MATEMATYKA II KLASA GIMNAZJUM

MTEMTYK II KLS GIMNZJUM SZZEIN 2016

ogdańska eata Maczan leksandra Staniewska Iwona Szuman Michał

Spis treści 1 KĄTY I PROSTE 5 1.1 Proste, półproste, równoległość prostych............ 5 1.2 Kąty................................ 6 1.3 Proste prostopadłe........................ 8 1.4 Kąty odpowiadające i naprzemianległe............. 9 2 SUM KĄTÓW TRÓJKĄT 15 2.1 Kąty (wewnętrzne) w trójkącie................. 15 2.2 Kąty zewnętrzne w trójkącie................... 19 2.3 Twierdzenie o równoległości prostych.............. 23 3 POL FIGUR. 26 4 TRÓJKĄTY PRZYSTJĄE. 43 5 WYRŻENI LGERIZNE. 67 5.1 Wzory skróconego mnożenia................... 67 5.2 Zastosowania w obliczeniach................... 71 5.3 Rozkład sumy algebraicznej na czynniki............ 71 5.4 ziałania na sumach algebraicznych.............. 73 5.5 Zamiana różnicy kwadratów na iloczyn............. 76 5.6 Rozkład sumy algebraicznej na czynniki c.d........... 77 5.7 Zastosowanie: rozwiązywanie równań.............. 83 5.8 Zastosowanie: Podzielność.................... 85 6 POTĘGI. 90 7 PIERWISTKI. 101 8 TWIERZENIE PITGORS. 119

9 SYMETRLN OINK. 149 10 ZNI TEKSTOWE 157 11 TRÓJKĄTY RÓWNORMIENNE 167 12 KĄTY W OKRĘGU 178 13 ZWOROKĄT WPISNY W OKRĄG. 195 14 SYMETRIE. 202

WPROWZENIE O GEOMETRII Ponieważ zasadniczym celem realizowanym na przedmiocie matematyka jest wykształcenie umiejętności logicznego myślenia, a nauką która umiejętność tę najbardziej rozwija, jest geometria, przeto rozpoczynamy od wprowadzenia do geometrii. Słowo geometria pochodzi od dwóch słów greckich geo ziemia i metero mierzę. Historycznie rzecz biorąc, początkowo była to pewnego rodzaju wiedza utylitarna służąca do robienia pomiarów ziemi. Stopniowo wiedza ta rozwijała się i stała się nauką. Osobą, która zebrała wiedzę geometryczną w pewną całość, był żyjący na przełomie IV i III wieku pne. Euklides. Wiedza ta została zebrana i uporządkowana w pewien sposób. Ten sposób porządkowania wiedzy matematycznej stał się wzorcem do dzisiaj praktykowanym w matematyce. Euklides zebrał tę wiedzę w XIII księgach, które nazwał Elementami. Elementy były używane jako podręcznik geometrii jeszcze na początku XX wieku. Obecnie również uczymy się geometrii opierając się w pewnej mierze na Elementach. Nie naśladujemy jednak tego dokładnie. owiem przy uczeniu geometrii z jednej strony musimy zwracać uwagę na to aby ta nauka była poprawna merytorycznie, ale z drugiej strony żeby była skuteczna, a zatem nie może być zbyt nudna. W geometrii mamy pewne pojęcia pierwotne, czyli takie pojęcia, których nie definiujemy, ale z którymi wiążemy pewne intuicje fizyczne. Na przykład pojęciem pierwotnym jest prosta, dla której wyobrażeniem fizycznym jest droga promienia świetlnego. Takim pojęciem jest również płaszczyzna, dla której wyobrażeniem fizycznym jest powierzchnia kałuży, tablicy czy stołu. Oprócz pojęć pierwotnych, których nie definiujemy mamy również takie pojęcia które definiujemy. Na przykład definiujemy pojęcie odcinka, półprostej, trójkąta. Pewne zdania geometrii przyjmujemy z góry za prawdziwe. Zdania te

nazywamy aksjomatami lub też pewnikami. Na aksjomaty wybieramy takie fakty geometryczne, które są zgodne z naszą intuicją, czyli jak mówimy są dla nas rzeczami oczywistymi. Opierając się na aksjomatach uzasadniamy, z użyciem całego aparatu logiki, prawdziwość innych zdań. Te inne zdania nazywamy zazwyczaj twierdzeniami. Faktycznie w tym kursie geometrii słowo twierdzenie będziemy rezerwowali dla najważniejszych faktów geometrycznych. Istotą nauki geometrii jest przeprowadzanie dużej ilości rozumowań. Jednakowoż na to aby przeprowadzać rozumowania potrzebne jest dobre rozumienie tych pojęć, którymi operujemy. Tego lepszego rozumienia tych pojęć nabywamy przeprowadzając dużą ilość różnego rodzaju ćwiczeń. Pamiętaj: nauka geometrii służy przede wszystkim rozwijaniu umiejętności logicznego myślenia.! Uwaga: Na marginesie niektórych zadań umieszczony jest symbol, tak jak tutaj. Oznacza on, że na zadanie przy którym ten znak jest umieszczony należy zwrócić większą uwagę, bowiem na to o czym jest mowa w takim zadaniu będziemy się później częściej powoływać.

Rozdział 1 KĄTY I PROSTE 1.1 Proste, półproste, równoległość prostych Jeden z aksjomatów geometrii mówi, że przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Prostą przechodzącą przez punkty i będziemy oznaczali zazwyczaj l i będziemy ją nazywali: prosta. Zbiór tych wszystkich punktów na prostej, które leżą pomiędzy punktami i (wraz z punktami i ) nazywamy odcinkiem o końcach,. Odcinek ten będziemy oznaczać, natomiast liczbę, która jest długością odcinka będziemy oznaczać. zasami będziemy tylko pisać = 5 zamiast = 5. Wybrany punkt na prostej dzieli ją na dwie półproste. Półprostą o początku w punkcie przechodzącą przez punkt będziemy oznaczać. Można zwrócić uwagę na to, że po niemiecku półprosta nazywa się Strahl czyli promień światła, a po angielsku halfline lub ray. Słowo ray znaczy promień światła. Właśnie takie określenie używane jest nie bez powodu. Spójrz na rysunek obok gdzie narysowane są trzy półproste wychodzące z punktu. l k EFINIJ wie proste nazywamy równoległymi, gdy nie mają żadnego punktu wspólnego (lub gdy są równe). To, że proste k i l są równoległe oznaczamy k l.

6 ROZZIŁ 1. KĄTY I PROSTE ardzo ważnym w naszej geometrii jest następujący KSJOMT Jeżeli dany jest punkt P i prosta l (P / l), to istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej l. l P Właśnie z tego aksjomatu wynika, że suma wszystkich trzech kątów trójkąta jest kątem półpełnym. m l k Własność prostych równoległych: TWIERZENIE Jeżeli k l i l m, to k m. 1.2 Kąty EFINIJ wie półproste o wspólnym początku, wraz z jednym z dwóch obszarów, na które te półproste dzielą płaszczyznę, nazywamy kątem. Kąt nazywamy półpełnym, gdy jego ramiona są dwiema półprostymi leżącymi na jednej prostej, mającymi tylko jeden punkt wspólny. Z każdym kątem, podobnie jak z każdym odcinkiem, związana jest liczba zwana miarą kąta. Kąt półpełny ma miarę 180. Jeżeli kąt półpełny podzielimy na dwa kąty o równej mierze czyli 90, to każdy taki kąt nazywamy kątem prostym. Miarę kąta <) będziemy czasami oznaczać <). ardzo często będziemy stosować jeden zapis dla kąta jako obiektu geometrycznego jak i dla jego miary, czyli liczby. ędziemy pisali na przykład <) = 75 lub też punkt P leży wewnątrz kąta <).

ROZZIŁ 1. KĄTY I PROSTE 7 O EFINIJ Półprostą O leżącą wewnątrz kąta <) O nazywamy dwusieczną kąta <) O, jeżeli <) O = <) O. EFINIJ wa kąty mniejsze od kąta półpełnego, w których jedno ramię jest wspólne, a pozostałe dwa ramiona tworzą jedną prostą nazywamy kątami przyległymi. O EFINIJ Każde dwa kąty, w których suma miar równa jest 180 nazywamy parą kątów dopełniających. EFINIJ wa kąty nieprzyległe utworzone przez dwie przecinające się proste nazywamy kątami wierzchołkowymi. TWIERZENIE Kąty wierzchołkowe mają taką samą miarę. α γ β owód: Zauważmy, że γ + α = 180, γ + β = 180. Z powyższego wynika, że α = β. 1. Na rysunku obok dany jest kąt α. Wyznacz x + y. 2. Uzasadnij, że dwusieczne dwóch kątów wierzchołkowych tworzą jedną prostą. 3. Uzasadnij, że jeżeli trzy z czterech kątów jakie uzyskuje się przy przecięciu dwóch prostych mają równe miary α, to czwarty kąt też ma miarę α. x α y α 4. Kąty α i β są przyległe, przy czym α : β = 5 : 1 (w takiej sytuacji mówimy zazwyczaj, że stosunek ich miar jest równy 5 do 1 lub, że kąt α jest 5 razy większy od kąta β). Wyznacz α i β.

8 ROZZIŁ 1. KĄTY I PROSTE 1.3 Proste prostopadłe EFINIJ Jeżeli którykolwiek z czterech kątów utworzonych przez przecinające się proste k, l ma miarę 90, to proste takie nazywamy prostopadłymi i piszemy k l. KSJOMT Jeżeli dany jest punkt P i prosta k, to istnieje dokładnie jedna prosta l przechodząca przez punkt P i prostopadła do prostej k. k P l Q EFINIJ Niech dana będzie prosta k i punkt P. Oznaczmy przez Q punkt przecięcia prostej l prostopadłej do k i przechodzącej przez punkt P. Punkt Q nazywamy spodkiem punktu P na prostej k lub rzutem prostopadłym punktu P na prostą k. W takiej sytuacji długość odcinka P Q nazywamy odległością punktu P od prostej k i oznaczamy d(p, k). Mamy więc P Q = d(p, Q) = d(p, k). oto inny aksjomat, który jest całkowicie zgodny z naszą intuicją geometryczną. P m R KSJOMT Jeżeli punkty P i R leżą na prostej m, a prosta k jest równoległa do m, to d(p, k) = d(r, k). Innymi słowy, jeżeli m k, to dowolne dwa punkty z prostej m są tak samo odległe od prostej k k. WNIOSEK : w prostokącie przeciwległe boki są równej długości. 5. Wyznacz w pamięci obwód obu wielokątów. Na drugim rysunku = 8, = 9. 8 5 7 rys a) rys b)

ROZZIŁ 1. KĄTY I PROSTE 9 20 25 45 35 30 20 6. Na podstawie długości niektórych odcinków wyznacz w pamięci obwód narysowanego obok ośmiokąta. 7. Na podstawie długości niektórych odcinków wyznacz w pamięci obwód narysowanego obok ośmiokąta. 4 3 8 14 1.4 Kąty odpowiadające i naprzemianległe α δ α 1 β 1 δ 1 γ 1 β γ Jeżeli dwie równoległe proste przetniemy trzecią prostą, to otrzymamy 8 kątów tak, jak na rysunku obok. Wówczas każdą z par kątów (α, α 1 ), (β, β 1 ), (γ, γ 1 ), (δ, δ 1 ) nazywamy parą kątów odpowiadających, a każdą z par (γ, α 1 ), (δ, β 1 ), (α, γ 1 ), (β, δ 1 ) nazywamy parą kątów naprzemianległych. TWIERZENIE Kąty odpowiadające mają równe miary. Kąty naprzemianległe mają równe miary. W kolejnych zadaniach tego rozdziału możesz tylko korzystać z twierdzenia o kątach naprzemianległych i odpowiadających, z definicji kątów przyległych i własności kątów wierzchołkowych. Musisz dorysowywać proste równoległe do danych prostych. Na niektórych rysunkach takie proste równoległe są już dorysowane przerywaną kreską. Nie możesz korzystać z sumy kątów trójkąta.

10 ROZZIŁ 1. KĄTY I PROSTE 8. Na poniższych rysunkach k l. Wyznacz x. Na niektórych rysunkach masz już dorysowane kropkowaną linią proste równoległe do prostych k i l. Na pozostałych rysunkach musisz to sam zrobić. a) l 35 60 x 42 k b) k 75 30 x 60 l k c) l 25 55 x 45 d) 20 50 77 x k l e) 15 50 x 44 28 k l f) x 48 80 75 20 k l g) 25 60 x k k h) 35 45 x 72 65 l 56 l 40 9. Na poniższych rysunkach k l. Wyznacz x + y. a) 40 x 18 y l k k b) l 45 28 y x c) x 40 y 38 20 k l

ROZZIŁ 1. KĄTY I PROSTE 11 d) x 30 36 80 k k e) 60 70 45 x k f) 23 50 x 58 y y l l y l 25 10. Wyznacz α na rysunku obok. 40 70 α 11. Na poniższych rysunkach k l. Na podstawie podanych miar kątów wyznacz x, względnie x i y. Na pierwszym rysunku zostały już narysowane przerywana kreską proste równoległe do prostych k i l. 140 l 120 l a) b) 38 x 28 x x + 20 k 2x k

12 ROZZIŁ 1. KĄTY I PROSTE 110 l 55 l c) d) 20 x x y x k 120 k x + y = 105 a) l k β α γ 12. Wiedząc, że k l, uzasadnij, że a) α + β + γ = 360, b) α + β = γ. β k b) α γ l a) 85 y 28 x l 13. Na rysunkach obok k l. Wyznacz x + y + z. b) l x 41 y 80 z 17 k k z 23 n x x + 15 l m 14. Wiedząc, że k l, m n, wyznacz x i y. y n x + 20 100 l 50 y k k 5x m

ROZZIŁ 1. KĄTY I PROSTE 13 α 15. Wiedząc, że L. Uzasadnij, że δ = α + β. β δ L k 150 20 16. Na rysunku obok k l. Wyznacz α. l α 17. Na poniższych rysunkach k l, dodatkowo na drugim rysunku p q. Wyznacz x + y + z na pierwszym rysunku oraz α i β na drugim rysunku. W celu ułatwienia sobie rozwiązania zadania sporządź rysunki w zeszycie powiększając je. l l 130 5α 110 3α a) k z x y b) k 2α q β p l k α 30 70 18. Wiedząc, że k l wyznacz α. 19. Wiedząc, że k l m, wyznacz x i y. l 130 70 y x 125 m k

14 ROZZIŁ 1. KĄTY I PROSTE EFINIJ zworokąt, w którym boki są parami równoległe, nazywamy równoległobokiem.! 20. Uzasadnij, że w równoległoboku kąty leżące na przeciwko siebie mają równe miary. Wskazówki i odpowiedzi. 1. 180 2. wsk. zobacz definicję kąta półpełnego oraz kątów wierzchołkowych 3. wsk. zobacz definicję kąta półpełnego oraz kątów wierzchołkowych 4. α = 150, β = 30 5. a) 30, b) 34 6. 280 7. 52 8. a) 67, b) 15, c) 75, d) 47, e) 51, f) 23, g) 51, h) 35 9. a) 58, b) 73, c) 58, d) 74, e) 35, f) 110 10. α = 110. 11. a) 29, b) 29 1 3, c) 45, d) x = 50, y = 55 13. a) x + y + z = 210, b) x + y + z = 64 14. a) x = 50, y = 115, b) x = 25, y = 55 15. wsk. przedłuż prostą L 16. α = 130 17. a) x + y + z = 480, b) α = 30, β = 120 18. α = 40 wsk. poprowadź odpowiednią prostą równoległą 19. x = 55, y = 20 wsk. przedłuż jedną z trzech prostych równoległych i dorysuj jeszcze jedną prostą równoległą

Rozdział 2 SUM KĄTÓW TRÓJKĄT 2.1 Kąty (wewnętrzne) w trójkącie Wpierw udowodnimy twierdzenie o sumie kątów dowolnego trójkąta. TWIERZENIE Suma miar kątów dowolnego trójkąta wynosi 180. owód: Niech dany będzie dowolny trójkąt. Przez punkt prowadzimy prostą k równoległą do podstawy. Taka prosta jest dokładnie jedna. Teraz już wystarczy tylko spojrzeć na rysunek, zobaczyć pary kątów naprzemianległych i widać, że suma wszystkich trzech kątów trójkąta jest równa kątowi półpełnemu. WNIOSEK Suma kątów czworokąta jest równa 360. Wynika to z tego, że czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty. α k α γ β β EFINIJ Trójkąt w którym wszystkie kąty są ostre nazywamy trójkątem ostrokątnym. Trójkąt, w którym jeden kąt jest rozwarty nazywamy trójkątem rozwartokątnym. Trójkąt, w którym jeden z kątów jest prosty nazywamy trójkątem prostokątnym. oki wychodzące z wierzchołka kąta prostego nazywamy przyprostokątnymi, zaś bok leżący na przeciwko kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną.

16 ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT PRZYKŁ Oblicz kąty ostre trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest o 26 większy od drugiego kąta ostrego. Przy oznaczeniach jak na rysunku obok α + 26 mamy α α + α + 26 = 90 2α = 64 α = 32 Zatem kąty ostre trójkąta mają 32 i 58. 1. Jeden z kątów trójkąta jest równy 25, a różnica pozostałych wynosi 15. Wyznacz te kąty. 2. Jeden z kątów trójkąta równa się różnicy dwóch pozostałych kątów. Wyznacz miarę największego kąta w tym trójkącie. 3. Oblicz kąty trójkąta, w którym jeden kąt jest dwa razy większy od drugiego, a trzeci kąt jest równy sumie dwóch pozostałych. 4. Stosunek miar dwóch kątów w trójkącie α i β wynosi 4 : 5 co oznacza, że α : β = 4 : 5, zaś trzeci, największy kąt, jest większy od najmniejszego o 37. Wyznacz kąty tego trójkąta. 5. Wyznacz kąty w trójkącie, jeżeli stosunek ich miar wynosi 5 : 3 : 1. α α 6. Na podstawie podanych 110 100 miar dwóch kątów, wiedząc że trzy kąty mają miarę α, wyznacz α oraz miary kątów w trójkącie. α 7. W trójkącie ostrokątnym opuszczono z wierzchołka wysokość. Wyznacz miary kątów i, jeżeli <) = 70, <) = 48. (przypomnijmy, że wysokość trójkąta jest to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą wyznaczoną przez pozostałe dwa wierzchołki i prostopadły do tej prostej).

ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT 17? P 130 E 8. Na rysunku obok i E są dwusiecznymi kątów. Miara kąta P jest równa 130. Wyznacz miarę kąta. Wsk. oznacz <) = 2α, <) = 2β. 70 9. W trójkącie na rysunku obok <) = 70, P jest dwusieczną kąta, zaś P jest dwusieczną kąta. Wyznacz <) P. P? 10. W trójkącie prostokątnym kąt przy wierzchołku jest prosty, zaś jeden z kątów ostrych ma miarę α (jeżeli to ci ułatwi obliczenia przyjmij, że α = 38 ). Wyznacz miarę kąta (rozwartego) pod jakim przecinają się dwusieczne kątów ostrych w tym trójkącie. δ a α α b β β γ 11. Na rysunku obok a i b oznaczają powierzchnie dwóch zwierciadeł, strzałki oznaczają drogę promienia światła padającego na zwierciadło a. Wyznacz kąt δ gdy: a) α = 70, γ = 60, b) γ = 60, zaś α jest dowolnym co oznacza nie ustalonym kątem. c) γ = 70, zaś α jest dowolnym kątem. 12. W trójkącie prostokątnym kąt ostry przy wierzchołku ma miarę α. (jeżeli to ci ułatwi obliczenia, to przyjmij, że α = 32 ). Wysokość wychodzi z wierzchołka kąta prostego. Wyznacz kąt pod jakim przecinają się dwusieczne kątów i. 13. W trójkącie dwusieczna kąta jest prostopadła do boku, zaś dwusieczna kąta jest prostopadła do boku. Uzasadnij, że w tym trójkącie każdy kąt ma 60.

18 ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT! 14. Uzasadnij, że dwa kąty o ramionach wzajemnie prostopadłych mają równe miary 80 l l 27 α 30 a) α 30 k 15. Na obu rysunkach k l. Wyznacz α. k α 45 b) 16. Na rysunku obok l 1 l 2, XY l 1, zaś l 2. Uzasadnij, że α = β. 17. Uzasadnij, że dwusieczne kątów przyległych tworzą kąt prosty. Pamiętaj, że kąty przyległe mają jedno ramię wspólne, a kąty te tworzą razem kąt półpełny. α l 1 l 2 β X Y 18. W równoległoboku kąt przy wierzchołku jest rozwarty. Z punktu poprowadzono dwie wysokości równoległoboku, tworzące kąt α. Uzasadnij, że kąt ostry równoległoboku jest równy α. Przypomnijmy, że wysokość w równoległoboku jest to odcinek łączący parę prostych równoległych przechodzących przez boki równoległoboku i prostopadły do tych prostych.

ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT 19 M a 19. Na rysunku obok a b. Półproste MO i EO są dwusiecznymi wskazanych kątów. Uzasadnij, że <) MOE = 90. 20. W trójkącie kąty <) i <) są równe. wusieczna tworzy z bokiem kąt 60. Wyznacz miary kątów tego trójkąta. Zauważ, że tak sformułowane zadanie ma dwa rozwiązania. Zrób odpowiednie rysunki. 21.* Uzasadnij, ze w trójkącie kąt pomiędzy wysokością wychodzącą z wierzchołka i dwusieczną kąta jest równy połowie różnicy dwóch pozostałych kątów. m α 125 E O b l 30 22. Na rysunku obok k l m. Wyznacz α i β. k 42 β 2.2 Kąty zewnętrzne w trójkącie Wygodnym pojęciem, którego będziemy wielokrotnie używali, jest: kąt zewnętrzny w trójkącie. EFINIJ Kąt przyległy do kąta (wewnętrznego) w trójkącie nazywamy kątem zewnętrznym. Na przykład w trójkącie na rysunku obok α jest kątem wewnętrznym zaś α i α są kątami zewnętrznymi przy wierzchołku. UWG Każdy kąt wewnętrzny w trójkącie ma dwa przyległe do niego kąty zewnętrzne czyli w każdym trójkącie jest sześć kątów zewnętrznych. α α α

20 ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT Ma miejsce przy tym następujące TWIERZENIE Kąt zewnętrzny w trójkącie równy jest sumie tych dwóch kątów wewnętrznych trójkąta, które do niego nie przylegają, czyli, że przy oznaczeniach jak na rysunku obok α γ β γ α β α = β + γ owód: Rozważmy kąt zewnętrzny α trójkąta, w którym kąty wewnętrzne mają miary α, β i γ. Przez punkt poprowadziliśmy prostą równoległą do prostej. Taka prosta jest tylko jedna, co wynika z przytoczonego na początku kursu aksjomatu. Z tego, że te proste są równoległe wynika równość odpowiednich kątów naprzemianległych i odpowiadających, co zostało zaznaczone na rysunku. Ponieważ w każdym trójkącie α + β + γ = 180, a przy tym α + α = 180 jako kąty przyległe, wobec tego α = β + γ. Zauważmy dodatkowo, że ponieważ β i γ są liczbami dodatnimi, to z powyższej równości wynika, że α > β i α > γ.! o możemy sformułować jako WNIOSEK (z którego nie raz będziemy korzystać) Kąt zewnętrzny w trójkącie jest większy od każdego z tych kątów wewnętrznych trójkąta, które do niego nie przylegają. 23. ztery kąty zewnętrzne w trójkącie mają po 150. Po ile stopni mają pozostałe dwa kąty zewnętrzne? 24. Uzasadnij, że suma wszystkich sześciu kątów zewnętrznych trójkąta wynosi 720. 25. W trójkącie kąt zewnętrzny przy wierzchołku ma 40. Z wierzchołków i poprowadzono wysokości tego trójkąta. Wyznacz miarę kąta ostrego pomiędzy prostymi zawierającymi te dwie wysokości. 26. W trójkącie poprowadzono z wierzchołka dwusieczne kątów: wewnętrznego i zewnętrznego. wusieczna kąta wewnętrznego tworzy z bokiem kąt 126. wusieczna kąta zewnętrznego przecina prostą

ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT 21 w punkcie E. Wyznacz miarę kąta E. Wsk. por. zad. 17 β α α β 126 E PRZYKŁ W trójkącie suma kątów α i β równa jest kątowi γ. Wyznacz miarę kąta γ. γ α β Ponieważ wobec tego mamy Rozwiązanie Suma kątów trójkąta jest równa 180, wobec tego mamy α + β = γ, α + β + γ = 180 α + β + γ = α + β + α + β = 180 }{{} =γ czyli Zatem γ = 90 2α + 2β = 180 zaś α + β = 90 27. Postępując w podobny sposób wyznacz miarę kąta γ gdy w trójkącie o kątach α, β, γ suma kątów α i β jest a) równa połowie kąta γ b) równa jednej trzeciej kąta γ c) dwa razy większa od kąta γ d) pięć razy większa od kąta γ e) o 60 większa od kąta γ f) o 30 mniejsza od kąta γ

22 ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT 28. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego tworzy z wysokością poprowadzoną z tego samego wierzchołka kąt o mierze 12. Wyznacz miary kątów ostrych w trójkącie. 29. Największy kąt w trójkącie ma 82, a najmniejszy 45. Z wierzchołków dwóch mniejszych kątów poprowadzono wysokości trójkąta. Wyznacz miarę kąta ostrego pomiędzy tymi wysokościami. PRZYKŁ W trójkącie ostrokątnym dane są miary kątów: <) = α, <) = β, <) = γ. Wyznacz miarę kąta rozwartego pomiędzy dwusiecznymi kątów i w zależności od γ. γ P x β α 2 2 α 2 β 2 W trójkącie mamy czyli Niech P będzie dwusieczną kąta, P dwusieczną kąta, zaś x poszukiwanym kątem. W trójkącie P mamy zatem czyli ( α x = 180 2 + β ) 2 α + β + γ = 180 α + β = 180 γ Uwzględniając to w wyrażeniu ( ) mamy x = 180 1 (180 γ) 2 = 180 90 + 1 2 γ = 90 + 1 2 γ x + α 2 + β 2 = 180 = 180 1 (α+β) ( ) 2 Zatem miara kąta rozwartego pomiędzy dwusiecznymi kątów i jest równa 90 + 1 2 γ.

ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT 23 30. Niech w trójkącie ostrokątnym dane będą miary kątów: <) = α, <) = β, <) = γ. Postępując podobnie jak w powyższym przykładzie a) Wyznacz miarę kąta ostrego pomiędzy prostą zawierającą dwusieczną kąta zewnętrznego a prostą zawierającą dwusieczną kąta zewnętrznego w zależności od α i β. b) Wyznacz miarę kąta ostrego pomiędzy dwusieczną kąta wewnętrznego i dwusieczną kąta zewnętrznego w zależności od α i β. c) Wyznacz miarę kąta rozwartego pomiędzy wysokością wychodzącą z wierzchołka, a dwusieczną kąta w zależności od α. d) Wyznacz miarę kąta rozwartego pomiędzy wysokościami opuszczonymi z wierzchołków i w zależności od α i β. e) Wyznacz miarę kąta pomiędzy prostą zawierająca wysokość wychodzącą z wierzchołka a dwusieczną kąta zewnętrznego w zależności od α. 31. Uzasadnij, że w żadnym trójkącie dwusieczne dwóch kątów wewnętrznych nie mogą być do siebie prostopadłe. 150 l α β 32. Na rysunku obok k l. Wyznacz α i β. Wsk. jakie proste równoległe należy dorysować? 35 k 33.* W równoległoboku bok jest dłuższy od boku. wusieczna kąta przecina bok w punkcie E. Prosta E i prosta przecinając się wyznaczają dwa kąty, których miary są w stosunku 2 : 3. Oblicz miary kątów równoległoboku. 2.3 Twierdzenie o równoległości prostych Rozszerzymy obecnie, na własny użytek i tylko na użytek poniższego twierdzenia, pojęcie kątów odpowiadających nie ograniczając się wyłącznie do sytuacji z parą prostych równoległych przeciętych trzecią prostą. Otrzymamy wówczas poniższe twierdzenie, które jest twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia o kątach naprzemianległych i odpowiadających powstałych przy przecięciu pary prostych równoległych trzecią prostą.

24 ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT k l p α 34. Wyznacz α i β. Rozstrzygnij czy. β TWIERZENIE Niech k i l będą dwiema różnymi prostymi i niech prosta p przecina prostą k w punkcie, a prostą l w punkcie. Załóżmy ponadto, że miary odpowiadających sobie kątów α i β są równe. Wtedy proste k i l są równoległe. 33 35 69 62 β α 35. Na rysunku obok zaznaczono pary równych kątów. Uzasadnij, że l l.! 36. W czworokącie mamy: <) = <) i <) = <). Uzasadnij, że czworokąt jest równoległobokiem. Wskazówki i odpowiedzi. 1. 70, 85 2. 90 3. 30, 60, 90 4. 44, 55, 81 5. 100, 60, 20 6. <) = α = 30, <) = 70, <) = 80 7. <) = 20, <) = 28 8. <) = 80 9. <) P = 125 10. 135 11. a) 60, b) 60 c) 40 12. 90 14. wsk. przedłuż odpowiednie ramiona kątów 15. a) α = 100. b) α = 126. 18. wsk. co to jest wysokość w równoległoboku?

ROZZIŁ 2. SUM KĄTÓW TRÓJKĄT 25 20. Rozpatrz poniższe dwa przypadki α α α α W pierwszym przypadku mamy 80, 80, 20, a w drugim 40, 40, 100. 21. Spójrz na rysunek α x γ 2 β i zauważ, że suma kątów ostrych w trójkącie jest równa sumie kątów ostrych w trójkącie. To ci da równanie o zmiennej x. Równie dobrze możesz skorzystać z faktu, że suma kątów ostrych w trójkącie jest równa sumie kątów ostrych w trójkącie. 22. α = 25, β = 83 23. 60 25. 40 wsk. o to jest wysokość w trójkącie? 26. 36 27. a) γ = 120 b) γ = 135 c) γ = 60 d) γ = 30 e) γ = 60 f) γ = 105 28. 33, 57 29. 82 30. a) 1 2 (α + β) b) 90 1 2 α 1 2 β c) 90 + 1 2 α d) α + β e) 1 2 α 32. α = 115, β = 65 33. 108 i 72 34. α = 36, β = 49, nie są równoległe.

Rozdział 3 POL FIGUR. a b b a Obecnie uporządkujemy naszą wiedzę geometryczną związaną z polem prostokąta, trójkąta, trapezu i równoległoboku. Przypomnijmy wpierw, że prostokąt jest to równoległobok, w którym wszystkie kąty są proste. Prostokąt, w którym wszystkie boki są równej długości nazywamy kwadratem. Ponieważ prostokąt jest równoległobokiem więc jego równoległe boki są równej długości. Teraz sformułujemy dobrze nam znany fakt geometryczny w postaci: KSJOMT Pole prostokąta o bokach długości a, b równe jest ab, czyli jest równe iloczynowi długości jego boków. WNIOSEK Pole kwadratu o boku długości a jest równe a 2. UWG Przekątna prostokąta dzieli go na dwa przystające trójkąty. Z dwóch przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych a, b można złożyć prostokąt o bokach długości a, b. Z tego co powiedzieliśmy dotychczas wynika następujące:

ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 27 a P = 1 2 ab b b P = 1 2 ab a TWIERZENIE Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b jest równe połowie pola prostokąta o bokach długości a i b, czyli jest równe 1 2 ab. W poniższych zadaniach od 1 do 4 należy korzystać tylko z wzoru na pole prostokąta oraz wzoru na pole trójkąta prostokątnego. 5 4 3 1. Figura na rysunku obok składa się z 3 kwadratów o podanych długościach boków. Wyznacz pole zacieniowanego obszaru. 2. Figura na rysunku poniżej składa się z 4 kwadratów o podanych długościach boków. Wyznacz pole zacieniowanego obszaru. 8 4 6 5 3. Figura na rysunku obok składa się z 3 kwadratów o bokach długości 6, 4, 3. Wyznacz pole zacieniowanego obszaru. 2 6 4 3

28 ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 4. Figura na rysunku poniżej składa się z 4 kwadratów o bokach długości 7, 8, 5 i 10. Wyznacz pole zacieniowanego obszaru. 7 8 5 10 l EFINIJ Rzutem prostopadłym punktu na prostą l jest punkt przecięcia prostej l z prostą, która przechodzi przez punkt i jest przy tym prostopadła do l. EFINIJ W trójkącie przez oznaczmy rzut prostopadły punktu na prostą. Wtedy odcinek nazywamy wysokością trójkąta (wychodzącą z wierzchołka ), zaś punkt nazywamy spodkiem (podstawą) wysokości. h h h a = a a Zauważmy, że długość tego odcinka, który jest wysokością trójkąta, jest odległością wierzchołka od prostej, czyli krótko mówiąc h a = d(, l ). W dalszym ciągu mówiąc ogólnie o trójkącie, używać będziemy następujących oznaczeń:,, wierzchołki trójkąta γ a, b, c długości boków leżących odpowiednio naprzeciwko tych wierz- h b c a chołków α h a c h b β α,β, γ odpowiednie miary kątów h a, h b, h c odpowiednie wysokości w trójkącie

ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 29 Nazywamy je oznaczeniami standardowymi. Ich konsekwentne używanie ułatwia nam komunikację i (co za tym idzie) rozumienie (materiału). Zauważ, że na rysunku powyżej wszystkie trzy wysokości przecinają się w jednym punkcie. W rzeczywistości w każdym trójkącie ostrokątnym wysokości przecinają się w jednym punkcie. W trójkącie rozwartokątnym, trzy proste na których leżą te trzy wysokości przecinają się w jednym punkcie. Fakt ten zostanie udowodniony w dalszej części kursu. Oczywistą rzeczą jest, że wspólnym punktem wszystkich trzech wysokości trójkąta prostokątnego jest wierzchołek kąta prostego. Obecnie udowodnimy twierdzenie o polu dowolnego trójkąta. TWIERZENIE Pole trójkąta równe jest połowie iloczynu długości boku i opuszczonej na ten bok wysokości. zyli P = 1 2 ah a = 1 2 bh b = 1 2 ch c. owód Wiemy już, że pole trójkąta prostokątnego równe jest 1 2 ah. Pokażemy, że podobnie jest w przypadku trójkąta ostrokątnego i rozwartokątnego. Oznaczmy w obu poniższych przypadkach na użytek tego dowodu pole prostokąta, w który wpisany jest trójkąt przez P, a pole trójkąta przez P. Przypadek 1 trójkąt ostrokątny. P 1 P h P 1 P 2 P 2 h Zauważmy, że w tym przypadku wysokość h podzieliła opisany na trójkącie prostokąt na dwa prostokąty. Każdy z tych dwóch mniejszych prostokątów podzielony jest przez odpowiedni bok trójkąta na dwa przystające trójkąty prostokątne. Wobec tego z jednej strony mamy a P = a h a z drugiej strony pole prostokąta jest sumą czterech trójkątów prostokątnych, czyli P = P 1 + P 1 + P 2 + P 2 = 2P 1 + 2P 2 = 2(P 1 + P 2 ). Widać, że P = P 1 + P 2 = 1 2 P, a ponieważ P = a h czyli 1 2 P = 1 2 a h więc P = 1 2 ah.

30 ROZZIŁ 3. POL FIGUR. Przypadek 2 trójkąt rozwartokątny. a a ponieważ P więc wobec tego a stąd mamy x Px h Zauważmy, że w tym przypadku P + P x jest połową pola prostokąta opisanego na naszym trójkącie, czyli P + P x = 1 2 (a + x)h = 1 2 ah + 1 2 xh, 1 2 xh = P x P + P x = 1 2 ah + P x, P = 1 2 ah.! 5. wa boki trójkąta sa równe 8 i 10. Wysokość poprowadzona do krótszego z nich jest równa 5. Jaką długość ma wysokość poprowadzona do drugiego boku? h c h d E 6. Oblicz pole trójkąta na rysunku obok, jeżeli w trójkącie mamy h c = 10, w trójkącie E mamy h d = 5, pola trójkątów E i E są równe, czyli krótko P E = P E oraz E = 4. 7. Na rysunku obok P = 63, = 6, = 8, E = 5, E = 7. Wyznacz P E. 8. any jest kwadrat o polu równym 64. Punkt O leży wewnątrz tego kwadratu, a przy tym P O = 6. Wyznacz P O. 9. Punkt E leży wewnątrz kwadratu o polu 81 cm, P E =15 cm 2, P E =12 cm 2. Wyznacz wysokości trójkątów E i E wychodzące z wierzchołka E. E

ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 31 10. Punkt X leży wewnątrz prostokąta, w którym = a, = b. Wyznacz P X + P X. X F E 11. Punkt X, na rysunku obok, leży wewnątrz prostokąta. Punkty E i F leżą na jego bokach, przy czym = 7, = 9, F = 2, E = 3, d(x, l ) = 4, d(x, l ) = 1. Wyznacz P X, P X, P EX, P EF X, P F X. PRZYKŁ Stosunek długości dwóch odcinków jest równy 2 1 2. Jeden z tych odcinków jest o 8 dłuższy od drugiego. Wyznacz długości obu odcinków. Rozwiązanie Oznaczmy x długość dłuższego odcinka y długość krótszego odcinka Mamy wówczas { x y = 2 1 2 (1) x = y + 8 (2) Przekształcając pierwszy warunek mamy x y = 5 2, czyli 5y = 2x, czyli y = 2 5x. (3) Wstawiając to do (2) mamy x = 2 5 x + 8 3 5 x = 8 x = 40 3 = 13 1 3. Wstawiając to do (3) mamy y = 2 5 40 3 = 16 3 = 5 1 3. Odpowiedź: długość dłuższego odcinka to 13 1 3, a krótszego 5 1 3. 12. Stosunek długości dwóch odcinków, czyli iloraz ich długości, równy jest 1 1 3. Oblicz długości tych odcinków, jeżeli jeden z nich jest o 2 dłuższy od drugiego. 13. Różnica długości dwóch odcinków równa jest 12, a ich stosunek długości równy jest 2 1 3. Wyznacz długości tych odcinków. 14. Stosunek długości dwóch odcinków równy jest 0,5, a stosunek długości odcinków o 3 dłuższych od nich wynosi 0,6. Wyznacz długości tych odcinków.

32 ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 15. Na rysunku obok P = 12 1 2, P = 5, = 2. Wyznacz. 16. W czworokącie na rysunku obok przekątne i przecinają się w punkcie O, przy czym O = 2, O = 5, P O = 3, P O = 6. Wyznacz P O oraz wysokość h d w trójkącie O (czyli wysokość opuszczoną na prostą ). 2 O 4 Zauważmy teraz, że ma miejsce następujące: TWIERZENIE Jeżeli dwa trójkąty mają podstawy leżące na jednej prostej i wspólny wierzchołek poza tą prostą, to stosunek pól tych trójkątów równy jest stosunkowi długości tych podstaw. E a b owód: la dowodu spójrz na rysunek i zauważ przy tym, że h P E = 1 2 ah, P E = 1 2 bh, stąd P E P E = 1 2 ah 1 2 bh = a b. E 17. Podstawy i trójkątów E i E na rysunku obok leżą na jednej prostej, przy czym = 5, = 3, P E = 2. Wyznacz P E

ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 33 T 18. Wierzchołki P, Q, R, S trójkątów P QT i RST leżą na jednej prostej, przy czym P Q = 6, RS = 7, P P QT = 9. Wyznacz P RST. P R Q S 19. W trójkącie punkt leży na boku, przy czym = 4, = 5, P = 40. Wyznacz wysokość h c trójkąta, wychodzącą z wierzchołka. E 20. Punkty,,,, na rysunku obok, leżą na jednej prostej, przy czym = 2, = 3, = 5, P E = 8. Wyznacz P E, P E. 21. Na przekątnej czworokąta obrano punkt E tak, że P E = 6, E P E = 7, P E = 5. Wyznacz a) E, b) P E. 22. Punkty,,, E leżą na jednej prostej. Wiedząc, że P = 4, P E = 14, P EF = 6, wyznacz a) E, b) P F. E E F N K h f M L 23. Na bokach prostokąta zbudowano trójkąty NE, ME oraz KF i LF, przy czym KN, LM. Wiedząc, że P ME = 4, P NE = 7, P KF = 3, wyznacz P LF. Wiedząc dodatkowo, że M = 3 wyznacz N oraz wysokość h f trójkąta KLF wychodzącą z wierzchołka F. F

34 ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 24. zworokąt na rysunku obok przekątne i podzieliły na cztery trójkąty. Na podstawie podanych pól trzech trójkątów wyznacz pole x czwartego trójkąta. 25. Na poniższych trzech rysunkach trójkąt został podzielony trzema odcinkami na pięć trójkątów. Na podstawie informacji o polach trzech trójkątów, wyznacz pola pozostałych dwóch trójkątów. 2 5 x 9 12 x 9 3 y x 2 2 1 y 12 8 3 x y 12 x x 3 y 26. Trójkąt na rysunku obok został podzielony trzema odcinkami na pięć trójkątów. Pola dwóch z tych pięciu trójkątów są takie same. Na podstawie informacji o polach dwóch trójkątów wyznacz pola pozostałych trójkątów. EFINIJ Trapezem nazywamy czworokąt wypukły o co najmniej jednej parze boków równoległych. Te dwa równoległe boki nazywamy podstawami trapezu. Pozostałe dwa boki nazywamy ramionami trapezu. Odcinek prostopadły do obu podstaw łączący te podstawy, względnie proste zawierające podstawy, nazywamy wysokością trapezu. Trapez, w którym co najmniej jeden kąt jest prosty, nazywamy trapezem prostokątnym. UWG Z tej definicji wynika, że równoległobok jest trapezem. TWIERZENIE Pole trapezu o podstawach długości a, b oraz wysokości h równe jest (a+b)h 2 b b b h h h h h h a a a

ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 35 owód Zauważ, że w każdym z powyższych trzech przypadków przekątna trapezu dzieli go na dwa trójkąty o równoległych podstawach. zatem wysokości obu trójkątów opuszczone na te równoległe podstawy są tej samej długości. Przeto w każdym przypadku mamy: Wyłączając 1 2h przed nawias mamy: P = 1 2 P = 1 2 ah + 1 2 bh. (a + b)h h(a + b) =. 2 WNIOSEK Ponieważ równoległobok jest trapezem, wobec tego pole równoległoboku jest równe iloczynowi długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok, bo obie podstawy są w nim równej długości. Mamy zatem P = 1 2 (a + a)h = 1 2 2ah = ah. F E 27. W kwadracie na rysunku obok długość boku jest równa 4. Punkty,, E, F leżą na jednej prostej. Wyznacz pole równoległoboku EF F E 28. Pole równoległoboku EF na rysunku obok równe jest 25. Wyznacz długość boku x kwadratu. F E 29. Pole równoległoboku równe jest 100. Wyznacz pole kwadratu EF 30. W trapezie o podstawach b i c oraz wysokości h podstawa c jest trzy razy dłuższa niż b, a wysokość h jest równa połowie długości c. Oblicz b, c i h wiedząc, że pole trapezu równe jest polu prostokąta o bokach długości 3 i 36.

36 ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 31. Pole trapezu równe jest 900 cm 2. ługości podstaw trapezu równe są = 25cm, = 20cm. Wyznacz P. 32. Punkt E, na rysunku obok, leży wewnątrz trapezu prostokątnego, przy czym = 18, = 10, = 9, d(e, l ) = 2, d(e, l ) = 6. Wyznacz P E, P E. 10 3 5 F 4 G 34. W trapezie, na rysunku obok, = 6, = 18, wysokość h e trójkąta E równa jest 4. Oblicz P E, jeżeli P = 84. 4 E F 33. Punkt G, na rysunku obok, leży wewnątrz prostokąta, zaś punkty E i F leżą na jego bokach. Na podstawie podanych długości niektórych odcinków wyznacz P F GE, P EF, P EG, P G. x + 4 E x 35. W trapezie prostokątnym, na rysunku obok, wysokość E wychodząca z wierzchołka kąta rozwartego <), ma długość 5. Podzieliła ona dłuższą podstawę trapezu na odcinki o długościach x oraz x + 4. Pole P E jest trzy razy większe od pola P E. Wyznacz długości podstaw trapezu. h e E G E

ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 37 36. Na poniższym rysunku w prostokącie punkt E leży na boku, zaś punkt F na boku. Wiedząc, że (a) = 6, = 10, F = 4, P EF = 9. Wyznacz E. F E (b) = 8, = 5, E = 6, P F jest o 6 większe od P EF. Wyznacz P EF. (c) F = 2, = 10, = 6, P E jest o 10 większe od P EF. Wyznacz P F E. (d) = 10, = 7, F = 3, P EF = P F E + P F + P E 5. Wyznacz P F E. (e) = 10, = 7, F = 2, P E = 3 P F E. Wyznacz E. 37. W prostokącie bok jest dwa razy dłuższy od boku. Na bokach prostokąta obrano punkty P, Q, R, S, przy czym P (co oznacza, że punkt P leży na boku ), Q, R i S. ane są również pewne odległości, a mianowicie: P = 6, P = 4, Q = 1, R = 4, S = 3. Wyznacz P P QRS. 38. W prostokącie na rysunku obok mamy: = 10, F = 4, E = 2, P = 50, P EF G = 13. Wyznacz G. E G x F h e 39. W trapezie na rysunku obok E = 16, = 6, P E = 40, P E = 3. Wyznacz P, P E.

38 ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 40. any jest trapez o podstawach różnej długości = a, = b i wysokości h. Na odcinku będącym wysokością trapezu obieramy punkt E tak, aby P E + P E było równe połowie pola trapezu. Policz na jakiej długości odcinki punkt E dzieli wysokość h. h e E 41. W trapezie na rysunku obok P E = 33, P E = 6. W trójkącie E wysokość h e wychodząca z wierzchołka E ma długość 6, zaś suma (różnych) długości podstaw trapezu jest równa 17. Wyznacz wysokość h trapezu oraz P E. 42. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz kreską odcinek, w którym = ( 1, 2), = (2, 2). Następnie zaznacz (a) trzy takie punkty leżące na jednej prostej, dla których P = 3, (b) pięć takich punktów nie leżących na jednej prostej, dla których P = 3, (c) zbiór tych wszystkich punktów, dla których P = 3. Obecnie sformułujemy kolejne twierdzenie o polach trójkątów. TWIERZENIE Jeżeli dwa trójkąty mają wspólną podstawę, a pozostałe wierzchołki leżą na prostej równoległej do tej podstawy, to trójkąty te mają równe pola. owód: Rozpatrzmy trójkąty 1 1 i 2 2 wspólnej podstawie, przy czym o 1 2. Zauważmy, że wobec tego wysokości h h 1 1 i 2 2 opuszczone na pro- stą mają taką samą długość, którą oznaczmy h, zaś długość podstawy oznaczmy a. Wobec tego mamy 1 2 P 1 = 1 2 ah, jak również P 2 = 1 2 ah.! 43. Niech dany będzie trapez o podstawach i. Niech jego przekątne przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że P O = P O.

ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 39 10 O 30 44. Przekątne trapezu o polu 160 dzielą go na cztery trójkąty tak jak na rysunku obok. Podane są pola dwóch trójkątów. Wyznacz pole trójkąta O. 45. Przekątne i trapezu o podstawach i przecinają się w punkcie O i podzieliły trapez na cztery trójkąty, przy czym a) P O = 12, P O = 7; b) P O = 16, P O = 9. Wyznacz pole trapezu. 46. W trapezie o podstawach i przekątne i przecinają się w punkcie O, przy czym = 3, P O = 3, P O = 12. Wyznacz (a) P, (b) wysokość h c w trójkącie, (c) P O, (d) wysokość h o w trójkącie O. 47. W trapezie o podstawach i przekątne i przecinają się w punkcie O, przy czym P O = 3 P O, = 2. Wysokość trapezu jest równa 4. Wyznacz P O, oraz wysokość h o trójkąta O opuszczoną na podstawę. Wsk. w trójkątach O i O podstawy O i O leżą na jednej prostej, a wierzchołek jest wspólny dla obu trójkątów. Podobnie rzecz się ma w trójkątach O i O. 48. Na rysunku obok k l. Wyznacz pole czworokąta HEG wiedząc, że P G = 7, zaś P F H = 9. l E F 7 9 G H k 49. Pole prostokąta jest równe polu pewnego kwadratu. ługość jednego z boków prostokąta jest o 20 większa od długości boku tego kwadratu, zaś długość drugiego boku prostokąta jest o 10 mniejsza od długości boku kwadratu. Wyznacz długość x boku kwadratu. 50. Kwadrat i trójkąt mają takie samo pole. ok kwadratu i podstawa trójkąta mają taką samą długość. Wysokość trójkąta opuszczona na tę podstawę jest równa 12. Wyznacz pole trójkąta.

40 ROZZIŁ 3. POL FIGUR.! 51. Uzasadnij, że jeżeli z punktu położonego wewnątrz trójkąta równobocznego poprowadzimy odcinki prostopadłe do boków trójkąta, to suma długości tych odcinków jest równa wysokości trójkąta równobocznego. G E F G 52. Uzasadnij, że pole zacieniowanego obszaru prostokąta równe jest połowie pola prostokąta. F E 53. Uzasadnij, że w trójkącie równoramiennym wysokości wychodzące z wierzchołków przy podstawie mają równą długość. 55.* Punkt E leży na zewnątrz kwadratu. ługość boku kwadratu jest równa a. Oblicz pole zacieniowanego obszaru. 54. Pole równoległoboku E jest 3 razy mniejsze od pola prostokąta G. Pole kwadratu F G równe jest 16. Wyznacz. E 56.* Pole kwadratu jest równe c. Punkt O leży wewnątrz kwadratu, a przy tym P O = a, P O = b. Wyznacz: a) P O, b) pole P prostokąta, w którym O jest przekątną, a pozostałe dwa wierzchołki leżą na bokach i kwadratu. 57.* W trójkącie kąt przy wierzchołku jest prosty, = 15, = 20, = 25. Punkt leży na boku i jest tak samo oddalony od prostej jak od prostej. Wyznacz tę odległość d. 58.* W trapezie o podstawach i : = a, = b, wysokość ma długość h. Punkt E leży wewnątrz trapezu. Wyznacz odległość d punktu E od podstawy tak, aby P E + P E = P E + P E. 59. W trójkącie prostokątnym kąt jest prosty, = 6, = 8. wusieczna kąta prostego przecina bok w punkcie. Wyznacz P i P.

ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 41 R 60. Na rysunku obok punkty P,Q,R,S są środkami boków czworokąta. Uzasadnij, że zacieniowane pole jest połową pola czworokąta. S Q P 61. Trójkąt na rysunku obok ma pole równe 7. Odcinek jest dwukrotnie dłuższy od odcinka, zaś odcinek jest dwukrotnie dłuższy od odcinka. Wyznacz pole trójkąta oraz trójkąta. Wskazówki i odpowiedzi. 1. P = 20 2. P = 83 1 2 3. P = 42 4. P = 92 5. h = 4 6. P = 20 7. P E = 21 8. P O = 26 9. w trójkącie E h = 5 2 3, w trójkącie E h = 6 1 3 10. P X + P X = 1 2 ab 11. P X = 18 1 2, P X = 13, P EX = 18, P EF X = 14, P F X = 23 12. 6 i 8 13. 21 i 9 14. 6 i 12 15. = 3 16. P O = 7 1 2, h = 2 2 5 17. P E = 3 1 3 18. P RST = 10 1 2 19. h c = 8 8 9 20. P E = 4 4 5, P E = 3 1 5 21. E E = 6 7, P E = 5 5 6 22. E = 2 7, P F = 12 7 23. P LF = 1 5 7, N = 5 1 4, h f = 1 1 7

42 ROZZIŁ 3. POL FIGUR. 24. 3 3 5 25. a) x = 4, y = 9 1 3, b) x = 4, y = 3, c) x = 2, y = 5 26. x = 6, y = 9 27. P EF = 16 28. x = 5 29. P EF = 100 30. b = 6, c = 18, h = 9 31. P = 500 cm 2 32. Wsk. Wpierw zrób staranny rysunek, a następnie wyznacz kolejno P F E, P GE, itd. odp. P E = 46, P E = 17 33. P F GE = 10, P EF = 34, P EG = 34, P G = 9 34. P E = 45 35. a) E = 1, b) P EF = 17, c) P F E = 20, d) P F E = 16 2 3, e) E = 3 3 11 36. P P QRS = 26 37. = 12, = 20 38. G = 3 39. P = 66, P E = 23 40. Odcinki równej długości czyli h 2 41. h = 8, P E = 29 43. wsk.skorzystaj z odpowiedniego twierdzenia o polach trójkątów 44. P O = 90 45. a) P = 30 1 12, b)p = 49 46. P = 15, h c = 10, P O = 48, h o = 8 47. P O = 1, = 6, h o = 3 48. P HEG = 16 49. x = 20 50. P = 36 51. wsk. zauważ, że ten punkt dzieli nasz trójkąt równoboczny na trzy trójkąty 54. = 12 55. 1 2 a2 56. P O = 1 4ab 2c a, P = c 57. d = 8 4 7 58. d = 1 2 h 59. P = 10 2 7, P = 13 5 7 61. P = 14, P = 28

Rozdział 4 TRÓJKĄTY PRZYSTJĄE. EFINIJ wa trójkąty nazywamy przystającymi, jeżeli mają odpowiadające sobie boki i odpowiadające sobie kąty równe. To, że trójkąt przystaje do trójkąta będziemy oznaczać. Zapis oznacza, że =, =, =, oraz <) = <), <) = <), <) = <). Faktycznie, na to aby stwierdzić czy dwa dane trójkąty są przystające, nie potrzeba sprawdzać czy wszystkie odpowiadające sobie boki i kąty są równe. Rozstrzygają bowiem o tym tzw. cechy przystawania trójkątów. echa (bok, bok, bok) Jeżeli w trójkątach i zachodzą równości: =, =, =, to te trójkąty są przystające, a dokładniej to. Oznacza to, że dwa trójkąty przystają do siebie, jeżeli odpowiadające sobie boki mają równe długości.

44 ROZZIŁ 4. TRÓJKĄTY PRZYSTJĄE. PRZYKŁ any jest czworokąt, w którym = oraz =. Uzasadnij, że. Uzasadnienie W trójkątach i z założenia mamy: =, =. Odcinek jest wspólny dla obu trójkątów. Wobec tego na mocy cechy przystawania trójkątów. Podobnie uzasadniamy, że. echa K (bok, kąt, bok): Jeżeli dla trójkątów i zachodzą równości: =, <) = <), =, to. Oznacza to, że jeżeli w jednym trójkącie długości dwóch boków i kąt między nimi zawarty są takie same jak długości dwóch boków i kąt między nimi zawarty w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. Natomiast sama równość dwóch boków i równość jakichkolwiek kątów w dwóch trójkątach nie oznacza, że te dwa trójkąty są przystające. Weźmy bowiem, na przykład, dwa trójkąty: i, w których =, zaś jest wspólnym bokiem obu trójkątów (czyli te trójkąty mają po dwa boki równej długości), a przy tym <) = <) = 30, natomiast trójkąty te nie są przystające. 30 6

ROZZIŁ 4. TRÓJKĄTY PRZYSTJĄE. 45 PRZYKŁ Przekątna podzieliła czworokąt na dwa trójkąty, przy czym = oraz <) = <). Uzasadnij, że. Uzasadnienie W trójkątach i z założenia mamy: =, <) = <). Odcinek jest wspólny dla obu trójkątów. Wobec tego na mocy cechy K przystawania trójkątów. echa KK (kąt, bok, kąt): Jeżeli dla trójkątów i zachodzą równości =, <) = <), <) = <), to te trójkąty są przystające. Innymi słowy, jeżeli w jednym i drugim trójkącie dany jest bok o takiej samej długości i przyległe do tych boków kąty w obu trójkątach mają takie same miary, to te trójkąty są przystające. Natomiast sama równość dwóch kątów i równość jakichkolwiek boków w tych dwóch trójkątach nie oznacza, że te dwa trójkąty są przystające. Weźmy, na przykład, trójkąt prostokątny, w którym <) = 30, <) = 90, <) = 60, zaś = 5. Wysokość dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty. Widać, że w trójkątach i są takie same kąty oraz, że jeden bok, a mianowicie, jest wspólny dla obu trójkątów. Trójkąty te jednak nie są przystające, bowiem kąty przy boku w obu trójkątach nie są takie same. 30 5 30 60

46 ROZZIŁ 4. TRÓJKĄTY PRZYSTJĄE. PRZYKŁ Odcinek podzielił czworokąt na dwa trójkąty, przy czym <) = <) oraz <) = <). Pokaż, że. Uzasadnienie W trójkątach i z założenia mamy: <) = <), <) = <). Odcinek jest wspólny dla obu trójkątów. Wobec tego, na mocy cechy KK przystawania trójkątów,. W poniższych zadaniach tam, gdzie nie ma rysunku sporządź rysunek. Uzasadnienia rób takim językiem jak w podanych powyżej przykładach. Większość uzasadnień jest na końcu rozdziału. 1. Przekątna podzieliła czworokąt na dwa trójkąty, przy czym <) = <) i <) = <). Uzasadnij, że. 2. Odcinki i przecinają się w punkcie O, przy czym O = O i O = O. Uzasadnij, że O O oraz, że = oraz, że =. 3. Odcinek dzieli czworokąt na trójkąty i przy czym = oraz <) = <). Uzasadnij, że =. 4. W kwadracie o boku długości a punkt E jest środkiem boku, punkt F jest środkiem boku. Uzasadnij, że F E. P 5. Na rysunku obok <) = <) i <) = <). Uzasadnij, że. 6. Końce odcinka leżą na dwóch prostych równoległych. Przez środek O tego odcinka prowadzimy dowolny odcinek, którego końce leżą na tych samych równoległych, przy czym punkt leży na tej prostej co punkt. Udowodnij, że O = O.! 7. Uzasadnij, że w równoległoboku boki równoległe są równej długości.

ROZZIŁ 4. TRÓJKĄTY PRZYSTJĄE. 47! 8. Uzasadnij, że punkt przecięcia przekątnych równoległoboku dzieli każdą z nich na połowy. Wyniki ostatnich dwóch zadań oraz zadanie 20 z rozdziału 1 można krótko sformułować następująco: W równoległoboku: kąty przeciwległe są równe, odcinki przeciwległe są równej długości, punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na połowy. 9. Odcinki i przecinają się w punkcie O, przy czym O = O i O = O. Uzasadnij, że =. 10. Odcinki i przecinają się w punkcie O, przy czym O = O oraz <) O = <) O. Uzasadnij kolejno, że O O i O O. 11. any jest trójkąt równoramienny, w którym =. Z wierzchołka odłożono na bokach i równej długości odcinki, odpowiednio: 1 i 1. Pokaż, że 1 1. 12. Na boku trójkąta obrano punkt, a na boku 1 1 trójkąta 1 1 1 obrano punkt 1. Wiadomo przy tym, że 1 1 1 i że = 1 1. Pokaż, że 1 1 1. 13. W kwadracie punkty P, Q, R i S leżą na bokach,, i odpowiednio, w taki sposób, że P = Q = R = S. Wykaż, że czworokąt P QRS jest kwadratem. 14. Przekątna podzieliła czworokąt na dwa trójkąty, przy czym <) = <) i <) = <). Uzasadnij, że <) = <). 15. Punkty,,,, E leżą na jednej prostej tak jak na rysunku obok, zaś punkty F i G poza nią, przy czym =, F = G, <) F = <) EG. Uzasadnij, że F G. F E G

48 ROZZIŁ 4. TRÓJKĄTY PRZYSTJĄE. E a b a F 16. Punkty,,, leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej, przy czym =. Punkty E i F leżą po przeciwnych stronach tej prostej, przy czym <) E = <) F, <) F = <) E. Uzasadnij kolejno, że a) F E, b) E F. 17. Punkty,,, leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej, przy czym =. Punkty E, F leżą po przeciwnych stronach tej prostej, przy czym <) E = <) F, <) F = <) E. Uzasadnij kolejno, że a) F E, b) E F, c) E F. P 18. Na rysunku obok <) = <) i <) = <). Uzasadnij, że P P. 19. Na rysunku obok = oraz <) = <) E. Uzasadnij kolejno, że (a) E, (b) QE Q, (c) E. E Q F E 20. Na rysunku obok = F oraz <) = <) EF. Pokaż, że F = E. 21. Na rysunku obok = F oraz = E. Pokaż, że <) F = <) E. 22. Odcinki i przecinają się w punkcie O, przy czym O = O oraz <) O = <) O. Uzasadnij, że.

ROZZIŁ 4. TRÓJKĄTY PRZYSTJĄE. 49 O 23. W sześciokącie KLM N OP na rysunku P obok KP = KL, P O = LM, ON = MN oraz <) ONK = <) MNK. K N Pokaż, że <) KP O = <) KLM. L M 24. Odcinki i przecinają się w punkcie E, przy czym E = E oraz <) EF = E <) EG. Uzasadnij, że E E. orysuj następnie odcinek. Uzasadnij, że. teraz dorysuj odcinek i uzasadnij, że uzyskałeś dwa kolejne F G trójkąty przystające. 25. W czworokącie mamy = i =. Uzasadnij,! że czworokąt jest równoległobokiem. 26. W czworokącie mamy: = i. Uzasadnij, że! jest równoległobokiem. 27. Przekątne i czworokąta przecinają się w punkcie O, który dzieli każdą z nich na połowy. Uzasadnij, że czworokąt! jest równoległobokiem. Wyniki ostatnich trzech zadań i zadania 36 z rozdziału o kątach w trójkącie, można sformułować w postaci TWIERZENIE Jeżeli w czworokącie, spełniony jest jeden z warunków: obie pary odcinków przeciwległych są równej długości, obie pary przeciwległych kątów są równej miary jedna para przeciwległych boków jest równoległa i równej długości punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na połowy, to ten czworokąt jest równoległobokiem. 28. Trójkąty i P QR są przystające, przy czym P QR. Pokaż, że wysokość poprowadzona z wierzchołka w trójkącie! jest równa wysokości poprowadzonej z wierzchołka R w trójkącie P QR.

50 ROZZIŁ 4. TRÓJKĄTY PRZYSTJĄE. 29. W trójkącie prostokątnym kąt jest prosty, = c, = a, = b. wusieczne kątów ostrych przecinają się w punkcie. Wyznacz odległość punktu od boków tego trójkąta. Wsk. skorzystaj z odpowiedniego zadania o przystawaniu trójkątów. 4 G F 2 O 30. W prostokącie, na rysunku obok, poprowadzono przekątne 6 i, które przecinają się w punkcie O. Przez punkt O poprowadzono odcinki EF i GH łączące przeciwległe boki prostokąta. E H (a) Uzasadnij, że OF OE, GOF HOE. (b) Uzasadnij, że wysokość trójkąta F O opuszczona na prostą F ma długość 4, wiedząc, że długość boku jest równa 8. (c) Wyznacz pole zacieniowanego obszaru na podstawie podanych długości odcinków. 31. Punkty,, na rysunku obok E leżą na jednej prostej, przy czym = 7, = 12, = 4. Korzystając tylko z cech przystawania trójkątów oraz poznanych α α wzorów na pole trójkąta czy też trapezu wyznacz E. 32. Przekątne prostokąta na rysunku obok przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że P EO = P F O. F O E 3 3 4 O 2 33. Wiedząc, że O jest punktem przecięcia przekątnych w prostokącie na rysunku obok korzystając z wyniku poprzedniego zadania, 2 wyznacz pole P zacieniowanego obszaru. 2 34. W równoległoboku poprowadzono przekątną. Wykaż, że d(, l ) = d(, l ).