Systemy przetwarzania sygnałów x(t) y(t)? x(t) System przetwarzania sygnałów y(t) 23 P. Strumiłło 1
Systemy przetwarzania sygnałów sygnał cigły x(t) y(t)=h(x(t)) System czasu cigłego y(t) np. megafon - wzmacniacz analogowy sygnał dyskretny x(n) y(n)=h(x(n)) System czasu dyskretnego y(n) np. proces akumulacji odsetek w banku: y(n)=.1*y(n-1) +x(n), filtry cyfrowe T cigła zmienna czasu n dyskretna zmienna czasu n =, 1, N, 2
Sygnał dyskretny Sygnał dyskretny mona uzyska przez próbkowanie amplitudy sygnału cigłego w dyskretnych chwilach czasu nt. x(nt) 1 2 3 T n 3
Właciwoci systemów przetwarzania sygnałów 1. Systemy z pamici i bez pamici 2. Systemy przyczynowe i nieprzyczynowe 3. Systemy stabilne i niestabilne 4. Systemy liniowe i nieliniowe 5. Systemy niezmienne wzgldem czasu (przesunicia) i zmienne wzgldem czasu Przykłady? 4
Systemy z pamici i bez pamici Sygnał wyjciowy systemu bez pamici w chwili n zaley tylko od sygnału wejciowego w tej samej chwili, np.: y ( ) ( ) 2 n = 3 x n + 2x ( n) Sygnał wyjciowy systemu z pamici w chwili n zaley sygnału wejciowego wystpujcego w chwilach czasu k n, np.: y n 1 ( n) x( k) + x( n) = k = ( n) = y( n 1) x( n) y + 5
Systemy przyczynowe Systemy jest przyczynowy gdy jego sygnał wyjciowy w chwili n jest zaleny tylko sygnału wejciowego w chwili n i/lub sygnału wejciowego z chwil przeszłych, np.: y y ( n) = x( n) + x( n 1) ( n) = x( n) x( n +1) nieprzyczynowy 6
Systemy liniowe Systemy linowe spełniaj zasad superpozycji: [ ax ( n) + bx ( n) ] = ah[ x ( n) ] + bh[ bx ( n) ] = ay ( n) by ( n) H 1 2 1 2 1 + 2 tj. odpowied systemu liniowego na sum sygnałów wejciowych jest równa sumie odpowiedzi systemu na poszczególne sygnały składowe. Przykład systemu liniowego: Przykład systemu nieliniowego: y ( n) = x( n) y 3 ( ) 2 n = x ( n) 7
Systemy liniowe niezmienne wzgldem przesunicia Dla systemów liniowych niezmiennych wzgldem przesunicia, znajomo odpowiedzi systemu na pobudzenie impulsowe δ(n) pozwala wyznaczy odpowied systemu na dowolny sygnał wejciowy. δ(n) Odpowied impulsowa h(n) System liniowy 8
Filtracja sygnału x(k) x(n-k) x(1-k) x(-k) h(k) k kk k h(k) y k = = ( n) h( k) x( n k) k = k 9
Filtry cyfrowe Procesory sygnałowe (DSP), układy programowalne x(n) Filtr cyfrowy y(n) h(n) odpowied impulsowa x(n) y(n) 23 P. Strumiłło y(n) = x(n) h(n) 1
Filtry cyfrowe Po co filtrujemy sygnały? Aby uzyska: redukcj zakłóce sygnału (np. zakłóce od sieci energetycznej) zmian charakterystyki widmowej sygnału (preemfaza, deemfaza) wyodrbnienie zadanych składowych sygnału sporód jego innych składowych (detekcja) 11
Reprezentacja sygnałów za pomoc szeregu Fouriera Joseph Fourier (1768-183) Szeroka klasa sygnałów moe by reprezentowana za pomoc kombinacji liniowej funkcji harmonicznych o rónych czstotliwociach tzw. szereg Fouriera 12
Przekształcenie Fouriera 13
Trygonometryczny szereg x a + Fouriera ( ) t = + ( a cos kω t + b sin kω t) 2 k= 1 k gdzie: 2π ω = tzw. okres podstawowy T k oraz: a a b k k 2 = T T t= T x 2 = x T t= T 2 = x T t= ( t)dt ( t) coskω tdt, k 1,2, = ( t) sin kω tdt, k 1,2, = 14
Szereg Fouriera - przykład 1.5 1.5 -.5-1 -1.5 1 2 3 4 5 6 x Czstotliwo podstawowa ω 4 sin t sin 3t sin 5t π 1 3 5 2π ( t) = + + + %MATLAB clear all; t=linspace(,2*pi,1); x=ones(size(t)); x(51:end)=-1; plot(t,x,'r'); hold on; xf=zeros(size(t)); for i=1:2:9, xf=xf+4/pi.*sin(i.*t)/i; plot(t,xf) end grid; 2π ω = T = 1 15
Szereg Fouriera - przykład 1 4/π.8 Widmo Fouriera.6.4.2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 16
Szereg Fouriera - przykład 6 5 4 3 2 1-1 2 4 6 8 1 1 9 8 7 6 5 Widmo Fouriera sygnału EKG 6 Hz 4 3 2 1 17 5 1 15 2 f[hz]
Charakterystyki czstotliwociowe filtrów Filtr dolno-przepustowy (np. filtr anty-alisingowy, redukcja zakłóce) A(f) pasmo przepustowe f p f s pasmo przejciowe pasmo zaporowe f Filtr górno-przepustowy A(f) (np. preemfaza, usuwanie składowej stałej) f 18
Charakterystyki czstotliwociowe filtrów A(f) Filtr rodkowo-przepustowy (np. detekcja cech sygnału) A(f) f Filtr rodkowo-zaporowy (np. redukcja zakłóce od sieci energetycznej) 5 Hz f 19
Charakterystyki czstotliwociowe filtrów - przykłady A(f) Filtr dolnoprzepustowy (redukcja zakłóce) f 15 15 1 1 5 5 V V 2 4 6 8 1 2 4 6 8 1 2
Charakterystyki czstotliwociowe filtrów - przykłady A(f) Filtr górno-przepustowy (np. usuwanie wartoci redniej) f 15 1 5 1 5 V 2 4 6 8 1-5 -1 V -15 2 4 6 8 1 21
Charakterystyki czstotliwociowe filtrów - przykłady Filtr rodkowo-przepustowy A(f) (np. detekcja cech sygnału) 15 6 f 1 4 2 5 V 2 4 6 8 1-2 2 4 6 8 1 22
Charakterystyki czstotliwociowe filtrów - przykłady A(f) Filtr rodkowo-zaporowy (np. redukcja zakłóce o zadanej czstotliwoci) 5 Hz f 16 15 14 13 12 11 1 9 2 4 6 8 1 14 13 12 11 1 9 2 4 6 8 1 23
Zastosowania filtrów cyfrowych w przetwarzaniu elektrokardiogramu donoprzepustowe (redukcja zakłóce o czstotliwociach radiowych, aktywnoci mini szkieletowych) górnoprzepustowe (eliminacja pełzania linii izoelektrycznej, f g =.5 Hz) pasmowoprzepustowe (wydzielanie składowych sygnału EKG, np. fali P, T, QRS) pasmowozaporowe (redukcja zakłóce od sieci energetycznej, f=5 Hz) 24
Filtr cyfrowy - zastosowanie 25
26 Przykład filtru SOI Filtr o ruchomej redniej: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) = = + + + + = k k n n x k x k x k x k x k x k y 4 5 1 1 2 3 4 5 1 Odpowied impulsowa filtru: h=[.2.2.2.2.2];
Przykład filtru SOI.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 5 1 15 2 25 3 27
Prosty przykład filtru SOI 3 Charakterystyka fazowa fazowa 1 Charakterystyka amplitudowa Charakterystyka amplitudowa radiany 2 1-1 Amplituda.8.6.4 tzw. zero filtru -2.2-3 2 4 6 8 1 f [Hz].2 2 4 6 8 1 f [Hz] Odpowied impulsowa filtru.15.1.5 5 1 15 2 28
Filtr dolnoprzepustowy - projekt 29
Adaptacyjna redukcja zakłóce ródło sygnału ródło zakłóce s(t) = x(t) + v(t) n(t) (tzw. wejcie odniesienia) Filtr adaptacyjny + w Σ _ v(t) ^ Reguła adaptacji wag ( t) = η e( t) e(t) = ^x(t) 3
Adaptacyjne tłumienie hałasu 31
Zastosowania filtracji adaptacyjnej Filtry adaptacyjne s stosowane głównie do filtracji sygnałów niestacjonarnych, np.: w adaptacyjnej redukcji zakłóce mierzonego sygnału od sieci energetycznej oraz redukcji zakłóce od elektronarzdzi chirurgicznych (f~12 Hz) do redukcji energii sygnału EKG matki przy pomiarze EKG płodu jako model predykcyjny sygnałów biologicznych do wykrywania ich zaburze (np. detekcji stanu fibrylacji komór serca implantowane defibrylatory) 32
Urednianie synchroniczne sygnału Idea uredniania synchronicznego Sygnały synchronizujce 33
Urednianie synchroniczne sygnału xˆ = 1 N N n= 1 x n x 1 x 2 x 3 x N x^ 34
Urednianie synchroniczne sygnału Odchylenie standardowe sygnału: σ s Odchylenie standardowe zakłócenia: σ n Stosunek sygnału do zakłócenia: Po N urednieniach: SNR N = N Zatem poprawa SNR po N urednieniach wynosi: σ s σ n N 1 2 1 1 σ SNR = s σ 1 1 2 3 4 35 5 n
Urednianie synchroniczne sygnału Zastosowania: detekcja podszumowa sygnału tj. dla σ s << σ n (zastosowania w telekomunikacji) analiza elektrycznych potencjałów wywołanych mózgu, tj. potencjałów generowanych w mózgu o amplitudzie kilku mikrowoltów na skutek okresowego pobudzenia bodcem: wietlnym (potencjały wzrokowe), dwikowym (potencjały słuchowe) lub dotykowym (potencjały czuciowe) 36