Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 33: Kondensatory Cel ćwiczenia: Pomiar pojemności kondensatorów powietrznych i z warstwą dielektryka w celu wyznaczenia stałej elektrycznej ε 0 (przenikalności dielektrycznej próżni) i przenikalności względnych ε r różnych materiałów. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, 1999. [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1642, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Prawo Gaussa i prawo Coulomba. 2. Pojemność elektryczna i jej jednostki. 3. Wpływ dielektryka na ładunki i pole elektryczne w kondensatorze opis jakościowy zjawiska. 4. Pojemność kondensatora płaskiego wyprowadzenie wzoru i poczynione przybliżenia. 5. Zdefiniuj pole jednorodne. W jakim kondensatorze (płaskim, cylindrycznym) można wytworzyć jednorodne pole elektryczne? 6. Wyprowadź wzory na połączenie szeregowe i równoległe kondensatorów. 7. Jaka będzie pojemność kondensatora płaskiego, którego elektrody o powierzchni S rozdzielają dwie warstwy dielektryka o grubościach d 1 i d 2 oraz przenikalnościach ε r1 i ε r2? 8. Z wartości ε 0 obliczamy prędkość światła c przy użyciu wzoru (5). Jeżeli niepewność względna pomiaru dla ε 0 wynosi u r (ε 0 ), to niepewność względna dla prędkości światła u r (c) jest 2 razy mniejsza. Dlaczego? Ocena z odpowiedzi: 33-1
1 Opracowanie ćwiczenia Opracuj i opisz zagadnienia nr i podpis: 33-2
2 Oznaczenia, podstawowe definicje i wzory Q ładunek elektryczny, U napięcie, C pojemność, ε r przenikalność dielektryczna, D średnica okładki kondensatora (rys. 33-1), S powierzchnia okładki kondensatora, D p średnica przekładki (rys.33-1), S p powierzchnia przekładki, d odległość między okładkami, (Cd) extr ekstrapolowana wartość iloczynu Cd (rys.33-3), R promień zewnętrznej okładki kondensatora cylindrycznego (rys.33-2), r promień wewnętrznej okładki kondensatora cylindrycznego, l długość kondensatora cylindrycznego, c prędkość światła w próżni, ε 0 = 8, 854 10 12 F/m stała elektryczna (dawniej: przenikalność elektryczna próżni), µ 0 = 4π 10 7 Vs/(Am) stała magnetyczna (dawniej: przenikalność magnetyczna próżni), Uwaga: Zgodnie z niedawnymi decyzjami ISO (International Organisation for Standardization) oraz IEC (International Electrotechnical Commission) wprowadzono terminy stała magnetyczna i stała elektryczna (ang. magnetic constant, electric constant) jako podstawowe nazwy stałych ε 0 i µ 0. Tradycyjne terminy przenikalność magnetyczna próżni i przenikalność elektryczna próżni pozostają nazwami pomocniczymi. Nowe nazwy lepiej odzwierciedlają sens fizyczny symboli ε 0 i µ 0 nie mają one nic wspólnego z fizycznymi własnościami próżni, zostały wprowadzone do równań elektromagnetyzmu po to, aby uzyskać wygodną dla człowieka wielkość jednostki prądu (1 A) i jednostek pochodnych (1 V, 1 Ω ). Schemat układu pomiarowego Rysunek 33-1: Kondensator płaski z zaznaczonym polem elektrycznym. Rysunek 33-2: Kabel koncentryczny jako kondensator cylindryczny. Definicja pojemności elektrycznej C = Q U (1) 33-3
Pojemność kondensatora płaskiego C = ε 0ε r S d Pojemność kondensatora powietrznego z trzema przekładkami, (rys. 33-1) gdzie C = ε 0(S 3S p ) d + 3 ε 0ε r S p d S = πd 2 /4, S p = πd p 2 /4 Wzór końcowy na stałą elektryczną (wynik przekształcenia wzoru 3) (2) (3) ε 0 = 4 π Związek stałej elektrycznej i magnetycznej z prędkością światła w próżni (Cd) extr D 2 + 3(ε r 1)D p 2 (4) c = 1 ε0 µ 0 (5) Pojemność kondensatora cylindrycznego C = 2πε 0ε r l (6) ln R r 3 Wykonanie ćwiczenia 1. Włącz miernik LCR do sieci za pośrednictwem miniaturowego zasilacza. Nastaw zakres 200 pf. Jeżeli wskazania miernika różnią się od zera więcej niż 0,2 pf wtedy przyrząd należy wyzerować. Zerowanie wykonaj dla miernika z dołączonymi przewodami zakończonymi krokodylkami. 2. Zestaw kondensator z płyt (ustawiaj dokładnie jedną nad drugą) i trzech pojedynczych izolacyjnych przekładek. Wyniki pomiarów d 1, d 2, d 3 i C oraz obliczone wartości d i Cd zanotuj w tabeli 1. Uwaga: krążki przekładkowe posiadają jednakową średnicę, natomiast ich grubości różnią się ze względu na fluktuacje grubości płyty pleksiglasowej, z której zostały wytoczone. Dlatego mierzymy (śrubą mikrometryczną) indywidualne grubości krążków d 1, d 2, d 3, i do dalszych obliczeń bierzemy wartość średnią. Podczas pomiaru wartości C odsunąć ręce od układu, gdyż dotykanie mierzonego kondensatora powoduje zauważalny wzrost pojemności! 3. Pomiar pojemności powtórz dla wzrastającej liczby 2,3,4,5... przekładek w każdym z trzech słupków krążków (rys. 1). Nie mierz grubości pojedynczych krążków, lecz całych słupków, użytych do budowy kondensatora. 4. Na zakończenie powtórz pomiar dla kondensatora z pojedynczymi przekładkami. 5. Zmierz pojemności kondensatorów zestawionych z okładek metalowych rozdzielonych płytami wykonanymi z różnych dielektryków. 6. Zmierz pozostałe wymiary geometryczne potrzebne dla obliczenia ε 0 i µ 0. 7. Dla odcinka kabla koncentrycznego zmierz jego pojemność i niezbędne wymiary geometryczne. 33-4
4 Wyniki pomiarów Pomiar 1: Kondensator płaski wyznaczenie ε 0. Pomiar pojemności kondensatora w funkcji odległości elektrod. Tabela 1 Liczba d 1 d 2 d 3 d = (d 1 + d 2 + d 3 )/3 C Cd przekładek [mm] [mm] [mm] [mm] [pf] [mm pf] 1 2 3 4 5 6 Średnica kondensatora D =...... Średnica przekładki D p =...... Pomiar 2: Kondensator płaski z dielektrykami. Tabela 2 Materiał d [mm] C [nf] Średnica zewnętrzna 2R...... Średnica wewnętrzna 2r...... Długość l...... podpis: 5 Opracowanie wyników Pomiar 1: Kondensator płaski wyznaczenie ε 0. 1. Wykonaj wykres iloczynu Cd w funkcji odległości okładek d. 2. Przez punkty eksperymentalne przeprowadź gładką krzywą. Odczytaj z wykresu wartość ekstrapolowaną do d = 0: 33-5
(Cd) extr =...... Uwaga: zależność iloczynu Cd od grubości d jest dla naszego eksperymentu nieliniowa. Dlatego nie można stosować ekstrapolacji liniowej. Metoda graficzna polega na poprowadzeniu gładkiej krzywej (niekoniecznie przechodzącej przez wszystkie punkty) i przedłużeniu jej aż do przecięcia z osią pionową. Metoda analityczna może polegać na przeprowadzeniu przez punkty wielomianu stopnia drugiego (y = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ) lub trzeciego (y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ). Wyraz stały a 0 wielomianu jest wartością (Cd) extr. Opcję dopasowania wielomianu posiada większość programów do obróbki danych pomiarowych. 3. wartość stałej elektrycznej wynosi ε 0 =...... 4. prędkość światła c =...... Rysunek 33-3: Przedstawienie wyników pomiaru 1 w formie wykresu Cd = f(d) i ekstrapolacja tej zależności do d =0 w celu eliminacji wpływu pola rozproszonego. 33-6
Pomiar 2: Kondensator płaski pomiar ε r dielektryków. 1. oblicz wartości przenikalności elektrycznej badanych materiałów. 2. Porównaj z wartościami tablicowymi (wpisz do tabeli wartości tablicowe jakie udało Ci się znaleźć, podając źródło danych)... Tabela 3 Materiał Wartość zmierzona ε r Wartość tablicowa ε r Pomiar 3: Kondensator cylindryczny Oblicz przenikalność dielektryczną izolacji kabla (polietylen) i wpisz również do tabeli 3. Ocena niepewności dla pomiaru 1 Niepewność ε 0 zależy w pierwszym rzędzie od niepewności pomiarów dla idealnego płaskiego kondensatora powietrznego: powierzchni S i odległości d okładek, oraz pojemności C. Pomijamy przyczynki do niepewności pochodzące od procedury ekstrapolacji i związane z poprawką na obecność przekładek (składnik 3(ε r 1)D 2 p we wzorze (4). Obliczenia wykonujemy dla wartości d i C odpowiadających kondensatorowi z najmniejszą odległością okładek, gdyż dwukrotnie wykonany pomiar dla tej konfiguracji ma największy wpływ na wartość ekstrapolowaną iloczynu Cd, a zatem na wyznaczoną wartość ε 0. 1. ocena niepewności wielkości mierzonych bezpośrednio: Grubość przekładki (pomiar mikrometrem) u(d) =...... Średnica kondensatora (pomiar przymiarem mm) u(d) =...... Niepewność maksymalna pomiaru pojemności jest, dla używanego miernika MIC-4070D, określona przez producenta jako C = 0,05% zakres (...... ) + 0,5% wartość mierzona (......) =...... Zamieniamy ją na niepewność standardową u(c) = C 3 =...... 2. obliczenie niepewności stałej elektrycznej W związku z poczynionymi uproszczeniami punktem wyjścia jest wzór ε 0 = 4 π 33-7 Cd D 2
do którego stosujemy prawo przenoszenia niepewności względnej. Otrzymujemy u r (ε 0 ) = u 2 r(c) + u 2 r(d) + [2u r (D)] 2, czyli u(ε 0 ) ε 0 = [u(c) ] 2 [ ] u(d) 2 [ + + C d 2 u(d) D ] 2 Tabela 4 Wielkość Wartość Niepewność Niepewność względna Waga w k u r (x) mierzona x u(x) u r (x) = u(x)/x[%] w k [%] D[mm] 2 d[mm] 1 C[pF] 1 Złożona niepewność względna (suma geometryczna liczb z ostatniej kolumny tabeli): u c,r (ε 0 ) =... [%] Niepewność złożona: u c (ε 0 ) = ε 0 u c,r (ε 0 )...... Niepewność rozszerzona dla wartości współczynnika rozszerzenia k = 3, U(ε 0 ) = ku(ε 0 ) =...... Odpowiedz na pytania: 1. czy uzyskana wartość stałej elektrycznej jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzonej, z wartością tabelaryczną? 2. pomiar której wielkości wnosi największy przyczynek do niepewności ε 0? Wnioski Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 33-8