0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do tych drugich zaliczyć symbol,,= oraz słowo,,jednakowo ): (a) dla dowolnych liczb x i y, jeśli x > 0 liczba z, że z < 0 i x = y z; i y < 0, to istnieje taka (b) dla dowolnych punktów A i B istnieje punkt C, który leży między A i B i jest jednakowo odległy od A i B. 3. Utworzyć koniunkcję negacji następujących funkcji zdaniowych: Jaka liczba spełnia tę koniunkcję? x < 3 i x > 3. 4. Określić, w którym z dwu opisanych znaczeń wyraz,,lub występuje w następujących zdaniach: (a) miał dwie drogi do wyboru: zdradzić ojczyznę lub umrzeć; (b) gdy zarobię dużo pieniędzy lub wygram na loterii, wyjadę w długą podróż. Podać inne przykłady użycia słowa,,lub w obu znaczeniach. *5. Rozważyć następujące zdania warunkowe: (a) jeśli dziś jest poniedziałek, to jutro jest wtorek; (b) jeśli dziś jest poniedziałek, to jutro jest sobota; (c) jeśli dziś jest poniedziałek, to 25 grudnia jest Boże Narodzenie; (d) jeśli życzenia byłyby końmi, to żebracy jeździliby wierzchem; (e) jeśli liczba jest podzielna przez 2 i przez 6, to jest ona podzielna przez 12; (f) jeśli 18 jest podzielne przez 3 i przez 4, to 18 jest podzielne przez 6.
2 Rozdział. Które z powyższych implikacji są prawdziwe, a które fałszywe z punktu widzenia logiki matematycznej? W których z tych przypadków pytanie o sensowność, prawdziwość, czy fałszywość budzi wątpliwości z punktu widzenia zwykłego języka? Zwrócić szczególną uwagę na zdanie (b) i zbadać, jak jego prawdziwość zależy od dnia tygodnia, w którym zdanie to było wypowiadane. 6. Sformułować następujące twierdzenia w postaci zwykłych zdań warunkowych: (a) na to, by trójkąt był równoboczny, wystarcza, by wszystkie kąty przystawały do siebie; (b) warunek, że x jest podzielne przez 3, jest konieczny, by x było podzielne przez 6. Podać inne równoznaczne sformułowania obu powyższych zdań. 7. Czy warunek: x y > 4 jest wystarczający, czy konieczny, by: x > 2 i y > 2? 8. Podać inne równoznaczne sformułowania następujących zdań: (a) x jest podzielne przez 10 wtedy i tylko wtedy, gdy x jest podzielne zarówno przez 2, jak przez 5; (b) na to, by czworokąt był równoległobokiem potrzeba i wystarcza, by punkt przecięcia jego przekątnych był równocześnie środkiem tych przekątnych. Podać inne przykłady twierdzeń z zakresu arytmetyki i geometrii, które posiadają postać równoważności. 9. Które z następujących zdań są prawdziwe? (a) trójkąt jest równoramienny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wysokości trójkąta przystają do siebie; (b) warunek, że x 0 jest konieczny i wystarczający na to, by x 2 było liczbą dodatnią;
0 3 (c) z tego, że czworokąt jest kwadratem wynika, że wszystkie kąty czworokąta są proste i odwrotnie; (d) na to, by x było podzielne przez 8 potrzeba i wystarcza, by x było podzielne przez 4 i przez 2. 10. Założywszy, że terminy,,liczba naturalna i,,iloczyn (bądź,,iloraz ) są nam już znane, zbudować definicję terminu,,podzielny, nadając jej formę równoważności: mówimy, że x jest podzielne przez y wtedy i tylko wtedy, gdy... W analogicznej postaci sformułować definicję terminu,,prosta równoległa ; jakie terminy (z dziedziny geometrii) należy w tym celu przyjąć za znane? 11. Następujące wyrażenia symboliczne (a) odczytać w języku potocznym, (b) zbadać, które z nich są tautologiami: (a) ( p p) p, (b) ( p q) (p q), (c) (p q) (p q), (d) p [q (p q)]. Zwrócić szczególną uwagę na trudności w odróżnieniu od siebie trzech ostatnich wyrażeń, gdy się je sformułuje w zwykłym języku. 12. Sformułować następujące wyrażenia za pomocą symboli logicznych: (a) jeśli nie p lub nie q, to nie zachodzi, że p lub q; (b) jeśli p pociąga za sobą, że q pociąga za sobą r, to p i q razem pociągają za sobą r; (c) jeśli r wynika z p i r wynika z q, to r wynika z p lub q. Przypominamy, że liczba naturalna to dodatnia liczba całkowita lub zero, czyli jedna z następujących liczb: 0, 1, 2, etc.
4 Rozdział. 13. Zbudować tabelki prawdziwościowe dla wszystkich funkcji zdaniowych podanych w ćwiczeniach 11 i 12. Przyjąć, że funkcje te interpretujemy jako zdania (co to znaczy?) i określić, które ze zdań otrzymanych w ten sposób są prawdziwe, a które fałszywe. 14. Metodą tabelek prawdziwościowych potwierdzić prawdziwość następujących zdań: (a) p p, (b) (p q) ( p q), (p q) ( p q), (c) [p (q r)] [(p q) (p r)], [p (q r)] [(p q) (p r)]. Zdanie (a) jest prawem podwójnego przeczenia, zdania (b) nazywamy prawami De Morgana, 6 zaś zdania (c) są prawami rozdzielności (mnożenia logicznego względem dodawania i dodawania logicznego względem mnożenia). 15. Dla każdego z następujących zdań utworzyć zdania sprzężone (zdanie odwrotne, przeciwne i przeciwstawne): (a) założenie, że x jest liczbą dodatnią pociąga za sobą, że x jest liczbą ujemną; (b) jeśli czworokąt jest prostokątem, to można opisać na nim okrąg. Które ze zdań sprzeżonych są prawdziwe? Dlaczego nie da się podać przykładu czterech zdań sprzężonych, z których wszystkie byłyby fałszywe? 16. Wytłumaczyć następujący fakt w oparciu o tabelkę prawdziwościową dla funkcji,,p q : jeśli w jakimkolwiek zdaniu niektóre z jego części będące też zdaniami zostaną zastąpione przez zdania równoważne, to całe nowe zdanie, otrzymane w ten sposób, jest równoważne zdaniu wyjściowemu (zauważmy, że wniosek ten obejmuje również funkcje zdaniowe). Pewne z naszych stwierdzeń i uwag w 11 zasadzały się na tym fakcie; wskazać które. 17. Rozważyć następujące dwa zdania: 6 Prawa te zostały podane przez A. De Morgana (1806 1878), wybitnego logika angielskiego.
0 5 (a) z tego, że: jeśli p, to q, wynika, że: jeśli q, to p; (b) z tego, że: jeśli p, to q, wynika, że: jeśli nie p, to nie q. Przypuśćmy, że zdania te są prawami logiki; czy byłoby możliwe zastosować je do dowodów matematycznych, jak w przypadku prawa kontrapozycji w 14? Które ze zdań sprzężonych można by wyprowadzić z danej dowiedzionej implikacji? Czy możemy zatem podtrzymać nasze przypuszczenie, że zdania (a) i (b) są prawdziwe? 18. Potwierdzić wniosek wyciągnięty w ćwiczeniu 17, stosując metodę tabelek prawdziwościowych do zdań (a) i (b). 19. Rozważyć następujące dwa stwierdzenia: z założenia, że wczoraj był poniedziałek, wynika, że dziś jest wtorek; z założenia, że dziś jest wtorek, wynika, że jutro będzie środa. Jakie zdanie można wyprowadzić z powyższych zdań zgodnie z prawem sylogizmu warunkowego (por. 12)? *20. Przeprowadzić dowód zupełny zdania otrzymanego w poprzednim ćwiczeniu; użyć podanych tam stwierdzeń i prawa sylogizmu hipotetycznego (lub, warunkowego), stosując przy tym obok reguł podstawiania i odrywania następującą regułę dowodzenia: jeśli uznajemy za prawdziwe jakiekolwiek dwa zdania, to wolno również uznać za prawdziwą koniunkcję tych zdań.