Nazwa modułu: Algebra Rok akademicki: 2016/2017 Kod: AMA-1-301-s Punkty ECTS: 7 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: - Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Język wykładowy: Polski Profil kształcenia: Ogólnoakademicki (A) Semestr: 3 Strona www: http://www.wms.mat.agh.edu.pl/~wojda Osoba odpowiedzialna: prof. zw. dr hab. Wojda Adam Paweł (wojda@agh.edu.pl) Osoby prowadzące: dr Dudek Aneta (aneta.dudek@agh.edu.pl) prof. zw. dr hab. Wojda Adam Paweł (wojda@agh.edu.pl) dr Cichacz-Przeniosło Sylwia (cichacz@agh.edu.pl) Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Powiązania z EKK Sposób weryfikacji efektów kształcenia (forma zaliczeń) Wiedza M_W001 Zna najważniejsze pojęcia i twierdzenia algebry abstrakcyjnej oraz ich dowody MA1A_W02, MA1A_W04 Egzamin, Odpowiedź ustna M_W002 Zna niektóre zastosowania algebry w teorii kryptografii i informatyce MA1A_W06 Aktywność na zajęciach Umiejętności M_U001 Potrafi w sposób zrozumiały przedstawić poprawne rozumowanie matematyczne, formułować twierdzenia i definicje. MA1A_U01 M_U002 Potrafi stworzyć nowe obiekty drogą konstruowania struktur ilorazowych. MA1A_U05 M_U003 Umie operować pojęciem liczby rzeczywistej, zna przykłady liczb niewymiernych i przestępnych. MA1A_U08 M_U004 Rozpoznaje struktury algebraiczne w zagadnieniach innych działów matematyki i dziedzin nauki. MA1A_U17 Kompetencje społeczne 1 / 5
M_K001 Rozumie potrzebę popularnego przedstawiania laikom wybranych osiągnięć matematyki wyższej. MA1A_K05 Egzamin M_K002 Potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień matematycznych. MA1A_K07 Egzamin, Odpowiedź ustna Matryca efektów kształcenia w odniesieniu do form zajęć Kod EKM Student, który zaliczył moduł zajęć wie/umie/potrafi Forma zajęć Wykład audytoryjne laboratoryjne projektowe Konwersatori um seminaryjne praktyczne terenowe warsztatowe Inne E-learning Wiedza M_W001 M_W002 Umiejętności M_U001 M_U002 M_U003 M_U004 Zna najważniejsze pojęcia i twierdzenia algebry abstrakcyjnej oraz ich dowody Zna niektóre zastosowania algebry w teorii kryptografii i informatyce Potrafi w sposób zrozumiały przedstawić poprawne rozumowanie matematyczne, formułować twierdzenia i definicje. Potrafi stworzyć nowe obiekty drogą konstruowania struktur ilorazowych. Umie operować pojęciem liczby rzeczywistej, zna przykłady liczb niewymiernych i przestępnych. Rozpoznaje struktury algebraiczne w zagadnieniach innych działów matematyki i dziedzin nauki. Kompetencje społeczne M_K001 M_K002 Rozumie potrzebę popularnego przedstawiania laikom wybranych osiągnięć matematyki wyższej. Potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień matematycznych. 2 / 5
Treść modułu zajęć (program wykładów i pozostałych zajęć) Wykład Pojęcie grupy Arytmetyka liczb całkowitych twierdzenie o dzieleniu. Algorytm Euklidesa. Pojęcie grupy. 2. Grupy c.d. Homomorfizmy grup. Rząd elementu w grupie. Funkcja Eulera. Zasada włączania i wyłączania Formuła sita Eratostenesa. 3. Grupy cykliczne. Grupy permutacji i transformacji. Twierdzenia Cayleya i Lagrange a 4. Twierdzenia Eulera i Małe Twierdzenie Fermata. Równania modularne. Chińskie twierdzenie o resztach. 5. Kwadratowe residua modulo. Zasady kryptografii z kluczem publicznym. Metody Rabina i RSA 6. Grupy i metody zliczania. Grupy i metody zliczania. Grupy działające na zbiorach. Stabilizatory i orbity. Przykłady grup izometrii pięciokąta, sześcianu etc. 7. Lemat Burnside'a. Liczba różnych naszyjników z czarnych i białych pereł. Warstwy lewo- i prawostronne. 8. Podgrupy normalne. Grupy ilorazowe. Twierdzenie o izomorfizmie grup. Pierścienie. Przykłady. Podpierścienie i ideały 9. Pierścienie wielomianów. Podzielność w pierścieniach. Pierścienie Gaussa. Przykłady pierścieni Gaussa i przykłady pierścieni niegaussowskich pierścienie Dedekinda 10. Pierścienie główne. Pierścienie wielomianów nad ciałem jako przykład pierścieni głównych. Twierdzenie o ciągu wstępującym ideałów w pierścieniu głównym. Największy wspólny dzielnik dwóch elementów w pierścieniu postać w pierścieniu głównym. 11. Pierścienie euklidesowe. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Ciało ułamków pierścienia całkowitego. Twierdzenie o pierwiastkach w ciele ułamków. 12. Wielomiany nieprzywiedlne. Kryterium Eisensteina nieprzywiedlności wielomianów nad pierścieniem Gaussa. Pierścienie ilorazowe. Homomorfizmy pierścieni. Podstawowe twierdzenie o izomorfizmie pierścieni. 13. Wielomiany wielu zmiennych. Wielomiany symetryczne. Wzory Viety. Twierdzenie Wilsona. 14. Podstawowe Twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Rozszerzenia ciał rozszerzenia algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia skończone. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie o istnieniu ciała rozkładu. Twierdzenie zasadnicze algebry. audytoryjne 3 / 5
Rozwiązywanie zadań i problemów teoretycznych ilustrujących tematykę wykładów Sposób obliczania oceny końcowej 1. Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie oceny pozytywnej z ćwiczeń. 2. Ocena z egzaminu jest średnią ocen egzaminu pisemnego i ustnego z tym, że przed przystąpieniem do egzaminu ustnego należy mieć zdany egzamin pisemny. 3. Ocena końcowa jest średnią arytmetyczną ocen z egzaminu i ćwiczeń. Wymagania wstępne i dodatkowe brak Zalecana literatura i pomoce naukowe 1. A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1980. 2. W.J. Gilbert i W.K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa 2008. 3. N. Koblitz, Algebraiczne aspekty kryptografii, WNT, Warszawa 2000. 4. W.K. Nicholson, Introduction to Abstract Algebra, Wiley 2007. 5. Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1975. 6. E.R. Scheinerman, Mathematics Discrete Introduction, Brooks/Cole 2000. Publikacje naukowe osób prowadzących zajęcia związane z tematyką modułu 1. Gosselin, Shonda; Szymański, Artur; Wojda, Adam Pawel Cyclic partitions of complete nonuniform hypergraphs and complete multipartite hypergraphs; Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 15, No. 2, 215-222, electronic only (2013). 2. Fouquet, J.L.; Thuillier, H.; Vanherpe, J.M.; Wojda, A.P. 3. Fouquet, Jean-Luc; Thuillier, Henri; Vanherpe, Jean-Marie; Wojda, Adam Paweł On (K q,k) stable graphs with small k. Electron. J. Comb. 19, No. 2, Research Paper P50, 10 p., electronic only (2012). 4. Fouquet, J.-L.; Thuillier, H.; Vanherpe, J.-M.; Wojda, A.P. On (K q,k) vertex stable graphs with minimum size. Discrete Math. 312, No. 14, 2109-2118 (2012). 5. Szymanski, Artur; Wojda, A.Paweł Cyclic partitions of complete uniform hypergraphs. (English) Zbl 1204.05066 Electron. J. Comb. 17, No. 1, Research Paper R118, 12 p., electronic only (2010). 6. Adamus, Lech; Orchel, Beata; Szymański, Artur; Wojda, A.Paweł; Zwonek, Małgorzata A note on t-complementing permutations for graphs. Inf. Process. Lett. 110, No. 2, 44-45 (2009). 7. Szymański, Artur; Wojda, Adam Paweł Self-complementing permutations of k-uniform hypergraphs; Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 11, No. 1, 117-124, electronic only (2009). Informacje dodatkowe Brak 4 / 5
Nakład pracy studenta (bilans punktów ECTS) Forma aktywności studenta Udział w wykładach Samodzielne studiowanie tematyki zajęć Udział w ćwiczeniach audytoryjnych Przygotowanie do zajęć Dodatkowe godziny kontaktowe z nauczycielem Egzamin lub kolokwium zaliczeniowe Sumaryczne obciążenie pracą studenta Punkty ECTS za moduł Obciążenie studenta 28 godz 60 godz 28 godz 40 godz 14 godz 5 godz 175 godz 7 ECTS 5 / 5