WYKŁAD I KONSTRUKCJE PODSTAWOWE RZUT RÓWNOLEGŁY RZUT PROSTOKĄTNY AKSONOMETRIA AdamŚwięcicki
KONSTRUKCJA PROSTEJ PRZECHODZĄCEJ PRZEZ DWA PUNKTY a B B A A
KONSTRUKCJA ODCINKA B B A A
wariant I KONSTRUKCJA OKRĘGU r S S r r
wariant II KONSTRUKCJA OKRĘGU r1 S1 S2 r2 r r1 r2
wariant II KONSTRUKCJA OKRĘGU S1 S2 r r1 r r3 r1 r2 r r4 r2
wariant II KONSTRUKCJA OKRĘGU S3 S1 S2 r r1 r r3 r1 r2 S4 r r4 r2
wariant II KONSTRUKCJA OKRĘGU r S3 r1 S1 S2 r2 r r1 r r3 r1 r2 S4 r r r4 r2
wariant III KONSTRUKCJA OKRĘGU A B C
wariant III KONSTRUKCJA OKRĘGU A S B C
wariant IV KONSTRUKCJA OKRĘGU a b r
wariant IV KONSTRUKCJA OKRĘGU a' a b' r b r S r r r r
wariant IV KONSTRUKCJA OKRĘGU a b S r r
STYCZNA DO OKRĘGU PRZECHODZĄCA PRZEZ PUNKT S A
STYCZNA DO OKRĘGU PRZECHODZĄCA PRZEZ PUNKT C S D A B
wariant I STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW r1 S1 S2 r2
wariant I STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW r1 E r3 S1 F D S2 r2 r2 r1 r3
wariant I STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW r1 E r3 S1 F D S2 r2 r2 r1 r3
wariant I STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW a r1 E r3 S1 F D S2 r2 b r2 r1 r3
wariant I STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW a r1 S1 S2 r2 b
wariant II STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW r3 r1 S1 S2 r2 r1 r3 r2
wariant II STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW r3 r1 S1 D S2 r2 r1 r3 r2
wariant II STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW E r3 G r1 S1 D S2 r2 H F r1 r3 r2
wariant II a STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW E r3 G r1 S1 D S2 r2 H b F r1 r3 r2
wariant II a STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW r1 S1 S2 r2 b
ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA C x X S a/2 O a A a x x 5 1 = x = a 0, 62 a a x 2
ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA cd. C x2 x1 X S a/2 O a A x1 bok dziesięciokąta foremnego, x2 bok pięciokąta foremnego
PIĘCIOKĄT FOREMNY wariant I dana średnica okręgu opisanego.
wariant I PIĘCIOKĄT FOREMNY A S X
wariant I PIĘCIOKĄT FOREMNY A Y X
wariant I PIĘCIOKĄT FOREMNY A B Y X
wariant I PIĘCIOKĄT FOREMNY A B E C D
wariant I PIĘCIOKĄT FOREMNY A B E C D
PIĘCIOKĄT FOREMNY wariant II określona długość boku pięciokąta foremnego. a
wariant II PIĘCIOKĄT FOREMNY a Y X
wariant II PIĘCIOKĄT FOREMNY a Y X C
wariant II PIĘCIOKĄT FOREMNY a B X C
wariant II PIĘCIOKĄT FOREMNY a B C D
wariant II PIĘCIOKĄT FOREMNY a B C E D
wariant II PIĘCIOKĄT FOREMNY a B A C E D
RZUT RÓWNOLEGŁY C l P K4 k kl B kp A C' l'=kl' P'=kp' B' p A'
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO 1. Współliniowość punktów. 2. Stosunek podziału. l K4 C kc kb k ka B C' l' A B' p A' AC = BC A' C' B' C' ( ABC ) = AC BC
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd 3. Równoległość prostych. N4 K4 l m k kl km N'4 l' m' p
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd 4. Stosunek długości odcinków równoległych. K4 B D D1 C D' B' p C' A=C1 A'=C1' D1' C 1D1 = CD C 1' D1' = C' D' AB A' B' = AB A' B' CD C' D' = C1D1 C1' D1'
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd 5. Metryka figur płaskich równoległych do rzutni. Przez metrykę figury płaskiej rozumieć naleŝy długości wszystkich odcinków oraz rozwartości wszystkich kątów. Lemat I. JeŜeli prosta jest równoległa do rzutni, to jest ona równoległa do swego rzutu równoległego. Lemat II. Odcinki równoległe do rzutni zachowują przy rzutowaniu równoległym swe długości.
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd Ad 5 cd. K4 B l A kl B' p l' A' AB = A' B'
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd Ad 5 cd. K4 W a n A b ka a' kb n' W' b' p A'
Przykład I Wyznaczyć rzut równoległy sześciokąta foremnego, gdy dane są rzuty jego trzech punktów. E D F C A' C' A B B'
Przykład I Wyznaczyć rzut równoległy sześciokąta foremnego, gdy dane są rzuty jego trzech punktów. E D D' F C A' C' A B B'
Przykład I Wyznaczyć rzut równoległy sześciokąta foremnego, gdy dane są rzuty jego trzech punktów. E D E' F' D' F C A' C' A B B'
Przykład II Wyznaczyć rzut równoległościanu, gdy dane są rzuty jego trzech krawędzi wychodzących z punktu A. A1' D' B' A'
Przykład II Wyznaczyć rzut równoległościanu, gdy dane są rzuty jego trzech krawędzi wychodzących z punktu A. C1' D1' A1' B1' C' D' B' A'
RZUT PROSTOKĄTNY PUNKTU I ODCINKA A K4 B n A1 B' A' A' p
RZUT PROSTOKĄTNY Twierdzenie. Rzutem prostokątnym kąta prostego o jednym ramieniu równoległym do rzutni jest kąt prosty. A K4 B W B' W' p A'
NIEZMIENNIKI RZUTU PROSTOKĄTNEGO 1. Zachowanie współliniowości punktów. 2. Zachowanie stosunku podziału odcinka. 3. Zachowanie równoległości prostych. 4. Zachowanie stosunku długości odcinków równoległych. 5. Zachowanie metryki figur płaskich równoległych do rzutni. 6. Zachowanie w rzucie prostopadłości kąta prostego, którego jedno z ramion jest równoległe do rzutni. niezmienniki rzutu równoległego
Przykład I Dany jest rzut prostokątny A B boku AB kwadratu ABCD. Wykreślić rzut prostokątny tego kwadratu, jeśli jego boki AB i CD są równoległe do rzutni, a boki AD i BC tworzą z rzutnią kąt 60 o. A' B'
Przykład I Dany jest rzut prostokątny A B boku AB kwadratu ABCD. Wykreślić rzut prostokątny tego kwadratu, jeśli jego boki AB i CD są równoległe do rzutni, a boki AD i BC tworzą z rzutnią kąt 60 o. D'' 60 A' B'
Przykład I Dany jest rzut prostokątny A B boku AB kwadratu ABCD. Wykreślić rzut prostokątny tego kwadratu, jeśli jego boki AB i CD są równoległe do rzutni, a boki AD i BC tworzą z rzutnią kąt 60 o. d' D'' D' C' 60 A' B'
Przykład II Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j. W' A' B' A D
Przykład II Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j. D W' A' B' A D
Przykład II Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j. W' D D' C' A' B' A D
Przykład II Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j. W' D D' C' A' B' A D
AKSONOMETRIA Metodę kreślenia rzutów, w której korzysta się ze współrzędnych rzutowanych punktów, nazywamy aksonometrią, a uzyskane tą metodą punkty i figury nazywamy rzutami aksonometrycznymi (aksonometriami) tych punktów i figur. Na rzutni B a, którą nazywamy rzutnią aksonometryczną, przyjmujemy dowolne trzy osie x a, y a i z a przecinające się w jednym punkcie O a (osie aksonometryczne). Osie aksonometryczne opatrujemy dowolnymi dodatnimi liczbami 8 x, 8 y i 8 z, które nazywamy skrótami zmiany długości (stosunkami skrótów) dla kierunków odpowiednich osi. Uwaga: mogą być równieŝ wydłuŝenia. Osie aksonometryczne x a, y a i z a oraz stosunki skrótów aksonometrycznych 8 x, 8 y i 8 z tworzą układ aksonometrycznych O a x a y a z a ; 8 x, 8 y, 8 z.
AKSONOMETRIA cd Jeśli punkt A(a x, a y, a z ) ma współrzędne a x, a y, a z w pewnym przestrzennym układzie współrzędnych Oxyz, to w danym układzie aksonometrycznym O a x a y a z a ; 8 x, 8 y, 8 z punkt ten ma współrzędne aksonometryczne 8 x a x, 8 y a y, 8 z a z. z a 8 z A a 8 z a z y a 8 x a x A x a 8 y a y 8 x x a 8 y A xy
UKŁADY AKSONOMETRYCZNE Izometria wojskowa Aksonometria (dimetria) prawieprostokątna z 1:1 z 1:1 0 0 y 1:1 x 1:1 y 1:2 x 1:1
UKŁADY AKSONOMETRYCZNE Dimetria (perspektywa) kawalerska lewoskrętna Dimetria (perspektywa) kawalerska prawoskrętna z 1:1 z 1:1 135 0 135 x 1:1 x 1:1 45 225 0 y 2:3 (1:2) y 2:3 (1:2)
Przykład z 1:1 W a A a = 0 h B a D a x 1:1 y 1:1 C a
SPRZĘśONE UKŁADY AKSONOMETRYCZNE Układy aksonometryczne sprzęŝone tworzone są w wyniku przesunięcia układu aksonometrycznego x a y a z a w kierunku dodatnich wartości osi z a oraz symetrycznego odbicia względem prostej prostopadłej do osi z a w wyniku czego otrzymujemy układ x a y a z a. Oba układy tworzą układ sprzęŝony, w którym osie z a oraz z a pokrywają się, a skróty odpowiadających sobie osi są jednakowe. z =z y R n x y R n x
Przykład z =z y x y x