Atom wodoru i jony wodoropodobne

Atom wodoru i jony wodoropodobne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Spis treści Spis treści 1. Model Bohra atomu wodoru 2 1.1. Porządek wśród atomów......................................... 2 1.2. Energia elektronu............................................. 3 2. Atom wodoru w mechanice kwantowej 4 2.1. Równanie Schrödingera......................................... 4 2.2. Rozwiązanie równania Schrödingera.................................. 5 2.3. Liczby kwantowe............................................. 7

1. Model Bohra atomu wodoru 1.1. Porzadek wśród atomów Doświadczenie Rutherforda (1911) Analiza kątów rozproszenia cząstek alfa pozwoliła określić rozmiary ładunku dodatniego wchodzącego w skład atomu Au. Prawie cała masa atomu skupiona jest w bardzo małym obszarze jądrze atomowym. Rozmiar jądra zależy od pierwiastka, ale może być oszacowany jako ok. 10 14 m, rozmiary atomu rzędu 10 10 m, a masa protonu to 1836m e. Model atomu wprowadzał bliskie współczesnemu modelowi założenia: ładunek dodatni zgromadzony jest w niewielkim a przez to bardzo gęstym jądrze gromadzącym większość masy atomu, ładunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej i ładunku elektronu, ujemnie naładowane elektrony okrążają jądro, podobnie jak planety okrążają Słońce. Model Bohra atomu wodoru Zakładając, że elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w jądrze, a środek masy pokrywa się ze środkiem jądra (protonu). Z równowagi sił F c = ma, 1 e 2 4πɛ 0 r = m v2 2 r, c Ireneusz Owczarek, 2013 2

można obliczyć energię kinetyczną Energia całkowita E k = mv2 2 = e2 8πɛ 0r. E c = E k + E p = e2 8πɛ 0r e2 e2 4πɛ = 0r 8πɛ. 0r Postulaty Bohra 1. Elektron w atomie porusza się po orbicie kołowej pod wpływem przyciągania kulombowskiego pomiędzy elektronem a jądrem. 2. Elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których moment pędu L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2π gdzie n oznacza liczbę kwantową. L = n h = n n=1, 2, 3,.. 2π 3. Elektron poruszając się po orbicie nie wypromieniowuje energii. Jego całkowita energia pozostaje stała. 4. Przejściu elektronu z orbity o energii E n na orbitę o energii E m towarzyszy emisja lub absorpcja fotonu o energii E n E m = hν. 1.2. Energia elektronu Z postulatu Bohra energia kinetyczna Promień Bohra gdzie r 0 = 5, 29 10 11 m. v = n mr, e 2 8πɛ = 1 ( ) n 2, 0r 2 m mr r n = 4πɛ0 2 me 2 n2 = r 0n 2, Energia elektronu E n = me4 32π 2 ɛ 1 2 0 2 n = E0 2 n, 2 gdzie E 0 = 13, 59eV jest energią jonizacji atomu (przejście ze stanu n = 1 do nieskończoności). c Ireneusz Owczarek, 2013 3

Po czasie 10 8 s następuje samorzutne przejście elektronu z poziomu n na poziom k (n > k). Atom emituje kwant promieniowania o częstotliwości Ponieważ ν = En E k h = me4 64π 3 ɛ 2 0 3 ( 1 k 2 1 n 2 ). ν = c λ Długość fali emitowanego fotonu 1 λ = me 4 ( 1 64π 3 cɛ 2 0 3 k 1 ) ( 1 = R 2 n 2 0 k 1 ), 2 n 2 gdzie R 0 = 1, 09737 10 7 m 1 jest stałą Rydberga. Grupę linii z jednakowymi wartościami n nazwano serią widmową. Dla jonów wodoropodobnych (Z jest liczbą porządkową w układzie okresowym pierwiastków) ( 1 1 λ = Z2 R 0 k 1 ). 2 n 2 2. Atom wodoru w mechanice kwantowej 2.1. Równanie Schrödingera Sprzeczności z prawami fizyki klasycznej Niestety model atomu Bohra jest niewystarczający: zbyt prosty, nie pasuje do atomów wieloelektronowych, dlaczego moment pędu elektronu jest skwantowany? dlaczego elektron nie emituje promieniowania i nie spada na jądro? Mimo tego wskazuje on, że elektrony w atomie przyjmują pewne stacjonarne (trwałe) stany energetyczne. Atom wodoru jest swego rodzaju studnią potencjału (naturalną pułapką) dla elektronu. Energia potencjalna oddziaływania elektron jądro jest postaci U(r) = 4πɛ. 0r Równanie Schrödingera dla przypadku trójwymiarowego w układzie kartezjańskim 2 ψ x + 2 ψ 2 y + 2 ψ 2 z 2 e2 = 2m (E U)ψ. 2 c Ireneusz Owczarek, 2013 4

Układ sferyczny Potencjał ma symetrię sferyczną więc należy wprowadzić sferyczny układ współrzędnych x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ. Równanie Schrödingera w układzie sferycznym ( ) ( 1 r 2 ψ 1 + sin ϑ ψ r 2 r r r 2 sin ϑ ϑ ϑ ) + 1 2 ψ r 2 sin 2 ϑ gdzie szukana funkcja falowa we współrzędnych sferycznych ma postać ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Y (ϑ, ϕ). ϕ = 2m (E U)ψ, 2 2 Podstawiając tą funkcję do równania Schrödingera otrzymuje się trzy równania z których każde opisuje zachowanie się funkcji falowej w zależności od r, ϑ, ϕ równanie radialne, biegunowe i azymutalne. 2.2. Rozwiazanie równania Schrödingera Kwantowanie energii Rozwiązanie równania radialnego R n(r) istnieje jeśli energia elektronu przyjmuje ściśle określone wielkości E n = me4 Z2 Z2 = 13, 59eV 32π 2 ɛ 2 0 2 n 2 n, 2 dla wartości r = r 0 r 0 = 4πɛ0 2 me 2 = 5, 29 10 11 m. wyrażenia dla r 0 i E n są identyczne jak w modelu Bohra, kwantyzacja jest wynikiem rozwiązania równania Schrödingera, a nie postulatem, r 0 nie jest promieniem orbity, lecz odległością od jądra, przy której prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu osiągnie wartość maksymalną, c Ireneusz Owczarek, 2013 5

przyjęcie klasycznej orbity traci sens, moment pędu nie jest równy n, lecz L = l(l + 1). Kwantowanie modułu momentu pędu Funkcja Y (ϑ, ϕ) jest funkcją własną i pozwala znaleźć wartości własne (rozwiązanie), gdy: L = l(l + 1) l = 0, 1, 2,..., n 1, to znacz, że moment pędu elektronu w atomie wodoru L jest skwantowany, a liczba l jest tu tzw. orbitalną (azymutalną) liczbą kwantową. Przyjmuje się następujące oznaczenia stanów elektronu w atomach: l = 0 stan s, l = 1 stan p, l = 2 stan d, l = 3 stan f,... Wektora L nie można w żaden sposób zmierzyć, można jedynie zmierzyć składową tego wektora wzdłuż danej osi np. określonej przez pole magnetyczne. Kwantowanie przestrzenne momentu pędu Funkcje Y (ϑ, ϕ) są tzw. funkcjami kulistymi oznaczanymi Y lm (ϑ, ϕ). Liczba m l jest tu tzw. magnetyczną liczbą kwantową, m l = 0, ±1, ±2,..., ±l. Magnetyczna liczba kwantowa opisuje wartość rzutu momentu pędu elektronu na oś określającą wyróżniony kierunek w atomie, np. zewnętrznego pola elektrycznego lub magnetycznego L z = m l. Jeżeli długość orbity elektronu jest równa całkowitej wielokrotności λ, fale de Broglie a nie wygaszają się orbita jest dozwoloną m l λ = 2πr. c Ireneusz Owczarek, 2013 6

2.3. Liczby kwantowe Liczby kwantowe w modelu Bohra Stan elektronu określony jest przez główna liczbę kwantową n i oznacza numer orbity (odpowiada odległości od jądra). Przyjmuje wartości całkowitych liczb dodatnich, n = 1, 2, 3,..., orbitalna liczbę kwantową l i oznacza wartość bezwzględną orbitalnego momentu pędu. Przyjmuje wartości liczb naturalnych z zakresu < 0, n 1 >, magnetyczna liczbę kwantową m l i oznacza rzut orbitalnego momentu pędu na wybraną oś. Przyjmuje wartości liczb całkowitych z zakresu < l, 0, +l >, magnetyczna spinowa liczbę kwantową m s określającą spinowy moment elektronu. Dla elektronu przyjmuje wartości + 1 (prawoskrętny) lub 1 (lewoskrętny). 2 2 W swobodnym atomie wodoru i jonie wodoropodobnym wszystkie stany o danej wartości liczby kwantowej n i różnych wartościach liczb kwantowych l i m mają tę samą energię. Orbital atomowy Orbital atomowy to funkcja falowa ψ opisująca stan elektronu w atomie zależna od trzech liczb kwantowych: n, l i m l. Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w elemencie objętości dv określone jest przez ψ 2 dv. Każdy orbital atomowy jest związany z pewną symetrią obszaru, w którym znajduje się elektron. Obszar w którym występuje duże prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu nazywa się chmurą elektronową. Kolejność obsadzania poziomów elektronowych Reguła Hunga Poziomy o jednakowej energii są najpierw obsadzane przez pojedyncze elektrony o takim samym spinie. Zakaz Pauliego W atomie dwa elektrony nie mogą mieć identycznych czterech liczb kwantowych Z zasady tej wynika,że: c Ireneusz Owczarek, 2013 7

na każdej powłoce znajduje się maksymalnie Z = 2n 2 stanów do obsadzenia, Na każdej podpowłoce znajduje się 2(2l + 1) stanów do obsadzenia. n l m l m s Z 1 0 0 1 2, + 1 2 2 2 0 0 ± 1 2 1-1 ± 1 2 8 1 0 ± 1 2 1 1 ± 1 2 Systematyka zapełniania stanów elektronowych w atomach i okresowość zmian własności chemicznych pierwiastków umożliwiają umieszczenie wszystkich pierwiastków w układzie okresowym pierwiastków Mendelejewa. Energia jonu wodoropodobnego Energia jonizacji równa jest energii wiązania elektronu w atomie. Największą energię jonizacji mają atomy gazów szlachetnych. Pierwiastki te mają zapełnione powłoki walencyjne. Najmniejszą energię jonizacji mają pierwiastki z pierwszej grupy układu okresowego posiadające na powłoce walencyjnej jeden elektron. Układ okresowy pierwiastków Założenia: Liczba porządkowa Z pierwiastka chemicznego określa liczbę protonów znajdujących się w jądrze atomowym równa jest także liczbie elektronów w atomie gdy atom nie jest zjonizowany. Stan elektronu w atomie określony jest przez zestaw liczb kwantowych n, l, m l i m s. Obsadzenie stanów energetycznych w atomie przez elektrony powinno zachodzić zgodnie z zakazem Pauliego. Tablica Mendelejewa ułożenie znanych pierwiastków chemicznych według wzrastających liczb atomowych, pierwiastki w pionowych kolumnach (grupach układu) mają podobne właściwości chemiczne, fizyka kwantowa systematyzuje atomy poprzez podanie ich konfiguracji elektronowej, numer porządkowy okresu odpowiada głównej liczbie kwantowej n. c Ireneusz Owczarek, 2013 8

Literatura [1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005. [2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007. [3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984. [4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-fizyka. Podstawy fizyki. [5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/ kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. c Ireneusz Owczarek, 2013 9