Prawa potęgowe i samoorganizująca się krytyczność Katarzyna Sznajd-Weron
Przystawka: Masa krytyczna (2004) Wybuch jądrowy: masa krytyczna materiału rozszczepialnego Rowerzyści: nieformalny ruch społeczny, zbiera się grupa rowerzystów i ich wspólnie przejeżdża przez miasto Dyfuzja innowacji: krytyczna liczba zaadoptowanych konsumentów Fala meksykańska: metafora społecznego kolektywnego zachowania 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Przejścia fazowe wokół nas woda faza ciekła PUNKT KRYTYCZNY Lód faza stała para faza gazowa ciągłe przejście fazowe nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Sylwester w górach i jajka 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Nieciągłe przejścia fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Ciągłe (krytyczne) przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Jak działają ogrzewacze rąk? 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Ciągłe przejście fazowe
Ciągłe przejścia fazowe wokół nas
Perkolacja 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Perkolacja site Rozważmy sieć dwuwymiarową L na L Każde miejsce sieci jest zajęte niezależnie z prawdopodobieństwem p Klaster grupa zajętych węzłów znajdujących się wzajemnie w najbliższym sąsiedztwie (rozmiar s)
Krytyczność w modelu perkolacji Próg perkolacji - najmniejsza koncentracja zapełnionych węzłów na sieci, przy której powstaje nieskończony klaster. Parametr porządku Wyniki dla sieci 2D
Próg perkolacji nie jest uniwersalny! sieć site bond heksagonalna 0.696 2 0.652 71 kwadratowa 0.592 75 0.500 00 trójkątna 0.500 00 0.347 29 diamond 0.428 0.388 Prosta kubiczna 0.311 7 0.249 2 BCC 0.245 0.178 5 FCC 0.198 0.119
Wykładniki krytyczne - uniwersalność
Co to jest punkt krytyczny? 2 2 ) ( ) / exp( ) ( d c c c d r i i r r G T T T T T T r r S S r G Funkcja korelacyjna promień korelacji punkt krytyczny
Prawa potęgowe w sieciach autostrady Linie lotnicze
Skala podwójnie logarytmiczna y a x b log y log a b log x y' log y, x' log x y' log a bx' nachylenie prostej
Jakie są różnice? Zarobki ludzi prawo potęgowe Wzrost ludzi eksponenta??? Prawo potęgowe eksponenta
Rozkład wielkości dochodów osób fizycznych w Japonii 2 Źródło: 青山秀明
Skalowanie allometryczne Wikipedia: Allometry is the study of the relationship of body size to shape, anatomy, physiology and finally behaviour.
Co się jeszcze skaluje?
Co się jeszcze skaluje u zwierząt? Zależność tempa metabolizmu od masy ciała (u ssaków b=0.74) Masa jaja od masy ciała ptaków (b=0.77) Czas inkubacji od masy ciała (b=0.165) Długość życia ssaków w niewoli od masy ciała (b=0.2) Długość życia od wielkości mózgu
Prawo Zipfa Profesor lingwistyki (germanistyki) na Harvardzie George Kingsley Zipf (1902-1950), rozkład słów: P i a i, a 1 Przykład: 423 artykułów z TIME (245,412 słów): 1) "the" 15861(częstość 9%) 2) "of" 7239 3) "to" 6331
Prawo Zipfa dla języka angielskiego
Diagnozowanie schizofrenii Halucynacje, urojenia, trudności w komunikacji Apatia, nieuwaga, otępienie Ubóstwo mowy Wykładnik w analizie Zipfa a<0.7
Wyniki Brylinga i Fishera 2004 Wszystkie książki Tolkiena a=1.47895 Książki Sapkowskiego: Czas pogardy, Ostatnie życzenie & Miecz a=0.92197 Program: Model Zipf.exe
Wszechobecne prawo Zipfa Liczba ludności w miastach Częstość nazwisk w książce telefonicznej Dochody przedsiębiorstw Liczba spółek w państwach Rozkład trzęsień Ziemi Rozkład wielkich wymierań P i i a
Prawo Zipfa w muzyce Częstość interwału o długości i półtonów: 1. Toccata fis-moll Bacha b=1.34 2. Sonata F-dur Mozarta b=1.73 3. Invention nr 1 C-dur Bacha b=2.42 4. Stockhausena (współczesna) - nie ma Zipfa
Interwały w półtonach
Poprawione prawo Zipfa (Mandelbrot) s R P( R ) 1/ t ranga J.J. Ramsden, G. Kiss-Haypal, Physica A 277 (2000) 220: Rozkład wielkości firm w 20 różnych Państwach (1994)
Kondycja ekonomiczna Państw na podstawie wykładnika t Węgry 1.40 Stany Zjednoczone 1.25 Chiny 1.20 Francja 1.06 Austria 1.04 Hiszpania 0.98 Norwegia 0.97 Niemcy 0.96 Belgia 0.91 Szwajcaria 0.91 Dania 0.88 Brazylia 0.86 Izrael 0.85 Japonia 0.85 Włoch 0.85 Wielka Brytania 0.83 Szwecja 0.79 Kanada 0.75 Holandia 0.65
100 największych katastrof XX w. 10 2 Technologiczne ($10B) 10 1 Naturalne ($100B) 10 0 Źródło: John Doyle 10-2 10-1 10 0
Trzęsienia Ziemi Prawo Gutenberga-Richtera Prawo Omoriego N N b M M, b 1 a t t, a (1,1.5 )
Rozkład pożarów lasów
Pryzmy ryżu V. Frette et al., Nature 1996
Rozkład lawin ryżu
procent wymierań Wymierania gatunków morskich 50 40 30 20 10 0-600 -500-400 -300-200 -100 0 czas geologiczny [mln lat]
Wymierania rodzin i rodzin morskich
Deszcze Dane zebrane przez Instytut Meteorologii Maxa- Plancka w Hamburgu przy użyciu Micro Rain Radar MMR-2 na wybrzeżu Bałtyckim w okresie styczeń lipiec 1999. G. Peters, B. Fischer, T. Andersson, Bor. Env. Res., 2002
Prawa potęgowe dla deszczu Rozkład wielkości zdarzeń O. Peters, C. Hertlein, and K. Christensen, A complexity view of rainfall. Phys. Rev. Lett. 88, 018701, 1-4 (2002) Rozkład przerw między zdarzeniami O. Peters and K. Christensen, Rain: Relaxations in the Sky. Phys. Rev. E. 66, 036120, 1-9 (2002)
Potęgowe katastrofy wspólny mechanizm? Trzęsienia Ziemi Erupcje wulkanów Deszcze Huragany, Tornada Korki Uliczne Wybuchy na Słońcu Wymierania gatunków i wiele innych
Co oznaczają prawa potęgowe? Niezależność od skali brak typowej skali Krytyczność? b b b b b a x n na x a x a x f cm m na a a x a x f 0 0 1 1 0 1 0 0 ) 100 (1,
Co oznacza niezależność od skali? f f r r r r 0 0 0 0.5r,2r max r min r 1 10 100 0 0? exp exp exp exp 2 0.5 20 5 exp 200 exp 50 exp exp exp 1.5, 15, 150 a 2 0.5 20 a 5, a a 20 a 5 a 2 0.5 20 5 a a 200 50 2 0.5 a a 2 0.5 a
Samoorganizująca się krytyczność (Self-organizing criticality SOC) Stały, powolny dopływ energii Układ dochodzi do stanu krytycznego charakteryzującego się prawem potęgowym Uwalnianie energii wybuchy poprzedzielane okresami stazy
Samorganizująca się krytyczność 34 Pryzma dochodzi do granicznego kąta Istnieje graniczny kąt krytyczny Dla krytycznego kąta rozkład lawin jest potęgowy
Samoorganizacja w naturze Układ źródło energii magazynowani e energii Skorupa Ziemska prądy w litosferze napięcie Pryzmy Piasku Atmosfera dodanie ziarna Słońce energia potencjalna parowanie wody próg tarcie tarcie nasycenie uwolnienie energii trzęsienie ziemi lawina deszcz
(Per Bak i inni 1987) prototyp SOC
lawina s=4 (c) 2003 K. Weron
Prawa potęgowe w modelu pryzm piasku
Model wymierań gatunków (Bak, Sneppen 1993) Dobór naturalny (Darwin) - najsłabiej przystosowani mają najmniejszą szansę na przeżycie Oddziaływania między gatunkami (np. przez łańcuch pokarmowy) wpływ zmian sąsiednich gatunków
Model BS krok 2: jak to zrobić? fitness 0.8 0.6 0.9 0.5 0.4 0.7 0.2 0.4 0.8 0.9 0.3 0.5 0.8 0.6 0.9 0.5 0.4 0.4 0.5 0.2 0.8 0.9 0.3 0.5 0.8 0.6 0.9 0.5 0.4 0.4 0.8 0.1 0.9 0.9 0.3 0.5
Samoorganizacja w modelu BS
Wyniki modelu BS Rozkład odległości między kolejnymi zmianami potęgowy jedni zmieniają się często, inni rzadko (karaluchy) Rozkład lawin (wymierań) potęgowy Duża aktywność poprzedzielana okresami stazy (punktualizm) Nie są potrzebne meteoryty do wielkich wymierań
Samoorganizująca się krytyczność Dynamika układ dochodzi do stanu krytycznego Stan krytyczny ewolucja zgodna z ideą punktualizmu Prawa potęgowe w rozkładach wielkości zdarzeń i rozkładach interwałów czasowych między zdarzeniami