WYDZIAŁ MATEMATYKI INFORMATYKI I MECHANIKI UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO SPRAWDZIAN DLA POWRACAJĄCYCH NA STUDIA NA WYDZIALE MIM Opracował zespól pracowników Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Rok akademicki 2000/2001 1 KIERUNEK INFORMATYKA WSTĘP DO TEORII MNOGOŚCI 1. Relacja równoważności i jej własności. 2. Porządki częściowe i ich własności. 3. Indukcja. H.Rasiowa Wstęp do matematyki współczesnej ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ 1. Liczby szczególne występujące w kombinatoryce. 2. Równania rekurencyjne i funkcje tworzące. 1
3. Drzewa i cykle w grafach. 4. Liczby pierwsze i ich własności. 5. Dyskretne zmienne losowe i ich rozkłady. W. Lipski Kombinatoryka dla programistów T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L.Rivest Wprowadzenie do algorytmów ANALIZA MATEMATYCZNA 1. Ciągłość funkcji i najważniejsze własności funkcji ciągłych. 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej, interpretacja geometryczna i mechaniczna. 3. Twierdzenie o wartości średniej w rachunku różniczkowym funkcji jednej zmiennej, jego interpretacja geometryczna i niektóre konsekwencje (monotoniczność, wklęsłość, wypukłość, szacowanie przyrostów). 4. Wzór Taylora dla funkcji jednej zmiennej, zastosowania do rachunków przybliżonych, rozwijanie funkcji w szeregi potęgowe. 5. Pojęcie zbieżności ciągów liczbowych i funkcyjnych, twierdzenia o przejściu do granicy pod znakiem pochodnej i całki. 6. Ekstrema funkcji. 7. Funkcja pierwotna, całka oznaczona. Zastosowania geometryczne. 8. Całka Riemanna. F.Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ALGEBRA LINIOWA I JEJ METODY OBLICZENIOWE 1. Definicja grupy i grupy przemiennej. 2. Przestrzeń liniowa nad ciałem K. Baza przestrzeni liniowej. 3. Rozwiązywanie układów równań liniowych. 4. Numeryczna poprawność, numeryczna stabilność i uwarunkowanie zadania. 2
A.Kiełbasiński - Notatki do wykładu (Można otrzymać w kiosku na terenie Wydziału) METODY NUMERYCZNE 1. Interpolacja i aproksymacja numeryczna - przykłady. 2. Metody numeryczne rozwiązywania układów równań algebraicznych liniowych. J.M. Jankowscy, M.Dryja Przegląd metod i algorytmów numerycznych WSTĘP DO PROGRAMOWANIA 1. Reprezentacja w pamięci danych typów prostych i złożonych. 2. Arytmetyka stałopozycyjna i zmiennopozycyjna. 3. Rekurencja i jej realizacja. 4. Mechanizmy strukturalizacji programów. L.Banachowski, A.Kreczmar Elementy analizy algorytmów T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L.Rivest Wprowadzenie do algorytmów N.Wirth Wstęp do programowania systematycznego METODY PROGRAMOWANIA 1. Listy, drzewa i ich zastosowania. 2. Stosy i kolejki. 3. Metody przeszukiwania grafów. Zastosowania. 4. Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne). T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L.Rivest Wprowadzenie do algorytmów ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH 1. Kryteria oceny efektywności algorytmów. 3
2. Podstawowe algorytmy sortowania. 3. Słowniki i metody ich realizacji. 4. Kolejki priorytetowe i metody ich realizacji. N.Wirth Wstęp do programowania systematycznego SEMANTYKA I WERYFIKACJA PROGRAMÓW 1. Weryfikacja poprawności programów. Metoda niezmienników. Logika Hoare a. 2. Przekazywanie parametrów w procedurach i reguły widoczności zmiennych. M.Gordon Denotacyjny opis języków programowania JĘZYKI, AUTOMATY I OBLICZENIA 1. Automaty skończone i wyrażenia regularne. 2. Gramatyki bezkontekstowe i automaty ze stosem. 3. NP-zupełność. J.E.Hopcroft, J.D.Ullman Wprowadzenie do teorii automatów, języków i obliczeń PROGRAMOWANIE OBIEKTOWE 1. Pojęcia klasy i obiektu. Przykład klasy i kilku obiektów tej klasy. 2. Dziedziczenie. Przykład hierarchii klas. 3. Metody wirtualne. Przykład ilustrujący ich użyteczność. 4. Konstruktory i destruktory. Rodzaje konstruktorów w C++. P.Coad, J Nicolla Programowanie obiektowe BAZY DANYCH 1. Struktura relacyjnej bazy danych. 4
2. Zależności funkcyjne zbiorów atrybutów. 3. Spójność referencyjna baz danych. 4. Podstawowe konstrukcje języka SQL. 5. Trzecia postać normalna baz danych. J.Ullman, J.Vidom Podstawowy wykład baz danych PROGRAMOWANIE WSPÓŁBIEŻNE 1. Poprawność programu współbieżnego. 2. Klasyczne problemy współbieżności (problem rejonu krytycznego, problem producenta-konsumenta, czytelników i pisarzy, 5 filozofów) i przykłady ich rozwiązania. Ben-Ari Programowanie współbieżne i rozproszone SYSTEMY OPERACYJNE 1. Mechanizmy sprzętowe potrzebne do realizacji wielodostępnych, wieloprocesowych systemów operacyjnych. 2. Pamięć wirtualna. Cechy charakterystyczne różnych technik realizacji pamięci wirtualnej. 3. Algorytmy szeregowania procesów. 4. Funkcje systemowe do obsługi plików z poziomu użytkownika (czynności wykonywane przez system operacyjny, struktury danych). A.Silberschatz, P.B.Galvin podstawy systemow operacyjnych 2 KIERUNEK MATEMATYKA WSTĘP DO MATEMATYKI 1. Relacje równoważności, klasy abstrakcji. Jaki związek łączy relacje równoważności w zbiorze z podziałami tego zbioru? 5
2. Relacja (częściowego) porządku. 3. Równoliczność zbiorów. Co to znaczy, że moc zbioru A jest mniejsza od mocy zbioru B? Przykłady zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych. Czy każdy zbiór nieprzeliczalny jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych? Czy istnieje zbiór o największej mocy? 4. Obraz i przeciwobraz wyznaczony przez funkcję, własności. Rozdzielność funkcji obrazu (przeciwobrazu) względem działań na zbiorach. H.Rasiowa Wstęp do matematyki współczesnej ANALIZA MATEMATYCZNA 1. Ciągi liczb rzeczywistych. Zbieżność ciągu, warunek Cauchy ego, zupełność zbioru liczb rzeczywistych. 2. Szeregi liczbowe i funkcyjne, zbieżność bezwzględna, warunkowa, jednostajna. Przykłady kryteriów zbieżności i ich zastosowań. 3. Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji i odwzorowań. Twierdzenie o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na przedziale domkniętym. 4. Pochodna funkcji. Pochodne cząstkowe. Obliczanie pochodnych. 5. Twierdzenia o wartości średniej rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej (twierdzenie Rolle a i Lagrange a). Przykład zastosowania. 6. Szeregi potęgowe; przedział zbieżności, różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego, przykłady. 7. Ekstrema funkcji: (a) jednej zmiennej; (b) wielu zmiennych. Warunki konieczne i dostateczne. 8. Całka funkcji jednej zmiennej. Całka nieoznaczona i oznaczona. Zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego. Obliczanie całek funkcji jednej i wielu zmiennych. 6
F.Leja Rachunek różniczkowy i całkowy GAL 1. Rozwiązywanie układów równań liniowych. Elementarne operacje na macierzach, metoda eliminacji Gaussa. Twierdzenia Kroneckera - Cappelli ego i Cramera. 2. Ciała: definicja, przykłady. Liczby zespolone: własności, postać trygonometryczna, pierwiastkowanie, zasadnicze twierdzenie algebry. 3. Przestrzenie liniowe: definicja, przykłady. Układy liniowo niezależne, bazy, wymiar przestrzeni liniowej. 4. Przekształcenia liniowe: definicja, przykłady, macierz przekształcenia liniowego. 5. Przestrzenie własne i wartości własne endomorfizmów liniowych, sposoby ich znajdowania. Podobieństwo macierzy, diagonalizowalność, postać Jordana macierzy, twierdzenie Jordana. 6. Rząd, wyznacznik i ślad macierzy. Sposoby obliczania. Przykłady zastosowań. 7. Iloczyny skalarne: definicja, przykłady, kryterium Sylvestera. Przestrzenie euklidesowe. Izometrie. Maria Moszyńska, Joanna Święcicka Geometria z algebrą liniową Andrzej Białynicki - Birula Algebra liniowa z geometrią WSTĘP DO INFORMATYKI 1. Problem algorytmiczny i jego rozwiązanie. Przykłady. 2. Funkcje i procedury rekurencyjne. Przykłady. 3. Metoda programowania dziel i rządź. Zastosowania. 4. Sposoby reprezentacji grafu, przeszukiwanie grafu wszerz i w głąb. Zastosowania. 5. Złożoność obliczeniowa algorytmu. 6. Co wiesz o hipotezie P NP? 7
7. Reprezentacja i arytmetyka liczb rzeczywistych w komputerze. Niklas Wirth Algorytmy + struktury danych = programy ALGEBRA 1. Pojęcia grupy, podgrupy, homomorfizmu i izomorfizmu grup. Przykłady grup (grupy permutacji, grupy izometrii, grupy macierzy), twierdzenie Cayley a. 2. Związki pomiędzy rzędem grupy i rzędami podgrup, twierdzenia Lagrange a, Cauchy ego i Sylowa. 3. Pierścienie: definicja i przykłady. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierwsze i maksymalne. 4. Dzielniki zera, elementy odwracalne w pierścieniach. Konstrukcja ciała ułamków dziedziny całkowitości. 5. Konstrukcje ilorazowe na przykładzie grup i pierścieni. Twierdzenia o izomorfizmie. J.Browkin Wybrane zagadnienia z algebry J.Browkin Teoria ciał A.Białynicki - Birula Zarys algebry TOPOLOGIA 1. Pojęcie przestrzeni topologicznej. Topologia przestrzeni. Czy każda topologia pochodzi od jakiejś metryki? 2. Definicja ciągłości funkcji dla przestrzeni metrycznych i dla przestrzeni topologicznych. Równoważność tych definicji w przypadku przestrzeni metrycznych. 3. Przestrzenie zwarte: definicja, przykłady. Metryczny warunek zwartości. Zwarte podzbiory przestrzeni R n, funkcje ciągłe określone na przestrzeni zwartej. 4. Przestrzenie metryczne zupełne: definicje, przykłady. Czy przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna, czy przestrzeń zupełna i ograniczona jest zwarta (dlaczego tak/nie)? 8
5. Spójność i łukowa spójność przestrzeni topologicznych. Czy któraś z tych własności implikuje drugą? 6. Homeomorficzność przestrzeni topologicznych, przykłady. K. Jänich Topologia RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Istnienie rozwiązań równań różniczkowych. Zagadnienie Cauchy ego, istnienie rozwiązań lokalnych, jednoznaczność rozwiązań, przykłady. 2. Przedłużalność rozwiązań. Zachowanie rozwiązania przy przedłużaniu. 3. Własności rozwiązań układów równań liniowych. Rozwiązania układu jednorodnego, przestrzeń rozwiązań, układ fundamentalny, wyznacznik Wrońskiego, konstrukcja rozwiązania układu niejednorodnego. 4. Układy liniowe o stałych współczynnikach. Konstrukcja rozwiązań, wykorzystanie postaci Jordana macierzy. I.Pietrowski Równania różniczkowe zwyczajne RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Przestrzeń probabilistyczna. Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. 2. Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. Przykłady zastosowań obu wzorów. 3. Niezależność zdarzeń i zmiennych losowych. Model probabilistyczny dla ciągu niezależnych doświadczeń. Schemat Bernoulliego i twierdzenie Poissona. 4. Zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa. Dystrybuanty, gęstości. Typy rozkładów (dyskretne, ciągłe). Parametry rozkładów (wartość oczekiwana i wariancja). 5. Ważniejsze rozkłady prawdopodobieństwa (Bernoulliego, Poissona, wykładniczy, gaussowski). Przykłady zagadnień, w których pojawiają się poszczególne rozkłady. 9
6. Twierdzenia graniczne: prawa wielkich liczb, twierdzenie de Moivre a - Laplace a i centralne twierdzenie graniczne. Przykłady zastosowań. S.Zubrzycki Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej MATEMATYKA OBLICZENIOWA 1. Numeryczne rozkłady macierzy: trójkątno-trójkątny (LU) i ortogonalnotrójkątny (QR). Zastosowania do rozwiązywania układów równań algebraicznych liniowych. Koszt, własności numeryczne. 2. Normy wektorowe i macierzowe oraz ich własności. Wrażliwość numerycznych rozwiązań układu równań liniowych na zaburzenia danych. 3. Metody numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych skalarnych. Szybkość i warunki zbieżności tych metod. 4. Metody numerycznego rozwiązywania zagadnienia własnego macierzy symetrycznej. Zbieżność i koszt tych metod. 5. Kwadratury interpolacyjne i złożone dla numerycznego całkowania funkcji jednej zmiennej. Zbieżność kwadratur złożonych. 6. Interpolacja. Aproksymacja w przestrzeniach unitarnych oraz jednostajna. Zastosowania w matematyce obliczeniowej. J.M.Jankowscy, M.Dryja Przegląd metod i algorytmów numerycznych TI,II 10