OBLICZANIE KĄTA TARCIA WEWNĘTRZNEGO I SPÓJNOŚCI SKAŁ METODĄ STYCZNEJ DO OBWIEDNI KÓŁ MOHRA W POSTACI PARABOLI

PRACE NAUKOWE GIG GÓRNICTWO I ŚRODOWISKO RESEARCH REPORTS MINING AND ENVIRONMENT Kwartalnik Quarterly /006 Urszula Sanetra, Krzysztof Pacześniowski OBLICZANIE KĄTA TARCIA WEWNĘTRZNEGO I SPÓJNOŚCI SKAŁ METODĄ STYCZNEJ DO OBWIEDNI KÓŁ MOHRA W POSTACI PARABOLI Streszczenie W artykule rzedstawiono najczęściej stosowane metody obliczania kąta tarcia wewnętrznego i sójności skał, a także metodę zaroonowaną rzez autorów. Podstawą tej metody jest rzyjęte założenie, zgodnie z którym obwiednia kół Mohra jest arabolą. Równanie araboli określa się metodą najmniejszych kwadratów, a wartości kąta tarcia i sójności z równania stycznej do tej araboli w zadanym unkcie. Oracowano rogram komuterowy MOHR, według którego oblicza się wartości kątów tarcia i sójności. Przedstawiono również rzykłady raktycznego zastosowania oracowanego rogramu oraz analizę uzyskanych wyników dla kilku rzykładowych skał karbońskich GZW. Badania rowadzono w trójosiowym stanie narężenia, stosując sztywną maszynę, co umożliwiło określenie własności wytrzymałościowych skał zwięzłych (faza rzedkrytyczna) i sękanych (faza okrytyczna). Do analizy wyników wykorzystano omówiony rogram komuterowy. Z równania obwiedni arabolicznej kół Mohra dla danego rodzaju skały metodą stycznych do obwiedni wyznaczono zmianę wartości kąta tarcia wewnętrznego i zmianę sójności w funkcji narężenia normalnego. Calculation of internal friction angle and rock coherence by means of the method tangent to the enveloe of Mohr s circles in the form of a arabola Abstract The article resents the used most frequently method of calculation of the internal friction angle and rock coherence as well as a method roosed by the authors. The basis of this method is the assumtion, in conformity with which the enveloe of Mohr s circles is a arabola. The arabola equation is determined using the least square method, and the values of the friction angle and coherence from the equation of tangent to this arabola in the assigned oint. A MOHR comuter rogram was develoed, according to which we calculate the values of friction angles and coherence. Furthermore, examles of ractical alication of the worked out rogram and analysis of obtained results for several exemlary Carboniferous rocks from the Uer Silesian Coal Basin have been resented. The investigations were conducted in the triaxial stress state, using a rigid machine, which enabled to determine the strength roerties of cohesive rocks (recritical stage) and fissured rocks (ostcritical stage). For the analysis of results the discussed comuter rogram was used. From the equation of the arabolic enveloe of Mohr s circles for the given tye of rock by means of the method of tangent to the enveloe, the change of the internal friction angle and change of coherence in the normal stress function were determined. WPROWADZENIE W rojektowaniu odziemnych robót górniczych niezbędna jest znajomość wartości fizyko-mechanicznych arametrów skał zalegających w warunkach naturalnych, rzede wszystkim wytrzymałości na ściskanie i ścinanie. Zwykle wartości te uzyskuje 3

Mining and Environment się na odstawie badań róbek skalnych w warunkach laboratoryjnych odczas jednoosiowego lub trójosiowego stanu narężenia, rzy czym głębokość zalegania skał symuluje się za omocą ciśnienia okólnego. Na ogół wytrzymałość na ścinanie jest rzedstawiana za omocą dwóch arametrów: kąta tarcia wewnętrznego i sójności. Parametry te są stosowane do określania nośności sągów, wielkości oddziaływania skał na obudowę wyrobisk korytarzowych i wybierkowych, i do obliczania działających ciśnień na obudowę szybów (Borecki, Chudek 97). Są one również wykorzystywane do określania szerokości strefy sękań (Wilson 98, Brady-Brown 985, Duncan Fama 993, Kłeczek 994, Sanetra 004). Znajomość kąta tarcia wewnętrznego i sójności, szczególnie okrytycznej, są konieczne do rojektowania wyrobisk zlokalizowanych oniżej głębokości krytycznej, gdzie wokół nich wytwarza się strefa lastyczna lub strefa sękań.. METODY WYZNACZANIA KĄTA TARCIA WEWNĘTRZNEGO I SPÓJNOŚCI SKAŁ Do wyznaczania kąta tarcia wewnętrznego i sójności c skał najczęściej jest stosowana metoda stycznej do kół Mohra. Polega ona na wykreśleniu, w układzie wsółrzędnych: narężenia ścinającego (rzędna), narężenia normalnego (odcięta), kół Mohra dla znanych wartości narężenia krytycznego i ciśnienia okólnego (Kidybiński 98, Bukowska i inni 998, Majcherczyk 000). Dla uzyskanych kół wyznacza się obwiednię, a nastęnie wykreśla się styczną do obwiedni. Kąt utworzony między styczną i osią odciętych odowiada wartości kąta tarcia wewnętrznego, natomiast odcinek utworzony rzez rzecięcie osi rzędnych styczną jest wartością sójności. Jest to jednak metoda subiektywna. Najbardziej jednoznaczne określenie tych arametrów umożliwiają metody obliczeniowe. Do takich należy metoda, zgodnie z którą w układzie wsółrzędnych, q (Bela i inni 984) są nanoszone kolejne unkty obliczone według wzorów: σ σ 3, gdzie: ołożenie środka koła, q maksymalne narężenie styczne. σ σ q 3 () Dla otrzymanego wykresu unktowego wyznacza się równanie aroksymanty z którego określa się kąt tarcia wewnętrznego q f φ tgα a () i sójności c, według wzorów: arc sin α (3) 4

Górnictwo i Środowisko a c (4) cos W innej metodzie obwiednię granicy wytrzymałości i obwiednię wytrzymałości rezydualnej (resztkowej) w układzie wsółrzędnych, 3 można aroksymować dwoma rostymi (Kovari i inni 983) o równaniu σ m b (5) i b i gdzie: m i tangens kąta nachylenia, b i rzędna unktu rzecięcia wyznaczonej rostej z osią ciśnienie okólne. Parametry m i i b i stosuje się do obliczania wartości kąta tarcia wewnętrznego i i sójności c i według wzorów wynikających z teorii Coulomba: i mi arcsin m i (6) sin c i b i cos i i (7) Według Talobra (Kłeczek 994, Pinińska 998) obwiednię kół Mohra można uznać za krzywą zbudowaną z trzech oddzielnych łuków, rzy czym łuk ierwszy odowiada utracie ciągłości górotworu na drodze oślizgu, łuk drugi odowiada zniszczeniu struktury górotworu rzez kruche ęknięcie, a łuk trzeci odkształceniu lastycznemu. Fairhurst (Kłeczek 994) zaroonował ois obwiedni określającej krytyczny stan górotworu równaniem araboli, której arametrami są wytrzymałość skały na jednoosiowe ściskanie R c i rozciąganie rzy założeniu, że R c / >4. Równanie araboli wyraża wzór R R c r R R (8) r r Kryterium wytrzymałościowe w ostaci obwiedni zaroonowane rzez Brace go (Kłeczek 994) ma ostać: w rzedziale narężeń rozciągających w rzedziale narężeń ściskających σ (9) tgρ (0) 5

Mining and Environment W rzyadku skał karbońskich Górnośląskiego Zagłębia Węglowego do ełnego oisu kryterium wytrzymałościowego można osłużyć się równaniem obwiedni (Kidybiński 98), które ma ostać b τ a σ () gdzie: narężenie styczne, MPa; narężenie normalne, MPa; wytrzymałość na rozciąganie, MPa; a, b wsółczynniki liczbowe (dla węgla kamiennego: a = 8,3; b = 0,364; dla iaskowca a =,3; b = 0,50). Według Dunikowskiego, Kormana i Köhslinga (969) w rzyadku skał kruchych wartość ich sójności można odczytać na osi w miejscu rzecięcia jej ze styczną łączącą koła narężeń rzy jednoosiowym rozciąganiu i jednoosiowym ściskaniu. Kąt tarcia wewnętrznego odczytuje się między tą rostą a osią. W rzyadku skał lastycznych wartość sójności odcina na osi styczna do rostoliniowego odcinka obwiedni, a utworzony rzez nią kąt z osią jest kątem tarcia wewnętrznego. W badaniach iaskowców krośnieńskich, oddanych wysokim ciśnieniom, Łukaszewski (004) do wyznaczania obwiedni wytrzymałościowej, według kryterium Coulomba-Mohra, wykorzystał linię regresji określoną metodą najmniejszych kwadratów.. OBLICZANIE KĄTA TARCIA WEWNĘTRZNEGO I SPÓJNOŚCI SKAŁ METODĄ STYCZNEJ DO OBWIEDNI KÓŁ MOHRA W POSTACI PARABOLI.. Wyznaczanie równania araboli Odległość między zadaną arabolą a okręgiem obliczono wykorzystując schemat rzedstawiony na rysunku. Odległość Odl między środkiem okręgu o romieniu R i wsółrzędnych (, 0) a dowolnym unktem na araboli określonej równaniem = ( ), korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczono z nastęującej zależności Odl ( σ) σ σ σ () Odległość między środkiem okręgu o romieniu R i wsółrzędnych (, 0) a arabolą = ( ) wyznaczono jako minimum funkcji Odl ( ). Obliczono ierwszą ochodną funkcji () i o rzyrównaniu jej do zera otrzymano σ σ σ Rr (3) Odl 6

Górnictwo i Środowisko ( R ) ( ) ( ) (σ Rr σ σ Rys.. Sosób obliczania odległości między arabolą i środkiem okręgu Fig.. Calculation method of distance between the arabola and circle center Z owyższej zależności oraz z rysunku wynika, że odległość Odl, między okręgiem o romieniu R i środku o wsółrzędnych (, 0) a arabolą wynosi Odl σ Rr R (4) Wyznaczenie obwiedni kół Mohra w ostaci równania araboli srowadza się do określenia takiej wartości arametru araboli o równaniu = ( ), dla którego wartość sumy kwadratów odległości Odl, wyznaczonych według wzoru (4), między okręgami (kołami Mohra) o romieniach R i=..n i wsółrzędnych środków (X i=..n ) a arabolą ma minimalną wartość, co można zaisać w ostaci wyrażenia n i gdzie n liczba kół Mohra. σ R i r Ri (5) min.. Wyznaczanie kąta tarcia wewnętrznego i sójności W celu określenia wartości kąta tarcia wewnętrznego i sójności c skały wyznaczono kierunkowe równanie rostej (y = ax + b) stycznej do araboli = ( R ) w unkcie o wsółrzędnych (, r s s = σ s R r ), a nastęnie obliczono ierwszą ochodną rawej strony równania araboli = (6) 7

Mining and Environment Aby rosta była styczna do araboli, musi zachodzić równość gdzie s rzędna unktu styczności. Wartość stałej b w równaniu rostej oblicza się z zależności b τ' a s τ τ s s (7) (8) τ aσ (9) Na odstawie owyższych wzorów, odstawiając od s zadaną wartość narężenia, można obliczyć wartość kąta tarcia wewnętrznego oraz wartość sójności c dla danej róbki skały Znając wartość wsółczynnika kierunkowego a rostej, wyznacza się wartość kąta tarcia wewnętrznego skały z zależności arc tan (a) (0) a wartość sójności c skały z zależności c τ a () σ.3. Program komuterowy MOHR W celu raktycznego wykorzystania oisanej metody oracowano komuterowy rogram o nazwie MOHR (wer. 3.0), który został naisany w języku Visual Basic i racuje w środowisku MS Excel. Program ten na odstawie emirycznych wartości narężeń i 3 ozwala na obliczanie wartości kąta tarcia wewnętrznego i sójności c róbki skały dla zadanych wartości narężenia normalnego n. Informacje wejściowe do rogramu wrowadza się do arkusza DANE. Mogą one być zaisane do bazy danych (arkusz BAZA) stanowiącej integralną część rogramu, a nastęnie w dowolnej chwili użyte onownie do obliczeń. Wyniki obliczeń są rzedstawiane na arkuszu WYNIKI. W arkuszu tym są okazane koła Mohra wraz z obwiednią w ostaci araboli oraz wykres rzedstawiający zmiany wartości kąta tarcia wewnętrznego i sójności w zależności od wartości narężenia. W ostaci tekstowej jest rezentowane równanie araboli oraz wartości kąta tarcia wewnętrznego i sójności dla zadanych wartości narężenia. Arkusz do wrowadzania danych (arkusz DANE) rzedstawiono na rysunku, natomiast rzykładowe wyniki obliczeń (arkusz WYNIKI) na rysunku 3. 8

Górnictwo i Środowisko Rys.. Arkusz wrowadzania danych w rogramie MOHR Fig.. Sheet of data introduction in the MOHR rogram Rys. 3. Arkusz wyników w rogramie MOHR Fig. 3. Sheet of results in the MOHR rogram 9

3. PRZYKŁADY OBLICZENIOWE Mining and Environment Badania laboratoryjne róbek skał, w trójosiowym stanie narężenia, wykonywano w sztywnej maszynie wytrzymałościowej tyu MTS 80 NEW metodą konwencjonalnego ściskania = 3 ze stałą rędkością odkształcenia osiowego έ = 0 5 s, to znaczy rędkością odowiadającą odkształcaniu się skał w sąsiedztwie wyrobisk eksloatacyjnych oraz rzygotowawczych (Kwaśniewski 986), rzy zadanym ciśnieniu okólnym od 0 do 70 MPa. W badaniach stosowano komorę ciśnieniową 70 MPa, tyu KTK rodukcji UNIPRESS oraz komresor tyu U umożliwiający utrzymywanie stałego ciśnienia odczas badania. Przykładowe wyniki badań dwóch karbońskich iaskowców średnioziarnistych oraz dwóch węgli kamiennych, które wystęują w Górnośląskim Zagłębiu Węglowym: iaskowca ze strou okładu 07 w koalni Piast (róbka ), iaskowca ze sągu okładu 49 w koalni Sośnica (róbka ), węgla z okładu 50/I w koalni Polska Wirek (róbka 3), węgla z okładu 50 w koalni Niwka Modrzejów (róbka 4) oraz równania arabolicznych obwiedni kół Mohra dla skał zwięzłych ( = ( n )) i sękanych ( = n obliczono za omocą rogramu komuterowego MOHR i zestawiono w tablicy. Tablica.. Zestawienie równań arabolicznej obwiedni kół Mohra dla skał zwięzłych i sękanych Ty skały Numer róbki kr, MPa rzy = 0 MPa Skała zwięzła Skała sękana Piaskowiec średnioziarnisty 6,,4 = 36,8 ( n +,00) = 6,96 ( n + 8,60) = 8,6 n = 3,7 n Węgiel 3 4 4,4 48,0 =,90 ( n +,) = 4,6 ( n +,0) = 6,38 n =,64 n Znając równanie araboli obliczono zmianę wartości kąta tarcia wewnętrznego w funkcji narężenia normalnego n dla zwięzłych i sękanych iaskowców średnioziarnistych (rys. 4 i 5) oraz węgli (rys. 6 i 7). Podobnie można obliczyć zmianę sójności w funkcji narężenia normalnego. Zależność między kątem tarcia wewnętrznego a narężeniem normalnym dla badanych skał zarówno zwięzłych (faza rzedkrytyczna), jak i sękanych (faza okrytyczna) w zakresie stosowanego ciśnienia okólnego (0 70 MPa) najleiej oisuje funkcja otęgowa (tabl. ).

Górnictwo i Środowisko φzw, stonie 60 55 50 45 40 35 5 0 5 0 0 5 50 75 00 5 50 75 00 5 σ n, MPa Rys. 4. Zależność φzw = f( n) dla iaskowców średnioziarnistych:, numery róbek jak w tablicy, φzw kąt tarcia wewnętrznego skały zwięzłej, n narężenie normalne Fig. 4. Relationshi φzw = f(σn) for medium granular sandstones:, samle numbers as in Table, φzw internal friction angle of cohesive rock, σn normal stress 45 40 35 φzw, stonie 5 0 5 0 0 5 50 75 00 5 50 75 σ n, MPa Rys. 5. Zależność φs = f( n) dla iaskowców średnioziarnistych:, numery róbek jak w tablicy, φzw kąt tarcia wewnętrznego skały zwięzłej, n narężenie normalne Fig. 5. Relationshi φs = f(σn) for medium granular sandstones:, samle numbers as in Table, φzw internal friction angle of cohesive rock, σn normal stress 3

Mining and Environment 50 φzw, stonie 45 40 35 5 0 5 0 5 0 0 5 50 75 00 5 50 75 00 5 n, M Pa 4 3 Rys. 6. Zależność φzw = f( n) dla węgli: 3, 4 numery róbek jak w tablicy, φzw kąt tarcia wewnętrznego skały zwięzłej, n narężenie normalne Fig. 6. Relationshi φzw = f(σn) for coals: 3, 4 samle numbers as in Table, φzw internal friction angle of cohesive rock, σn normal stress 40 35 φs, stonie 5 0 5 0 5 4 3 0 0 5 50 75 00 5 50 75 n, MPa Rys. 7. Zależność φs = f( n) dla węgli: 3, 4 numery róbek jak w tablicy, φzw kąt tarcia wewnętrznego skały zwięzłej, n narężenie normalne Fig. 7. Relationshi φs = f(σn) for coals: 3, 4 samle numbers as in Table, φzw internal friction angle of cohesive rock, σn normal stress Tablica. Zależność między kątem tarcia wewnętrznego a narężeniem normalnym zwięzłych i sękanych iaskowców oraz węgli Ty skały Numer róbki Skała zwięzła Skała sękana Piaskowiec średnioziarnisty φ zw = 4,83 n 0,4 φ zw = 8,78 n 0,3 φ s = 4,80 n 0,44 φ s = 9,8 n 0,44 Węgiel 3 4 φ zw = 09,6 n 0,4 zw = 3,43 n 0,40 φ s = 97,9 n 0,46 φ s = 06,33 n 0,45 Zastosowany rogram umożliwia uzyskanie wykresu zależności kąta tarcia wewnętrznego i sójności od narężenia normalnego równocześnie dla skały zwięzłej, 3

Górnictwo i Środowisko jak i sękanej. Przykładowo na rysunku 8 rzedstawiono zależność = f( n ) odowiednio dla zwięzłego i sękanego iaskowca średnioziarnistego (róbka ) oraz węgla (róbka 4). 70 70 60 60,, stonie 50 40 0 a, stonie, stonie 50 40 0 a 0 0 0 50 00 50 00 50 0 σ n, MPa PIASKOWIEC ŚREDNIOZIARNISTY b 0 0 0 5 50 75 00 5 50 σ n, MPa WĘGIEL Rys. 8. Kąt tarcia wewnętrznego skały zwięzłej i sękanej jako funkcja narężenia normalnego: a skała zwięzła, b skała sękana Fig. 8. Internal friction angle of cohesive and fissured rocks as a function of normal stress: a cohesive rock, b fissured rock b PODSUMOWANIE Przedstawiona metoda obliczania kąta tarcia wewnętrznego i sójności c skały, za omocą stycznych do obwiedni kół Mohra w ostaci araboli, ozwala w jednoznaczny sosób obliczyć te arametry dla różnych wartości narężenia normalnego. Dzięki temu można orównywać ze sobą wartości i c dla róbek ochodzących z tej samej skały, jak i ochodzących z różnych skał. Program komuterowy MOHR, którego algorytm bazuje na oisanej metodzie, umożliwia na odstawie emirycznych wartości narężeń i 3 skały, szybko i jednoznacznie obliczać wartości kąta tarcia wewnętrznego i sójności c dla zadanych wartości narężenia normalnego n (Sanetra 005). Umożliwia również zaisywanie informacji wejściowych do bazy danych oraz ich óźniejsze wykorzystanie do rzerowadzenia owtórnych obliczeń. Literatura. Bela i inni (984): Geotechnika laboratorium z mechaniki gruntów. Skryty uczelniane nr 97. Gliwice, Politechnika Śląska.. Brady B.H.G., Brown E.T. (985): Rock Mechanics for Underground Mining. London, George Allen & Unwin (Publishers) Ltd., s. 03 06. 3. Bukowska M., Sanetra U., Szedel D. (998): Wyznaczanie kąta tarcia wewnętrznego i kohezji dla róbek skalnych badanych w konwencjonalnym ściskaniu w sztywnej maszynie wytrzymałościowej. V Konferencja Naukowo-Techniczna TĄPANIA 98 nt.: Bezieczne rowadzenie robót górniczych, Katowice, GIG. 33

Mining and Environment 4. Duncan Fama M.E. (993): Numerical Modeling of Yield Zones in Weak Rock. Comrehensive Rock Engineering. Vol., Analysis and design methods, s. 49 75. 5. Dunikowski A., Korman St., Köhsing J. (969): Laboratoryjne badania wskaźników fizyko-mechanicznych. Przegląd Górniczy nr, s. 53 58. 6. Kidybiński A. (98): Podstawy geotechniki koalnianej. Katowice, Wydaw. Śląsk. 7. Kłeczek Z. (994): Geomechanika górnicza. Katowice, Śląskie Wydaw. Techniczne. 8. Kovari K., Tisa A., Einstein H.H., Franklin J.A. (983): Suggested methods for determining the strength of rock materials in triaxial comression: revised version. Int. J. Rock. Mech. Mining Sci. & Geomech. Abstr. Vol. 0 No 6, s. 83 90. 9. Kwaśniewski M. (986): Wływ stanu narężenia, temeratury i rędkości odkształcania na mechaniczne własności skał. Archiwum Górnictwa T. 3, z., s. 383 45. 0. Łukaszewski P. (004): Struktura uwarunkowania wytrzymałości iaskowców krośnieńskich z Mucharza oddanych wysokim ciśnieniom. XXVII Zimowa Szkoła Mechaniki Górotworu. Kraków, AGH 004, s. 5 60.. Majcherczyk T. (000): Zarys fizyki skał i gruntów budowlanych. Biblioteka Szkoły Eksloatacji Podziemnej, Seria z Lamką Górniczą nr 5.. Pinińska J. (998): Badania wytrzymałościowe zbiornikowych skał węglanowych i klastycznych dla celów inżynierii złożowej. XXI Zimowa Szkoła Mechaniki Górotworu. Kraków, AGH, s. 367 378. 3. Sanetra U. (994): Wływ ciśnienia bocznego na własności mechaniczne skał Górnośląskiego Zagłębia Węglowego w warunkach trójosiowego ściskania. Prace Naukowe Instytutu Geotechniki i Hydrotechniki Politechniki Wrocławskiej nr 65, seria Konferencje nr 33, s. 83 9. 4. Sanetra U. (00): Kąt tarcia wewnętrznego i sójność skał zwięzłych i sękanych. Warsztaty górnicze nt. Problematyka inżynierska z zakresu ochrony terenów górniczych. Symozja i konferencje nr 55. Kraków, IGSMiE PAN, s. 393 404. 5. Sanetra U. (004): Określenie nośności filarów oorowych w stanie okrytycznym na odstawie badań trójosiowego ściskania karbońskich róbek skalnych. Katowice, GIG (Praca doktorska). 6. Sanetra U. (005): Kąt tarcia wewnętrznego skał zalegających na różnej głębokości. Bezieczeństwo Pracy i Ochrona Środowiska w Górnictwie nr 6 (), s. 54 56. 7. Wilson A.H. (98): Soft Rock Proerties and Strata Control. Comrehensive Rock Engineering. Vol. : Analysis and design methods, s. 585 6. Recenzent: rof. dr hab. inż. Antoni Kidybiński 34