({yy} unin Warunki,y(x)): # rzwiązanie równania >U:=simplify(rhs(%));#funkcja linii ugięcia: 166

( ( ) ( ) U : = q 1068 Heaviside x 16 Heaviside x 6 ( ) ( ) 108 x Heaviside x 6 86 x Heaviside x 6 + ( x) x ( x ) + 6 Heaviside + 518 Heaviside 6 x x + 1068 Heaviside( x) cs 1068 Heaviside( x 6) cs 1 1 18 x Heaviside( x 6) + x Hea ( x ) ) ( ) + x x EJ viside 6 6x >q[]:=000:e:=05000*10^6:j:=060/(100^):ej:=e*j:# sztywnść zginania [1] >K:=simplify(factr(diff(U,x)));# funkcja kątów ugięcia: ( ( ) ( ) K = q x x + x x : 6 1 Heaviside 6 Heaviside 6 ( ) ( ) + 6 Heaviside x 6 + 88x 88 Heaviside x 6 x ( x) ( EJ) x x + ( x) x+ ( x ) Heaviside 88 Heaviside 6 sin 1 x 88 Heaviside sin 1 >M:=simplify(EJ*diff(U,x$)); # funkcja mmentów zginających: x M : = 1q 1 + 1 Heaviside ( x 6) cs 1 x 6 Heaviside( x 6) 1 Heaviside( x) cs 1 ( ) ( ) ) + x Heaviside x 6 1 + 1 Heaviside x x >T:=simplify(EJ*diff(U,x$)); # funkcja sił tnących x x 1 sin 1 Heaviside( x 6) 1 Heaviside( x) sin 1 1 8 T : = + 167

5. Graficzne przedstawienie wyników Naryswanie wykresów za pmcą prgramu Maple nie stanwi prblemu: wystarczy w linii pleceń napisać plt(u,x = 0..l, clr = black,thickness =, axes = BOXED), aby trzymać wykres linii ugięcia zginanej belki (rys. ). Pstępując w pdbny spsób trzymujemy wykresy kątów ugięcia (rys. ), sił tnących (rys. ) raz mmentów zginających (rys. 5). Rys.. Wykres linii ugięcia Rys.. Wykres kątów ugięcia Rys..Wykres sił tnących Rys. 5. Wykres mmentów gnących Prgram Maple, prócz grafiki dwuwymiarwej, ma zdefiniwane instrukcje pzwalające na trójwymiarwą prezentację zdefiniwanych funkcji. Na rysunkach 6 i 7 przedstawin wpływ zmiany bciążenia raz sztywnści zginania [1, 9] na linię raz ugięcia belki. Rys. 6. Linia ugięcia belki w funkcji q Rys. 7. Linia ugięcia belki w funkcji EJ 168

6. Knkluzje Przedstawine w niniejszym artykule rezultaty raz mżliwści języka symbliczneg Maple upważniają d stwierdzenia, że jest n pakietem CAS wspmagającym prace naukw-techniczne w zakresie zastswania d prjektwania i rzwiązywania zginanych belek rachunku dystrybucyjneg. Na pewn CAS nie zastąpi tradycyjneg pdejścia d rzwiązywania zagadnienia za pmcą kredy i tablicy; nie mżna jednak żyć przeszłścią i udawać, że CAS nie istnieje. D lamusa histrii przeszły bliczenia prjektwe wspmagane suwakami lgarytmicznymi, ten sam ls pdzielą bliczenia prjektwe wspmagane zwykłymi kalkulatrami. Systemy CAS nie tylk sprawnie rzwiązują pstawine zadania, ale także znakmicie pkazują, jak zmieniają się wykresy analizwanych funkcji. Mżliwści graficzne i animacyjne pakietów CAS pgłębią ich przydatnść i pzwlą użytkwnikm skupić się na istcie prblemu, a nie na żmudnych przekształceniach. Krzystając z CAS, należy jednak uważać, by frma nie przersła treści ; trzeba także pamiętać, że prgramy CAS pdlegają ciągłemu rzwjwi i nie zawsze klejna wersja prgramu wyknuje t, c rbiła wersja wcześniejsza. LITERATURA [1] Bgucki W. et al.: Tablice d prjektwania knstrukcji metalwych. Warszawa, Arkady 1996 [] Brnsztejn I. N. et al.: Nwczesne kmpendium matematyki. Warszawa, Wydawnictw Naukwe PWN 00 [] Hałat W.: Zastswanie kmputerweg rachunku symbliczneg d zagadnień zginania belek. Badania statutwe AGH 11.11.100.588, Kraków 007 [] Hałat W.: Zastswanie kmputerweg rachunku symbliczneg d zagadnień zginania belek. Kwartalnik AGH Górnictw i Geinżynieria,, 007 [5] Maple Learning Guide, Maplesft [6] Palczewski A.: Równania różniczkwe zwyczajne: teria i metdy numeryczne z wykrzystaniem kmputerweg systemu bliczeń symblicznych. Warszawa, Wydawnictwa Naukw-Techniczne 00 [7] Pyrak S., Szulbrski K.: Mechanika knstrukcji przykłady bliczeń. Warszawa, Arkady 1998 [8] Skalmierski B.: Mechanika. Pdstawy mechaniki klasycznej. Wydawnictw Plitechniki Częstchwskiej 1998 [9] Żmuda J.: Pdstawy prjektwania knstrukcji metalwych. Warszawa, Arkady 1977 169