Obliczanie skãladek ubezpizeniowych Nih x oznacza wiek osoby. Nih X b edzie, zmienn losow oznaczaj ac, dãlugo s c _zycia noworodka. De nicja Czas prze_zycia T(x) dla x-latka okre slony jest wzorem T(x) X x dla X x: De nicja Przez K(x) b edziemy, oznacza c peãln caãlkowit liczb e, lat, kt ore x- latek prze_zyje do smierci, wi, K(x) [T(x)] dla X x; gdzie [a] oznacza cz e s c, caãlkowit liczby a. Nih i oznacza stop e, procentow a., Przez Z b edziemy, oznacza c warto s c bie_z ac, swiadczenia z danej polisy. Uwaga Stopa procentowa i jest ustalona (deterministyczna). Uwaga Poniewa_z wypãlata swiadczenia jest na og oãl zwi azan ze smierci ubezpizonego, wi, traktujemy Z jako zmienn Najprostsz miar warto sci polisy jest warto s c oczekiwana warto sci obnej swiadczenia E(Z). De nicja 3 SkÃladk netto lub warto sci aktuarialn swiadczenia nazywamy E(Z). Ubezpizenie bezterminowe na _zycie ze swiadczeniem pãlatnym na koni roku smierci ZaÃl o_zmy, _ze ubezpizony ma x lat w momencie zakupu polisy umiera w wieku x +T(x). W owczas wypãlata nast, epuje w chwili x +K(x) + : Z (suma ubezpizenia)v K+ : ZakÃladamy, _ze suma ubezpizenia wynosi zãl. Wob tego Z v K+ :
SkÃladk e, netto b edziemy, oznacza ca x. Wtedy A x E(Z) E(v K+ ) Wariancj, e oblicza si, e ze wzoru: v k+ kp x q x+k : D (Z) E(Z ) (E(Z)) P (vk+ ) kp x q x+k (A x ) P (v ) k+ kp x q x+k (A x ) : PrzykÃlad Obliczy c skãladk e, netto dla -latka, gdy stopa procentowa wynosi 5% funkcja prze_zycia jest okre slona wzorem s(x) x dla x[0; ]. W owczas poniewa_z x, kp s( +k) s() +k q +k q +k p +k k s( +k + ) s( +k) k : A X Poniewa_zi 0; 05, k+ k v k A 0; 36678: X v k+ v v5 v : Wob tego aby otrzyma c zãl. na koni roku po smierci ubezpizonego nale_zy wpãlaci c skãladk, e netto w wysoko sci 0; 37 zãl. Obliczymy teraz wariancj, e: E(Z ) (v ) k+ v (v ) 5 v 0; 9: D (Z) 0; 9 (0; 36678) 0; 055: Ubezpizenie terminowe ze swiadczeniem pãlatnym na koni roku smierci
W tym przypadku suma ubezpizenia b edzie, wypãlacana tylko wtedy, gdy ubezpizony umrze w ci agu, najbli_zszych n lat, wi, ½ v k+ gdy k 0; ;:::;n Z 0 gdy k n;n + ;:::: SkÃladk e, netto dla tej polisy oznaczamy A x:n, wi, n A x:n X v k+ kp x q x+k ; n X D (Z) (v ) k+ kp x q x+k (A x:n) : PrzykÃlad Obliczy c skãladk e, netto dla -latka w przypadku ubezpizenia terminowego na 5 lat, gdy stopa procentowa wynosi 5% funkcja prze_zycia jest okre slona wzorem s(x) x dla x[0; ]. W owczas poniewa_z x, kp s( +k) s() +k q +k q +k p +k X5 A :5 Poniewa_zi 0; 05, k+ k v k A :5 0; 087: k s( +k + ) s( +k) 4X k : v k+ v v5 v : Wob tego aby otrzyma c zãl. gdy osoba ubezpizone umrze w ci agu, 5 lat na koni roku po smierci ubezpizonego nale_zy wpãlaci c skãladk e, netto w wysoko sci 0; 087 zãl. Obliczymy teraz wariancj e:, E(Z ) 4X (v ) k+ v (v ) 5 v 0; 075; D (Z) 0; 075 (0; 087) 0; 067: 3
Ubezpizenie na do_zycie To ubezpizenie polega na tym, _ze suma ubezpizenia b edzie, wypãlacana osobie ubezpizonej dokãladnie zanlat Prawdopodobie nstwo, _ze ubezpizaj acy, si e, w wieku x do_zyje wieku x +n lat jest r owne n p x. 8 < 0 gdy k 0; ;:::;n Z v n gdy k n : 0 gdy k n+ ;n + ;:::: SkÃladk e, netto dla tej polisy b edziemy, oznacza ca x:n. A x:n v n np x D (Z) v n np x n q x : PrzykÃlad 3 Obliczy c skãladk e, netto dla -latka w przypadku ubezpizenia do_zycie do wieku 55 lat, gdy stopa procentowa wynosi 5% funkcja prze_zycia jest okre slona wzorem s(x) x dla x[0; ]. W owczas poniewa_z x, Poniewa_zn5, Skoro i 0; 05, to 5p s( + 5) s() 55 A :5 v 5 5p 55 v 5 9 0 : A :5 0; 7: 45 9 0 : Wob tego aby otrzyma c zãl. gdy ubezpizony prze_zyje jeszcze 5 lat nale_zy wpãlaci c skãladk, e netto w wysoko sci 0; 7 zãl. Obliczymy teraz wariancj, e: E(Z ) v 0 5p ( 5 p ) v 0 9 0 0 ; D (Z) 0; 55 (0; 7) 0; 046: 4
Renta _zyciowa bezterminowa Do_zywotnia renta _zyciowa wypãlacana jest okresowo (np. co roku) a_z do smierci. Warto s c bie_z ac renty _zyciowej bezterminowej wypãlacanej z g ory raz do roku jest zmienn Je sli oznaczymy j przez Y, to Y +v +::: +v K : De nicja 4 Warto s c oczekiwan zmiennej losowej Y nazywamy warto sci aktuarialn renty _zyciowej lub skãladk netto, oznaczamy j Äa x i obliczamy ze wzoru Äa x v k kp x : Warto s c bie_z ac renty _zyciowej bezterminowejwypãlacanejz doãlu razdo roku jest zmienn Je sli oznaczymy j przez Y 0, to Y 0 v+v +::: +v K+ : De nicja 5 Warto s c oczekiwan zmiennej losowej Y 0 nazywamy warto sci aktuarialn renty _zyciowej lub skãladk netto, oznaczamy j a x i obliczamy ze wzoru a x v k+ kp x : PrzykÃlad 4 Obliczy c skãladk e, netto a x dla 65-latka do_zywotniej renty _zyciowej z doãlu, gdy stopa procentowa wynosi 5% funkcja prze_zycia jest okre slona wzorem s(x) x dla x[0; ]. Wtedy x 65. a 65 P 65 v k kp 35 P 35 vk s(65+k) s(65) P 35 35 k vk 35 0; 8: 5