PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o.
Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie. (0 ) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe.7. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia. Poprawna odpowiedź Zadanie. (0 ).. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach. Zadanie. (0 ).9. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe. Zadanie 4. (0 ).6. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. 5.. iągi. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. Zadanie 5. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.. Liczby rzeczywiste. Zdający: ) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach; 4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. Zadanie 6. (0 ).8. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych. z 8
Zadanie 7. (0 ). Równania i nierówności. Zdający: ) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności; 5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Zadanie 8. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 4.. Funkcje. Zdający określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego. Zadanie 9. (0 ) 4.6. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie. Zadanie 0. (0 ) 4.4. Funkcje. Zdający na podstawie wykresu funkcji y = f^xh szkicuje wykresy funkcji y = f^x+ ah, y = f^xh + a, y =-f^xh, y = f^-xh. Zadanie. (0 ) 4. Funkcje. Zdający: 4) na podstawie wykresu funkcji y = f^xh szkicuje wykresy funkcji y = f^x+ ah, y = f^xh + a, y =-f^xh, y = f^-xh; 0) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje). Zadanie. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. 4.. Funkcje. a Zdający szkicuje wykres funkcji fx ^ h = x dla danego a, korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi..9. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe. z 8
Zadanie. (0 ) 5.. iągi. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. 6.. Funkcje. Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym). Zadanie 4. (0 ) 5.. iągi. Zdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. 6. Trygonometria. Zdający: ) oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo korzystając z tablic lub kalkulatora przybliżoną); 4) stosuje proste zależności między funkcjami sin a trygonometrycznymi: sin a+ cos a =, tga = cos a oraz sin^90 - ah = cos a. Zadanie 5. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 6.. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80..4. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. Zadanie 6. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 6.. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80. 4 z 8
Zadanie 7. (0 ) 7.. Planimetria. Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. Gimnazjum 0.9. Figury płaskie. Zdający oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. Zadanie 8. (0 ) 7.. Planimetria. Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych. 8.6. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający oblicza odległość dwóch punktów. Zadanie 9. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 9.4. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami. Zadanie 0. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. 9.. Stereometria. Zdający rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów. 6.. Trygonometria. Zdający oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo korzystając z tablic lub kalkulatora przybliżoną). Gimnazjum.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli [...] Zadanie. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania. 5 z 8
Zadanie. (0 ) 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych. Zadanie. (0 ) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. 6 z 8
Zadanie 4. (0 ) Wymaganie szczegółowe.5. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Przykładowe rozwiązania I sposób Z warunków zadania fx ^ h gx ^ h otrzymujemy nierówność: x + x+ - x + x + x 0 x^x + 6h 0 Miejsca zerowe: x = 0, x =- 6. Szkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej i na jego podstawie odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności. y 6 5 4 0 x Odpowiedź: fx ^ h gx ^ h dla x! ^-, -6h, ^0, h. II sposób Zauważmy, że fx ^ = ^ h x + 4x+ 4h, czyli fx ^ h= ^x +h, więc wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f ma współrzędne (-, 0). Wyznaczamy punkt przecięcia się wykresów funkcji f(x) i g(x). ^x+ h =- x+ x + x + =- x + x + x = 0 x + 6x = 0 x^x + 6h = 0 czyli x = 0 i x =-6 y = i y = 8 Zatem punkty przecięcia wykresów to (0, ) i (-6, 8). 7 z 8
Szkicujemy wykresy obu funkcji i z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności. g f y 9 8 7 6 5 4 8 7 6 5 4 0 x Odpowiedź: fx ^ h gx ^ h dla x! ^-, -6h, ^0, h. Schemat oceniania obu sposobów gdy prawidłowo obliczy pierwiastki x = 0, x = -6. albo poprawnie narysuje wykresy funkcji f i g. gdy zapisze zbiór argumentów: x! ^-, -6h, ^0, h. pkt pkt Uwaga Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków x, x (I sposób) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, to otrzymuje punkt. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np. ^-6, -h. Zadanie 5. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe. Równania i nierówności. Zdający: 6) korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x =- 8; 7) korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x^x+ h^x- 7h = 0. Przykładowe rozwiązanie Korzystając z własności iloczynu, zapisujemy alternatywę x = 0 lub x - 6 = 0 lub x + 7 = 0 lub x + m = 0. Stąd x = 0, x =, x =-, x4 =- m. Równanie będzie miało dokładnie trzy rozwiązania, gdy pierwiastek x 4 będzie równy jednemu z pozostałych. Wynika stąd, że -m = 0 lub -m = lub -m = -, czyli m! "-0,,,. 8 z 8
Schemat oceniania gdy poprawnie wyznaczy pierwiastki równania: x = 0, x =, x =-, x4 =- m. gdy poda wartości m: m! "-0,,,. pkt pkt Zadanie 6. (0 ) III. Modelowanie matematyczne. Wymagania szczegółowe 4.5. Funkcje. Zdający posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym..9. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe. Przykładowe rozwiązanie adamy liczebność populacji po upływie kolejnych lat od momentu rozpoczęcia obserwacji: po upływie roku: p() = 50 000 0,7 po upływie dwóch lat: p() = 50 000 0,7 0,7 = 50 000 (0,7) po upływie trzech lat: p() = 50 000 (0,7) 0,7 = 50 000 (0,7) itd. po upływie t lat: p(t) = 50 000 (0,7) t. Ponadto p() = 50 000 (0,7) = 7 50. Odpowiedź: Po upływie trzech lat w jeziorze było 7 50 sztuk zagrożonego gatunku ryb. Schemat oceniania gdy poda właściwy wzór funkcji wyrażającej liczebność populacji po upływie t lat. albo gdy poprawnie obliczy liczbę ryb w jeziorze po upływie trzech lat. pkt pkt gdy poda właściwy wzór funkcji wyrażającej liczebność populacji po upływie t lat i poprawnie obliczy liczbę ryb w jeziorze po upływie trzech lat. Zadanie 7. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ^a! bh oraz a - b. Gimnazjum 6. Wyrażenia algebraiczne. Zdający: ) opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami; 6) wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy algebraicznej poza nawias. 9 z 8
Przykładowe rozwiązania Zakładamy, że p jest dowolną liczbą pierwszą i p >. adamy wyrażenie p -^p- h = p - p + 4p- 4 = 4^p-h Z założenia wynika, że p jest liczbą nieparzystą (jej jedynymi dzielnikami naturalnymi są oraz p, zatem nie jest podzielna przez ), więc liczba p - jest parzysta i można ją zapisać w postaci n, gdzie n! N. Wynika stąd, że 4^p- h = 8 n! liczba podzielna przez 8, c.n.d. Schemat oceniania gdy przekształci wyrażenie p -^p-h do postaci 4^p - h. gdy poprawnie uzasadni, że liczba 4^p - h jest podzielna przez 8. pkt pkt Zadanie 8. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe 7.. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów. Przykładowe rozwiązania P h S h I sposób Trójkąty S i S są podobne (z cechy kkk) w skali k = =, zatem stosunek ich wysokości jest również równy. Niech P będzie rzutem punktu S na prostą. Zauważmy, że P = h, P = h, czyli = h. Ponadto trójkąty i PS są podobne (z cechy kkk), więc: PS P h = = h =, stąd PS =, c.n.d. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania pkt gdy zauważy, że trójkąty S i S są podobne w skali k =. pkt gdy zauważy, że trójkąty i PS są podobne w skali k = i wywnioskuje stąd, że PS =. 0 z 8
II sposób Trójkąty S i S są podobne (z cechy kkk) w skali k = =, zatem stosunek ich wysokości jest również równy. Niech P będzie rzutem punktu S na prostą. Zauważmy, że P = h, P = h, czyli = h. Ponadto pole trójkąta jest sumą pól trójkątów S i S, więc: $ h = $ h + $ h $ PS Stąd = PS. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy zauważy, że trójkąty S i S są podobne w skali k =. gdy zauważy, że pole trójkąta jest sumą pól trójkątów S i S i wywnioskuje stąd, że = PS. pkt pkt Zadanie 9. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający: ) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); ) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt. Przykładowe rozwiązania I sposób Zauważmy, że prosta jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty i. Obliczamy y- y współczynnik kierunkowy prostej : a = x x - = =. Z warunku równoległości a = a =. Punkt = ^-, 0h spełnia równanie prostej, więc 0 = $ ^- h + b, stąd b = 6. Ostatecznie prosta ma równanie y = x+ 6. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania gdy wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej : a =. gdy wyznaczy równanie prostej : y = x+ 6. pkt pkt II sposób W sześciokącie foremnym miara kąta jest równa 60, zatem współczynnik kierunkowy prostej wynosi tg 60 =. Równanie prostej przyjmuje zatem postać y = x+ b. z 8
Ponieważ punkt leży na tej prostej, możemy obliczyć wartość współczynnika b. 0 = ^- h + b 0 = -6 + b b = 6 Ostatecznie prosta ma równanie y = x+ 6. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej : a =. gdy wyznaczy równanie prostej : y = x+ 6. pkt pkt Zadanie 0. (0 ) IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe 5.4. iągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Przykładowe rozwiązania I sposób Zauważmy, że długości boków kolejnych kwadratów tworzą ciąg geometryczny, w którym a 4 = 8 i q =. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego wynika, że a4 = a$ q, stąd a =. ługość łamanej L = S 0. Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 0 - L = S0 = $ $ - = 069. Odpowiedź: ługość łamanej jest równa 069. II sposób Znamy długość boku czwartego kwadratu a 4 = 8 i wiemy, że każdy następny kwadrat ma długość boku dwa razy większą niż poprzedni, więc potrafimy obliczyć długości boków wszystkich dziesięciu kwadratów: a = 4, a =, a =, a 5 = 6, a 6 =, a 7 = 64, a 8 = 8, a 9 = 56, a 0 = 5. ługość łamanej to suma długości trzech boków każdego kwadratu: L = ( + + 4 + 8 + 6 + + 64 + 8 + 56 + 5) = 069. Odpowiedź: ługość łamanej jest równa 069. Schemat oceniania obu sposobów gdy obliczy długość boku pierwszego kwadratu: a =. gdy obliczy długość łamanej: L = 069. pkt pkt z 8
Zadanie. (0 4) III. Modelowanie matematyczne. Wymaganie szczegółowe 0.. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Przykładowe rozwiązania I sposób (model klasyczny) Z reguły mnożenia obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych X = 5$ 4$ = 60. Niech oznacza zdarzenie polegające na utworzeniu liczby trzycyfrowej podzielnej przez. Liczba jest podzielna przez, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez. Ponadto cyfry w otrzymanej liczbie muszą być różne (losowanie bez zwracania), zdarzeniu sprzyjają zatem wyniki uzyskane z następujących trójek cyfr: {,, }, {,, 6}, {,, 9}, {, 6, 9}. Z każdej trójki cyfr liczbę trzycyfrową można utworzyć na = 6 sposobów, więc z reguły mnożenia obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu : = 4 6 = 4. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest zatem równe 4$ 6 P ^ h = = X 5$ 4$ = 5. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: X = 5 4 = 60. albo zauważy, że liczby sprzyjające zdarzeniu muszą się składać z następujących trójek cyfr: {,, }, {,, 6}, {,, 9}, {, 6, 9}. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zauważy, że liczby sprzyjające zdarzeniu muszą się składać z następujących trójek cyfr: {,, }, {,, 6}, {,, 9}, {, 6, 9}. albo wypisze wyniki sprzyjające zdarzeniu. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu : X = 5 4 (lub X = 60), = 4 6 (lub = 4). Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego lub dzisiętnego: P^h = 5. z 8
Uwagi. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia X i, to otrzymuje 0 punktów.. jeżeli z zapisu rozwiązania nie wynika jasno, że zdający rozróżnia pojęcia przestrzeni zdarzeń elementarnych oraz zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu (np. pojawi się jedynie zapis 5 4 = 60 albo 4 6 = 4 bez żadnego opisu czy powszechnie używanej symboliki), to otrzymuje 0 punktów. II sposób (metoda drzewa) Losowanie z koszyka kolejno bez zwracania trzech ponumerowanych kul możemy zilustrować za pomocą drzewa. Na rysunku uwzględniamy jedynie gałęzie sprzyjające zdarzeniu 5 4 6 9 6 9 6 9 6 9 9 6 6 9 6 9 9 6 9 6 Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia : P ^ h = 4 $ 5 $ 4 $ = 5. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający poprawnie zaznaczy prawdopodobieństwo przynajmniej na jednym odcinku gałęzi odpowiadającej zdarzeniu. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający poprawnie zaznaczy prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach przynajmniej jednej gałęzi sprzyjającej zdarzeniu. Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia i poda wynik w postaci ułamka nieskracalnego lub dzisiętnego: P^h = 5. 4 z 8
Zadanie. (0 4) IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający: ) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); ) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; 4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych; 5) wyznacza współrzędne środka odcinka. Przykładowe rozwiązania I sposób y 5 4 S 4 0 4 5 6 7 x 7 Ustalamy (np. przez podstawienie współrzędnych punktu ), że prosta y = x+ zawiera przyprostokątną tego trójkąta. Prosta jest prostopadła do prostej i przechodzi przez punkt = (7, -), więc jej równanie ma postać: y = -x + b, zatem = (-) 7 + b, stąd b = 9. Ostatecznie prosta : y = -x + 9. Współrzędne punktu obliczamy, rozwiązując układ zbudowany z równań prostych oraz : 7 y = x+ * y =- x+ 9 Po zastosowaniu metody podstawiania otrzymujemy równanie: 7 x+ =- x+ 9 0 50 x = x = 5 Podstawiamy wyznaczony x np. do pierwszego równania układu: y = $ 5 + 7 = 4 x = 5 Zatem rozwiązaniem układu jest para liczb (, stąd wierzchołek = (5, 4). y = 4 Korzystając ze wzoru na środek odcinka, wyznaczamy współrzędne punktu S będącego środkiem 5 odcinka : S = `, j. Ze wzoru na długość odcinka obliczamy długość środkowej S: 5 5 0 S = `7 - j + `- - j = 5 z 8
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający wyznaczy równanie prostej : y = -x + 9. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp Zdający obliczy współrzędne wierzchołka = (5, 4). Pokonanie zasadniczych trudności zadania 5 Zdający wyznaczy współrzędne punktu S = `, j środka odcinka. Rozwiązanie pełne 5 0 Zdający obliczy długość środkowej S: S =. pkt pkt pkt 4 pkt II sposób y 5 4 S 4 0 4 5 6 7 x 7 Ustalamy (np. przez podstawienie współrzędnych punktu ), że prosta y = x+ zawiera przyprostokątną tego trójkąta. Równanie ogólne tej prostej to: x - y + 7 = 0. Obliczamy długość boku, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej: 7 6 7 = d ^, h = + + = 0. 0 Następnie wyznaczamy długość przeciwprostokątnej ze wzoru na długość odcinka: = 0 oraz długość boku z twierdzenia Pitagorasa: = 0. Z definicji środkowej S więc z twierdzenia Pitagorasa S 0 5 0 = c m + ^ 0h =. 6 z 8 0 =, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający obliczy długość boku : = 0. albo wyznaczy długość przeciwprostokątnej : = 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający obliczy długość boku : = 0 i długość przeciwprostokątnej : = 0. Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 0 Zdający obliczy długość odcinka S: S =.
Rozwiązanie pełne Zdający obliczy długość środkowej S: S 5 0 =. 4 pkt Zadanie. (0 5) IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 9.5. Stereometria. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. Gimnazjum.. ryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). Przykładowe rozwiązanie O W przekroju otrzymujemy trójkąt ', w którym wysokość O' jest o 4 dłuższa od przekątnej. Przyjmijmy oznaczenie: = d, d > 0. Z informacji o polu przekroju zapisujemy równanie: d dd ^ + 4h = 48 + 4d- 96 = 0. Stąd d =-, d = 8. Ponieważ długość odcinka jest dodatnia, więc = 8, czyli O' =, O = 4. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie O' obliczamy ' wysokość graniastosłupa: l = - 4 = 8. Pole podstawy graniastosłupa: P p = d =. Objętość graniastosłupa: V = $ 8 = 56. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający zaznaczy w graniastosłupie przekrój '. pkt Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zinterpretuje przekrój jako trójkąt o wysokości O' i podstawie oraz zapisze równanie dd ^ + 4h = 48 wynikające ze wzoru na pole trójkąta. 7 z 8
Pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający wyznaczy rozwiązania d =-, d = 8 i odrzuci pierwiastek d. pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania 4 pkt Zdający obliczy wysokość graniastosłupa: l = 8 i poprzestanie na tym lub rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania). Rozwiązanie pełne Zdający poprawnie wyznaczy objętość graniastosłupa: V = 56. 5 pkt Uwaga Jeżeli zdający błędnie zaznaczy przekrój graniastosłupa lub nie zaznaczy go wcale, ale poprawnie obliczy jego objętość, to otrzymuje 4 punkty. 8 z 8