KRZYSZTOF TESCH GDANSK 2014

KRZYSZTOF TESCH GDANSK 2014

PRZEWODNICZĄCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Janusz T. Cieśliński RECENZENT Romuald Puzyrewski PROJEKT OKŁADKI Katarzyna Olszonowicz Wydanie II 2013 Wydano za zgodą Rektora Politechniki Gdańskiej Oferta wydawnicza Politechniki Gdańskiej jest dostępna pod adresem http://www.pg.edu.pl/wydawnictwo/katalog zamówienia prosimy kierować na adres wydaw@pg.gda.pl Utwór nie może być powielany i rozpowszechniany, w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób, bez pisemnej zgody wydawcy Copyright by Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej Gdańsk 2014 ISBN 978-83-7348-544-0

Spis treści 1. Wstęp 7 1.1. Mechanikapłynów................... 7 1.2. Podstawowepojęcia................... 7 1.3. Zakrespracy..................... 8 1.4. Notacja....................... 9 2. Teoria pola 11 2.1. Polaskalarne,wektoroweitensorowe............ 11 2.2. Izolinieiizopowierzchnie................. 11 2.3. Liniepolawektorowego................. 12 2.4. Operatoryróżniczkowaniaprzestrzennego........... 13 2.4.1. Gradient.................... 13 2.4.2. Dywergencja.................. 15 2.4.3. Rotacja.................... 16 2.4.4. Operator Laplace a i operator biharmoniczny...... 17 2.4.5. Pochodnakierunkowa............... 20 2.5. Tożsamościwektorowe.................. 22 2.6. Potencjałskalarnyiwektorowy.............. 24 2.7. Całkowaniepólskalarnychiwektorowych........... 26 2.7.1. Całkakrzywoliniowanieskierowana.......... 26 2.7.2. Całkakrzywoliniowaskierowana........... 27 2.7.3. Całkapowierzchniowaniezorientowana......... 28 2.7.4. Całkapowierzchniowazorientowana.......... 29 2.7.5. Strumienie................... 31 2.8. Twierdzeniacałkoweteoriipola.............. 33 2.8.1. TwierdzenieGaussa................ 33 2.8.2. TwierdzenieGreena................ 36 2.8.3. TwierdzenieStokesa................ 37 2.8.4. WzoryGreena.................. 39 3. Kinematyka i równanie zachowania masy 41 3.1. Metodyopisustanupłynu................ 41 3.2. Linie i powierzchnie prądu, trajektorie oraz linie i powierzchnie wirowe 45 3.3. Opisruchuelementupłynu................ 46 3.4. Deformacjeelementupłynu................ 50 3.5. ItwierdzenieHelmholtzaowirowości............ 54 3.6. Jakobianidylatacja.................. 56

4 Spis treści 3.7. TwierdzenieReynoldsaotransporcie............ 58 3.8. Równaniezachowaniamasy................ 63 3.9. Funkcjaprądu..................... 67 4. Dynamika 70 4.1. Siłyistannaprężeniawpłynie............... 70 4.2. Równaniezachowaniapędu................ 72 4.3. Równaniezachowaniamomentupędu............ 74 4.4. Równaniakonstytutywnepłynównewtonowskich........ 76 4.5. RównaniaNaviera-StokesaiEulera............. 82 5. Energia i entropia 85 5.1. Równaniezachowaniaenergii............... 85 5.2. RównanieGibbsa................... 88 5.3. Drugazasadatermodynamikidlaośrodkówciągłych....... 88 5.4. Pierwszazasadatermodynamikidlaośrodkówciągłych...... 90 5.5. Dyssypacjaenergiimechanicznej.............. 92 5.5.1. Pojęciedyssypacji................ 92 5.5.2. Funkcjadyssypacji................ 93 5.5.3. Niezmienniczośćdyssypacji............. 95 6. Statyka 98 6.1. Układrównań..................... 98 6.2. Powierzchniarozdziału................. 100 6.3. CałkowanierównaniarównowagiiprawoPascala........ 100 6.4. Napóriparadokshydrostatyczny.............. 102 6.5. Momentnaporuhydrostatycznego............. 104 6.6. WypórhydrostatycznyiprawoArchimedesa.......... 106 6.7. Warunekpływaniaciał................. 107 7. Przepływy płynów lepkich 109 7.1. Problemdomknięciaukładówrównań............ 109 7.2. Warunkizgodności................... 111 7.3. Ogólnerównanietransportu................ 112 7.4. Warunkibrzegowe................... 113 7.5. Bezwymiarowapostaćpodstawowychrównań......... 116 7.5.1. Równaniezachowaniamasy............. 117 7.5.2. Równaniezachowaniapędu............. 118 7.5.3. Równanieenergiiwewnętrznej............ 118 7.6. LinearyzacjarównaniaNaviera-Stokesa............ 119 7.6.1. RównanieStokesa................ 120 7.6.2. RównanieOseena................. 120 7.6.3. Linearyzacjaprzeziteracje............. 121 7.7. Przepływypełzające.................. 122 7.7.1. Dwuwymiaroweprzepływypełzające.......... 123 7.7.2. TwierdzenieHelmholtzaominimumdyssypacji...... 129 7.7.3. Wariacyjne sformułowanie zagadnienia Stokesa...... 131

Spis treści 5 7.8. RównanieHelmholtza.................. 133 7.9. ZapisrównaniaNaviera-Stokesazapomocąfunkcjiprądu..... 134 7.10. Niektóre rozwiązania analityczne równania Naviera-Stokesa.... 135 7.10.1. Rozwiązaniadokładne............... 137 7.10.2. Rozwiązaniaprzybliżone.............. 140 8. Przepływy płynów nielepkich 145 8.1. Układrównań..................... 146 8.2. AdiabataPoissona................... 147 8.3. RównanieBernoulliego................. 147 8.4. TwierdzenieKelvinaocyrkulacji.............. 149 8.5. Twierdzenie Lagrange a i III twierdzenie Helmholtza o wirowości.. 150 8.6. IItwierdzenieHelmholtzaowirowości............ 151 8.7. Przepływypotencjalne.................. 152 8.7.1. Twierdzenie Kelvina o minimum energii kinetycznej.... 152 8.7.2. CałkaLagrange a................. 153 8.7.3. Zamknięte układy równań dla przepływów potencjalnych.. 154 8.7.4. Dwuwymiarowe przepływy nieściśliwe i potencjalne.... 155 8.7.5. Potencjałzespolony................ 156 9. Laminarna warstwa przyścienna 173 9.1. RównaniaPrandtla................... 174 9.2. Liniowemiaryredukcji.................. 176 9.3. ZadanieBlasiusa.................... 177 9.4. RównanieKármána................... 181 10.Gazodynamika 185 10.1.Warunkizgodnościnapowierzchniachnieciągłości........ 185 10.2.Prędkośćdźwięku................... 185 10.3.Propagacjamałychzaburzeń równaniaakustyki........ 186 10.4.Propagacjadużychzaburzeń............... 191 10.5. Liczba Macha i współczynnik prędkości. Parametry krytyczne... 195 10.6.Prostopadłafalauderzeniowa............... 197 10.7.DyszadeLavala.................... 201 10.8.RównanieCrocco................... 203 10.9.Potencjalnyprzepływgazu................ 204 11.Turbulencja 206 11.1.SkaleKołmogorowa................... 206 11.2.Dekompozycjaiśrednie................. 208 11.3.RównanieReynoldsa.................. 210 11.4.FiltracjarównaniaNaviera-Stokesa............. 212 11.5.Niektóremiaryturbulencji................ 214 11.6.RównanietransportunaprężeńReynoldsa........... 215 11.7.HipotezaBoussinesqa.Lepkośćturbulentna.......... 218 11.8.Dyssypacja...................... 219 11.9. Równanie Fouriera-Kirchhoffa w turbulencji. Dyfuzyjność turbulentna 221

6 Spis treści 11.10.Przepływywpobliżukonturów............... 223 11.10.1.Przepływmiędzypłaskimipłytkami.......... 223 11.10.2.Drogamieszania................. 225 11.10.3.Turbulentnawarstwaprzyścienna........... 227 11.11.Modeleturbulencji................... 229 11.11.1.Modelzerorównaniowy.............. 230 11.11.2.Modeljednorównaniowy.............. 231 11.11.3.Modeldwurównaniowyk-ε............. 233 11.11.4.Modeldwurównaniowyk-ω............. 237 11.11.5.ModelopartynatransporcienaprężeńReynoldsa..... 238 11.12.Ogólnerównanietransportuwielkościskalarnej......... 239 11.13.Uwaginatematściśliwościwturbulencji........... 240 12.Przepływy wieloskładnikowe i wielofazowe 244 12.1.Udziałyskładnikowe.................. 244 12.2.Prędkośćbarycentrycznaidyfuzyjna............ 248 12.3.Przepływywieloskładnikowe............... 249 12.3.1. Transportmasy................. 249 12.3.2. PrawoFicka.................. 251 12.3.3. Układrównańdlaprzypadkunieściśliwego....... 251 12.3.4. Turbulentneprzepływywieloskładnikowe........ 253 12.4.Przepływywielofazowe................. 256 12.4.1. Równaniezachowaniamasy............. 256 12.4.2. Równaniezachowaniapędu............. 259 12.4.3. Równaniekonstytutywne.............. 261 12.4.4. Równaniezachowaniaenergii............ 262 12.4.5. RównanieGibbsa................. 265 12.4.6. Równaniebilansuentropii............. 265 12.4.7. RównanieFouriera-Kirchhoffa............ 267 12.4.8. Układ równań dla przepływów wielofazowych nieściśliwych. 271 12.4.9. Ogólnerównanietransportuwielkościskalarnej...... 272 13.Rozwiązania 274 Literatura 289 Indeks 290