ALGEBRA I ANALIZA Treść:. WraŜenia algeraizne. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Nazwanie wraŝeń algeraiznh. -------------------------------------------------------------------------------------------------------. Olizanie wartośi sum algeraiznej. ---------------------------------------------------------------------------------------------------. Prawa działań na lizah. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Porządkowanie jednomianów. MnoŜenie jednomianów. -----------------------------------------------------------------------------------. Redukja wrazów podonh sum algeraiznej. --------------------------------------------------------------------------------------. Dodawanie i odejmowanie sum algeraiznh. ------------------------------------------------------------------------------------------. MnoŜenie jednomianów i sum algeraiznh. ------------------------------------------------------------------------------------------ 9. Dzielenie sum algeraiznej przez jednomian. ----------------------------------------------------------------------------------------- 0. MnoŜenie dwóh sum algeraiznh. -----------------------------------------------------------------------------------------------------. Potęgowanie i pierwiastkowanie jednomianów. ---------------------------------------------------------------------------------------- 9. Potęgowanie sum algeraiznh. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 Wzor skróonego mnoŝenia. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 9. Włązanie wspólnego znnika przed nawias. ----------------------------------------------------------------------------------------- 0. Równania. Metoda rozwiązwania równań. ----------------------------------------------------------------------------------------------- 0 Pojęia związane z równaniami. -------------------------------------------------------------------------------------------------- 0 Rodzaje równań. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Rozwiązwanie równań. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Równania sprzezne i toŝsamośiowe. --------------------------------------------------------------------------------------- Równania w postai proporji. ----------------------------------------------------------------------------------------------------. Nierównośi. Rozwiązwanie nierównośi. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Metoda rozwiązwania nierównośi. --------------------------------------------------------------------------------------------. Przekształanie wzorów. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Układ równań. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Układ równań liniowh z dwoma niewiadommi. --------------------------------------------------------------------------- Rozwiązwanie układów równań. Metoda podstawiania. ------------------------------------------------------------------- 9 Rozwiązwanie układów równań. Metoda przeiwnh współznników. ----------------------------------------------- 0 Układ oznazon, nieoznazon i sprzezn. --------------------------------------------------------------------------------. Funkje. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Dziedzina, argument, przeiwdziedzina, wartośi, ziór wartośi funkji. ---------------------------------------------------- Przkład funkji i przporządkowań, które nie są funkjami. --------------------------------------------------------- Sposo przedstawiania funkji lizowh. --------------------------------------------------------------------------------- Własnośi funkji lizowh. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 9. RóŜne rodzaje funkji lizowh. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Funkja liniowa. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Funkja kwadratowa. Paraola. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Proporjonalność prosta. Wielkośi wprost proporjonalne. ------------------------------------------------------------- 0 Proporjonalność odwrotna. Wielkośi odwrotnie proporjonalne. ---------------------------------------------------- - zagadnienie elementarne - zagadnienie wkrazająe poza program
ANALIZA I ALGEBRA. WraŜenia algeraizne. Określenie: WraŜeniem algeraiznm nazwam takie działanie, w którm niektóre liz mogą ć ukrte pod smolami literowmi. Przkład: Rodzaje wraŝeń algeraiznh: Jednomian. Jednomianem nazwam wraŝenie algeraizne w postai iloznu. W jednomianie nie wstępuje działanie dodawania ani odejmowania. Za najprostsz jednomian uznawana jest pojednza liza (np. jednomian ) lu liza ukrta pod smolem literowm (np. jednomian ). Przkład: a a z a ( s ) t a a a z, Dwumian. Dwumianem nazwam wraŝenie algeraizne w postai sum dwóh jednomianów. Przkład: 9 Trójmian. Trójmianem nazwam wraŝenie algeraizne w postai sum trzeh jednomianów. Przkład: Suma algeraizna. Wielomian. Sumą algeraizną (wielomianem) nazwam wraŝenie algeraizne w postai sum jednomianów (dwumian i trójmian są sumami algeraiznmi). Przkład:. Nazwanie wraŝeń algeraiznh. A nazwać wraŝenie algeraizne naleŝ uŝć odpowiednih nazw działań: DODAWANIE SUMA POTĘGA STOPNIA DRUGIEGO KWADRAT ODEJMOWANIE RÓśNICA POTĘGA STOPNIA TRZECIEGO SZEŚCIAN MNOśENIE ILOCZYN POTĘGA STOPNIA n. DZIELENIE ILORAZ PIERWIASTEK STOPNIA n. Nazwanie wraŝenia rozpoznam od nazw działania, które, zgodnie z kolejnośią wkonwania działań, wkonwane ło na samm końu. Potem określam po kolei element tego działania. Przkład: W wraŝeniu algeraiznm wstępują dwa działania: dodawanie i potęgowanie. Najsłaszm działaniem jest dodawanie, wię wraŝenie algeraizne nazwiem: sumą. Po lewej stronie znaku znajduje się liza, a po prawej stronie znaku znajduje się działanie, w którm liza jest podniesiona do kwadratu. Tak wię wraŝenie moŝem określić jako: Suma liz i kwadratu liz a t W wraŝeniu algeraiznm wstępują trz działania: odejmowanie, mnoŝenie i dzielenie. Najsłaszm działaniem jest dzielenie (gdŝ liznik i mianownik są zamknięte w niewidoznh nawiasah), wię wraŝenie algeraizne nazwiem: ilorazem. W lizniku ułamka znajduje się działanie odejmowania: po lewej stronie znaku znajduje się kolejne działanie mnoŝenie pomiędz lizami i, a po prawej stronie znaku znajduje się liza. W mianowniku znajduje się liza t. Tak wię wraŝenie moŝem określić jako: ( )( ) Iloraz róŝni iloznu liz i i liz przez lizę t a W wraŝeniu algeraiznm wstępują trz działania: odejmowanie, mnoŝenie i dodawanie. Najsłaszm działaniem jest mnoŝenie (gdŝ jest to jedne działanie nie znajdująe się w nawiasie), wię wraŝenie algeraizne nazwiem: iloznem. Cznnikami w tm iloznie są dwa działania znajdująe się w nawiasah: po lewej stronie znajduje się odejmowanie pomiędz lizami i a, a po prawej stronie znajduje się dodawanie pomiędz lizami i. Tak wię wraŝenie moŝem określić jako: Ilozn róŝni liz i a i sum liz i
W nazwaniu wraŝeń algeraiznh mogą dodatkowo pojawić się następująe określenia: liza o n większa, liza o n mniejsza, liza k raz większa, liza k raz mniejsza, proent liz, liza większa o proent, liza mniejsza o proent, krotność liz, połowa liz, stosunek liz, średnia artmetzna liz. Przkład: Liza o większa od liz : Liza o mniejsza od kwadratu : ( ) Liza raz większa od sum liz i Liza osiem raz mniejsza od sześianu liz k: 0% liz : 0% Liza o % większa od a: a % a k Liza o 0% mniejsza od : 0% Liza dwukrotnie większa od t: Liza trzkrotnie mniejsza od : Siódma wielokrotność liz d: Połowa sum liz i : Stosunek liz v i t: v t t d Średnia artmetzna liz i : Średnia artmetzna liz a, i 0: a 0. Olizanie wartośi sum algeraiznej. A olizć wartość lizową wraŝenia algeraiznego naleŝ w miejse smoli literowh wstawić konkretne liz (podane w zadaniu) i wkonać działanie zgodnie z kolejnośią ih wkonwania. Przkład: Oliz wartość lizową wraŝenia algeraiznego, dla. 9 UWAGA! Przed olizeniem wartośi powinno się doprowadzić wraŝenie do najprostszej postai.. Prawa działań na lizah. Prawa działań na lizah to sposo, które umoŝliwiają wkonanie działania inazej niŝ nakazuje to definija działania lu zasada kolejnośi wkonwania działań. WróŜniam kilka rodzajów praw działań: Prawo przemiennośi: Prawo pozwalająe na zamianę miejsami elementów działania. Prawo jest prawdziwe dla działania dodawania i mnoŝenia. Prawo przemiennośi dodawania: Dla dowolnh dwóh liz a i prawdziwa jest równość: a a Na przkład: W działaniu moŝna zamienić miejsami liz, a otrzman wnik ędzie taki sam: (wnikiem ou działań jest ). Prawo przemiennośi mnoŝenia: Dla dowolnh dwóh liz a i prawdziwa jest równość: a a
Na przkład: W działaniu moŝna zamienić miejsami liz, a otrzman wnik ędzie taki sam: (wnikiem ou działań jest 0). Pozostałe działania nie są przemienne. Przkładowo działanie potęgowania nie jest przemienne, o ( 9 ). Prawo łąznośi: Prawo pozwalająe na wkonanie działania, złoŝonego z kilku takih samh działań, w dowolnej kolejnośi. Prawo jest prawdziwe dla działania dodawania i mnoŝenia. Prawo łąznośi dodawania: Dla dowolnh trzeh liz a, i prawdziwa jest równość: Na przkład: Działanie 9 moŝna wkonać od lewej do prawej, zli zgodnie z kolejnośią wkonwania działań: ( ) 9 9. MoŜna teŝ wkonać od prawej do lewej, zli: ( 9). Prawo łąznośi mnoŝenia: Dla dowolnh trzeh liz a, i prawdziwa jest równość: ( a ) a ( ) a a ( a ) a ( ) Na przkład: Działanie moŝna wkonać od lewej do prawej, zli zgodnie z kolejnośią wkonwania działań: ( ). MoŜna teŝ wkonać od prawej do lewej, zli: ( ). Pozostałe działania nie są przemienne. Przkładowo działanie odejmowania nie jest przemienne, o: powinno ć wkonwane jako ( ). Jeśli zmienić kolejność i wkonać to działanie od prawej do lewej wnik ł niepoprawn: ( ). Prawo rozdzielnośi: Z prawem rozdzielnośi mam do znienia zęsto w stuaji, gd działanie składa się z dwóh działań elementarnh, z którh jedno ( słasze ) znajduje się w nawiasie natomiast drugie ( silniejsze ) znajduje się poza nawiasem. Wówzas wkonujem działanie silniejsze nad kaŝdm z elementów działania w nawiasie. Prawo rozdzielnośi mnoŝenia względem dodawania: Dla dowolnh trzeh liz a, i prawdziwa jest równość: a ( ) a a Na przkład: Działanie ( ) powinno się wkonwać zgodnie z kolejnośią działań jako: ( ). Jednak moŝna równieŝ wkonać je stosują prawo rozdzielnośi: ( ). Wnik jest ten sam. Prawo rozdzielnośi mnoŝenia względem odejmowania: Dla dowolnh trzeh liz a, i prawdziwa jest równość: a ( ) a a Na przkład: Działanie ( ) powinno się wkonwać zgodnie z kolejnośią działań jako: ( ) 0. Jednak moŝna je równieŝ wkonać stosują prawo rozdzielnośi: ( ) 0. Wnik jest ten sam. Prawo rozdzielnośi dzielenia względem dodawania (prawostronne): Dla dowolnh trzeh liz a, i ( róŝne od 0) prawdziwa jest równość: ( a ) : a : : lu a a Przkład: Zgodnie z kolejnośią działań: (0 ) : :. Stosują prawo rozdzielnośi: (0 ) : 0 : :. Prawo rozdzielnośi dzielenia względem odejmowania (prawostronne): Dla dowolnh trzeh liz a, i (róŝne od 0) prawdziwa jest równość: ( a ) : a : : lu a a Przkład: Zgodnie z kolejnośią działań: ( ) : :. Stosują prawo rozdzielnośi: ( ) : : :. UWAGA! Lewostronne prawa rozdzielnośi dzielenia względem dodawania i odejmowania nie są prawdziwe!!! Czli: a : a : a : oraz a : ( ) a : a :. ( ) Prawo rozdzielnośi potęgowania względem mnoŝenia (prawostronne): Dla dowolnh dwóh liz a i oraz liz naturalnej n prawdziwa jest równość: n n n ( a ) a Przkład: Zgodnie z kolejnośią działań: ( ) Stosują prawo rozdzielnośi: ( ) 9.
Prawo rozdzielnośi potęgowania względem dzielenia (prawostronne): Dla dowolnh dwóh liz a i (liza róŝna od zera) oraz liz naturalnej n prawdziwa jest równość: n n n n a a a : a : lu n ( ) n Przkład: Zgodnie z kolejnośią działań: (0 : ) Stosują prawo rozdzielnośi: (0 : ) 0 : 00 :. UWAGA! Lewostronne prawa rozdzielnośi potęgowania względem mnoŝenia i dzielenia nie są prawdziwe!!! Czli: n n ( n k ) n k a a a oraz k a a. k Prawo rozdzielnośi pierwiastkowania względem mnoŝenia (prawostronne): Dla dowolnh dwóh liz nieujemnh a i oraz liz naturalnej n prawdziwa jest równość: n a n a n Przkład: Zgodnie z kolejnośią działań: Stosują prawo rozdzielnośi: Prawo rozdzielnośi pierwiastkowania względem dzielenia (prawostronne): Dla dowolnh dwóh liz nieujemnh a i (liza róŝna od zera) oraz liz naturalnej n prawdziwa jest równość: n n a : a : n lu n a n n a Przkład: Zgodnie z kolejnośią działań: : Stosują prawo rozdzielnośi: : : :.. Porządkowanie jednomianów. MnoŜenie jednomianów. Jednomian w postai uporządkowanej powinien wglądać w następują sposó: a Znak jednomianu Współznnik lizow jednomianu Cznniki literowe jednomianu i ih stopnie Ustawienie poszzególnh znników podlega następująm zasadom: Jeśli w jednomianie wstępuje znak, to powinien znajdować się na pozątku jednomianu. W jednomianie uporządkowanm znak moŝe wstąpić tlko jeden raz. ŹLE: ( ) DOBRZE: W jednomianie moŝe wstępować tlko jeden współznnik lizow. Miejse współznnika lizowego w jednomianie uporządkowanm znajduje się na pozątku (ewentualnie wraz ze znakiem ). W przpadku, gd w jednomianie wstępuje kilka współznników lizowh naleŝ je pomnoŝć przez sieie. ŹLE: ( ) DOBRZE: W jednomianie uporządkowanm znnik literow nie moŝe się powtórzć. W stuaji, gd pewien znnik literow powtarza się, naleŝ ilozn th znników zastąpić potęgowaniem. ŹLE: a a DOBRZE: a
W jednomianie uporządkowanm znniki literowe powinn ć ułoŝone alfaetznie. ŹLE: a DOBRZE: a W jednomianie uporządkowanm nie powinn wstępować działania w nawiasah. NaleŜ je zlikwidować stosują odpowiednie prawa. ŹLE: ( ) DOBRZE: Przkład: Uporządkuj jednomian: ( a) W podanm przkładzie naleŝ zastosować wszstkie zasad wpisane powŝej. Najpierw przesuwam znak do przodu. Następnie mnoŝm współznniki lizowe (liz i ). Kolejn krok to uporządkowanie alfaetzne znników literowh (najpierw a później ) oraz zastąpienie trzeh znników zawierająh literę, jednm wraŝeniem ędąm potęgą liz.. ( a) a MnoŜenie jednomianów to działanie, które w efekie sprowadza się do th samh znnośi, na jakih opierała się zasada porządkowania jednomianów. Przkład: PomnóŜ jednomian,, Zapisujem działanie mnoŝenia uzskują w ten sposó wnik w postai nieuporządkowanego jednomianu. Następnie wkonujem znnośi zgodne z zasadą porządkowania jednomianów: ( ). Redukja wrazów podonh sum algeraiznej. Suma algeraizna to wraŝenie algeraizne w postai sum jednomianów. KaŜd jednomian sum algeraiznej nazwam wrazem.. a a 0 wraz wraz wraz wraz PowŜej zapisano wraŝenie algeraizne złoŝone z ztereh wrazów: a pierwsz wraz sum algeraiznej, a drugi wraz sum algeraiznej, trzei wraz sum algeraiznej (współznnik lizow jest ujemn i dlatego w sumie algeraiznej pojawia się działanie odejmowania), 0 zwart wraz sum algeraiznej, Wraz podone sum algeraiznej. Wrazami podonmi sum algeraiznej nazwam te wraz, które nie róŝnią się znnikami literowmi ani ih stopniem (potęgami). Mogą róŝnić się współznnikami lizowmi i ih znakiem. Wrazami podonmi w sumie algeraiznej zapisanej poniŝej są i oraz para i. Wraz podone podkreślam w podon sposó. wraz podone wraz podone
Redukja wrazów podonh. Wraz podone sum algeraiznej moŝna dodawać lu odejmować. Działanie wkonuje się tlko na współznnikah lizowh (znniki literowe zostają niezmienione). W przkładzie zapisanm powŝej, w wniku redukji wrazów podonh otrzmam: PoniewaŜ w wniku redukji wrazów i otrzman wnik wnosi, moŝna go zapisać w skróie jako (współznnika lizowego równego nie musim zapiswać przed jednomianem). MoŜe zdarzć się stuaja, Ŝe wraz podone wzajemnie redukują się do zera. Podzas wkonwania redukji wrazów podonh moŝna je smoliznie skreślić, a w wniku nie zapisujem liz 0, ha, Ŝe zredukowan wielomian nie posiada ani jednego wrazu. Przkład: a a a a a a a. Dodawanie i odejmowanie sum algeraiznh. Działanie dodawania i odejmowania sum algeraiznh jest związane z umiejętnośią usuwania nawiasów. Zasada usuwania nawiasów mówi, Ŝe: Jeśli, wkonują dodawanie lu odejmowanie sum algeraiznh, w działaniu napotkam nawias, przed którm nie ma Ŝadnego znaku działania (nawias rozpozna wraŝenie algeraizne), to nawias ten moŝna zlikwidować nie dokonują Ŝadnh zmian w wrazah sum znajdująej się w nawiasie. Jeśli, wkonują dodawanie lu odejmowanie sum algeraiznh, w działaniu napotkam nawias, przed którm znajduje się znak dodawania, to nawias ten moŝna zlikwidować nie dokonują Ŝadnh zmian w wrazah sum znajdująej się w nawiasie. Jeśli, wkonują dodawanie lu odejmowanie sum algeraiznh, w działaniu napotkam nawias, przed którm znajduje się znak, to nawias ten moŝna zlikwidować, ale wszstkie znaki w sumie algeraiznej, która znajdowała się w nawiasie naleŝ zmienić na znaki, natomiast wszstkie znaki w sumie algeraiznej, która znajdowała się w nawiasie naleŝ zmienić na znaki. Przkład: ( ) ( ) ( 0 ) 0 znaki nie zmienił się znaki nie zmienił się znaki zmienił się na przeiwne Przkład: ( a ) ( a ) ( a ) a a a. MnoŜenie jednomianów i sum algeraiznh. A pomnoŝć jednomian i sumę algeraizną naleŝ wkonać działanie zgodnie z prawem rozdzielnośi mnoŝenia względem dodawania (lu odejmowania). MnoŜą poszzególne wraz korzstam z zasad dotząh porządkowania jednomianów. Przkład: ( ) ( ) ( ) a a a a a
9. Dzielenie sum algeraiznej przez jednomian. A podzielić sumę algeraizną przez jednomian naleŝ wkonać działanie zgodnie z prawem rozdzielnośi dzielenia względem dodawania lu odejmowania. Dzielą poszzególne wraz wkonujem działanie osono na współznnikah lizowh, osono na znnikah literowh. Przkład: ( 0) : : : : : 0a a a : : a UWAGA! Gd dzielenie jest zapisane w postai kreski ułamkowej, NIE WOLNO skraać! 0. MnoŜenie dwóh sum algeraiznh. A pomnoŝć dwie sum algeraizne przez sieie, naleŝ skorzstać z prawa rozdzielnośi mnoŝenia względem dodawania i odejmowania i pomnoŝć kaŝd wraz pierwszej sum przez kaŝd wraz drugiej sum algeraiznej. MnoŜą poszzególne wraz korzstam z zasad dotząh porządkowania jednomianów. Po wkonaniu mnoŝenia warto zredukować wraz podone. Przkład: ( )( ) 0 0 ( )( ) a a a 9 a a 9a a 9a a
. Potęgowanie i pierwiastkowanie jednomianów. A podnieść do potęgi jednomian, naleŝ skorzstać z prawa rozdzielnośi potęgowania względem mnoŝenia, to znaz podnieść do potęgi kaŝd z znników jednomianu z osona. Przkład: ( ) Pierwiastkują jednomian naleŝ pierwiastkować osono kaŝd z znników jednomianu zgodnie z prawem rozdzielnośi, pamiętają teŝ o odpowiednih prawah dotząh potęgowania i pierwiastkowania. Przkład: 9. Potęgowanie sum algeraiznh. A podnieść do potęgi sumę algeraizną, naleŝ zamienić potęgowanie na mnoŝenie (zgodnie z definiją potęgi o wkładniku naturalnm). Przkład: ( ) ( )( ) 9 9 ( a ) ( a )( a ) a a a a a Wzor skróonego mnoŝenia. A uprośić potęgowanie sum algeraiznh moŝna zastosować wzor skróonego mnoŝenia: ( a ) a a ( a ) a a - wzór na kwadrat sum. - wzór na kwadrat róŝni. W zastosowaniu jest jeszze jeden wzór upraszzają mnoŝenie: ( a )( a ) a - wzór na ilozn róŝni i sum th samh wraŝeń. Inne wzor skróonego mnoŝenia stosowane w nauzaniu matematki w szkole średniej: ( a ) a a a ( a ) a a a - wzór na sześian sum. - wzór na sześian róŝni. 9
. Włązanie wspólnego znnika przed nawias. Włązanie wspólnego znnika przed nawias to znność odwrotna do mnoŝenia jednomianu przez sumę algeraizną. A z sum algeraiznej włązć moŝliwie najlepsz wspóln znnik przed nawias, naleŝ wkonać znnośi: znajdujem największ wspóln dzielnik wszstkih współznników lizowh wstępująh w sumie Przkład: algeraiznej. Np. w sumie algeraiznej 0 współznniki lizowe to:, i 0. Największm wspólnm dzielnikiem th liz jest liza. sprawdzam, z we wszstkih wrazah sum algeraiznej znajduje się taki sam znnik literow. Np. w sumie algeraiznej 0 takim znnikiem jest (znajduje się w kaŝdm z wrazów). tworzm jednomian, któr zostanie włązon przed nawias z wspólnego dzielnika i wspólnh znników literowh. Np. w sumie algeraiznej 0 przed nawias zostanie włązon jednomian. Zapisujem wnik, jako ilozn wranego jednomianu oraz sum algeraiznej, która jest wnikiem dzielenia wjśiowej sum przez ten jednomian. Np. suma algeraizna znnika przed nawias przjmie postać iloznową: ( ). 0 po włązeniu wspólnego a a( a ) 0 0 0 0 ( ) a 9 Łatwo sprawdzić, Ŝe włązanie wspólnego znnika przed nawias to znność odwrotna do mnoŝenia jednomianu przez sumę algeraizną: MnoŜenie jednomianu przez sumę ( 9 ) 0 0 Włązanie znnika przed nawias. Równania. Metoda rozwiązwania równań. Pojęia związane z równaniami: Równaniem nazwam dwa wraŝenia algeraizne połązone znakiem równośi. ( ) Niewiadoma Niewiadoma. KaŜdą lizę w równaniu ukrtą pod smolem literowm nazwam niewiadomą. Rozwiązanie równania. Rozwiązaniem równania nazwam taką lizę (lu liz), które spełniają to równanie, to znaz powodują, Ŝe lewa strona równania przjmuje taką samą wartość o prawa strona równania. Np. rozwiązaniem równania Lewa strona Znak równośi Prawa strona 0 jest liza, gdŝ wstawiona w miejse niewiadomej spełnia to równanie. Sprawdzenie: 0 0 0 0 L P Pierwiastek równania. Pierwiastek równania, to inna nazwa liz ędąej rozwiązaniem tego równania. 0
Rozwiązwanie równania. Rozwiązwanie równania to proes, któr ma na elu znalezienie rozwiązania równania. W rozwiązwaniu równania naleŝ posłuŝć się odpowiednią metodą rozwiązwania. Równania równowaŝne. Dwa równania (lu więej) uznajem za równowaŝne, jeśli mają takie samo rozwiązanie (lu ziór rozwiązań). Np. Równania równowaŝne to: 0 i ( ) 9, o rozwianiem ou równań jest liza. Rodzaje równań: Podział równań ze względu na ilość niewiadomh. W zaleŝnośi od ilośi niewiadomh równania dzielim na: równania z jedną niewiadomą. Np.: ( ), a a, itd równania z dwoma niewiadommi. Np.:,, równania z trzema niewiadommi. Np.: z itd równania z wieloma niewiadommi. s t itd Podział równań ze względu na rodzaj najsilniejszh działań wstępująh w równaniu. W zaleŝnośi od rodzaju najsilniejszego działania w równaniu równania dzielim na: równania pierwszego stopnia, zli równania liniowe (zawierają tlko podstawowe działania mnoŝenie, dodawanie, odejmowanie). Np.: ( ), itd, równania drugiego stopnia, zli równania kwadratowe (z niewiadomą podnoszoną do kwadratu). Np.: 0, itd, równania trzeiego stopnia (z niewiadomą podnoszoną do potęgi trzeiej). Np.: 0 itd, równania wŝszh stopni. równania wmierne (główne działanie to dzielenie). Np.: 0,, równania wkładnize (niewiadoma ukrta w wkładniku potęgi). Np.: 0 równania trgonometrzne (niewiadoma uwikłana w funkje trgonometrzne). Np.: sin os, inne równania. Rozwiązwanie równań: Metoda równań równowaŝnh. Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą rozwiązuje się metodą równań równowaŝnh. Poszzególne etap metod zostaną opisane na przkładzie zadania: Przkład: RozwiąŜ równanie metodą równań równowaŝnh: ( ) ( ) ( ) ( ) Etap. Doprowadzenie stron równania do najprostszej postai. PoniewaŜ strona lewa i strona prawa równania to wraŝenia algeraizne moŝna doprowadzić je do prostszej postai posługują się odpowiednimi prawami działań na wraŝeniah algeraiznh. W efekie otrzmam prostsze równanie równowaŝne pierwszemu. W równaniu, które naleŝ rozwiązać w tm przkładzie moŝna wkonać mnoŝenia, usunąć nawias i zredukować wraz podone: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 9 Etap. MoŜna udowodnić, Ŝe gd dodam do ou stron równania jakąś lizę lu wraŝenie, to otrzmam równanie równowaŝne danemu. Podonie gd odjąć od ou stron równania jakąś lizę lu wraŝenie, to otrzmam równanie równowaŝne danemu. MoŜna to spostrzeŝenie wkorzstać, na tm etapie rozwiązwania przenieść niektóre wraz z lewej stron równania na prawą lu z prawej stron równania na lewą. Podzas przenoszenia wrazów ulega zmianie znak tego wrazu. Przjmuje się zasadę, Ŝe wraz zawierająe niewiadomą powinn zostać przeniesione na stronę lewą równania, a wraz wolne ( samotne liz) przenosi się na stronę prawą. Zasada ta nie zawsze musi ć przestrzegana. Fakt przenoszenia wrazów zapisujem ook równania odkreślają działanie pionową kreską. Po przeniesieniu wrazów moŝna wkonać redukję wrazów podonh. 9 9 9
Etap. W tm momenie równanie ma juŝ ardzo prostą postać i znalezienie wartośi niewiadomej nie powinno stanowić większego prolemu. Do tego elu moŝna teŝ wkorzstać spostrzeŝenie, Ŝe gd pomnoŝm oie stron równania przez jakąś lizę (róŝną od zera), to otrzmam równanie równowaŝne danemu. Podonie gd podzielić oie stron równania przez jakąś lizę (róŝną od zera), to otrzmam równanie równowaŝne danemu. MoŜna ten fakt wkorzstać, na tm etapie rozwiązwania pozć się współznnika, któr znajduje się prz niewiadomej. W tm elu dzielim oie stron równania przez ten współznnik. Fakt dzielenia zapisujem ook równania odkreślają działanie pionową kreską. : Równanie zostało rozwiązane. Rozwianiem równania (pierwiastkiem równania) jest liza. Etap końow. Sprawdzenie. Po rozwiązaniu równania warto wkonać sprawdzenie, zli sprawdzić z liza wstawiona w miejse niewiadomej spełnia to równanie. Spr.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 L P Przkład: RozwiąŜ równanie metodą równań równowaŝnh: ( 9) Równanie, które naleŝ rozwiązać zawiera kilka wraŝeń w postai ułamka. Istnieje sposó, któr pozwala na zlikwidowanie wszstkih ułamków (zwkłh lu dziesiętnh) w równaniu. W tm elu naleŝ pomnoŝć oie stron równania przez wspóln mianownik wszstkih ułamków. MnoŜenie takie wkonujem mnoŝą kaŝd wraz w tm równaniu. ( 9) ( ) 9 Teraz wkonujem kolejne znnośi opisane w etapah pierwszm, drugim i trzeim. ( ) 9 9 9 9 9 9 : Przkład: RozwiąŜ równanie metodą równań równowaŝnh: ( 0, ),, 0, 0, W równaniu, które naleŝ rozwiązać wstępuje sporo ułamków dziesiętnh. MoŜna je zlikwidować mnoŝą stron przez lizę 0, 00, 000 itd w zaleŝnośi od rodzaju ułamków dziesiętnh wstępująh w równaniu. Warto wześniej wkonać działania, które powodują oeność w równaniu smoli nawiasów. W przkładzie powŝej wkonujem mnoŝenie. 0, 0, 0,,, Po zlikwidowaniu nawiasu moŝna pomnoŝć stron równania przez 0, pozć się liz w postai ułamka dziesiętnego. 0, 0, 0,,, 0
Teraz rozwiązujem równanie zgodnie z opisanmi wześniej etapami. 9 : ( ) Równania sprzezne i toŝsamośiowe. Równanie sprzezne. Równaniem sprzeznm nazwam równanie, które nie ma rozwiązania (Ŝadna liza nie spełnia tego równania). Przkład: ( ) ( ) 0 SPRZECZNOŚĆ (RÓWNANIE SPRZECZNE) Równanie musim uznać za sprzezne, gdŝ w efekie rozwiązwania go metodą równań równowaŝnh otrzmaliśm równość zawsze fałszwą. Równanie toŝsamośiowe. Równaniem toŝsamośiowm nazwam równanie, którego rozwiązaniem jest kaŝda liza rzezwista (wszstkie liz spełniają to równanie). Przkład: ( ) ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 TOśSAMOŚĆ (RÓWNANIE TOśSAMOŚCIOWE) Równanie musim uznać za toŝsamośiowe, gdŝ w efekie rozwiązwania go metodą równań równowaŝnh otrzmaliśm równość zawsze prawdziwą. Równania w postai proporji: Proporja. Proporją nazwam równość dwóh stosunków. Proporja jest równaniem w postai: a d WraŜenia ukrte pod smolami a i d nazwam wrazami skrajnmi. WraŜenia ukrte pod smolami i nazwam wrazami środkowmi. Twierdzenie o wrazah proporji: W proporji ilozn wrazów skrajnh jest równ iloznowi wrazów środkowh. Czli: ad Twierdzenie to wkorzstuje się prz rozwiązwaniu równań w postai proporji.
Przkład: RozwiąŜ proporję: Korzstam z twierdzenia o wrazah proporji i otrzmujem równanie, które rozwiązujem zgodnie z metodą równań równowaŝnh. Podzas rozwiązwania zadań tekstowh z uŝiem proporji najzęśiej zapisuje się informaje o wielkośiah proporjonalnh za pomoą taeli. Stosuje się wówzas zmodfikowaną wersję twierdzenia o wrazah proporji, które moŝna zapisać smoliznie: JeŜeli, to. W postai taeli informaji: Jeśli, to Analogiznie moŝna zapisać to twierdzenie jeszze w kilku postaiah: JeŜeli, to. W postai taeli informaji: Jeśli, to JeŜeli, to. W postai taeli informaji: Jeśli, to JeŜeli, to. W postai taeli informaji: Jeśli, to Najzęśiej tą metodę wkorzstuje się w zadaniah dotząh olizeń proentowh: Przkład: RozwiąŜ zadanie: W worah do samorządu na Janka oddano głos, o stanowiło 0% wszstkih oddanh głosów. Oliz, ile wszstkih głosów oddano w th worah? Układam odpowiednią talię informaji: głos 0% głosów 00% głosów Stosujem odpowiednie działanie wnikająe z twierdzenia o wrazah proporji: 0 0% 00% Odpowiedź: W worah oddano 0 głosów. ( )( ) ( ) 9 : d d d a d a d a d a a a d d d a d a a d a d a a
. Nierównośi. Rozwiązwanie nierównośi. Nierównośią nazwam dwa wraŝenia algeraizne połązone znakiem nierównośi. Dwa znaki nierównośi: znak większośi znak mniejszośi Znaki łąząe nierówność i równanie: znak większe lu równe znak mniejsze lu równe Rozwiązanie nierównośi. Rozwiązaniem nierównośi nazwam ziór takih liz, które spełniają tą nierówność, to znaz powodują, Ŝe lewa strona nierównośi ma większą wartość (mniejszą wartość) niŝ prawa strona nierównośi. PrzewaŜnie rozwiązaniem nierównośi ziór nieskońzon, któr jest podziorem liz rzezwisth zwanm przedziałem. Np.: Rozwiązaniem nierównośi > jest ziór wszstkih liz większh od. Rozwiązaniem nierównośi < jest ziór wszstkih liz mniejszh od. Rozwiązanie nierównośi moŝna zaprezentować grafiznie, rsują odpowiedni przedział na osi lizowej, oraz za pomoą przedziału lizowego (stosują odpowiedni zapis smolizn). Np.: Rozwiązanie nierównośi > prezentuje rsunek: Smol pustego kółezka w miejsu, gdzie na osi lizowej znajduje się liza oznaza, Ŝe liza nie jest rozwiązaniem tej nierównośi. Rozwiązaniami są wszstkie liz większe od, a wię na przkład:,,,,, 000, 90... 0 Rozwiązanie tej nierównośi zaprezentowane za pomoą przedziału:, ( ) Np.: Rozwiązanie nierównośi < prezentuje rsunek: Smol pustego kółezka w miejsu, gdzie na osi lizowej znajduje się liza oznaza, Ŝe liza nie jest rozwiązaniem tej nierównośi. Rozwiązaniami są wszstkie liz mniejsze od, a wię na przkład:,,,9,, 00,... 00 Rozwiązanie tej nierównośi zaprezentowane za pomoą przedziału: (, ) Np.: Rozwiązanie nierównośi prezentuje rsunek: Smol zamalowanego kółezka w miejsu, gdzie na osi lizowej znajduje się liza oznaza, Ŝe liza teŝ jest rozwiązaniem tej nierównośi. Rozwiązaniami są wszstkie liz większe od oraz liza, a wię na przkład: 9,,,,,, 0,, 000,... 0 Rozwiązanie tej nierównośi zaprezentowane za pomoą przedziału:, )
Np.: Rozwiązanie nierównośi 0 prezentuje rsunek: 0 Smol zamalowanego kółezka w miejsu, gdzie na osi lizowej znajduje się liza 0 oznaza, Ŝe liza 0 teŝ jest rozwiązaniem tej nierównośi. Rozwiązaniami są wszstkie liz mniejsze od 0 oraz liza 0, a wię na przkład: 99 0, 9, 9, 9,,, 0,, 9... 00 Rozwiązanie tej nierównośi zaprezentowane za pomoą przedziału: (, 0 Metoda rozwiązwania nierównośi: Metoda rozwiązwania nierównośi liniowh z jedną niewiadomą jest ardzo podona do metod równań równowaŝnh. Rozwiązwanie przeiega w identzn sposó. Kolejne etap: Etap : Doprowadzam oie stron nierównośi do najprostszej postai. Etap : Przenosim wraz zawierająe niewiadomą na lewą stronę nierównośi, a wraz wolne na prawą. Etap : Dzielim stron nierównośi przez współznnik prz niewiadomej. UWAGA!!! Dzielą lu mnoŝą stron nierównośi przez lizę ujemną naleŝ zmienić znak nierównośi na przeiwn! Znak większośi zamieniam na znak mniejszośi. Znak mniejszośi zamieniam na znak większośi. Znak większe lu równe zamieniam na znak mniejsze lu równe. Znak mniejsze lu równe zamieniam na znak większe lu równe. Przkład: ( ) ( ) > ( ) ( ) > > > > < : ( ) (, ). Przekształanie wzorów. Wzor to równania, za pomoą którh przedstawion jest sposó olizania danej wielkośi (np. pola, owodu figur, przspieszenia iała, sił, prędkośi, natęŝenia prądu, mas molowej itd ). Istnieją wzor matematzne, fizzne oraz inne, które moŝna spotkać równieŝ w pozostałh naukah śisłh. Większość wzorów ma postać równania, w którm lewą stronę stanowi jednie smol literow określają prezentowaną wzorem wielkość, natomiast strona prawa to działanie, w którm pojawiają się liz stałe oraz zmienne (miejsa do wstawiania odpowiednih danh lizowh). Przekształenie wzoru, to szereg znnośi, które powodują, Ŝe z lewej stron znika smol literow określają prezentowaną wzorem wielkość, a w jego miejse pojawi się litera, którą mam wznazć, a która wześniej znajdowała się ze stron prawej wzoru. Wówzas wzór zmienia równieŝ swą nazwę i przeznazenie. Przekształają wzór wkonujem te same znnośi, które oowiązwał podzas rozwiązwania równań, prz zm wznazan parametr traktujem tak, jak ła to liza niewiadoma: Jeśli prawa strona wzoru zawiera wraŝenie zapisane za pomoą kreski ułamkowej, pozwam się ułamka, mnoŝą wzór przez mianownik (moŝe ć to smol literow lu nawet ałe wraŝenie algeraizne). Jeśli we wzorze wstępuje kilka ułamków, stron wzoru mnoŝm przez wspóln mianownik (lu przez ilozn wszstkih mianowników). Wkonujem wszstkie działania, które moŝna wkonać w ramah prawej stron wzoru. Przenosim ze zmienionm znakiem na lewą stronę wraz zawierająe niewiadomą (wznazan parametr), a pozostałe wraz na stronę prawą. MoŜna w tm miejsu ułatwić soie praę zamieniają stron wzoru. W stuaji, gd niewiadoma (wznazan parametr) wstępuje w kilku wrazah włązam ją przed nawias jako wspóln znnik. Dzielim stron wzoru przez współznnik prz niewiadomej (wznazanm parametrze). Czasami współznnikiem tm jest ałe wraŝenie algeraizne zamknięte w nawias.
Przkład: Wzór na pole trapezu przekształć tak, a wznazć z niego podstawę a. P a h Traktujem literę a jak niewiadomą. Mam wkonać znnośi, które spowodują, Ŝe z lewej stron wzoru w miejse liter P zostanie przeniesion parametr a. PoniewaŜ wzór zawiera wraŝenie w postai ułamka, zgodnie z zasadą rozpoznam od pomnoŝenia stron wzoru przez mianownik: a P h P a ( ) h Z prawej stron moŝna wkonać działanie mnoŝenia: P ah h Dla ułatwienia zamieniam stron wzoru: ah h P Przenosim wraz h na drugą stronę (z przeiwnm znakiem): ah h P ah p h h Na konie dzielim stron wzoru przez h: ah P h p h a h : h Wzór, któr otrzmaliśm nie jest juŝ wzorem na pole trapezu, lez wzorem na długość jednej z podstaw trapezu. Przkład: Wzór na opór zastępz przekształć tak, wznazć opór R. R R R Traktujem smol R jak niewiadomą. Mam wkonać znnośi, które spowodują, Ŝe z lewą stronę wzoru ędzie stanowić tlko parametr R. PoniewaŜ wzór zawiera wraŝenia w postai ułamków, zgodnie z zasadą, rozpoznam od pomnoŝenia stron wzoru przez trz mianowniki: R R R RR RR RR Przenosim wraz RR na drugą stronę (z przeiwnm znakiem): RRR RR RR RR RR RR RR RR PoniewaŜ z lewej stron wzorów parametr R wstępuje dwukrotnie, włązam go przed nawias: ( R R) R RR
Na konie dzielim stron wzoru przez wraŝenie znajdująe się w nawiasie: ( R R ) RR ( R R ) R : RR R R R Wzór, któr otrzmaliśm nie jest juŝ wzorem na opór R, lez na opór R. Większość wzorów wkorzstwanh podzas edukaji w gimnazjum ma ardzo prostą postać i jego przekształenie nie wmaga zt wielu zaiegów. Przkład: Przekształć wzór na prędkość tak, otrzmać wzór na drogę w ruhu jednostajnm. V Wstarz jednie pomnoŝć stron wzoru przez t i zamienić stron: s t s V t Vt s s Vt t Wzór, któr otrzmaliśm jest juŝ wzorem na drogę s.. Układ równań. Układem równań nazwam układ złoŝon z dwóh lu więej równań połązonh smolem klamr. Rozwiązaniem układu równań są takie liz, które spełniają kaŝde z równań układu. Najprostszm układem równań jest układ dwóh równań liniowh z dwoma niewiadommi. Układ równań liniowh z dwoma niewiadommi: Równanie ma nieskońzenie wiele rozwiązań. KaŜde z rozwiązań jest parą liz spełniająh to równanie, np.: 0,,, 0,, 9,,,, 0, itd Równanie ma nieskońzenie wiele rozwiązań. KaŜde z rozwiązań jest parą liz spełniająh to równanie, np.: 0, 0,,,,,,, 0,, 0 itd Wśród rozwiązań pierwszego równania i rozwiązań drugiego równania moŝna odnaleźć wspólne rozwiązanie. Jest nim para liz:,. Ta para liz jest rozwiązaniem tego układu równań i zapisujem ją jako:
9 Rozwiązwanie układów równań. Metoda podstawiania. Metoda podstawiania jest metodą uniwersalną, to znaz, Ŝe moŝna nią rozwiązać większość układów równań, nawet te o znaznej trudnośi. Składa się z kilku etapów, które zostaną zaprezentowane na przkładzie: Przkład: RozwiąŜ układ równań metodą podstawiania: Etap wstępn. Doprowadzenie kaŝdego z równań układu do najprostszej postai. Najprostsza postać równania liniowego z dwoma niewiadommi i, to: a, gdzie a, i to dowolne liz rzezwiste (a i powinn ć róŝne od zera). W powŝszm przkładzie pierwsze równanie wmaga przekształenia, natomiast drugie równanie jest zapisane w najprostszej postai. W elu przekształenia równania pierwszego wkonujem odpowiednie działania i przenosim wraz. Etap. Przgotowanie do podstawienia. Wieram jedno z równań. W wranm równaniu wskazujem jedną z niewiadomh i przekształam tak równanie, niewiadoma wrana przez nas pozostała samodzielnie po stronie lewej równania. Wierają równanie i niewiadomą naleŝ kierować się tm, ło jak najmniej działań do wkonania i a, w miarę moŝliwośi, uniknąć ułamków. W rozwiązwanm układzie równań najlepiej wrać niewiadomą w drugim równaniu. Etap. Podstawienie i wlizenie pierwszej niewiadomej. Prawą stronę przekształonego równania wstawiam do równania, które nie ło przekształane w etapie, w miejse odpowiedniej niewiadomej. W przkładzie lewą stronę wstawiam do górnego równania w miejse niewiadomej. Równanie, które otrzmaliśm, to równanie z jedną niewiadomą (). Wlizam wartość tej niewiadomej stosują zasad rozwiązwania równań: ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 9 9 9 ( ) : ( ) : ( ) :
0 Etap. Olizenie drugiej niewiadomej. PoniewaŜ równanie, przekształone na etapie, przjęło postać wzoru na jedną z niewiadomh naleŝ go zastosować, wlizć tą niewiadomą. W tm elu wstawiam olizoną na etapie wartość do tego wzoru: Rozwiązaniem jest para liz i. Etap końow. Sprawdzenie. A sprawdzić poprawność rozwiązania układu równań naleŝ wstawić do ou równań olizone wartośi i rozstrzgnąć, z liz te spełniają oa równania. UWAGA! Zawsze wstawiam liz do układu równań z samego pozątku zadania. Nie wstarz wkonać sprawdzenia jednego z równań! Oa muszą ć spełnione! MoŜna wkonać sprawdzenie osono na kaŝdm z równań (nie łązć ih klamrą). Pierwsze równanie jest spełnione. Drugie równanie jest spełnione. Układ został rozwiązan poprawnie. Rozwiązwanie układów równań. Metoda przeiwnh współznników. Metoda przeiwnh współznników jest metodą, którą moŝna rozwiązać jednie najprostsze układ równań, a szzególnie układ dwóh równań liniowh z dwoma niewiadommi. Składa się z kilku etapów, które zostaną zaprezentowane na przkładzie: Przkład: RozwiąŜ układ równań metodą przeiwnh współznników: Etap wstępn. Doprowadzenie kaŝdego z równań układu do najprostszej postai. Najprostsza postać równania liniowego z dwoma niewiadommi i, to: a, gdzie a, i to dowolne liz rzezwiste (a i powinn ć róŝne od zera). W powŝszm przkładzie pierwsze równanie wmaga przekształenia (np. likwidaji ułamków), natomiast drugie równanie jest zapisane w najprostszej postai. W elu przekształenia równania pierwszego wkonujem odpowiednie działania i przenosim wraz. ( ) ( ) L P 0 9 0 9 P L ( ) ( ) 9 9
Etap. Przekształenie równań w elu otrzmania przeiwnh współznników. NaleŜ za pomoą działania mnoŝenia stron równania(rzadziej dzielenia)przekształić jedno z równań lu oa równania w ten sposó, prz niewiadomh lu niewiadomh w th równaniah pojawił się przeiwne współznniki. Przpomnienie: liz przeiwne, to liz o tej samej wartośi ezwzględnej, które róŝnią się znakami, np.: i lu 0 i 0. W przkładzie, najkorzstniej jest pomnoŝć równanie drugie przez lizę, wówzas prz niewiadomh w ou równaniah wstępować ędą współznniki przeiwne: i. 9 9 ( ) Etap. Sumowanie stronami równań. Podkreślam smoliznie układ równań i dodajem stronami oa równania (moŝna zaznazć znność zapisują smol ook klamr). Podzas dodawania stron korzstam z moŝliwośi redukji wrazów podonh. Wraz, prz którh wstępują przeiwne współznniki redukują się do zera. W efekie otrzmujem proste równanie, które naleŝ rozwiązać. W ten sposó otrzmujem wartość pierwszej z niewiadomh. 9 Etap. Olizanie wartośi drugiej niewiadomej. Wieram jedno z równań układu i wstawiam w odpowiednie miejse wartość olizonej niewiadomej. Do dspozji mam wszstkie równania, które znajdują się ponad podkreśleniem, wię najlepiej wrać to najprostsze. Po podstawieniu wartośi niewiadomej rozwiązujem równanie tak, wlizć wartość drugiej niewiadomej. Na tm etapie nie naleŝ stosować zapisu z klamerką, o praujem tlko z jednm równaniem, a nie ałm układem. W powŝszm przkładzie najlepiej wrać równanie. Wstawiam wlizoną wartość do tego równania. 0 0 Otrzmaliśm wartość drugiej niewiadomej. Wnik powinniśm zapisać w postai układu ( z klamerką ): Etap końow. Sprawdzenie. A sprawdzić poprawność rozwiązania układu równań naleŝ wstawić do ou równań olizone wartośi i rozstrzgnąć, z liz te spełniają oa równania. UWAGA! Zawsze wstawiam liz do układu równań z samego pozątku zadania. Nie wstarz wkonać sprawdzenia jednego z równań! Oa muszą ć spełnione! MoŜna wkonać sprawdzenie osono na kaŝdm z równań (nie łązć ih klamrą). L P Pierwsze równanie jest spełnione. 0 L P Drugie równanie jest spełnione. Układ został rozwiązan poprawnie.
Układ oznazon, nieoznazon i sprzezn. Układ oznazon. KaŜd układ równań liniowh, któr posiada dokładnie jedno rozwiązanie nazwam oznazonm. Trzea pamiętać, Ŝe rozwiązaniem układu z dwoma niewiadommi jest para liz, wię układ ten jest oznazon, gd jego rozwiązaniem jest para liz (np. i ). Oa układ równań rozwiązane powŝej ł układami oznazonmi: Układ równań jest oznazon, o jego rozwiązaniem jest para liz Układ równań jest oznazon, o jego rozwiązaniem jest para liz Układ sprzezn. Sprzeznm układem równań nazwam układ, któr nie ma rozwiązania (ziór rozwiązań jest pust). Przkład: RozwiąŜ układ równań dowolną metodą: Układ zostanie rozwiązan metodą przeiwnh współznników: UKŁAD SPRZECZNY W efekie rozwiązwania otrzmaliśm równanie sprzezne, wię układ równań jest sprzezn (nie ma rozwiązania). UWAGA!!! W przpadku sprzeznego układu równań musim zapisać na końu rozwiązania informaję: UKŁAD JEST SPRZECZNY.. Układ nieoznazon. Nieoznazonm układem równań nazwam układ, któr ma nieskońzenie wiele rozwiązań. Nie naleŝ przez to rozumieć, Ŝe dowolna para liz jest jego rozwiązaniem. W większośi układów nieoznazonh, stuaja jest taka, Ŝe jedna z niewiadomh moŝe ć dowolną lizą rzezwistą, natomiast druga niewiadoma musi zostać wlizona (w zaleŝnośi od wranej wartośi pierwszej niewiadomej). Przkład: RozwiąŜ układ równań dowolną metodą: Układ zostanie rozwiązan metodą podstawiania: UKŁAD NIEOZNACZONY ( ) ( ) 9 0 ( ) 9 : 0 0 0 0 0 0 0
Jedno z równań okazało się toŝsamośiowe, wię układ jest nieoznazon (ma nieskońzenie wiele rozwiązań). Jedną z niewiadomh (np. ) moŝem wrać spośród wszstkih liz rzezwisth, natomiast druga musi ć olizona (sposó olizenia prezentuje drugie równanie ). Rozwiązaniami są przkładowo par liz, lu, itd UWAGA!!! W przpadku nieoznazonego układu równań musim zapisać na końu rozwiązania informaję: UKŁAD JEST NIEOZNACZONY.. Funkje. Funkja. Funkją ze zioru A w ziór B nazwam takie przporządkowanie, które kaŝdemu elementowi zioru A przporządkowuje dokładnie jeden element zioru B. UWAGA! PowŜsze zdanie nie jest definiją lez określeniem wstarzająm na zajęiah matematki w gimnazjum. Dziedzina, argument, przeiwdziedzina, wartośi, ziór wartośi funkji. Ziór A nazwam dziedziną funkji. Element zioru A (dziedzin) to argument funkji. Argument smolizuje zmienna. Ziór B nazwam przeiwdziedziną funkji. Element zioru B (przeiwdziedzin) przporządkowane pewnm argumentom to wartośi funkji. Wartośi smolizuje zmienna. Ziór wartośi funkji to podziór przeiwdziedzin, do którego naleŝą wszstkie wartośi funkji. Do przeiwdziedzin mogą naleŝeć element, które nie są wartośiami, ale przewaŝnie ustala się przeiwdziedzinę funkji równą ziorowi wartośi. Dziedzina A B Przeiwdziedzina 0 9 - Wartość funkji Argument funkji - - Ziór wartośi Przporządkowanie Przkład funkji i przporządkowań, które nie są funkjami. W określeniu funkji waŝnmi stwierdzeniami są: kaŝdemu elementowi zioru A oraz dokładnie jeden element zioru B. Oznaza to, Ŝe: - 0-0 - 0 - Nie jest funkją, o lizie nie przporządkowano wartośi. Jest funkją, o wszstkie liz mają przporządkowaną lizę 0 Jest funkją, o wszstkie liz pierwszego zioru mają przporządkowaną wartość (kaŝd po jednej). - 0 - - 0-0 - Nie jest funkją, o liza - ma przporządkowane dwie wartośi. Nie jest funkją, o liza ma przporządkowane zter wartośi, a liz - i nie mają przporządkowanej Ŝadnej wartośi. Nie jest funkją, o liza ma przporządkowane dwie wartośi, podonie jak liza -.
Przkład funkji: KaŜdej osoie w klasie moŝna przporządkować jej wzrost, KaŜdej sztue towaru na półe w sklepie moŝna przporządkować jej enę, KaŜdemu uzniowi w klasie moŝna przporządkować średnią oen z matematki (jeśli wszs posiadają hoć jedną oenę), KaŜdej osoie w kinie moŝna przporządkować miejse, na którm siedzi, KaŜdemu samohodowi na parkingu moŝna przporządkować numer rejestrajn, KaŜdej lizie ze zioru {,,,, } moŝna przporządkować lizę dwa raz większą, KaŜdej lizie ze zioru {-,,, -0,,, 0} moŝna przporządkować lizę o 0 mniejszą od niej, KaŜdej lizie ze zioru {0,, -,, -} moŝna przporządkować lizę do niej przeiwną, KaŜdej lizie naturalnej moŝna przporządkować lizę trz raz od niej mniejszą, KaŜdej lizie rzezwistej moŝna przporządkować lizę. itd Pięć ostatnih przkładów to funkje lizowe. Sposo przedstawiania funkji lizowh: Funkję moŝna zaprezentować za pomoą kilku sposoów: Sposó. Określenie słowne. Sposó przedstawienia funkji, w którm zostają określone wszstkie argument funkji oraz, w sposó słown, zostaje podana informaja o tm, jaka liza ma ć przporządkowana poszzególnm argumentom. UWAGA! JeŜeli w określeniu słownm nie ma określonej dziedzin, to znaz Ŝe jest ona maksmalnie duŝa (w większośi przpadków jest to ziór wszstkih liz rzezwisth). Sposoem słownm moŝna określać równieŝ funkje, które nie są lizowe. Przkład: Funkja przporządkowuje kaŝdej lizie ze zioru {-, -, 0,, } lizę o mniejszą od niej. Sposó. Taela (taelka) funkji. Sposó przedstawienia funkji, w którm argument zostają zaprezentowane w pierwszm wierszu taelki, a odpowiadająe im wartośi funkji w drugim wierszu tej taelki. Pierwsz wiersz taelki oznazan jest literą, a drugi wiersz literą. Sposó ten nie pozwala na prezentaję funkji nieskońzonh lu funkji o duŝej ilośi argumentów. Przkład (kontnuaja poprzedniego przkładu): - - 0 - - - 0 Sposó. Graf funkji. Sposó przedstawienia funkji, w którm argument i wartośi zostają zaprezentowane w smoliznie narsowanh ziorah (w postai jajek ). W pierwszm ziorze znajdują się argument, w drugim wartośi. Przporządkowania prezentowane są jako strzałki pomiędz argumentem, a odpowiadająą mu wartośią. Sposó ten nie pozwala na prezentaję funkji nieskońzonh lu funkji o duŝej ilośi argumentów. Przkład (kontnuaja poprzedniego przkładu): A B - - 0 - - - 0 Sposó. Wkres funkji. Sposó przedstawienia funkji, w którm argument to liz na osi X układu współrzędnh, a wartośi to liz na osi Y układu współrzędnh. Przporządkowanie jest prezentowane jako punkt zaznazon w układzie współrzędnh, którego pierwsza współrzędna to argument funkji, a druga współrzędna to wartość. Funkje nieskońzone mogą tworzć w układzie współrzędnh wkres w postai iągłej linii prostej lu krzwej.
Przkład (kontnuaja poprzedniego przkładu): - - - - - UWAGA! W tej stuaji wkres to tlko pięć punktów, o funkja ma pięć argumentów. Nie wolno połązć th punktów jedną linią iągłą, o oznazało to, Ŝe funkja ma nieskońzenie wiele argumentów i nieskońzenie wiele punktów wkresu (niezgodnie z danmi przkładu). Sposó. Wzór funkji. Sposó przedstawienia funkji polegają na zapisaniu przporządkowania za pomoą równania, które prezentuje sposó olizania wartośi () znają argument (). Jeśli dziedzina funkji nie jest ziorem liz rzezwisth, lu największm moŝliwm podziorem zioru liz rzezwisth, to ook wzoru funkji naleŝ zapisać dziedzinę, wpisują jej argument lu określają ją smoliznie. Przkład (kontnuaja poprzedniego przkładu): D {-, -, 0,, } Własnośi funkji lizowh. Miejse zerowe funkji. Miejse zerowe funkji to argument, któremu przporządkowano wartość 0. Miejse zerowe funkji oznazam smolem: o lu, gd miejs zerowh jest więej, jako,,, itd W przpadku prezentaji funkji za pomoą wkresu, miejsa zerowego naleŝ szukać w punkie przeięia się wkresu z osią X. Miejse zerowe to pierwsza współrzędna tego punktu (druga współrzędna to 0). Przkład: Miejse zerowe to o
W przpadku prezentaji funkji za pomoą wzoru, miejsa zerowego naleŝ szukać poprzez wstawienie do wzoru funkji liz 0 w miejse zmiennej. Powstaje wówzas równanie, które naleŝ rozwiązać. Rozwiązaniem tego równania jest miejse zerowe. Przkład: Znajdź miejse zerowe funkji: 0 0 : ( ) Funkja rosnąa. Funkje nazwam rosnąą, jeŝeli ma tą własność, Ŝe im większ weźmiem argument funkji, tm większa ędzie mu przporządkowana wartość funkji (dla oraz większh argumentów funkja przporządkowuje oraz większe wartośi). Wkres funkji rosnąej idzie w górę (patrzą się od lewej stron do prawej). Na rsunkah zaprezentowane są wkres funkji rosnąh: Funkja malejąa. Funkje nazwam malejąą, jeŝeli ma tą własność, Ŝe im większ weźmiem argument funkji, tm mniejsza ędzie mu przporządkowana wartość funkji (dla oraz większh argumentów funkja przporządkowuje oraz mniejsze wartośi). Wkres funkji malejąej idzie w dół (patrzą się od lewej stron do prawej). Na rsunkah zaprezentowane są wkres funkji malejąh: Funkja stała. Funkje nazwam stałą, jeŝeli ma tą własność, Ŝe ez względu na to jaki weźmiem argument funkji, wartość ędzie zawsze taka sama. Wzór funkji stałej zawsze ma postać a (gdzie a jest jakąś lizą rzezwistą) lu po przekształeniu moŝe przrać taką postać. Funkją stałą jest na przkład: lu, a nawet 0. Wkres funkji stałej jest prostą linią poziomą lu ziorem punktów i odinków ułoŝonh na linii poziomej. Na rsunkah zaprezentowane są wkres funkji stałh:
9. RóŜne rodzaje funkji lizowh. Funkja liniowa. Funkją liniową nazwam funkję o dziedzinie w ziorze liz rzezwisth, której wkresem jest linia prosta. Wzór funkji liniowej ma zawsze postać a Gdzie a i to pewne liz rzezwiste. Funkjami liniowmi są wię: o a,, 9 o a, 9, o a,, o a, 0, o a 0,, 0 o a 0, 0. Funkją liniową ędzie teŝ kaŝda funkja, której wzór moŝna przekształić do postai a. Np.:, o moŝna go przekształić do postai:, o moŝna go przekształić do postai: ( ) ( ) a współznnik kierunkow. Jest odpowiedzialn za to, z wkres funkji jest strom, z nie. Im większa jest wartość (ezwzględna) współznnika kierunkowego (w porównaniu z lizą ), tm większ jest kąt nahlenia wkresu do osi X. Jeśli współznnik a jest lizą dodatnią, to funkja liniowa jest rosnąa. Jeśli współznnik a jest lizą ujemną, to funkja liniowa jest malejąa. Jeśli współznnik a jest równ 0, to funkja liniowa jest stała. wraz woln. Jest odpowiedzialn za punkt przeięia się wkresu z osią Y. Punkt ten ma współrzędne (0, ). Przkład: Wkres funkji jest strom, o współznnik kierunkow jest duŝ (a jest duŝo większe od ). Funkja jest rosnąa, o współznnik kierunkow jest dodatni ( > 0). Wkres przeina oś Y w punkie (0, ), o wraz woln. Wkres funkji jest płaski, o współznnik kierunkow jest mał (wartość ezwzględna a wnosi i jest duŝo mniejsza od ). Funkja jest malejąa, o współznnik kierunkow jest ujemn ( < 0). Wkres przeina oś Y w punkie (0, ), o wraz woln. Wkres funkji liniowej: A narsować wkres funkji liniowej naleŝ skorzstać z zęśiowej taelki funkji. PoniewaŜ funkja ma nieskońzoną dziedzinę (ziór liz rzezwisth) nie jest moŝliwe stworzenie kompletnej taeli funkji. MoŜna jednak wrać kilka argumentów i przedstawić przporządkowanie za pomoą taelki tlko dla th przkładowh liz. Taką taelkę nazwam zęśiową (lu ząstkową). W przpadku funkji liniowej wstarz zaprezentować przporządkowania dla dwóh argumentów, o do narsowania prostej wstarzą dwa punkt. Zwkło się jednak tworzć taelkę zęśiową funkji liniowej, w której umieszza się o najmniej trz argument, wierane przpadkowo, w zaleŝnośi od rodzaju wzoru i wielkośi rsunku. Warto, jednm z wranh argumentów ła liza 0. Przkład: Narsuj wkres funkji liniowej. Tworzm zęśiową taelkę funkji: 0 0 Przporządkowania z taelki prezentujem w układzie współrzędnh jako punkt (rsunek ook):