Krzysztof Piontek Wydział Zarządzania, Informatyki i Finansów Katedra Inwestycji Finansowyc i Zarządzania Ryzykiem Zastosowanie wielowymiarowyc modeli GARCH do szacowania współczynnika zabezpieczenia dla kontraktów futures na WIG20. Zabezpieczanie portfela 2. Minimalizacja ryzyka efektywność strategii 3. Estymacja optymalnego współ. Zabezpiecz. 4. Problemy praktyczne 5. Przykład empiryczny 6. Podsumowanie
Zabezpieczanie (edging) metody ograniczania ryzyka zmian cen instrumentów finansowyc najczęściej za pomocą instrumentów pocodnyc (zabezpieczanie portfela instrumentów przed zmianą jego wartości) W transakcji zabezpieczającej inwestor zajmuje na rynku terminowym pozycje przeciwną w stosunku do pozycji zajmowanej na rynku natycmiastowym, dzięki czemu potencjalne straty wynikające z jednej pozycji zostaną (w mniejszym lub większym stopniu) zrównowaŝone przez zyski osiągnięte na drugiej pozycji
Istotą transakcji zabezpieczającyc jest kształtowanie wartości (najczęściej minimalizacja) wybranej miary ryzyka rynkowego portfela. W kontekście zabezpieczanie portfela rozwaŝa się między innymi następujące miary ryzyka portfela: wariancja, semiwariancja, dolny moment cząstkowy, wartość naraŝona na ryzyko (VaR). W warunkac polskic najpopularniejszym instrumentem terminowym wykorzystywanym do zabezpieczania wartości portfela jest kontrakt terminowy na indeks WIG20
Najpopularniejszym przypadkiem jest minimalizacja wariancji wartości lub stopy zwrotu z portfela pomijając tzw. mnoŝniki c W = c S S c F F = c S F = c S F f ( ) ( ) ( ) P s t t f t t s t t s t t cs 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) var W = var c S F = c var S + c var F 2c cov S, F P s t t s s s : c =, var W min * s ( ) P d ( var ( WP )) * cov ( S, F ) = 0 = d var ( F ) Cs liczba jednostek instr. spot Cf liczba jednostek instr. futures
analogicznie... R P ( ) ( ) W c S S c F F S S c F F F = = = = c S c S S c S F p s t t f t t t t f t t t... s t s t t s t t = R s R 2 f * 2 ( ) : var R min P d ( var ( R )) cov ( R, ) P s Rf d 2 = 0 * 2 = var ( R ) f oba współczynniki róŝnią się zazwyczaj
Miara efektywności strategii zabezpieczającej HE = var ( S * F ) var ( S) redukcja wariancji wartości portfela zabezpieczonego w stosunku do portfela niezabezpieczonego Ederington, 979
Metody estymacji * zaleŝą od uwzględnianyc własności finansowyc szeregów kursów natycmiastowyc i terminowyc - kointegracja kursów spot i futures - autokorelacja przyrostów kursów - korelacja pomiędzy przyrostami spot i futures - grube ogony rozkładów przyrostów - zmienna warunkowa macierz kowariancji
Metody estymacji * - regresja S = α + β F + ε t t t * = β nawet jeśli zakładamy stałość macierzy kowariancji w czasie, a estymujemy parametry na postawie danyc z przesuwającego się okna, to otrzymujemy zmienny w czasie współczynnik zabezpieczenie, który moŝe być podstawą edgingu dynamicznego
q = + + + + * S α β F ϕ S β F ε t t i t i j t j t i= j= = β p q = + + + + S α β F ϕ S β F z t t i t i j t j t t i= j= 2 = ω + αε + β t t t zt ( ) ~ iid 0, * = β p
ECM q = + + + + + S α β F ϕ S β F γ ECM ε t t i t i j t j t t i= j= ECM = S b b F t t 0 t p moŝna równieŝ dołączyć jednowymiarowy model GARCH * = β
VAR(k) k = + + + S α ϕ S β F ε t s si t i sj t j st i= j= k = + + + F α ϕ S β F ε t f fi t i fj t j ft i= j= k k * = ( ε ε ) st ft ( ε ) ft cov, var
VECM(k) k = + + + + k S α ϕ S β F γ ECM ε t s si t i sj t j s t st i= j= k = + + + + k F α ϕ S β F γ ECM ε t f fi t i fj t j f t ft i= j= ECM = S b b F t t 0 t * = ( ε ε ) st ft ( ε ) ft cov, var
S µ ε t s st = + F µ ε t f ft ε st I t ~ N ε 0, ft ( H ) t MGARCH * sf, t 2, t, t+ = = ff, t 22, t dynamika współczynnika wynika ze zmiennej w czasie macierzy kowariancji, a takŝe zbioru danyc, na podstawie którego dokonuje sie estymacji parametrów
Proponuje się takŝe modele, które zawierają zarówno VECM, jak i MGARCH. Analizuje się takŝe modele wykorzystujące koncepcję funkcji powiązań.
S µ ε t s st = + F µ ε t f ft punkt wyjścia ε st I ~ N ε 0, t ft ( H ) t * sf, t 2, t, t ff, t 22, t + = =
VECH(,) model VECH(,) vec H = W + Avec ε ε + Bvec H ( ) ( T ) ( ) t t t t 2,t ω a a2 a3 ε,t- b b2 b3,t- 2,t = ω 2 + a2 a22 a23,t- 2,t- + ε ε b2 b22 b23 2,t- 2 22,t ω 22 a3 a32 a33 ε 2,t- b3 b32 b33 22,t-
Problemy Problemy: ) liczba parametrów modelu ( ) ( ) N N + N N + + ( p + q) 2 2 N liczba parametrów modelu VECH 2 2 3 78 4 20 5 465 6 903 2) konieczność zapewnienia dodatniej określoności macierzy H t 3) konieczność zapewnienia stacjonarności macierzy H t [ ] Σ = E H
Diagonal VECH model Bollerslev, Engle, Wooldridge, 988 ( + ) ( + P + Q ) N N 2,t ω a 0 0 ε,t- b 0 0,t- 2,t = ω 2 + 0 a 22 0,t- 2,t- + ε ε 0 b 22 0 2,t- 2 22,t ω 22 0 0 a 33 ε 2,t- 0 0 b33 22,t- 2 DVECH = ω + a ε + b 2,t,t,t = ω + a ε ε + b 2,t 2 22,t 2,t 22 2,t = ω + a ε + b 2 22,t 22 33 2,t 33 22,t brak efektu przenikania zmienności pomiędzy instrumentami, rynkami, itp. N DVECH VECH 2 9 2 3 8 78 4 30 20 5 45 465 6 63 903
BEKK BEKK: Baba,Engle,Kroner,Kraft (995) = *T * + *T T * + *T * t t t t H W W A ε ε A B H B ( + ) N N 2 ( p q) N 2 + + N liczba parametrów modelu BEKK(,) liczba parametrów modelu VECH(,) 2 2 3 24 78 gdy H jest dodatnio określona model gwarantuje dodatnią określoność dla t> 4 42 20 5 65 465 6 93 903
Inne modele BEKK inne modyfikacje modelu BEKK, to: diagonal BEKK: macierz A* i/lub B* są diagonalne * * a 0 A = * 0 a22 prosty warunek stacjonarności scalar BEKK macierz A* i/lub B* są macierzami skalarnymi * * * a a A = * * a a
Model stałyc korelacji warunkowyc constant conditional correlation - CCC, Bollerslev (990) CCC H = D RD t t t ρ2 ρn R = ρn D, t 0 0 0 0 22, t t = NN, t N = ω + α ε + β 2 ii, t ii ii i, t ii ii, t = ρ ij, t ij ii, t jj, t liczba parametrów modelu CCC(,) liczba parametrów modelu BEKK(,) liczba parametrów modelu VECH(,) 2 7 2 3 2 24 78 4 8 42 20 5 25 65 465 6 33 93 903
METODA ŚREDNIEJ WAśONEJ WYKŁADNICZO = ( λ ) T + λ = ( λ ) λ k T H ε ε H ε ε t+ t t t t k t k k = o λ ε λ λ ε λ N N k 2 ( ) k 2 ii,t + N i,t k i,t k l k = 0 k = 0 l= 0 N N k ( ) k 2,t +,t k 2,t k N,t k 2,t k l k = 0 k = 0 λ ε ε λ λ ε ε λ l= 0
Problemy praktyczne: - konieczność stworzenia tzw. kontynuowanego szeregu futures (perpetual futures time series) - liczba obserwacji - ciągle brak prostego w uŝyciu oprogramowania, (estymacja modeli z duŝą liczbą parametrów oraz warunków dodatniookreśloność, stacjonarność) - asyncroniczność danyc I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII marzec czerwiec wrzesień grudzień marzec > czerwiec >
Kontrakt syntetyczny z symbolem WS (np FW20WS) odpowiada rzeczywistym cenom jakie wystąpiły w danym okresie na kontrakcie z najbliŝszym terminem wygasania. Taka metodologia prowadzi do powstania na wykresie luk, związanyc z wygasaniem serii i przejściem na nową.
Dla kontraktu synetycznego bez symbolu (np. FW20) źródłem są notowania kontraktu FW20XX o największej liczbie otwartyc pozycji. Po zmianie 'źródła' na kolejną serię, dane istoryczne korygowane są o lukę wynikającą ze 'skokowego przejścia. Takie podejście powoduje, Ŝe istoryczne dane ( z wyjątkiem ostatnic, przy aktualnej serii) nie są danymi rzeczywistymi.
Przykład empiryczny Próbę do badań stanowiły szeregi kursów indeksu WIG20 oraz stworzonego syntetycznego (kontynuowanego) kontraktu futures FW20. Okres badawczy stanowiło 500 obserwacji dziennyc z dni od 2002-09-20 do 2008-09-0. Parametry modeli oraz prognozy jednodniowe wartości macierzy kowariancji szacowane były codziennie z ostatnic dostępnyc 000 danyc. Efektywność strategii oceniano dla 500 dni.
Z punktu widzenia kryteriów ekonometrycznyc najlepszym modelem był zazwyczaj model DVECH oraz CC.
Metoda estymacji wariancja zmiany wartości portfela redukcja ryzyka w % 500 dni testowyc ranking metod bez zabezp. =0 243,25 0 2 zabezp. naiwne = 262,4293 0,78897 prosta regresja 258,4456 0,7922 0 EWMA (0.965) 248,3628 0,80023 full BEKK N 255,506 0,794485 9 diag BEKK N 253,328 0,796242 7 scalar BEKK N 249,8075 0,799069 4 diag VECH N 25,6696 0,79757 5 CC GARCH 248,478 0,80043 2 full BEKK S 252,7386 0,7967 6 diag BEKK S 253,328 0,796242 7 scalar BEKK - S 249,5769 0,799254 3
Metoda estymacji T T2 T3 T4 T5 R R2 bez zabezp. =0 2 2 2 2 2 2 2 zabezp. naiwne = 3 9 prosta regresja 0 0 0 EWMA (0.965) 8 2 5 2 9 4 full BEKK N 9 0 9 9 3 0 9 diag BEKK N 5 8 7 7 7 7 7 scalar BEKK N 3 6 2 4 5 2,5 4 diag VECH N 7 7 3 5 6 6 5 CC GARCH 6 6 2 2 full BEKK S 2 4 0 0 5 6 diag BEKK S 5 8 7 7 7 7 7 scalar BEKK - S 4 5 4 3 4 2,5 3
Metoda estymacji min max średni var( ) 000 bez zabezp. =0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 zabezp. naiwne =,0000,0000,0000 0,0000 prosta regresja 0,8475 0,937 0,8857 0,0004 EWMA 0,7620,084 0,9308 0,043 full BEKK N 0,7035,943 0,996,724 diag BEKK N 0,702,494 0,999 0,3523 scalar BEKK N 0,724,05 0,9266 0,2232 diag VECH N 0,7033,292 0,994 0,7205 CC GARCH 0,72,867 0,9254 0,446 full BEKK S 0,743,2043 0,9302,390 diag BEKK S 0,70,466 0,924 0,304 scalar BEKK - S 0,7347,079 0,938 0,907
wartości współczynników zabezpieczenia
wybrane szeregi
Podsumowanie: )najprostsze modele okazały się najlepsze z punktu widzenia redukcji wariancji wartości portfela w całej próbie testowej, 2)w podpróbac wyniki nie są juŝ tak jednoznaczne, coć wartości miary efektywności strategii są bardzo zbliŝone, 3)dla modelu EWMA zmiany liczby kontraktów z dnia na dzień okazały się najmniejsze, co jednocześnie zmniejsza koszty transakcyjne Sugerowana metoda: średnia waŝona wykładniczo
Kierunki dalszyc badań EWMA oraz: )uwzględnienie kointegracji szeregów 2)analiza wyników dla innyc tecnik tworzenia szeregu kontynuowanego kursów futures 3)analiza efektywności strategii dla dłuŝszyc oryzontów zabezpieczania 4)uwzględnienie tecnik odpornyc na obserwacje nietypowe
Krzysztof Piontek Wydział Zarządzania, Informatyki i Finansów Katedra Inwestycji Finansowyc i Zarządzania Ryzykiem Zastosowanie wielowymiarowyc modeli GARCH do szacowania współczynnika zabezpieczenia dla kontraktów futures na WIG20 Dziękuję za uwagę