INSTRUMENTY POCHODNE KONTRAKTY FORWARD KONTRAKTY TOWAROWE, WALUTOWE KONTRAKTY WYMIANY CENA DOSTAWY CENA TERMINOWA

INSTRUMENTY POCHODNE KONTRAKTY FORWARD KONTRAKTY TOWAROWE, WALUTOWE KONTRAKTY WYMIANY CENA DOSTAWY CENA TERMINOWA

Instrumenty pochodne /definicja Instrument pochodny umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji. Przedmiotem transakcji mogą być towary lub produkty finansowe, których cena uzależniona jest od wybranych indeksów giełdowych, kursów walut, stóp procentowych, itp. Termin wykonania transakcji oraz cena transakcji są ustalone w momencie jej zawierania. Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego

Instrumenty pochodne Elementy składowe Rodzaj transakcji (kupno / sprzedaż, wymiana płatności, wymiana walut, udzielenie/ pobranie kredytu) Instrument bazowy (towar, akcja, kurs walutowy, indeks giełdowy, stopa procentowa, inny instrument pochodny) Termin wygaśnięcia kontraktu (dzień, przedział czasowy) Obowiązki i prawa stron Sposób rozliczenia i realizacji kontraktu

Kontrakty forward Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

Notka historyczna Pierwsze udokumentowane wzmianki o kontraktach typu forward pochodzą z XVII w z Japonii, dotyczyły przyszłych zbiorów ryżu. Kontraktom towarzyszył rozwój technik prognostycznych opartych na tzw. świecach japońskich. Kontrakty typu futures miały pierwsze notowania na giełdzie w Chicago (Chicago Stock Exchange) w 1848. Kontrakty dotyczyły płodów rolnych i surowców.

Typowe instrumenty bazowe dla kontraktów forward Metale szlachetne Surowce energetyczne Stopy procentowe Kursy wymiany walut

Elementy kontraktu forward Cena jednostkowa Ilość towaru Parametry jakościowe Miejsce dostawy Data rozliczenia Klauzule dodatkowe Możliwość zbycia kontraktu Dochodzenie roszczeń w przypadku niedotrzymania umowy

W jakim celu zawierane są kontrakty? Zabezpieczenie przed ryzykiem wzrostu cen surowców (kontrakty towarowe) spadku cen surowców (kontrakty towarowe) Zabezpieczenie przed wahaniami kursów walutowych (kontrakty na kursy walutowe) Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu kredytu (kontrakty na stopę procentową) Osiągnięcie zysku Osłona innych inwestycji

Kto zawiera kontrakty lub handluje kontraktami? Producenci metali bądź surowców energetycznych Odbiorcy metali lub surowców Importerzy, eksporterzy Inwestorzy (hedging) Spekulanci (zysk wynikający z celnej prognozy) Arbitrażysci (zysk będący skutkiem niedopasowań, różnic na rynkach tego samego towaru)

Przykład kontraktu forward na stopę procentową Spółka podpisuje w dniu 27.11.2014 z bankiem umowę na mocy której bank zobowiązuje się dnia 01.01 2015 udzielić spółce kredyt w wysokości 500 tys. zł na okres 5 lat (termin ostatniej spłaty 01.01. 2020) oprocentowanego stopą 6,5% spłacanego w równych ratach. Spółka zobowiązuje się do zaciągnięcia w/wymienionego kredytu.

Przykład kontraktu forward na kurs waluty Spółka podpisuje w dniu 27.11. 2014 umowę z bankiem, na mocy której, bank zobowiązuje się w dniu 01.01. 2015 sprzedać spółce kwotę 500 tys. Euro po kursie 4,22 zł. za Euro. Spółka zobowiązuje się do zakupu wyżej wymienionej kwoty wg ustalonego kursu.

Charakterystyka kontraktów forward Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej) Warunki negocjowane między stronami kontraktu Brak standaryzacji Ceny nie są podawane do publicznej wiadomości Strony kontraktu znają się nawzajem Brak ograniczeń czasowych na handel kontraktami Możliwe trudności w zamknięciu pozycji Dostawa fizyczna towaru będącego przedmiotem kontraktu Symetryczne ryzyko niewywiązania się z kontraktu drugiej strony

Dwie strony kontraktu forward Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających dwóm stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie Pozycję długą ( nabycie kontraktu w konsekwencji kupno towaru będącego przedmiotem transakcji) Pozycję krótką ( wystawienie kontraktu - w konsekwencji sprzedaż towaru będącego przedmiotem transakcji)

Kontrakty wymiany (swapy) Walutowy kontrakt wymiany (swap walutowy) Założenia: spółkom A i B zostały zaoferowane stopy procentowe dla kredytów denominowanych w dolarach oraz funtach podane w tabeli. Jednocześnie spółka A potrzebuje funty do swej działalności zaś spółka B - dolary dolary funty Spółka A 8 % 11,6 % Spółka B 10 % 12 %

Walutowy kontrakt wymiany T=0. Spółka B zaciąga kwotę kredytu K w funtach ( ) na n lat (co roku spłaty dotyczą tylko odsetek, po n latach spłacana jest cała kwota), zaś A równoważną kwotę K dolarów ($) na n lat przy rocznych spłatach odsetek. (K = K $ =K) Spółki zamieniają się uzyskanymi kwotami kredytów (A dostaje funty, B dolary). 0 < T < n Co roku spółka A przekazuje spółce B 10,8% K. $. Spółka B przekazuje spółce A kwotę 8,00 % K $. Spółka A oddaje bankowi kwotę 8,00 % K $. Spółka B oddaje bankowi 12% K T= n Spółka A przekazuje kwotę K spółce B, spółka B przekazuje kwotę K $ spółce A. Spółka A przekazuje bankowi kwotę K $ zaś B przekazuje swojemu bankowi kwotę K.

Walutowy kontrakt wymiany. Bilans Oba banki otrzymują stosowne roczne odsetki w odpowiednich walutach oraz w chwili końcowej kwoty kredytów Spółka A operuje funtami przekazując spółce B rocznie 10,8% K. Odsetki w $ otrzymywane od B przekazuje bankowi. Zatem rocznie odprowadza 10,8 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w, musiałaby przekazywać 11,60 %. Uzyskuje roczną korzyść 0,80 % K. Spółka B operuje dolarami przekazując rocznie spółce A 8,00 % od kwoty K $. Otrzymując 10,8 % K musi dopłacić jeszcze 1,2% tej kwoty, by przekazać swemu bankowi 12 % K. Wypłaca więc rocznie 9,2 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w $, musiałaby przekazywać 10 % K. Uzyskuje roczną korzyść 0,80 % K.

Ryzyka kontraktu wymiany Ryzyko kredytowe ryzyko związane z działalnością firm A i B oraz możliwością popadnięcia w niewypłacalność Ryzyko walutowe mogą nastąpić istotne różnice w kursie wymiany walut, preferujące jedną ze stron kontraktu zarówno w trakcie spłacania odsetek jak i przy ostatecznym przekazaniu kwot kredytu.

Założenia o rynku 1. oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe i stałe w czasie 2. wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona 3. zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami 4. nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji 5. wszystkie aktywa są doskonale podzielne 6. dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów 7. ciągła kapitalizacja odsetek 8. brak możliwości arbitrażu

Arbitraż Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat Możliwość uzyskania dodatniej wartości portfela o zerowej początkowej wartości Możliwość uzyskania zysku natychmiastowego zysku bez ponoszenia ryzyka Możliwość wykorzystania niedopasowań rynkowych (np. niedowartościowania lub przewartościowania aktywów), pozwalająca na osiąganie dodatkowego zysku bez ponoszenia ryzyka i zaciągania przyszłych zobowiązań Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walorem handluje się na dwóch rynkach

Arbitraż definicja uwzględniająca pojęcie prawdopodobieństwa Arbitraż jest sytuacją w której: w chwili t=0 portfel ma zerową wartość w chwili t=t wartość portfela jest nieujemna z prawdopodobieństwem 1 oraz wartość portfela jest dodatnia z dodatnim prawdopodobieństwem

Cena jednostkowa dostawy - K Cena jednostkowa dostawy (np. cena baryłki ropy naftowej, tony miedzi, uncji złota) Cena ta jest rezultatem analizy popytu i podaży w dniu zawierania kontraktu nie preferuje żadnej ze stron kontraktu (wartość kontraktu dla każdej strony w dniu zawierania kontraktu jest równa zeru) nie zmienia się w czasie trwania kontraktu Cena dostawy będzie oznaczona literą K

Aktualna cena terminowa kontraktu forward price (cena terminowa - F ) DEF. Aktualna cena terminowa kontraktu forward (krócej cena terminowa kontraktu) jest to cena dostawy, która zostałaby wynegocjowana przez strony kontraktu, gdyby negocjacje odbywały się w chwili bieżącej. W chwili zawierania kontraktu cena terminowa jest równa cenie dostawy, później cena terminowa podlega zmianom w zależności od ceny waloru będącego przedmiotem kontraktu

Notacja K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward T- okres (w latach) pozostający do dostawy S cena instrumentu bazowego, będącego przedmiotem kontraktu F cena terminowa kontraktu forward f wartość długiej pozycji w kontrakcie forward r wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w dniu dostawy Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S 0, S t, F T, (F 0 = K)

Określenie sprawiedliwej ceny wykonania kontraktu forward na aktywa nie generujące przepływów finansowych Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na jeden walor, którego przechowanie nic nie kosztuje oraz nie przynosi do chwili t = T żadnych dochodów oraz możliwa jest krótka sprzedaż waloru. (Przykłady takich walorów to akcje nie przynoszące dywidendy, obligacje zerokuponowe) Stwierdzenie 1. Przy poczynionych założeniach o rynku sprawiedliwa cena wykonania K (=F 0 ) kontraktu na walor nie generujący przepływów finansowych, dana jest wzorem (1) K (= F 0 ) = S 0 e rt Termin realizacji T - wyrażony jest w latach, S 0 cena waloru w chwili t = 0 (Cena terminowa w chwili t=0 jest więc wartością przyszłą bieżącej ceny waloru)

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Uzasadnienie ( perspektywa właściciela waloru będącego przedmiotem kontraktu) Podmiot posiadający walor (sprzedający) może w chwili t = 0 sprzedać walor za cenę S 0 i uzyskany przychód zdeponować uzyskując w chwili t = T kwotę S 0 e rt. Zatem F 0 nie może być mniejsze niż S 0 e rt

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego F 0 nie może być większe niż S 0 e rt Gdyby F 0 > S 0 e rt, wówczas w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje: pożyczyć w banku kwotę S 0 zakupić walor na rynku za S 0 zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną F 0 zaś w chwili t = T : zrealizować kontrakt z ceną F 0 (sprzedanie waloru) zwrócić pożyczkę z odsetkami w kwocie S 0 e rt Portfel w chwili t=0 miał wartość zerową Różnica F 0 - S 0 e rt jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Gdyby że F 0 < S 0 e rt, możliwa jest procedura: w chwili t = 0: pożyczka waloru i jego sprzedaż za kwotę S 0 (krótka sprzedaż waloru) zdeponowanie kwoty S 0 w banku zawarcie kontraktu kupna z ceną F 0 w chwili t = T: wycofanie z banku depozytu w kwocie S 0 e rt realizacja kontraktu kupna z ceną F 0 (kupno waloru) zamknięcie krótkiej sprzedaży Różnica S 0 e rt - F 0 jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Przykład 1. Cena wykonania 3 miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 43 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Cena akcji 40 zł. (nie jest spodziewana wypłata dywidendy) Cena wykonania kontraktu jest za wysoka, możliwy jest arbitraż: t=0 Zaciągamy pożyczkę 40 zł, kupujemy akcję Zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie t=t Sprzedajemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 43 zł Spłacamy pożyczkę w kwocie 40e 0,05* 0,25 = 40,5 Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 2,50 zł

Przykład 2. Cena wykonania 3 miesięcznego kontraktu forward na akcję pewnej spółki wynosi 40,40 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Aktualna cena akcji 40 zł. (nie spodziewana jest wypłata dywidendy) Cena wykonania kontraktu jest za niska, możliwy jest arbitraż: t=0 Dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji, Uzyskaną kwotę lokujemy na koncie bankowym Zajmujemy długą pozycję na kontrakcie t=t Wypłacamy kwotę 40e 0,05* 0,25 = 40,50 Kupujemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 40,40 zł Oddajemy akcję (rozliczenie krótkiej sprzedaży) Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 0,10 zł

Interpretacja wzoru F 0 = S 0 e rt Po elementarnych przekształceniach: (2) - S 0 + F 0 / e rt = 0 W strategii : w chwili t = 0 kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, w chwili t =T sprzedaż waloru w ramach realizacji kontraktu S 0 jest wydatkiem w chwili t = 0, F 0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T UWAGA 1. Równanie (2) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru.

Interpretacja wzoru F 0 = S 0 e rt Wzór (1) jest równoważny wzorowi (3) - S 0 + (S T )/e rt = - F 0 / e rt + (S T )/e rt gdzie S T oznacza cenę waloru w chwili t = T Lewa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii: kupno waloru za S 0 w chwili t=0, sprzedaż waloru za S T w chwili t = T, Prawa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii: długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F 0, zdeponowanie w banku kwoty F 0 /e rt (= S 0 )w chwili t = 0, Wycofanie lokaty bankowej, realizacja kontraktu kupno waloru za F 0, sprzedaż waloru za S T w chwili t=t UWAGA 2. Strategie wymienione wyżej są równoważne

Cena terminowa kontraktu forward Niech jak poprzednio S 0 oznacza cenę waloru w chwili t = 0. Niech F t - oznacza cenę terminową kontraktu forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie S t. WNIOSEK 1. Z definicji ceny terminowej oraz z rozważań analogicznych do tych ze stwierdzenia 1 wynika, że cena ta wynosi (4) F t = S t er (T - t) ponadto przy przyjętych oznaczeniach mamy: F 0 = S 0 e rt, F T = S T

Wartość długiej pozycji w kontrakcie forward Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F 0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu. Zasadne jest więc pytanie o wartość długiej (krótkiej) pozycji w chwili t z przedziału [0; T]. S DEF. Wartość długiej pozycji f t kontraktu w chwili t definiuje wzór (5) f t = S t - e -r(t-t) F 0 Wartość pozycji długiej w chwili t jest różnicą miedzy ceną rynkową waloru S t a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu

Przykład 1 Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 25,50 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%? Stosujemy wzór f t = S t - e -r(t-t) F 0 w którym S t =25,50; F 0 = 26,50; r=0,06; T = 0,75; t = 0,25 f t = 25,50 e -0,06*0,5 26,50 = - 0,21681 wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi (-0,22 zł)

Wartość długiej pozycji w kontrakcie forward Interpretacje wzoru f t = S t - e -r(t-t) F 0 Uwzględniając wzór (4) na cenę F t, F t = S t er (T - t) oraz f t = S t - e -r(t-t) F 0 wzór na wartość długiej pozycji przyjmuje postać f t = e -r(t- t) F t - e -r(t- t) F 0 (6) f t = e -r(t- t) (F t - F 0 ) Wartość ta w chwili t jest równa zdyskontowanej różnicy miedzy ceną terminową F t a ceną wykonania F 0 lub inaczej zdyskontowanej różnicy miedzy cenami wykonania kontraktów zawieranych w chwilach t=0 oraz t=t i tym samym terminem realizacji T Wartość długiej pozycji zależy od zmiennej ceny waloru S t, może więc przyjmować różne znaki. Ponadto f 0 = S 0 - F 0 / e rt = 0, f T = S T - F 0

Przykład 2 Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena terminowa kontraktu wynosi 27,00 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%? Zastosujemy następującą wersję wzoru na wartość kontraktu f t = e -r(t- t) (F t - F 0 ) F 0 = 26,50; t = 0,25; T = 0,75; F t = 27,00; r = 0,06 f t = e -0,06*0,5 = 0,970446 (27,00 26,50) = 0,485223 wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi 0,49 zł

Wartość długiej pozycji w kontrakcie forward Uwzględniając we wzorze f t = S t - e -r(t-t) F 0 fakt, że F 0 = S 0 e rt otrzymujemy f t = S t - e -r(t- t) S 0 e rt = S t - S 0 e rt, zatem (7) f t = S t - S 0 e rt Uzyskana równość dostarcza kolejnej interpretacji wartości długiej pozycji w chwili t: jest to różnica między ceną waloru w chwili t, a aktualizacją jego ceny z chwili 0 na moment t

Przykład 3 Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny kontrakt na akcję spółki, której cena wynosiła wówczas 25 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 24 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%? Zastosujemy ostatnią postać wzoru na wartość pozycji długiej: f t = S t - S 0 e rt S t = 24, S 0 = 25, t = 0,25; r = 0,06 f t = 24-25* 1,015113 = -1,38

Wartość długiej pozycji w kontrakcie forward przy danej cenie dostawy K Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F 0 - ceną dostawy kontraktu zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje (5 ) i (6 ) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w chwili t (z przedziału [0; T] ) (5 ) f t = S t - e -r(t-t) K (6 ) f t = e -r(t- t) (F t - K ) lub jeszcze inaczej (na T przed terminem realizacji): (8) f = S - e -rt K (9) f = e -rt (F- K ) S- aktualna cena waloru, T- czas do terminu realizacji, F cena terminowa kontraktu

Przykład Przykład. Aktualna cena akcji pewnej spółki wynosi 25 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w 6-miesięcznym a kontrakcie na akcję tej spółki, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%, a cena dostawy wynosi 24 zł Zastosujemy wzór f = S - e -rt K gdzie S=25, K=24, r=0,06, T=0,5 F=25-0,970446*24 = 25-23,29069 = 1,709307 Wartość kontraktu wynosi 1,71 zł

Wartość krótkiej pozycji w kontrakcie forward Wartość krótkiej pozycji jest równa wartości przeciwnej do wartości pozycji długiej w tym samym kontrakcie forward. Zatem w chwili t wartość krótkiej pozycji (10) f t = e -r(t-t) F 0 - S t Dla krańców przedziału czasowego otrzymujemy f 0 = e -rt F 0 - S 0 = 0 f T = F 0 - S T

Wartość krótkiej pozycji w kontrakcie forward Analogicznie, otrzymujemy kilka wzorów na wartość krótkiej pozycji: f t = e -r(t-t) F 0 - S t ; z uwzględnieniem ceny terminowej (11) f t = e -r(t- t) (F 0 - F t ) z uwzględnieniem ceny instrumentu bazowego (12) f t = S 0 e rt - S t. Przy danej cenie wykonania K, cenie terminowej F wartość krótkiej pozycji na T przed terminem realizacji wynosi: (13) f = e -rt (K - F)

Określenie (sprawiedliwej) ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Pewne aktywa będące przedmiotem kontraktów terminowych mogą generować przepływy finansowe (dochody lub koszty) w przedziale czasu od zawarcia kontraktu do terminu realizacji. (akcje wypłaty dywidend, obligacje kuponów; towary, surowce powodują koszty magazynowania) Przepływy w przedziale [0, T] oznaczamy przez C 1,..., C n. Dodatnie liczby oznaczają dochody posiadacza aktywa, ujemne koszty.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Rozważmy dwie strategie analogiczne do rozpatrywanych w przypadku braku dodatkowych przepływów w UWADZE 2. strategia I: w chwili t = 0 kupno waloru za S 0, realizacja przepływów generowanych przez walor w chwilach t 1,..,t n w chwili t = T sprzedaż waloru za S T, strategia II: w chwili t=0 długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F 0, lokata w banku kwoty F 0 / e rt, w chwili t = T wycofanie lokaty, realizacja kontraktu kupno waloru za F 0, sprzedaż waloru za S T Jak poprzednio, strategie wymienione wyżej powinny być równoważne, zatem sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych w tych strategiach równe.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I: - S 0 + (C 1 )/e rt 1 +...+ (C n )/e rt n + (S T )/e rt Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii II: - F 0 / e rt + (S T )/e rt Wobec równoważności obu strategii - S 0 + (C 1 )/e rt 1 +...+ (C n )/e rt n + (S T )/e rt = - F 0 / e rt + (S T )/e rt Stąd wyliczamy F 0 (14) F 0 = [S 0 ((C 1 )/e rt 1 +...+ (C n )/e rt n )] e rt Zatem cena wykonania kontraktu jest równa wartości przyszłej (w chwili t =T) ceny waloru z chwili t = 0 skorygowanej o wartość bieżącą przepływów C 1,...,C n.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe F 0 = [S 0 ((C 1 )/e rt 1 +...+ (C n )/e rt n )] e rt (15) F 0 = [S 0 Σ i PV(C i )] e rt symbolicznie (16) F = (S PV) e rt Po elementarnych przekształceniach wzoru (15): - S 0 + Σ i PV(C i ) + F 0 / e rt = 0 W strategii t = 0: kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, t =T : sprzedaż waloru za F 0 w ramach realizacji kontraktu S 0 jest wydatkiem w chwili t = 0, C i F 0 i=1,..., i=n są wpływami w przedziale czasu [0;T] jest wpływem uzyskanym w chwili t =T. Równanie (15) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru (identyczna sytuacja jak w Uwadze 1)

Uzasadnienie (niewprost) prawdziwości wzoru (16) Przypuśćmy że F < F = (S - PV) e rt Stosujemy strategię: t = 0 pożyczamy walor, dokonujemy krótkiej sprzedaży uzyskując kwotę S, kwotę (S - PV) lokujemy przy stopie r, na okres T, kwotę PV również lokujemy przy stopie r, ale wcześniej dzielimy na tyle części, ile jest wypłat i w takiej proporcji, by te wypłaty zrealizować; zajmujemy długą pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F 0 < t <T realizujemy przepływy (wypłaty) t =T podejmujemy kwotę (S - PV) e rt, realizujemy kontrakt kupując walor za F Oddajemy walor Kwota [(S - PV) e rt F ] jest arbitrażowym zyskiem

Uzasadnienie (niewprost) prawdziwości wzoru (16) Przypuśćmy że F > F = (S - PV) e rt.stosujemy strategię: (t = 0) kupujemy walor wydając kwotę S, zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F (0 < t < T) realizujemy przepływy - dochody, których łączna wartość na chwilę t = 0 wynosi PV. (Bieżąca wartość wydatków w chwili t=0 wynosi więc (S - PV) ) (t =T) realizujemy kontrakt sprzedając walor za F wartość naszej inwestycji (w której - nominalnie - nie ponosimy ryzyka) w chwili T, musi być równa (S - PV) e rt Kwota [F - (S - PV) e rt ] jest arbitrażowym zyskiem

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5- letniej o nominale 1000 zł wynosi 930 zł. Płatności kuponowe w wysokości 40 zł następują co pół roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Jaka winna być cena wykonania rocznego kontraktu na tą obligację z terminem wykonania zaraz po drugiej wypłacie? (15) F 0 = [S 0 Σ i PV(C i )] e rt t 1 = 0,5; t 2 = 1; T =1 F 0 = (930 40/e 0,08*0,5-40/e 0,08 )e 0,08 = 925,8245 Cena wykonania takiego kontraktu wynosi 925,82 zł

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe Przykład 2. Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $ Koszty kwartalne przechowania 1 tony to 150$ płatne z góry. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6%. Jaka winna być cena terminowa 9 miesięcznego kontraktu na tonę tego surowca. (15) F 0 = [S 0 Σ i PV(C i )] e rt t 1 =0; t 2 = 0,25; t 3 = 0,5 T = 0,75 F 0 = (8730 + 150 + 150 /e 0,06*0,25 + 150 /e 0,06*0,5 )e0,06 *0,75 = (8730 + 150 + 147,668 + 145,567 ) 1,046 = 9595,563 Cena terminowa takiego kontraktu forward powinna wynosić 9595,56 $

Wartość kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K Cena dostawy - K Do ogólnego wzoru na wartość kontraktu kupna f = e -rt (F - K ) wstawiamy Otrzymujemy F = (S PV) e rt f = e -rt ((S PV) e rt - K ) = S PV - K e -rt (17) f = S PV - K e -rt

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące stałą stopę zwrotu (np. akcje o stałej stopie dywidendy) Stopa dywidendy: q := wielkość dywidendy / cena akcji Założenia dodatkowe Dywidenda wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie dywidendy q Dochód z dywidendy jest reinwestowany w akcje (ciągłe powiększanie portfela akcji) Cena akcji jest stała Rozważmy następującą strategię: t=0 Zakup e -qt akcji o stopie dywidendy q Krótka pozycja na kontrakcie forward na akcję z ceną F t=t Sprzedaż posiadanej akcji realizacja kontraktu.

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy Gdyby inwestor w chwili początkowej nabył 1 akcję to po roku miałby już e q akcji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e qt akcji Ponieważ początkowa liczba akcji wynosiła e -qt, zatem końcowa liczba to e -qt e qt = 1 Założenie, że akcje są podzielne nie jest zupełnie nierealistyczne. Mając bowiem pakiet 10 000 akcji to przy cenie akcji 100 zł, q=5%, T=0,01, dywidenda w tym okresie wynosi 10000*100*(e 0,05*0,01-1)=500,13; umożliwia zatem zakup dodatkowych 5 akcji

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy Strategia inwestora charakteryzuje się dwoma przepływami: wydatkiem Se -qt w chwili początkowej, przychodem F po czasie T. Tak jak w pierwszej sytuacji (wzór (2), UWAGA 1) musi zachodzić równość - Se -qt + F/ e rt = 0, Skąd otrzymujemy (18) F = S e (r- q) T

Przykład Stopa dywidendy płaconej w sposób ciągły dla pewnej pewnej akcji wynosi 4 % w skali roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Cena tych akcji to 50 $. Wyznacz cenę terminową półrocznego kontraktu forward na tą akcję. F = S e (r-q)t S = 50; r = 0,08; q = 0,04; T = 0,5

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy Można uzasadnić prawdziwość ostatniego wzoru z założenia braku arbitrażu Przypuśćmy że Strategia t=0: F < F = S e (r-q)t dokonujemy krótkiej sprzedaży e -qt akcji, kwotę Se -qt lokujemy przy stopie r zajmujemy długą pozycję na kontrakcie forward na 1 akcję z ceną F t=t: Podejmujemy kwotę Se -qt e Tr Realizacja kontraktu kupno akcji za F oddajemy zwiększoną liczbę akcji (dywidenda była inwestowana w akcje e -qt e qt =1 ), mianowicie jedną akcję Arbitrażowy zysk (S e (r-q)t F )

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy Przypuśćmy że Strategia, t=0: F > F = S e (r-q)t Zaciągamy pożyczkę na kwotę Se -qt Kupujemy e -qt akcji przy cenie S zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie forward na akcję z ceną F t=t: Posiadamy 1 akcję (dywidenda ciągle wypłacana w sposób ciągły była inwestowana w akcje: e -qt e qt =1 ) Realizacja kontraktu sprzedaż akcji za F Oddajemy kwotę pożyczki z odsetkami Se -qt e Tr Arbitrażowy zysk (F S e (r-q)t )

Wartość kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy Podstawiając F ze wzoru F = S e (r-q)t do ogólnego wzoru na wartość długiej pozycji na kontrakcie forward f = e - rt (F- K ) Otrzymujemy wartość długiej pozycji na kontrakcie na akcję o znanej stopie dywidendy (20) f = Se -qt - Ke -rt

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do wartości aktywa Założenia dodatkowe Ponoszone koszty przechowania surowca stanowią w ciągu roku ustalony procent (q) ceny aktywa (np. koszt magazynowania uncji złota może być proporcjonalny do jej ceny ) Koszty ponoszone są w sposób ciągły, poprzez zmniejszanie liczby aktywów (ciągła sprzedaż aktywów, by pokryć koszty magazynowania) (Przykładowo, gdyby inwestor w chwili początkowej miał 1 uncję złota, to po roku miałby tylko e -q uncji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e -qt uncji, gdzie q jest pewna liczbą dodatnią) Cena aktywa jest stała

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do wartości aktywa W przypadku akcji przynoszącej stałą dywidendę o stopie q liczba posiadanych akcji (aktywów) rosła zgodnie ze współczynnikiem e qt Jeżeli aktywa wymagają nakładów, co powoduje redukcję liczby aktywów, to możemy przyjąć, że mamy ujemną stopę dywidendy. Zatem cena terminowa takiego kontraktu dana jest tym samym wzorem F = S e (r-q)t ale q < 0 lub F = S e (r - (- q ))T = S e ( r + q )T (21) F = S e ( r + q )T Liczba aktywów do wygaśnięcia kontraktu zmienia się według współczynnika e (- q )T

Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej Sformułowanie problemu Obecny kurs waluty obcej wynosi S Stopa procentowa waluty krajowej wynosi r Stopa procentowa waluty obcej wynosi r z (obie stopy podlegają kapitalizacji ciągłej) Aktualnie zawieramy kontrakt na sprzedaż waluty obcej z terminem realizacji T. Jaki powinien być kurs waluty obcej w tym czasie?

Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej Rozważmy dwie strategie: stratega I t=0; Zdeponowanie w banku kwoty P (zł) na okres T t=t; Wycofanie depozytu P e rt stratega II t=0; zakup P/S jednostek waluty obcej Zdeponowanie uzyskanej kwoty na okres T przy stopie r z Zajęcie krótkiej pozycji na kontrakcie kupna z terminem T i kursem waluty obcej F t =T Wycofanie depozytu w kwocie (P/S) exp (r z T) Zrealizowanie kontraktu sprzedaż waluty po kursie

Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej. Parytet stóp procentowych Żądamy- tak jak w poprzednich przypadkach - by obie strategie były równoważne. Zatem w chwili T liczby jednostek waluty krajowej muszą być równe, czyli: P exp (rt ) = (P/S) exp (r z T) F co oznacza, że (22) F = S exp [(r- r z )T]

Dowód wzoru Gdyby F > S exp (r- r z )T, stosujemy strategię t=0: pożyczka kwoty S exp(- r z T) w walucie krajowej t=t zakup exp(- r z T) jednostek waluty obcej (JWO) lokata kwoty exp(- r z T) przy stopie r z na T krótka pozycja kontrakcie na JWO z ceną F zamkniecie lokaty uzyskanie kwoty exp(- r z T) exp( r z T)=1 realizacja kontraktu sprzedaż JWO za F zamkniecie pożyczki zwrot kwoty pożyczki z odsetkami: S exp(- r z T) exp(rt) = S exp((r- r z )T) Bilans: zysk arbitrażowy w kwocie F- S exp((r- r z )T)

Dowód wzoru Gdyby F < S exp (r- r z )T, stosujemy strategię t=0: pożyczka kwoty exp(- r z T) w walucie obcej t=t zakup S exp(- r z T) jednostek waluty krajowej lokata kwoty S exp(- r z T) przy stopie r na T długa pozycja kontrakcie na JWO z ceną F zamkniecie lokaty uzyskanie kwoty: S exp(- r z T) exp( rt) = S exp((r- r z )T) realizacja kontraktu zakup JWO za F zamkniecie pożyczki zwrot kwoty pożyczki z odsetkami: exp(- r z T) exp(r z T) = 1 JWO Bilans: zysk arbitrażowy w kwocie S exp((r- r z )T) - F

Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej Przykład Dzisiejszy kurs Euro to 3,96 zł. Przyjmijmy, że wolna od ryzyka krajowa stopa procentowa wynosi 4,5%, zaś w strefie Euro 3,5%. Przy jakim kursie powinno się kupić Euro za pół roku? F = S exp (r - r z )T F jest szukanym kursem Euro S= 3,96; r = 4,5%; r z = 3,5%; T =0,5 F = 3,97985

Kontrakt terminowy na stopę procentową Kontrakt na stopę procentową polega na ustaleniu stopy procentowej dla pożyczki lub lokaty ustalonej wielkości w ustalonym przedziale czasu w przyszłości. Często ważne będzie ustalenie w kontrakcie tylko przyszłej stopy procentowej Załóżmy, że dane są ciągłe stopy procentowe obowiązujące od dziś do chwili t 1 oraz do chwili t 2. Jaka stopa powinna obowiązywać dla lokat (pożyczek) w okresie (t 1, t 2 )?

Kontrakt terminowy na stopę procentową Rozważmy dwie strategie: stratega I t=0; Zdeponowanie kwoty P, przy stopie r 2 do chwili t 2 t= t 2 ; Wycofanie depozytu P exp (r 2 t 2 ) stratega II t =0; Zdeponowanie kwoty P przy stopie r 1 do chwili t 1 Zajęcie krótkiej pozycji na kontrakcie z terminem t 1 i stopą r t = t 1 Wycofanie depozytu w kwocie P exp (r 1 t 1 ) Zrealizowanie kontraktu udzielenie pożyczki w kwocie P exp (r 1 t 1 ) przy stopie r do chwili t 2 t = t 2 Odzyskanie kwoty pożyczki z odsetkami: P exp (r 1 t 1 ) exp [r ( t 2 -t 1 )]

Kontrakt terminowy na stopę procentową Obie strategie powinny być równoważne, gdyż w przeciwnym przypadku istniałaby możliwość arbitrażu. Zatem kwoty uzyskane w obu strategiach w chwili t 2 muszą być równe P exp (r 2 t 2 ) = P exp (r 1 t 1 ) exp [r ( t 2 -t 1 )] skąd otrzymujemy (23) r = ( r 2 t 2 - r 1 t 1 ) / ( t 2 - t 1 ) Jest to tzw. stopa terminowa, która powinna obowiązywać w kontraktach dotyczących okresu (t 1, t 2 )

Literatura Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie J. Hull Warszawa 1997 Instrumenty pochodne sympozjum matematyki finansowej. Kraków UJ 1997 Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008 Rynkowe instrumenty finansowe A. Sopoćko PWN 2005 Inżynieria finansowa A. Weron, R. Weron Warszawa 1998