Statystyki teoriografowe grafów funkcjonalnych w sieciach neuronowych Wydział Matematyki i Informatyki, UMK 2011-12-21
1 Wstęp Motywacja 2 Model 3 4 Dalsze plany Referencje
Motywacja 1 Wstęp Motywacja 2 Model 3 4 Dalsze plany Referencje
Motywacja Wstęp Motywacja Skąd się wzięły grafy losowe? Siatka Pełny
Motywacja Wstęp Motywacja Model losowy (ER) i Alberty-Barabasiego [1], Charakterystyki grafów losowych, Siatka + losowe zmiany: Losowy ER:
Motywacja Wstęp Motywacja Potęgowy rozkład stopni grafu, Stany krytyczne skomplikowanych układów, Graf Alberty Barabasiego
Motywacja Wstęp Motywacja Aktywność mózgowa (fmri) w trakcie prostych czynności [3], Aktywność sieciach neuronowych?
Nasz wkład Wstęp Motywacja Analiza przepływu aktywności w grafach pełnych (Filip Piękniewski)...... oraz rzadkich zanurzonych w R 3 (JP), Model przepływu aktywności pomiędzy jednostkami, Analiza rozkładu stopni (bezskalowość), charakterystycznej długości ścieżek i klasteryzacji (graf małego świata) uzyskanej sieci.
Model 1 Wstęp Motywacja 2 Model 3 4 Dalsze plany Referencje
Model Wstęp Model Jednostki rozmieszczone losowo na S 2, Abstrakcyjny poziom aktywności σ i (ładunek, spin), Połączenia synaptyczne zależne od geometrycznej lokalizacji, { d(u, v) α d(u, v) 1 P({u, v} E) = 1 wpw, α < 1 losowe wagi synaps w ij, Energia układu: E( σ) = (u,v) E w u,v σ v σ u
Dynamika Wstęp Model Wybieramy parę neuronów u, v V połączonych synapsą {u, v} E, taką że σ u 1, Dokonujemy transferu jednej jednostki ładunku z u do v, σ u := σ u 1, σ v := σ v + 1, Jeżeli powoduje to spadek energii układu, to akceptujemy zmianę, Jeżeli powoduje wzrost o E, to akceptujemy z prawdopodobieństwem P(u v) = exp( β E) i odrzucamy wpw. Kończymy po osiągnięciu stanu stabilnego, wracamy do 1.
Ewolucja sieci Hopfielda Model click
Graf aktywności funkcjonalnej Model Zapamiętujemy dokonane transfery przez krawędź d uv, Wybieramy wszystkie neurony, V 1 = V, Krawędzie powyżej progu E 1 = {e = {u, v} E : d uv + d vu θ}, Graf aktywności funkcjonalnej = G 1 := (V 1, E 1 )
Graf aktywności funkcjonalnej Model Losowy Erdős-Rényi ego: Uzyskany graf:
1 Wstęp Motywacja 2 Model 3 4 Dalsze plany Referencje
w grafie P(deg in (v) = k)
10 3 Degree distribution 12k 28k 78k 10 5 CCDF 12k 28k 78k 10 4 10 2 10 3 Counts Counts 10 2 10 1 10 1 10 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Degree 10 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Complementary Cumulative Degree Distribution
Średnica grafu / charakterystyczna długość ścieżki D = max u,v V L = avg u,v V min u=p 1,p 2,...,p n=v:(p i,p i+1 ) E) min u=p 1,p 2,...,p n=v:(p i,p i+1 ) E) p 1..p n p 1..p n
Charakterystyczna i maksymalna długość ścieżki 7 6 APL = - 2.5 APL = -3.5 MPL = -2.5 MPL = -3.5 5 diameter 4 3 2 1 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 neurons
C(u) = {e = (w, v) : e E (w, u) E (v, u) E} {(w, v) : (w, u) E (v, u) E} C = 1 C(u) V u V
10 3 Clustering coefficient 28k 10 2 Counts 10 1 10 0 10-3 10-2 10-1 10 0 Clustering
path-length ratio clustering ratio small-world-ness indicator λ = L REAL L TEO γ = C REAL C TEO σ = γ λ
Stosunek długości ścieżki 5 L real L teo 4 3 Length 2 1 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 Neurons
Stosunek długości klasteryzacji 10 0 c real c teo 10-1 10-2 Clustering 10-3 10-4 10-5 10-6 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 Neurons
Wsk. małego świata 10 2 = / 10 1 10 0 10-1 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 Neurons
ER {e C : v R n Adj v = Adj e} 10 3 10 2 10 1 eig i 10 0 10-1 10-2 10-3 10 0 10 1 10 2 i 10 3 10 4
Typowe spektrum grafu aktywności funkcyjnej 6 10 5 10 all eigenvalues in linear segment 4 10 3 10 2 10 eig i 10 1 0 10-1 10 range = 1000.. 23000 = 68.53 % -2 10-3 10-4 10 100 101 102 i 103 104 10 5
Ewolucja spektrum w trakcie dynamiki 5000 lower bound i1 upper bound i2 segment length i2-i 1 4000 3000 index 2000 1000 0 0 20 40 simulation 60 80 100 progress [%]
Ewolucja spektrum w trakcie dynamiki click
Rozkład stopni Network Size α Notes Source Brain fmri 31k 2.0 r c = 0.6 Eguiluz [3] Brain fmri 17k 2.1 r c = 0.7 Eguiluz [3] Brain fmri 4.8k 2.2 r c = 0.8 Eguiluz [3] Cortex 54 1.34 k α e k/kc He et al. [5] Ising model 40k 2 T = 2.3 (crit.) Fraiman et al. [4] Simplified model 58k 2.098 S 2 Piersa et al. [6]
Długość ścieżki Network Size L real L rand Notes Source Brain fmri 31k 11.4 3.9 r c = 0.6 Eguiluz [3] Brain fmri 17k 12.9 5.3 r c = 0.7 Eguiluz [3] Brain fmri 4.8k 6.0 6.0 r c = 0.8 Eguiluz [3] Cortex 54 3.05 2.65 He et al. [5] Human fmri 90 2.82 2.94 Basset Bullmore [2] Ising model 40k 6.8 2.71 T = 2.3 (crit.) Fraiman et al. [4] Simplified model 50k 2.89 2.71 S 2, d = 2.5 Piersa [7]
Klasteryzacja Wstęp Network Size C real C rand Notes Source Brain fmri 31k 0.14 4.3 10 4 r c = 0.6 Eguiluz [3] Brain fmri 17k 0.13 3.7 10 4 r c = 0.7 Eguiluz [3] Brain fmri 4.8k 0.13 8.9 10 4 r c = 0.8 Eguiluz [3] Cortex 54 0.3 0.13 He et al. [5] Human fmri 90 0.25 0.12 Basset Bullmore [2] Ising model 40k 0.516 0.048 T = 2.3 (crit.) Fraiman et al. [4] Simplified model 50k 0.18 2.4 10 3 S 2, d = 2.5 Piersa
Plany Wstęp Dalsze plany Referencje Rozprawa doktorska! Odporność na szumy i awarie, Dynamika i analiza na ewoluującej sieci, Analiza asymetrycznych grafów przepływu aktywności.
Referencje I Wstęp Dalsze plany Referencje R. Albert, A. L. Barabasi, Statistical mechanics of complex networks, Reviews of modern physics, Vol 74, January 2002 D. S. Bassett E. Bullmore Small-World Brain Networks, The Neuroscientist, Volume 12, Number 6, 2006 V. Eguiluz, D. Chialvo, G. Cecchi, M. Baliki, V. Apkarian Scale-free brain functional networks, Physical Review Letters, PRL 94 018102, JAN 2005, D. Fraiman, P. Balenzuela, J. Foss, D. R. Chialvo, Ising-like dynamics in large-scale functional brain networks, Physical Review E, Volume 79, Issue 6, doi:10.1103/physreve.79.061922, June 2009.
Referencje II Wstęp Dalsze plany Referencje Y. He, Z. J. Chen, A. C. Evans, Small-World Anatomical Networks in the Human Brain Revealed by Cortical Thickness from MRI, Cerebral Cortex October 2007;17:2407-2419. J. Piersa, F. Piekniewski, T. Schreiber, Theoretical model for mesoscopic-level scale-free self-organization of functional brain networks, IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 21, no. 11, November 2010 J. Piersa Diameter of the spike-flow graphs of geometrical neural networks, accepted for postproceedings 9th International Conference on Parallel Processing and Applied Mathematics, serie Lecture Notes on Computer Science, September 2011.
Referencje III Wstęp Dalsze plany Referencje D. Watts, S. Strogatz Collective dynamics of small-world networks, Nature, vol 393, 4 June 1998, pp. 440-442.
Podziękowania Dalsze plany Referencje Autor pragnie podziękować projektowi PL-Grid za dostęp do infrastruktury obliczeniowej. Praca finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego z grantu DEC-2011/01/N/ST6/01931.