Wyznaczanie koncentracji naprężeń w elemencie rurowym z otworem

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszyn Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: PODSTAWY KONSTRUKCJI MASZYN II Temat ćwiczenia: Wyznaczanie koncentracji naprężeń w elemencie rurowym z otworem Numer ćwiczenia: 1 Opracowali: dr hab. inż. Krzysztof Molski, prof. w PB dr inż. Grzegorz Mieczkowski Białystok 011

SPIS TREŚCI 1. Cel ćwiczenia...3. Podstawy teoretyczne...4.1 Wprowadzenie...4. Otwór kołowy w rozciąganej tarczy...5.3 Otwór kołowy w tarczy poddanej czystemu ścinaniu...6.4 Naprężenia w przekroju poprzecznym rury dla rozciągania i skręcania...7.5 Obliczanie naprężeń w otworze znajdującym się w rurze....8.6 Obliczanie współczynnika koncentracji naprężenia α k...8.7 Pomiary naprężeń metodą tensometryczną...9.7.1 Budowa, zasada działania i własności tensometrów oporowych....9.7. Układy pomiarowe... 10.7.3 Wyznaczenie naprężeń, z użyciem tensometrów oporowych, przy znanym kierunkach naprężeń... 11 3. Przebieg ćwiczenia... 1 4. Literatura... 14 5. Przepisy BHP... 14 PROTOKÓŁ POMIAROWY... Błąd! Nie zdefiniowano zakładki.

Wstęp Elementy konstrukcyjne, poddane w czasie eksploatacji zmiennym obciążeniom, narażone są na uszkodzenie w wyniku zmęczenia materiału. Proces ten ma swój początek w miejscach o zwiększonej koncentracji naprężenia powodującej lokalny wzrost amplitudy naprężenia i odkształcenia. W efekcie dochodzi do przyśpieszonej kumulacji uszkodzenia zmęczeniowego inicjującego powstanie i rozwój pęknięcia. Jednym z częściej występujących w praktyce koncentratorów naprężenia jest otwór kołowy, wykonywany w różnych celach, np. jako otwór technologiczny, otwór pod śruby czy nity wykonany w celu łączenia elementów ze sobą lub przymocowanie dodatkowej części czy oprzyrządowania. Największe spiętrzenie naprężenia występuje w tym przypadku na brzegu otworu i zależy od wielu czynników, jak np.: stanu naprężenia w obszarze otaczającym otwór i pochodzącym od obciążeń zewnętrznych grubości elementu odległości otworu od brzegu elementu odległości otworu od miejsca przyłożenia obciążenia obecności elementów usztywniających, itp. Dlatego ważne jest, aby projektant przewidując konieczność obecności otworów w elementach nośnych konstrukcji ustalił ich położenie i sprawdził czy nie spowodują utraty wymaganej trwałości konstrukcji. Znanych jest wiele metod określenia koncentracji naprężenia w sąsiedztwie karbów i otworów. Jedną z nich jest korzystanie z gotowych rozwiązań uzyskanych teoretycznie w oparciu o założenia teorii sprężystości. Rozwiązania te, w formie ścisłej lub przybliżonej, uzyskano dla bardzo prostych i wyidealizowanych przypadków kształtu i obciążenia, co jednak nie ogranicza ich przydatności do zagadnień praktycznych, bardziej złożonych, pod warunkiem uwzględnienia istniejących ograniczeń, oszacowaniu dokładności i zakresu ich zastosowania. 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest analiza spiętrzenia naprężeń w rurze osłabionej niewielkim otworem. Rura ta obciążona jest na końcu siłą wzdłużną Q działającą w kierunku osiowym i/lub momentem skręcającym Ms (rys. 1). Student poznaje procedurę doświadczalną stosowaną przy pomiarach odkształceń lokalnych metodą tensometryczną oraz stosowanie uogólnionego prawa Hooke a w zagadnieniach płaskich. Ćwiczenie ma również umożliwić poznanie zasad wykorzystania i stosowania rozwiązań teoretycznych, uzyskanych dla prostych przypadków geometrii i obciążenia, do zagadnień bardziej złożonych, z uwzględnieniem zasady superpozycji. Istotnym celem jest również obliczenie wartości współczynników koncentracji naprężeń α k oraz oszacowanie dokładności dokonanych obliczeń. 3

Rys.1 Wymiary gabarytowe oraz obciążenie zewnętrzne badanej rury z otworem prostopadłym do jej osi, powodującym lokalną koncentracją naprężeń.. Podstawy teoretyczne.1 Wprowadzenie Osiągnięcie celu, którym jest określenie pola naprężeń na brzegu otworu wymaga rozwiązania i skojarzenia kilku niezależnych zagadnień omówionych poniżej, tzn.: a) określenie pola naprężeń dla przypadku tarczy z otworem obciążonej jednorodnym naprężeniem σ nieskończoności b) określenie pola naprężeń dla przypadku tarczy z otworem poddanej czystemu ścinaniu c) określenie pola naprężeń przekroju poprzecznym rury pochodzącego od rozciągania i skręcania d) obliczanie naprężeń w otworze znajdującym się w rurze. e) obliczenie naprężeń nominalnych w rurze i obliczenie współczynnika koncentracji naprężenia α k 4

. Otwór kołowy w rozciąganej tarczy Jednym z klasycznych rozwiązań teoretycznych teorii sprężystości, mających duże znaczenie praktyczne, jest zagadnienie tarczy z otworem o średnicy a obciążonej w nieskończoności równomiernym naprężeniem rozciągającym σ. Zagadnienie to rozwiązał G. Kirsch w1898 roku, a wyniki teoretyczne zostały potwierdzone licznymi eksperymentami z udziałem metod elastooptycznej i tensometrycznej. Rozwiązaniem problemu Kirscha są równania (1) opisujące pole naprężeń we współrzędnych biegunowych r,υ względem środka otworu: 4 a a a rr (1 ) (1 4 3 )cos( ) 4 r r r 4 a a (1 ) (1 3 )cos( ) 4 r r 4 a a r (1 3 )sin( ) (1) 4 r r Zgodnie z zasadą Saint Venanta, zaburzenie jednorodnego pola naprężeń σ, wywołane obecnością otworu, ma charakter lokalny, tzn. jest silne w sąsiedztwie otworu. Natomiast w odległości rzędu kilku jego średnic jest już pomijalnie małe. Fakt ten umożliwia korzystanie ze wzorów (1) w przypadku elementów o szerokości równej zaledwie kilku średnic otworu. Przykładowy rozkład poszczególnych komponentów naprężenia dla przypadku rozciągania pokazano na rysunku. r r r r r r r Rys. Rozkład naprężeń wokół niewielkiego otworu kołowego w tarczy obciążonej równomiernie naprężeniem rozciągającym σ. Jak widać na rysunku obecność koncentratora otworowego powoduje, że przy jednorodnym obciążeniu zewnętrznym (rozciąganie) występuje lokalnie złożony stan naprężeń. Wykorzystując równania (1) można określić naprężenia na brzegu otworu (r =a): 0 rr ( 1 cos( )) r 0 () Dystrybucję jedynych niezerowych naprężeń obwodowych σ φ () pokazano schematycznie na rysunku 3. 5

A D - - C B Rys.3 Rozkład naprężenia σ φ, dla rozciąganej jak na rys. tarczy, na brzegu otworu. W punktach A i B (rys. 3) naprężenie σ φ osiągają wartości maksymalne równe 3σ, natomiast w punktach C i D minimalne równe -σ..3 Otwór kołowy w tarczy poddanej czystemu ścinaniu Znając rozwiązanie zagadnienia przy obciążeniu zewnętrznym σ działającym w jednym kierunku (przyłożone w nieskończoności), można łatwo otrzymać rozwiązanie dla obciążenia działającego w dwóch kierunkach wzajemnie prostopadłych, wykorzystując superpozycję obu rozwiązań. r r r r r Rys.4 Tarcza z otworem obciążona obciążeniem działającym w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach przyłożonym w nieskończoności. 6

Dla tarczy obciążonej jak na rysunku 4 (obciążenie to odpowiada czystemu ścinaniu w płaszczyźnie przekroju dla kąta φ=π/4), stosując metodę superpozycji otrzymuje się następujące zależności opisujące pola naprężeń: 4 a a rr (1 4 3 )cos( ) 4 r r 4 a (1 3 )cos( ) 4 r 4 a a r (1 3 )sin( ) (3) 4 r r Przyjmując we wzorach (3) r =a otrzymuje się naprężenia na brzegu otworu: rr 0 4 cos( )) r 0 (4) Rozwiązania (3) i (4) można zaadoptować dla rury skręcanej przyjmując φ = φ+/4. Rozkład naprężeń obwodowych σ φ (4) dla skręcanego wałka pokazuje rysunek 5. Ms C B A - - D Rys.5 Rozkład naprężenia σ φ,, dla skręcanej rury, na brzegu otworu. Naprężenia w punktach wynoszą odpowiednią : -4σ dla A i B oraz 4σ dla B, C..4 Naprężenia w przekroju poprzecznym rury dla rozciągania i skręcania Dla układu współrzędnych, jak na rysunku 6, stan naprężenia w dowolnym punkcie O (x o,z o ) rury (bez otworu) określony jest przez dwie niezależne składowe σ x i τ xz. 7

y Q Ms x z d D Rys.6 Rura obciążona siłą rozciągającą Q i momentem skręcającym Ms. Składowe te wyrażają się następującymi wzorami: gdzie: Q x S M s I O1 (8) (9) xz ( D d ) S 4 4 4 ( D d ) I o, d D 3 o Xo z Korzystając ze wzorów (8), (9) można obliczyć wytężenie materiału w dowolnym punkcie o współrzędnych x,z..5 Obliczanie naprężeń w otworze znajdującym się w rurze. Określenie naprężeń na brzegu otworu (rys. 6) opiera się na założeniu, że znane są naprężenia główne w punkcie O (x o,z o ) odpowiadające położeniu środka otworu i naprężenia te traktuje się jako obciążenie rozciągające (ściskające) równomiernie materiał w dwóch kierunkach osiowym i obwodowym, czyli przypadek omówiony w punkcie. i.3 niniejszej instrukcji. Jest zrozumiałe, że taka interpretacja powoduje pewien błąd oszacowania naprężeń, jednak błąd ten jest tym mniejszy im bardziej jednorodne jest pole naprężeń w elemencie (bez otworu) i im mniejszy jest gradient naprężenia w stosunku do średnicy otworu. Oznacza to, że im mniejsza jest średnica otworu tym dokładniejszy jest spodziewany wynik.6 Obliczanie współczynnika koncentracji naprężenia α k Miarą spiętrzenia naprężenia na brzegu otworu jest współczynnik koncentracji naprężenia α k, równy stosunkowi największego naprężenia na brzegu otworu do naprężenia przyjętego jako nominalne, tzn.: max k (10) 8

przy czym w tym przypadku naprężenie nominalne σ może być określone albo jako naprężenie normalne σ x (8) działające wzdłuż osi rury lub styczne τ xz (9) na zewnętrznej powierzchni rury (pochodzące od skręcania) obliczane dla punktu O 1 (rys. 6) leżącego w odległości x o od brzegu rury..7 Pomiary naprężeń metodą tensometryczną.7.1 Budowa, zasada działania i własności tensometrów oporowych. Metoda elektrycznej tensometrii oporowej opiera się na znanej własności fizycznej drutu metalowego, polegającej na zmianie jego oporu elektrycznego wraz z doznawaną przezeń zmianą długości. Jeżeli czujnik wykonany z cienkiego drutu nakleimy na obciążony element konstrukcyjny, to odkształcenia materiału czujnika i konstrukcji powinny być jednakowe. Możliwy jest zatem bezpośredni pomiar odkształceń, metodą zmiany wartości elektrycznych, w konkretnych miejscach konstrukcji. Uogólnione prawo Hooke a, ważne w zakresie sprężystym, umożliwia przeliczenie zmierzonych odkształceń na naprężenia. Wśród ważniejszych zastosowań metody należy wyróżnić: - określenie właściwości mechanicznych metali; - wyznaczenie stanu odkształcenia, a następnie naprężenia w wybranych punktach konstrukcji przy obciążeniach zarówno statycznych jak i dynamicznych. - pomiary naprężeń własnych - pomiary odkształceń w wysokich i niskich temperaturach. a) Budowa tensometrów oporowych. Ze względu na budowę wyróżniamy dwa zasadnicze typy takich tensometrów: - drucikowy: wężykowy, kratowy - foliowy (rys. 7). Rys. 7 Rodzaje tensometrów oporowych: a) wężykowy, b) kratowy, c) foliowy Aktualnie ze względu na swoje zalety coraz częściej stosuje się tensometry oporowe foliowe. Składają się one z siatki rezystancyjnej (rys. 7) (1) w postaci wężykowej wykonanej z cienkiej folii metalowej sklejonej klejem z podkładką nośną (). Część pomiarowa wężyka pokryta jest nakładką ochronną (3) wykonaną podobnie jak podkładka noś na z folii z tworzywa sztucznego. Do zakończeń (4) dołącza się przewody elektryczne. Sposób mocowania tensometru foliowego do powierzchni badanego przedmiotu odbywa się za pomocą klejenia. b) zasada pomiaru odkształceń Rezystancję R przewodnika (tensometru) oblicza się ze wzoru: 9

R l A (11) gdzie: - opór właściwy materiału tensometru, l jego długość, A - pole przekroju. Podstawowym problemem pomiaru odkształceń jest zachowanie liniowego związku między odkształceniem materiału (i tensometru) a zmianą oporności. Należy pamiętać, że opór właściwy materiału czujnika zmienia się wraz z wydłużeniem. Dlatego do budowy tensometrów stosuje się specjalne materiały zachowujące liniowy związek między wydłużeniem i zmianą oporu właściwego. Ponadto tensometry powinny mieć odpowiednio duży zakres pomiarowy oraz wytrzymałość na zmianę obciążenia. Analityczną zależność między odkształceniem a zmiana rezystancji przewodnika można zapisać następująco. R k (1) R gdzie: k jest stała tensometru, zależną od rodzaju materiału czujnika..7. Układy pomiarowe W układach pomiarowych stosowanych w pomiarach metod ą tensometrii oporowej można wyróżnić cztery podstawowe części. - część zasilająca w postaci generatora lub źródła prądu; - mostek tensometryczny wraz z tensorem pomiarowym; - wzmacniacz zwiększający bez zniekształceń wielkość impulsu z czujnika; - urządzenie rejestrujące zmiany mierzonej wielkości. Rys. 8 Schemat układu pomiarowego. Do pomiaru niewielkich procentowych zmian rezystancji R/R najczęściej stosowany jest układ mostka Wheatstone'a (rys.9). Rys.9. Schemat elektryczny mostka Wheatstone'a 10

Mostek ten składa się z czterech gałęzi utworzonych z czterech elementów: tensometru czynnego o oporności R1, tensometru kompensacyjnego o oporności R i dwóch oporników o oporach R3, R4. Tensometr kompensacyjny kompensuje wpływy czynników zewnętrznych, a szczególnie temperatury. Naklejany jest on na element wykonany z takiego samego materiału jak badana konstrukcja i znajdujący się w takich samych warunkach termicznych i wilgotnościowych. Element powyższy jest zazwyczaj nieobciążony, chociaż można stosować inne rozwiązania konstrukcyjne np. umieścić tensometr kompensacyjny w taki sposób, aby doznawał on odkształceń jak tensometr pomiarowy, ale o przeciwnym znaku..7.3 Wyznaczenie naprężeń, z użyciem tensometrów oporowych, przy znanym kierunkach naprężeń Jeżeli znane są kierunki poszukiwanych naprężeń, ich wartości można wyznaczyć bezpośrednio z prawa Hooke a. Naprężenia obwodowe na krawędzi otworu w punktach A, C, D (rozwiązanie teoretyczne podano w. (punkty -A i C) i.3 (punkt B) można wyznaczyć z zależności: E (13) gdzie E=*10 5 MPa moduł Yunga materiału rury. - odkształcenie obliczone ze wzoru (1) na podstawie odczytu ( R R ) z rejestratora. Q Ms C 90 B A =90 45 1=45 z x y 0 Rys.10. Umiejscowienie tensometrów i rozety tensometrycznej w badanym elemencie Do wyznaczenia stanu naprężenia na powierzchni badanej rury zastosowano rozetę prostokątną. Na podstawie zmierzonych odkształceń 0, 45 i 90 odkształcenia główne 1 i oraz kąt pierwszego kierunku głównego oblicza się z poniższej zależności: 0 90 1, ( 0 45 ) ( 45 90 ) 11

45 ( 0 90 ) tg ( ) (14) 0 90 Wartości naprężeń głównych w złożonym stanie obciążenia wynoszą zatem: ( 1 ) 1 E ( 1) 1, E 1 (15) - współczynnik Poissona. W przypadku działania pojedynczych obciążeń zewnętrznych zależności (15) uproszczą się do postaci: a) tylko dla obciążenia rozciągającego ( = - 1 ) 1,σ =0. (16) x 1 E b) tylko dla skręcania ( 1 = -, σ 1 = -σ ): 1, E xz 1, 1 3. Przebieg ćwiczenia Ćwiczenie jest przeprowadzone na maszynie wytrzymałościowej INSTRON. Schemat stanowiska przedstawia rysunek 11, gdzie: FD S T K MT L,M, P,O CD PC Rys.11 Schemat stanowiska badawczego. FD maszyna wytrzymałościowa S rura z otworem kołowym T zestaw tensometryczny MT mostek tensometryczny L,M,P,O sygnały sterująco - pomiarowe: L siła M moment skręcający P przemieszczenie 1

O kąt skręcenia CD sterownik K konsola sterująca PC zestaw komputerowy. Badania przeprowadzane są dla różnych wariantów obciążenia, a mianowicie przy obciążeniu rury: tylko siłą rozciągającą Q (wariant 1) tylko momentem skręcającym Ms (wariant ) łącznie (rozciąganie ze skręcaniem) Wykonujący ćwiczenie dostaną indywidualny zestaw danych: wartości siły Q oraz momentu skręcającego Ms. Należy zmierzyć i obliczyć: 1. naprężenia na ściance rury ze wzorów teoretycznych (8) i (9) i z pomiaru tensometrycznego, oszacować różnice i podać przyczyny.. współczynnik koncentracji naprężenia α k, przyjmując jako naprężenie nominalne: - σ x (wariant 1, naprężenia osiowe) - τ xz (wariant, naprężenia tnące od skręcania) - dowolnie zdefiniowane przez studenta naprężenia nominalne. 3. naprężenia maksymalne i minimalne na brzegu otworu. 4. naprężenia maksymalne i minimalne porównać z odpowiednim rozwiązaniem teoretycznym, oszacować różnice i podać przyczyny. 13

4. Literatura 1. Orłoś Z. Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń. PWN. 1977. Dietrich M. Podstawy konstrukcji maszyn T1-T3. WNT. 1999 3. Bochenek J. Elementy mechaniki pękania. Wydaw. Politechniki Częstochowskiej. 1998 5. Przepisy BHP 1. Prowadzący ćwiczenie laboratoryjne, przed przystąpieniem do ćwiczenia, zapoznaje studentów z obsługą stanowiska. Kontrolę przestrzegania przez studentów instrukcji BHP (przedstawioną na zajęciach wprowadzających) pełni prowadzący zajęcia.. Studenci obsługują stanowisko pod ciągłym nadzorem prowadzącego. 3. Stanowisko niebezpieczne pod względem BHP prowadzący, a w przypadku konieczności, po udzieleniu osobnego instruktażu, dopuszcza do obsługi konieczną ilość studentów. 4. Studenci odbywający ćwiczenia zobowiązani są do zachowania maksymalnej ostrożności i uwagi przy obsłudze stanowiska i absolutnego stosowania się do zaleceń prowadzącego. 5. Podczas pobytu przy stanowisku laboratoryjnym zabrania się studentom wykonywania jakichkolwiek czynności, które nie są związane wykorzystywanym ćwiczeniem. 14

Białystok, dn WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszyn PROTOKÓŁ POMIAROWY Wyznaczanie koncentracji naprężeń w elemencie rurowym z otworem Rozciąganie Q = x teoretyczne A B C A C α ka α ka teoretyczne Skręcanie Ms = xz teoretyczne A B C A C α kb α kb teoretyczne.. data wykonania ćwiczenia podpis prowadzącego 15