AKADEMIA GÓRNICZO - HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA w KRAKOWIE WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI, INFORMATYKI i ELEKTRONIKI KATEDRA METROLOGII LABORATORIUM METROLOGII Podstawy akwizycji i cyfrowego przetwarzania sygnałów dr inż. Andrzej Skalski mgr inż. Mirosław Socha Kraków, 1
Akwizycja sygnałów Laboratorium Metrologii Spis treści 1. Wstęp... 3. Szeregi Fouriera... 3 3. Reprezentacja sygnałów... 5 4. Przekształcenie Fouriera... 7 5. Przetwarzanie sygnału analogowego na cyfrowy... 8 6. Ograniczenie długości sygnału oraz Twierdzenie o próbkowaniu... 8 7. Widmo sygnału... 11 8. Kwantowanie... 14 9. Kodowanie... 15 1. Literatura... 16 Katedra Metrologii AGH
Laboratorium Metrologii Akwizycja sygnałów 1. Wstęp Rozwój urządzeń pomiarowych oraz mocy obliczeniowej komputerów umożliwia budowę komputerowych systemów pomiarowych lub kontrolno pomiarowych dających nowe możliwości w porównaniu z klasycznymi przyrządami analogowymi. Projektowanie systemów pomiarowych zwykle ma celu umożliwienie pomiaru różnych wielkości fizycznych obiektu. Jako przykład można podać: pomiar temperatury, przemieszczeń, przyspieszeń, prędkości obrotowej czy naprężeń. Jednym z możliwych rozwiązań jest system pomiarowy wykorzystujący kartę akwizycji danych. Przykładową ideę takiego systemu przedstawiono na rys. 1. Wielkości mierzone Rysunek 1 Idea sytemu pomiarowego wykorzystującego kartę pomiarową. Pierwszym elementem systemu są czujniki pomiarowe, w których następuje zmiana określonego parametru w funkcji wartości wielkości mierzonej. Przykładowo, w czujniku Pt1 następuje zmiana wartości rezystancji wraz ze zmianami temperatury, które chcemy mierzyć. Następnie przetwornik pomiarowy zamienia parametr elektryczny na napięcie lub prąd stały (mostek Wheatstone a z czujnikiem rezystancyjnym wpiętym w gałąź mostka). Ponieważ urządzania pomiarowe posiadają zdefiniowany zakres pomiarowy, poziom sygnałów mierzonych musi zostać dostosowany do zakresów wejściowych tegoż urządzenia. Zadanie to realizują układy kondycjonowania sygnałów, które normalizują sygnał wejściowy do odpowiednich wartości. Tak przygotowany sygnał podawany jest na wejście karty pomiarowej, gdzie przetwornik analogowy cyfrowy (a/c) zamienia pomiarowy sygnał analogowy na cyfrowy, który może zostać wprowadzony do komputera w celu wizualizacji, diagnostyki obiektu oraz jego stanu lub wykorzystania go do sterowania procesami technologicznymi. Szczegółowy opis poszczególnych bloków, rozwiązania sprzętowe, interfejsy pomiarowe oraz inne typy systemów (np. modułowe) można znaleźć w [1]. Jednym z problemów występujących przy projektowaniu systemów pomiarowych jest odpowiedni dobór parametrów akwizycji sygnałów (częstotliwość próbkowania, rozdzielczość przetwornika a/c), tak aby nie utracić informacji pomiarowej zawartej w mierzonym sygnale. Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawami akwizycji sygnałów pomiarowych tj.: twierdzeniem o próbkowaniu, kwantowaniem, kodowaniem oraz widmową reprezentacją sygnałów.. Szeregi Fouriera Dowolny okresowy sygnał rzeczywisty x(t) można przybliżyć przy pomocy rozwinięcia w szereg sumę odpowiednio dobranych funkcji np. trygonometrycznych. Szczególne znaczenie ma rozwinięcie nazywane szeregiem Fouriera, które jest protoplastą dyskretnej transformacji (przekształcenia) Fouriera [3]. 3 Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów Laboratorium Metrologii Tabela 1 zawiera wzory umożliwiające wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla kilku podstawowych przebiegów. Ponieważ transformacja Fouriera jest operacją liniową, przytoczone współczynniki szeregu Fouriera mogą służyć do obliczenia teoretycznego udziału poszczególnych harmonicznych (całkowitych wielokrotności pulsacji podstawowej ω ) dla sygnałów okresowych. Szersze zestawienie rozkładów innych funkcji okresowych w szereg Fouriera można znaleźć w poradniku encyklopedycznym [5]. Pamiętaj! Związek częstotliwości z pulsacją wyraża się zależnością: ϖ = πf Tabela 1 Współczynniki szeregu Fouriera podstawowych sygnałów (tab. 3 1 w [3]) Sygnał Prostokąt bipolarny: Współczynniki szeregu Fouriera 4A 1 1 ( t) = sin ωt + sin 3ω t + sin 5ω t + π 3 5 x Prostokąt unipolarny wypełniony 5%: A A 1 1 ( t) = + cosωt cos 3ω t + cos 5ω t π 3 5 x Prostokąt unipolarny o dowolnym wypełnieniu: x( t) = Aτ Aτ + T T k = 1 sin( πkτ / T ) cos kωt πkτ / T Trójkąt bipolarny: 8A 1 1 ( t) = sin ωt sin 3ω t + sin 5ω t π 3 5 x Trójkąt typu piła, bipolarny: A 1 1 ( t) = sin ωt sin ωt + sin 3ω t π 3 x 4 Katedra Metrologii AGH
Laboratorium Metrologii Akwizycja sygnałów Trójkąt unipolarny: x( t) = A 4A π 1 cos(k + 1) k = (k + 1) ω t Trójkąt typu piła, unipolarny: x( t) = A A π k = 1 sin kωt k Sinusoida wyprostowana dwupołówkowo: A 4A x( t) = π π k = 1 cos 4k 1 kω t Sinusoida wyprostowana jednopołówkowo: A x( t) = + π A sin ω A 1 t cos π k = 1 4k 1 kω t Można zauważyć, że funkcje parzyste (x(t)=x( t)) oraz nieparzyste (x(t)= x( t)) są odtwarzane przy pomocy sumy funkcji kosinus bądź sinus. Dodatkowo, nie zawsze występują wszystkie wielokrotności pulsacji podstawowej (pierwszej harmonicznej) ω, np. przebieg trójkątny może zawierać jedynie harmoniczne nieparzyste (3,5 ) zaś trójkątny typu piła zawiera również harmoniczne parzyste. Amplitudy poszczególnych harmonicznych dość szybko maleją, dlatego podczas analizy wyników prezentowanych na wykresach w dziedzinie częstotliwości, na osi amplitudy stosuje się skalę logarytmiczną, która umożliwia obserwowanie wartości zarówno dużych jak i małych. Pamiętaj! Pierwsza składowa harmoniczna jest sygnałem o częstotliwości (pulsacji) równej częstotliwości (pulsacji) analizowanego sygnału okresowego. Kolejne harmoniczne (, 3, 4...) są całkowitą wielokrotnością pierwszej harmonicznej. 3. Reprezentacja sygnałów Sygnał pomiarowy może być przedstawiany w różnej sposób. Naturalnym podejściem wydaje się reprezentacja w dziedzinie czasu, gdzie przedstawiana jest zmiana wartości sygnału w czasie (rys. a). 5 Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów Laboratorium Metrologii Innym podejściem jest reprezentacja sygnału w dziedzinie częstotliwości (rys. b), która umożliwia przeprowadzanie jego analizy częstotliwościowej. Informacja o składowych częstotliwościowych zawartych w sygnałach, z którymi często się spotykamy: sygnały biomedyczne (np. elektrokardiograficzne, elektromiograficzne), sygnały pochodzące z urządzeń technicznych (np. drgania maszyn) itd., pozwalają wnioskować o właściwościach lub stanach obiektu analizowanego. Z drugiej strony, człowiek sam dokonuje podziału dostępnego pasma częstotliwościowego na podpasma, w których generuje sygnały użytkowe o różnych częstotliwościach. Wykorzystujemy to w życiu codziennym zmieniając stację radiową, kanał w telewizji, czy korzystając z telefonii komórkowej. Rysunek Przykładowy sygnał w dziedzinie: a) czasu; b) częstotliwości. Urządzenia cyfrowe (np. komputer, kalkulator) nie są wstanie przedstawić dowolnej liczby. Mogą one przedstawić skończoną ich ilość oraz skończoną liczbę wartości (ściśle zdefiniowanych). Z tego powodu nie jest możliwe bezpośrednie wprowadzenie do komputera np. sygnału EKG. Sygnały występujące w przyrodzie i technice w głównej mierze są tak zwanymi sygnałami analogowymi. Termin analogowy wykorzystuje się do opisu sygnałów, które są ciągłe w czasie oraz mogą przyjmować wartości z ciągłego zakresu liczb. W celu analizy czy wykorzystania sygnału w procesach technologicznych, konieczna jest zamiana takiego sygnału na sygnał cyfrowy (dyskretny), czyli taki, który jest reprezentowany jako ciąg wartości liczbowych. Wartości te nie należą do ciągłego przedziału czasu lub amplitudy, mogą tylko przyjąć ściśle określoną liczbę wartości w dziedzinie czasu oraz amplitudy. Przykładowy sygnał analogowy oraz jego reprezentacja cyfrowa została przedstawiona w postaci graficznej na rysunku 3. Szczegółowe wyjaśnienia wraz z przykładami można znaleźć w [] (str. 18 4) lub w [3]. 6 Katedra Metrologii AGH
Laboratorium Metrologii Akwizycja sygnałów Rysunek 3 a) Przykładowy sygnał analogowy; b) reprezentacja cyfrowa sygnału z a). 4. Przekształcenie Fouriera Analiza częstotliwościowa sygnałów wykonywana jest zwykle przy wykorzystaniu przekształcenia Fouriera, które zdefiniowane jest za pomocą prostej i odwrotnej transformacji (dla sygnałów ciągłych w dziedzinie czasu): + j π f t X ( f ) = x( t) e dt (1) + j π f t x( t) = X ( f ) e df () gdzie X(f) jest zespolonym widmem Fouriera sygnału x(t) i zawiera informację o jego zawartości częstotliwościowej (f częstotliwość wyrażona w Hz, e podstawa logarytmu naturalnego, eksponenta), [,3]. Transformata Fouriera sygnałów sinus i kosinus wynosi (rozdział 4.3 w [3]): 1 jω 1 cos ( t jωt ω t = e + e ) (πδ ( ω ω) + πδ ( ω + ω )) (3) 1 jω sin ( t jωt j ω t = e e ) (πδ( ω ω) πδ( ω + ω )) (4) j gdzie jest impulsem (deltą) Diraca, funkcją uogólnioną reprezentującą nieskończenie krótki impuls o nieskończonej amplitudzie i jednostkowym polu powierzchni, zdefiniowaną w następujący sposób: 7 Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów Laboratorium Metrologii δ ( t) = δ ( t) dt = 1 dla dla t t = (5) Deltę Diraca δ (t) lub δ (ω) przedstawia się graficzne w postaci szpilki o jednostkowej amplitudzie, umieszczonej na osi odciętych w punkcie określonym przez argument funkcji (dla przytoczonych oznaczeń będą to punkty t na osi czasu oraz ω na osi pulsacji). Analizując wyrażenia na transformatę Fouriera funkcji okresowych sinus i kosinus można stwierdzić, że ich transformata w dziedzinie częstotliwości (ω ) ma postać sumy dwóch impulsów Diraca. Idąc dalej tym tropem, można zauważyć, że skoro dowolny okresowy przebieg x(t) można zapisać jako sumę funkcji sinus i kosinus (szereg Fouriera), to jego transformata Fouriera będzie miała postać sumy transformat funkcji sinus i kosinus (gwarantuje to liniowość transformaty). Tak więc każdej częstotliwości występującej w sygnale odpowiada prążek będący deltą Diraca o amplitudzie, której wartość można wyznaczyć na podstawie rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera. Transformata Fouriera delty Dirca ma następującą postać: δ ( t) 1 (6) Transformata Fouriera funkcji stałej: 1 πδ ( ω) (7) Bardzo często deltę Diraca traktuje się jako funkcję próbkowania sygnałów analogowych: x ( t) δ ( t τ ) dt = x( τ ) (8) 5. Przetwarzanie sygnału analogowego na cyfrowy Jak już wspomniano, proces przetwarzania sygnału analogowego na cyfrowy (a/c) powinien być dokonany w sposób staranny z uwzględnieniem właściwości oraz ograniczeń dotyczących tego procesu. Z przetwarzaniem a/c związane są trzy procesy, które zostaną bardziej szczegółowo omówione w dalszej części: próbkowanie, kwantowanie oraz kodowanie. 6. Ograniczenie długości sygnału oraz Twierdzenie o próbkowaniu Ponieważ żadne urządzenie cyfrowe nie jest wstanie zarejestrować nieskończenie wielu próbek sygnału zebranych w nieskończenie krótkich odstępach czasu, konieczne jest zastosowanie określonych reguł pozwalających zarejestrować próbki sygnału w taki sposób, aby była możliwość ich późniejszego odtworzenia bez strat informacji w sygnale. Pierwszy problem rozwiązuje się rejestrując (próbkując) tylko skończony fragment nieskończonego sygnału. Proces ten można sobie wyobrazić jak zastosowanie okna, które pokazuje (wycina) fragment przebiegu. Okno takie można zdefiniować jako funkcję prostokątną, której 8 Katedra Metrologii AGH
Laboratorium Metrologii Akwizycja sygnałów amplituda jest równa 1 tylko w obszarze równym szerokości czasowej okna. Dla pozostałych chwil czasu, okno ma wartość równą zero (jest nieprzeźroczyste ). Tylko ten fragment sygnału, który jest widziany przez okno, jest dalej przetwarzany. W praktyce wykorzystuje się rożne rodzaje i kształty okien, w których wartości zmieniają się w inny sposób niż skokowy [,3]. W dalszej części instrukcji ograniczymy się tylko do okna prostokątnego, ponieważ analiza wpływu okien wybiega poza program tego ćwiczenia. Na rysunku 4 przedstawiono przykład zastosowania okna prostokątnego (linia przerywana) o różnej długości (różny czas obserwacji sygnału). Rysunek 4. Pierwszy i drugi wiersz: wycięcie fragmentu sygnału oknem; w kolumnach: wpływ doboru szerokości okna na widmo częstotliwościowe. W pierwszym przypadku (lewa kolumna), okno obserwacji sygnału ma długość równą okresowi badanego sygnału, w drugim zaś (prawa kolumna) jest krótsze. W drugim wierszu przedstawiono 9 Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów Laboratorium Metrologii wycięte fragmenty sygnału. Wycięty fragment sygnału traktowany jest jako fragment reprezentujący cały, nieskończenie długi sygnał (trzeci wiersz). Porównując nieskończony sygnałem okresowy (pierwszy wiersz rysunku) z sygnałem odtworzonym na podstawie wyciętego fragmentu, można zauważyć, że w wyniku zastosowania krótszego okna, analizowany sygnał nie może być już traktowany jako czysta sinusoida. Zawiera on gwałtowny skok wartości chwilowej, który musi być odtworzony w dziedzinie częstotliwości objawia się w widmie sygnału w postaci rozmycia prążka. Podsumowując: jeżeli w oknie (czasie) obserwacji sygnału nie znajduje się całkowita wielokrotność okresów sygnału (rysunek 4. kolumna druga) to każdej harmonicznej odpowiada kilka prążków sygnału. Próbkowanie jest operacją polegającą na dyskretyzacji czasu wybierane są ściśle określone momenty w czasie, w których to dokonywany jest pomiar wartości amplitudy sygnału analogowego. Dobór częstotliwości z jaką powinno się zrejestrować próbki sygnału, tak aby możliwe było późniejsze odtworzenie sygnału analogowego, określa twierdzenie o próbkowaniu znane również pod nazwą Twierdzenie Kotielnikowa Shannona: Pamiętaj! TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU: Dolnopasmowy sygnał ciągły może być ponownie wiernie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany z częstotliwością f p co najmniej dwa razy większą od największej częstotliwości występującej w widmie sygnału (częstotliwość graniczna, częstotliwość Nequista). Dolnopasmowość sygnału oznacza, że w sygnale można wyróżnić pewną największą częstotliwość graniczną, czyli w sygnale występują jedynie częstotliwości mniejsze od częstotliwości granicznej. Sygnały, których rozwinięcia w szeregi Fouriera przedstawiono w tabeli 1 są przykładami sygnałów o teoretycznie nieskończonym widmie, ponieważ opisane są sumami harmonicznych dla których pulsacja rośnie do nieskończoności. Jednocześnie amplitudy kolejnych harmonicznych dążą do zera. Ze względu na ograniczoną rozdzielczość amplitudową, wyższe harmoniczne nie mogą więc być poprawnie mierzone. Dla rzeczywistych sygnałów przyjmuje się, że są to sygnały o szerokim ale skończonym widmie. Rysunek 5 przedstawia wynik próbkowania trzech przebiegów sinusoidalnych o różnych częstotliwościach (Hz, 1Hz i 4Hz) z częstotliwością f p =1Hz. Można zauważyć, że zaznaczone na rysunku wartości zmierzonych próbek sygnałów są identyczne, zarówno co do czasu jak i wartości chwilowej. Jest to wynik niepoprawnego doboru częstotliwości próbkowania dla przebiegów drugiego i trzeciego nie zostało dla nich spełnione twierdzenia o próbkowaniu. W przypadku niespełnienia twierdzenia o próbkowaniu, ciąg x(n) próbek reprezentujących przebieg sinusoidalny o częstotliwości f Hz może również reprezentować przebiegi o innych częstotliwościach równych f +kf p, będącymi całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości próbkowania: gdzie t p =1/f p. x n) = sin(π f nt ) = sin(π ( f + kf ) nt ) (9) ( p p p 1 Katedra Metrologii AGH
Laboratorium Metrologii Akwizycja sygnałów Rysunek 5 Wynik próbkowania sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach od góry: Hz, 1 Hz, Hz. Czarne słupki oznaczają próbkowanie z częstotliwością f p =1 Hz. Pamiętaj! Podczas próbkowania z szybkością f p próbek na sekundę, jeśli k jest dowolną liczbą całkowitą, nie jesteśmy w stanie rozróżnić spróbkowanych wartości przebiegu sinusoidalnego o częstotliwości f Hz oraz przebiegu sinusoidalnego o częstotliwości (f +kf p ) Hz. 7. Widmo sygnału W praktyce bardzo często spotykamy się z cyfrową reprezentacją sygnałów analogowych. W konsekwencji prowadzi to do konieczności stosowania odpowiednich narzędzi dostosowanych do tego typu sygnałów. Odpowiednikiem transformacji Fouriera dla sygnałów ciągłych jest Dyskretne Przekształcenie Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform DFT): X ( k) = N 1 n= x( n) e π n k j N (9) gdzie x(n) jest n próbką sygnału dyskretnego, k numer prążka (numer składowej częstotliwościowej), N liczba próbek sygnału. W wyniku przekształcenia otrzymujmy N dyskretnych prążków X(k). Innymi słowy, liczba składowych częstotliwościowych otrzymywanych w wyniku przekształcenia jest równa liczbie próbek sygnału, na którym stosowane jest przekształcenie. Szczegółowy opis, właściwości przekształcenia wraz z przykładami obliczeniowymi można znaleźć w [,3]. 11 Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów Laboratorium Metrologii Pamiętaj! W wyniku Dyskretnego Przekształcenia Fouriera wyznaczona liczba składowych częstotliwościowych (prążków) jest równa liczbie próbek sygnału, na którym wykonywane jest przekształcenie. Pojęciem widma posługujemy się w sposób bardzo ogólny za każdym razem, gdy rozważamy dowolnego typu rozwinięcie częstotliwościowe sygnału. W szczególności, bardzo często wykorzystujemy widmo Fouriera. Sygnał w dziedzinie częstotliwości przedstawiany jest zwykle w postaci tak zwanego widma amplitudowego oraz widma fazowego. Widmo amplitudowe sygnału jest to moduł z wyników przekształcenia Fouriera: X ( k) = Re( X ( k)) + Im( X ( k)) (1) Widmo fazowe sygnału definiowane jest jako argument z wyników przekształcenia Fouriera: ( X ( k) ) ( X ( k) ) Im arg( X ( k) ) = arctg (11) Re Pamiętaj! Widmo amplitudowe sygnału jest symetryczne względem f p /. Pamiętaj! Sygnał sinusoidalny w widmie amplitudowym jest reprezentowany przez pojedynczy prążek (rys. ). Jeżeli sygnał jest złożony z sumy sygnałów sinusoidalnych to w widmie każda składowa będzie reprezentowana przez oddzielny prążek. Składowa stała sygnału w widmie amplitudowym ujawnia się zawsze jako prążek zerowy ( Hz). 1 Katedra Metrologii AGH
Laboratorium Metrologii Akwizycja sygnałów Rozdzielczość częstotliwościowa takiego widma wyznaczana jest z zależności: f p Δ f = (1) N gdzie f p jest częstotliwością próbkowania, natomiast N liczbą próbek, z której jest liczone DFT. Należy tutaj podkreślić fakt, iż ze względu na symetrie występujące w DFT (patrz: [], [3]) widmo jest przedstawiane od do f p /. Przykład 1: Kartą pomiarową zarejestrowano 51 próbek sygnału sinusoidalnego o częstotliwości f = Hz, amplitudzie równej 1 V i składowej stałej DC= V. Częstotliwość próbkowania f p wynosiła 56 Hz. Narysuj widmo amplitudowe (w zakresie od do f p /) oraz wyznacz rozdzielczość częstotliwościową widma. Widmo amplitudowe: Ponieważ w sygnale występuje składowa stała, w widmie pojawi się niezerowy prążek dla częstotliwości Hz (prążek zerowy). Dodatkowo uwidoczni się składowa sinusoidalna dla częstotliwości Hz. Wysokość prążków została przeliczona na wartość amplitudy A=*M(k) gdzie M(k) jest wartością k prążka ([] str). Rozdzielczość częstotliwościowa: Δ f = f p 56 = =,5 N 51 Hz 13 Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów Laboratorium Metrologii Przykład : Kartą pomiarową zarejestrowano 51 próbek sygnału sinusoidalnego o częstotliwości f = 456 Hz, amplitudzie równej 1 V. Częstotliwość próbkowania f p wynosiła 56 Hz. Narysuj widmo amplitudowe (w zakresie od do f p /). Widmo amplitudowe: Wybierzmy widmo zawierające częstotliwość równą częstotliwości sygnału czyli prążek 456 Hz. Będzie to widmo w zakresie (f p do f p ) co odpowiada (56 Hz do 51 Hz). Ze względu na symetrię widma Fouriera względem f p / (w naszym wypadku względem 3 f p /) prążek 456 Hz pojawi się w 31 Hz (51Hz 456Hz = 56 Hz czyli prążek pojawi się w 56 Hz + 56 Hz = 31 Hz). Uwzględniając zjawisko powielenia widma, widmo z zakresu f p do f p będzie takie samo jak w zakresie do f p. Podsumowując w zakresie do f p / pojawi się niezerowy prążek dla 56 Hz.. Powielenie widma 1. Symetria względem fp/ 8. Kwantowanie Kwantowanie lub inaczej dyskretyzacja wartości spróbkowanych sygnałów, jest obok próbkowania i kodowania jednym z trzech podstawowych etapów przetwarzania analogowocyfrowego. Polega na przypisaniu zmierzonej amplitudzie skończonej liczby kwantów. Wartość kwantu określa najmniejszy rozróżniany poziomu amplitudy przetwarzanego sygnału. Celem kwantowania jest zastąpienie ciągłego opisu amplitudy, zapisem dyskretnym o ograniczonej liczbie możliwych stanów, który możliwy jest do dalszego przetwarzania w systemach komputerowych. Wartość kwantu zależy od dwóch parametrów: liczby bitów przetwornika A/C (najczęściej od 8b do 4b), która określa liczbę możliwych do rozróżnienia stanów, równą Nbit 14 Katedra Metrologii AGH
Laboratorium Metrologii Akwizycja sygnałów pełnego zakresu pomiarowego, czyli przedziału dopuszczalnej zmienności wielkości przetwarzanej przez przetwornik, definiowanego jako moduł różnicy wartości maksymalnej oraz minimalnej przedziału dopuszczalnej wartości chwilowej sygnału; zakres pomiarowy może być unipolarny (np. przedział od V do 1V pełen zakres 1V) oraz bipolarny (np. przedział od 1V do +1V pełen zakres V). Rozdzielczość przetwornika równa jest wartości kwantu i wyznaczana jest jako iloczyn zakresu pomiarowego oraz liczby rozróżnialnych poziomów: U max U min q = (13) Nbit Przykład 3: Oblicz rozdzielczość 8 bitowego przetwornika a/c pracującego na zakresie 1 V. q = U max min Nbit U = 1 8 = 3.9 mv 9. Kodowanie Ostatnim krokiem przetwarzania analogowo cyfrowego jest kodowanie, podczas którego liczba kwantów odpowiadająca skwantowane wartości chwilowe sygnału, zapisywana jest w postaci słowa binarnego na skończonej liczbie bitów Nbit przy użyciu konkretnego kodu binarnego (dwójkowego). W kodach tych używa się dwóch symboli: 1 (włączony) i (wyłączony). Rozróżnia się dwa szczególne bity w słowach: bit najstarszy lub najbardziej znaczący, który w zapisie znajduje się na skrajnej lewej pozycji oraz bit najmłodszy lub inaczej najmniej znaczący (LSB) ustawiany najbardziej po prawej stronie. Liczba bitów w słowie nazywana jest długością słowa bitowego. Każdy przetwornik analogowo cyfrowy, po kwantyzacji koduje liczbę kwantów do postaci słowa bitowego o odpowiedniej długości oraz z wykorzystaniem odpowiedniego kodu, który wynika z metody przetwarzania lub przewidzianego interfejsu. Etap kodowania ma szczególne znaczenie w przypadku wykorzystywania konkretnych przetworników a/c do projektowania aparatury pomiarowej. W przypadku kart pomiarowych, kodowanie ma mniejsze znaczenie, ponieważ jest ono ukryte przed użytkownikiem i nie ma ono bezpośredniego wpływu na sposób obsługi karty. Rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje reprezentacji dwójkowej: stałoprzecinkową oraz zmiennoprzecinkową. W reprezentacji stałoprzecinkowej, każdy bit w słowie posiada przypisaną wagę. W najprostszym przypadku, kolejnym bitom słowa przypisuje się wagi równe kolejnym potęgom dwójki. Bit najmłodszy ma wagę, kolejny bit 1, itd. Kod ten nazywany jest naturalnym kodem binarnym (NKB) i można go zapisać w postaci równania: a n 1 n... + a + a1 + a + (14) Przykład 4: Zamień na wartość dziesiętną słowo binarne 11 zakodowane w NKB. Słowu binarne 11 zakodowane w naturalnym kodzie dwójkowym ma następującą wartość dziesiętną: 1* 3 + * + * 1 + 1* = 1*8 + *4 + * + 1*1=9 1 15 Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów Laboratorium Metrologii Jeżeli wagi bitów mogą przyjmować wartości ułamkowe, np. poprzez wprowadzenie ujemnego wykładnika potęgi (np. = 1 / 4 ), wówczas możliwe jest kodowanie liczb rzeczywistych. Pozycja przecinka w ciągu binarnym jest stała, ponieważ wagi bitów przypisywane są na stałe. Przykład 5: Zamień na wartość dziesiętną słowo binarne 11 zakodowane w kodzie binarnym z przecinkiem ustalonym po drugim bicie. Wartość dziesiętną można zdekodować następująco: 1* 1 + * + * 1 + 1* = 1* + *1 + * 1 / + 1* 1 / 4 =,5 1 Kodowanie zmiennoprzecinkowe pozwala na znaczne zwiększenie zakresu oraz precyzji kodowanych wartości. W kodowaniu zmiennoprzecinkowym słowo podzielone jest na dwie części: mantysę m oraz wykładnik e. Każdej części przydziela się konkretną liczbę bitów, od której zależą zakres oraz precyzja kodowania. Wartość zakodowanej liczby równa jest iloczynowi mantysy i liczby podniesionej do potęgi wykładnika: e n = m (15) Więcej informacji na temat stosowanych kodów oraz ich właściwości można znaleźć w pracy []. 1. Literatura [1] W. Nawrocki. Komputerowe Systemy Pomiarowe. WKŁ, Warszawa,. [] R. G. Lyons. Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów. WKŁ, Warszawa 1999. [3] T. P. Zieliński. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań. WKŁ, Warszawa, 5. [4] Dokumentacja karty pomiarowej: USER GUIDE AND SPECIFICATIONS NI USB 68/69, http://digital.ni.com/manuals.nsf/websearch/7781f8e689519ed786574116fb9f [5] I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew Matematyka, Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1997 16 Katedra Metrologii AGH