MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści zadań, dostępne są na stronie internetowej Samodzielnej Pracowni Zastosowań Matematyki w Ekonomii: http://www.pzme.zarz.agh.edu.pl/index.php?p=pracownik/materialy-dydaktyczne/12
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM 1 Zadanie 1 Arkusz loty zawiera dane dotyczące liczby pasażerów korzystających z rejsów Delta Air Lines między San Francisco a Seattle w ciągu 33 dni kwietnia i maja. Znajdź dominantę, medianę, dolny, środkowy i górny kwartyl dla tego zbioru danych. Oblicz średnią i odchylenie standardowe. Zadanie 2 Plik termin1 zawiera dane dotyczące wyników z 1 terminu egzaminu ze statystyki opisowej na 1 roku zarządzania w 2012 roku. Zbuduj szereg rozdzielczy dla tych danych, a następnie wyznacz i zinterpretuj następujące miary statystyczne: a) średnią arytmetyczną ocen b) medianę c) dolny i górny kwartyl d) dominantę e) wariancję i odchylenie standardowe z próby, f) współczynnik asymetrii i współczynniki skośności. Zadanie 3 Zapytano grupę 120 losowo wybranych studentów o ilość godzin spędzanych dziennie przed komputerem. Rozkład, który otrzymano zawiera arkusz komputer. 1. Narysuj histogram liczebności. 2. Wyznacz i zinterpretuj następujące miary statystyczne: a) średnią i odchylenie standardowe z próby, b) dominantę c) medianę, d) współczynnik asymetrii i kurtozę. Zadanie 4 Czasopismo Fortune z 12 października 1987r. podaje listę najbogatszych ludzi na świecie i wartość ich majątku. Według szacunku czasopisma wartości te (w miliardach $) przedstawione są w arkuszu Fortune. a) Zbuduj dla tych danych odpowiedni przedziałowy szereg rozdzielczy. b) Znajdź medianę i dominantę najpierw korzystając z niepogrupowanych danych, a następnie przy wykorzystaniu szeregu rozdzielczego. Czy różnice są duże? Z czego wynikają? c) Korzystając z szeregu rozdzielczego oblicz średnią, wariancję, odchylenie standardowe. d) Narysuj histogram liczebności i histogram częstości.
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM 2 Zad.1. Rzucamy dwukrotnie kostką 20-ścienną (na kolejnych ściankach umieszczone są liczby od 1 do 20). Suma wyrzuconych oczek jest zmienną losową X. Znajdź jej rozkład. Przestaw do na wykresie. Oblicz prawdopodobieństwo P(X<20), P(X>33) oraz EX. W losowaniu DUŻEGO LOTKA losujemy 6 liczb spośród 49. Załóżmy, że trafiając 3 liczby wygrywamy 10zł, trafiając 4 liczby 250zł, 5 liczb 10000zł i trafiając szóstkę 1mln zł. Niech zmienna losowa X oznacza wysokość wygranej. Znajdź rozkład tej zmiennej losowej. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania głównej nagrody oraz prawdopodobieństwo P(X=0). Jaka jest wartość oczekiwana tej zmiennej? Niech zmienna losowa X oznacza liczbę orłów uzyskanych w 200 rzutach monetą. Oblicz P(X<80). Zad.4. Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego: gdzie n=50, p=0,1. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Przedstaw go na wykresie. Sprawdź jak zmieni się rozkład jeśli: a) Zwiększymy prawdopodobieństwo sukcesu p do 0,5 a następnie do 0,9 b) Zwiększymy liczbę prób n do 100 Zad.5. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona:. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa przy Przestaw go na wykresie. Sprawdź jak zmieni się rozkład jeśli parametr a) Zwiększymy do 100 b) Zmniejszymy do 5. Zad.6. Prawdopodobieństwo zepsucia maszyny w ciągu dnia wynosi p, ilość maszyn w fabryce jest równa n, wyznacz rozkład prawdopodobieństwa ilości zepsutych maszyn w danym dniu; a) p=0,2; n=15. b) p=0,03; n=100. c) Porównaj wyniki z rozkładem Poissona λ=3. Zad.7. Narysuj wykres funkcji gęstości zmiennej losowej z rozkładu normalnego przy m=0, Sprawdź jak zmieni się wykres jeśli przyjmiemy: a) m=5 b)
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM 3 Zad. 1 Dla jakiej wartości parametru poniższy wykres przedstawia gęstość rozkładu zmiennej losowej X? Podaj wzór na gęstość oraz na dystrybuantę tę zmiennej. Oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję. Zad. 2 Dla jakiej wartości parametru poniższy wykres przedstawia gęstość rozkładu zmiennej losowej X? Podaj wzór na gęstość oraz na dystrybuantę tę zmiennej. Oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję. Niech X będzie zmienną z rozkładu normalnego N(0,1). Oblicz: a) P(-1<X<1) b) P(-1,96<X<1,96) c) P(-2,33<X<2,33) d) P(X<2,58) e) P(-3<X<3)
Zad.1. MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYTYSTYKI LABORATORIUM 4 Niech X 1,, X 50 będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu N(4,8). Wygeneruj po 100 realizacji każdej z tych zmiennych, a następnie na tej podstawie porównaj rozkłady zmiennych a) b) c) Gdzie oznacza średnią z X 1,, X i. Za pomocą generatora liczb pseudolosowych wygeneruj 100 realizacji zmiennej X z rozkładu chi-kwadrat o 10 stopniach swobody. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja takiej zmiennej? Za pomocą generatora liczb pseudolosowych wygeneruj 100 realizacji zmiennej X z rozkładu t-studenta o 5 stopniach swobody. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja takiej zmiennej?
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYTYSTYKI LABORATORIUM 5 Zad.1. Niech będzie próbą z populacji o rozkładzie jednostajnym na odcinku. Niech,a będą estymatorami parametru. Wykazać, że oba estymatory są nieobciążone. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że EX=1, EY=3, VarX=VarY=σ 2. Dla jakiej stałej c statystyka cx 2 +(1-c)Y 2 jest nieobciążonym estymatorem parametru σ 2? Niech X 1, X n będzie próbą prostą pochodzącą z rozkładu Poissona z nieznanym parametrem λ. Do szacowania λ użyto dwóch estymatorów: Który z nich jest estymatorem nieobciążonym parametru λ? Zad.4. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami p i n; 0<p<1, Sprawdzić, czy statystyka X/n jest nieobciążonym estymatorem parametru p. Dla jakiej wartości c statystyka T=c(X/n)(1-X/n) jest estymatorem nieobciążonym parametru θ=p(1-p)?
Zad.1. MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYTYSTYKI LABORATORIUM 6 Wyznaczyć estymator największej wiarogodności parametru λ w rozkładzie Poissona na podstawie 100-elementowej próby prostej pochodzącej z tego rozkładu, zawartej w arkuszu Poisson. Wyznaczyć metodą największej wiarogodności estymator parametru p w rozkładzie geometrycznym P(X=k)=p(1-p)^(k-1), k=1,2, Próba prosta X 1,., X n pochodzi z rozkładu o gęstości, Gdzie θ>0 jest nieznanym parametrem. Wyznaczyć estymator największej wiarogodności parametru θ.
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM 7 Zad.1 Arkusz zad.1. zawiera 100-elementową próbę z rozkładu normalnego o znanym odchyleniu standardowym σ=1 i nieznanej wartości oczekiwanej µ. Na podstawie próby znajdź 95- procentowy przedział ufności dla wartości oczekiwanej. Arkusz zad.2. zawiera 61-elementową próbę z rozkładu normalnego o nieznanym odchyleniu standardowym σ i nieznanej wartości oczekiwanej µ. Na podstawie próby znajdź 95- procentowy przedział ufności dla wartości oczekiwanej. Arkusz zad.3. zawiera 100-elementową próbę z rozkładu normalnego o znanym odchyleniu standardowym σ=1 i nieznanej wartości oczekiwanej µ. Na podstawie próby przeprowadź parametryczne testy istotności, na poziomie istotności α=0,05, dla wartości średniej, przy hipotezach: a) H 0 : µ=7 H 1 : µ 7 b) H 0 : µ=5 H 1 : µ>5 c) H 0 : µ=9 H 1 : µ<9