ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie UNIWERSYT E ZACHODNIOPOMOR T T E CH LOGICZNY W SZCZECINIE NO SKI KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN ZAKŁAD PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z Podstaw Konstrukcji Maszyn nr 7 Obliczanie grubości zęba Opracował: dr inż. Marek Zapłata Szczecin 2015
2 Spis treści Wstęp... 3 1 Funkcja ewolwentowa (involuta). Kąt zarysu... 3 2 Grubość zęba korygowanego... 4 2.1 Grubość zęba korygowanego na średnicy podziałowej... 4 2.2 Grubość zęba korygowanego na dowolnej średnicy... 6 2.3 Grubość zęba korygowanego u wierzchołka... 6 3 Granice korekcji... 7 4 Przebieg ćwiczeń laboratoryjnych... 8 Literatura:... 11
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn Obliczanie grubości zęba 3 Wstęp Przekładnie zębate służą do przenoszenia mocy z elementu napędzanego na napędzany, Ich celem stosowania przekładni jest dostosowanie parametrów ruchu generowanego przez silnik do wymagań maszyny roboczej. Są zasadniczą częścią mechanizmu lub maszyny. Najczęściej cały ten zespół, zamknięty w korpusie, nazywa się reduktorem, skrzynią biegów. Skoro jedną z podstawowych zadań przekładni jest przenoszenie mocy to oznacza, że zęby koła są obciążane siłami, działającymi na pewnym promieniu dają moment obrotowy, co przy zadanej prędkości obrotowej daje określoną moc. Kierunek siły międzyzębnej (patrz: podstawowe prawo zazębienia) jest taki jak kierunek linii przyporu. Zatem ząb, pod wpływem działania tej siły, jest obciążony naprężeniami gnącymi, które w niektórych przypadkach będą podstawowym, dominującym naprężeniem. Nie jest zatem bez znaczenia zarówno grubość zęba jak i jego wysokość. Te cechy geometryczne koła będą przede wszystkim odpowiadały za wartość naprężeń gnących. Dlatego tematem niniejszego laboratorium jest Obliczanie grubości zęba. 1 Funkcja ewolwentowa (involuta). Kąt zarysu Ewolwentę kreśli punkt końcowy nici odwijającej się z koła zwanego ewolutą. Ewolutą tej krzywej ewolwentowej, w teorii kół zębatych, nazywamy kołem zasadniczym. Podstawowa zależność ewolwenty wyraża się równaniem (rys.1) YN =ZN, gdzie punkt Z jest początkowym punktem ewolwenty, położonym na okręgu koła zasadniczego. Rys.1 Obliczanie funkcji ewolwentowej oraz określenie kąta zarysu Z wyrysowanej na rysunku 1 konstrukcji geometrycznej można napisać następujące zależności: YN =ZN
4 =tan czyli = tan i ostatecznie: = ( + ) = = czyli kąt zawarty między promieniem początkowego punktu ewolwenty i promieniem rozpatrywanego jej punktu jest równy tangensowi kąta zarysu tego punktu (wyrażonego w mierze kątowej). Kąt ten nosi nazwę involuty kąta α y i stanowi tzw. funkcję ewolwentową. Kątem zarysu w rozpatrywanym punkcie Y zarysu zęba będziemy określali kąt zawarty między promieniem OY koła poprowadzonym od tego punktu i styczną do zarysu (ewolwenty) w punkcie Y. Ponieważ promień ON jest prostopadły do stycznej YN, która z kolei jest prostopadła do stycznej w punkcie Y. Wynika stąd zależność, że kąt ą = ą = Wartość kąta zarysu obliczamy z trójkąta YON =cos = Najczęściej kąt zarysu oblicza się dla promieni (średnic) charakterystycznych dla koła zębatego: średnicy wierzchołkowej, średnicy podziałowej, średnicy stóp. Kąt zarysu dla średnicy podziałowej jest nazywany nominalnym kątem zarysu. Zestawienie wzorów do obliczania kąta zarysu przedstawiono w tablicy poniżej: Tablica 1. Wzory do obliczania kąta zarysu Kąt przyporu dla punktu zarysu położonym: na okręgu koła podziałowego d na okręgu koła wierzchołkowego d a na dowolnym okręgu d y na okręgu koła obróbczo-tocznego d ow = = = = 2 Grubość zęba korygowanego 2.1 Grubość zęba korygowanego na średnicy podziałowej Ponieważ podziałka w narzędziu-zębatce może być odmierzana na dowolnej wysokości zęba, linią toczną może być dowolna linia równoległa do wierzchołkowej linii zębatki. W narzędziu zębatce oznaczymy linię MM, na której grubość zęba jest równa szerokości wrębu. Jest to linia podziałowa narzędzia zębatki. Podczas nacinania zębów, w przypadku zarysów zerowych, obrabiane koło zębate toczy się swoją średnicą podziałową po linii podziałowej narzędzia zębatki. Wtedy linia podziałowa MM jest jednocześnie linią toczną TT. Stąd wynika warunek, że podziałka nominalna nacinanego koła jest równa podziałce narzędzia. W sytuacji, gdy nacinamy koło zębate ma mieć liczbę zębów mniejszą od granicznej wystąpi podcięcie. Abu go uniknąć dokonuje się korekcji uzębienia (odsuwamy narzędzie-zębatkę od obrabianego koła).
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn Obliczanie grubości zęba 5 Rys.2. Wyznaczanie grubości zęba o przesuniętym zarysie na średnicy podziałowej Rys.3. Obliczanie grubości zęba na dowolnej promieniu r y (dowolnej wysokości zęba)
6 Z powyższego rozumowania wynika, że dla uniknięcia podcięcia, gdy odsuwamy narzędzie o wielkość = od obrabianego koła i mamy do czynienia z zębami korygowanymi, zmienia się (zwiększa) grubość zęba na średnicy koła podziałowego. Wizualizację takiej sytuacji pokazuje rysunek 2. Z trójkąta ADF obliczyć można połowę przyrostu grubości zęba =, (z jednej strony). Odcinek =, jest równy przesunięciu narzędzia zębatki. = Grubość zęba na łuku koła podziałowego wynosi ponieważ =, można ostatecznie zapisać: = + = + 2.2 Grubość zęba korygowanego na dowolnej średnicy Z rys.3 widać, że grubość zęba na dowolnej średnicy obliczamy z zależności =2 Wartość obliczymy korzystając z funkcji involuty = + Na kącie ϕ wyznaczona została grubość zęba korygowanego na średnicy podziałowej Po podstawieniu otrzymujemy: = 2 =2 ( 2 + ) gdzie: grubość zęba na dowolnym okręgu o promieniu r y ; kąt środkowy odpowiadający połowie grubości zęba na okręgu o promieniu r y w mierze łukowej w radianach; kąt środkowy odpowiadający połowie grubości zęba na okręgu podziałowym, w mierze łukowej; grubość zęba korygowanego na łuku koła podziałowego; promień koła podziałowego; nominalny kąt zarysu (odpowiadający kołu podziałowego); kąt zarysu odpowiadający kołu o promieniu r y. 2.3 Grubość zęba korygowanego u wierzchołka Korzystając ze wzoru na grubość zęba na dowolnym okręgu w miejsce promienia r y podstawiamy r a. Pamiętając, że: = 1 2 = 1 2 ( +2h )= 1 2 +2 ( + )
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn Obliczanie grubości zęba 7 oraz uwzględniając zależność do obliczania grubości zęba korygowanego na średnicy koła podziałowego (wyprowadzony w poprzednim punkcie) otrzymujemy = ( +2 +2 ) +4 tan + 2 gdzie: grubość zęba na okręgu koła wierzchołkowego; kąt zarysu ewolwenty dla koła wierzchołkowego. α 3 Granice korekcji Przesunięcie zarysu zęba wywołuje skutki w postaci zmian grubości zębów (rys.4). Podczas stosowania korekcji dodatniej zastępuje co prawda zwiększenie grubości zęba u podstawy i na średnicy podziałowej, ale powoduje także zmniejszanie tej grubości na średnicy wierzchołkowej, która się podczas korekcji ulega zwiększeniu. Rys.4a. Zmiana kształtu zębów podczas przesunięcia zarysu: przedstawienie teoretyczne Powstaje niepożądany efekt zaostrzenia zęba na średnicy wierzchołkowej. Koła zębate prawie zawsze są obrabiane cieplnie, często są nawęglane. Powierzchnie zębów, ze względu na wysokie naciski powierzchniowe, powinny mieć wysoką twardość. Ząb taki podczas pracy w przekładni zębatej może łatwo ulec uszkodzeniu może się wykruszyć. Aby do tego nie dopuścić powinniśmy zadbać, by ząb u swego wierzchołka był odpowiednio gruby. Dla przekładni mocy często zaleca się, by minimalna grubość zęba na średnicy wierzchołkowej nie była mniejsza niż =0,4. Jeśli mamy do czynienia z korekcją ujemną, to granicą stosowania korekcji jest podcięcie zęba u podstawy (rys.5).
8 Rys.4b. Zmiana kształtu zębów podczas przesunięcia zarysu: zmiana kształtu i położenia zęba w zależności od wartości korekcji dla nacinanego koła zębatego w stosunku do kształtu i położenia koła zerowego, dla którego: z=10, m=20, y=1 i współczynników korekcji x=0,2; 0,4; 0,6; 0,8. 4 Przebieg ćwiczeń laboratoryjnych Na zajęciach będziemy wykorzystywać, wykonany na poprzednim ćwiczeniu laboratoryjnym, rysunek zarysu zębów z symulacji nacinania kół zębatych (moduł m=20, liczba zębów z=8). Na rysunku tym są przedstawione trzy zarysy zębów. Pierwszy z nich jest zębem koła o zarysie zerowym (niekorygowanym). Kolejne dwa przedstawiają zęby kół korygowanych, przy czym dla pierwszego z nich przeprowadzono korekcję dla teoretycznej granicznej liczby zębów, a dla drugiego dla praktycznej granicznej liczby zębów. Na każdym z tych zarysów narysowano koła: wierzchołkowe d a, podziałowe d i stóp d f. Przybliżony kształt zębów, wyrysowanych na krążku brystolu na poprzednim ćwiczeniu, przedstawiony został na rysunkach 6a-6c.
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn Obliczanie grubości zęba 9 Rys.5. Przybliżone, ze względu na zaostrzenie i podcięcie, współczynniki przesunięcia zarysu w funkcji liczby zębów Aby wykonać ćwiczenie należy: a) na wyrysowanych zarysach zębów odczytać (zmierzyć) grubości zębów na średnicach wierzchołkowych; b) obliczyć grubości zębów u wierzchołka przed i po korekcji. Porównać z obrazem otrzymanym, jako wynik symulacji nacinania zęba (punkt a); c) w przypadku, gdy grubość zębów na średnicy wierzchołkowej jest mniejsza od 0,4 (przy pomocy linijki) nanieść na ząb grubość wierzchołkową równąą 0,4. Zmierzyć wartość średnic wierzchołkowych dla tak oznaczonych zębów dzikich; d) obliczyć współczynniki skrócenia głowy zęba - k dla założenia, że grubość zęba na średnicy koła wierzchołkowego nie może być mniejsza niż 0,4 oraz obliczyć średnice wierzchołkowe dla zębów dzikich; e) porównać wyniki obliczeń z wynikami uzyskanymi z metody graficznej. Wyciągnąć wnioski.
10 Rys.6a. Symulacja nacinania zębów (z=8, m=20): koło niekorygowane podcięte (x=0) Rys.6b. Symulacja nacinania zębów (z=8, m=20): koło z przesuniętym zarysem (dla teoretycznego przesunięcia zarysu zęba x=0.53)
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn Obliczanie grubości zęba 11 Rys.6c. Symulacja nacinania zębów (z=8, m=20): koło z przesuniętym zarysem (dla praktycznego przesunięcia zarysu zęba x=0,35) W sprawozdaniu zamieścić: - wykreślone na zajęciach zęby obrabianego koła (na arkuszu brystolu) z oznaczonymi średnicami wierzchołkowymi zębów dzikich; - obliczenia przeprowadzone na zajęciach; - wnioski: - Przykład obliczeniowy: Mając dane: m n =4; y=1, α n =20, z=20, β =20 (koło zębate z zębami śrubowymi), obliczyć grubość zęba na średnicy wierzchołkowej. Literatura: 1. Ochęduszko K. Koła zębate tom 1 konstrukcja, WNT, Warszawa 2009; 2. Dziama A., Michniewicz M., Niedźwiedzki A., Przekładnie zębate, PWN, Warszawa 1995; 3. Podstway konstrukcji maszyn, Praca zbiorowa pod redakcją Dietricha M. Wydawnictowo Naukowe PWN, Warszawa 1986.