Podręcznik dla uczniów Ława optyczna Politechnika Gdańska, Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej ul. Narutowicza /2, 80-233 Gdańsk, tel. +48 58 348 63 70 http://e-doswiadczenia.mif.pg.gda.pl e-doświadczenia w fizyce projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Charakterystyka soczewek sferycznych E-doświadczenie Ława optyczna zostało w całości poświęcone soczewkom. Dzięki temu e-doświadczeniu będziemy mogli zapoznać się z wiedzą z zakresu optyki geometrycznej. Opowiemy o soczewkach, ich własnościach i podstawowych parametrach je charakteryzujących. Przedstawimy również podstawowe wzory opisujące soczewki. Soczewka Soczewka to proste urządzenie optyczne, składające się z jednego lub kilku sklejonych razem bloków przezroczystego materiału, zwykle szkła, ale też różnych tworzyw sztucznych, żeli lub minerałów. Jedną z wielkości charakterystycznych dla każdego typu materiału jest współczynnik załamania światła, oznaczany zwykle przez n. W soczewkach, przynajmniej jedna z powierzchni jest zakrzywiona. Może być np. wycinkiem sfery, paraboli, hiperboli, elipsy lub walca. W naszym e-doświadczeniu będziemy mieli do czynienia tylko z soczewkami sferycznymi. Soczewki sferyczne Soczewki sferyczne to takie soczewki, w których przynajmniej jedna z powierzchni jest wycinkiem sfery. Każda z powierzchni takiej soczewki może być wypukła, wklęsła lub płaska. Gdy soczewka ma obie powierzchnie wypukłe to mówimy, że jest dwuwypukła, gdy ma obie powierzchnie wklęsłe mówimy, że jest dwuwklęsła. Istnieją także soczewki wklęsło wypukłe, gdy jedna z powierzchni jest wklęsła a druga wypukła oraz płasko wypukłe i płasko wklęsłe, gdy jedna z powierzchni jest płaska. Zatem każda soczewka charakteryzuje się kształtem i własnością materiału, z jakiego jest zrobiona. Podstawową funkcją soczewek jest symetryczne względem osi optycznej skupianie lub rozpraszanie promieni światła.
Ognisko i ogniskowa Każda soczewka posiada oś optyczną i punkt, w którym skupia się wiązka światła równoległa do osi optycznej, zwany ogniskiem soczewki. Inaczej, taką wiązkę równoległą nazywamy wiązką skolimowaną. Odległość ogniska od środka optycznego soczewki nazywamy ogniskową soczewki. Równanie, które wiąże ze sobą ogniskową soczewki z wyżej wymienionymi wielkościami tj. współczynnikiem załamania, który zależy od materiału, z którego zrobiona jest soczewka oraz promieniami krzywizny soczewki, zwane jest równaniem szlifierzy soczewek. Przy założeniu, że krzywizny soczewek są wycinakami sfer, oraz że soczewki są bardzo cienkie wzór przybiera postać: Równanie szlifierzy soczewek ( f = (n ) + ), (.) r r 2 gdzie: f jest ogniskową soczewki, n współczynnikiem załamania, r i r 2 promieniami krzywizn soczewki. Konwencja znaków Przy korzystaniu ze wzoru (.) trzeba być bardzo ostrożnym. Należy pamiętać, że dodatnia wartość promienia mówi o wypukłości odpowiedniej krzywizny soczewki, natomiast ujemna o wklęsłości. Dodatnia wartość ogniskowej mówi o tym, że soczewka jest skupiająca, natomiast ujemna rozpraszająca. Ćwiczenie Wpływ promienia krzywizny soczewki sferycznej na ogniskową Przykład Dla przykładu wyznaczmy ogniskową soczewki o parametrach: n =,5; r = 0,2 m; r 2 = 0,2 m. Wówczas f = (,5 ) ( 0,2 + ) = 5 f = 0,2 m. (.2) 0,2 Spróbujemy teraz doświadczalnie przekonać się o tym, co przeliczyliśmy powyżej. 2
Przebieg doświadczenia " Wybierz źródło światła (żarówkę) i kolimator. " Z zestawu szklanych soczewek o różnych ogniskowych wybierz taką, która ma parametry z powyższego przykładu. " Zamontuj źródło światła ze skolimowaną wiązką. " Wstaw soczewkę do układu optycznego. " Znajdź punkt, w którym promienie światła wiązki skolimowanej skupiają się. " Wyznacz ogniskową, czyli odległość tego punktu od środka soczewki. " Wyznaczoną ogniskową porównaj z obliczeniami. " Powtórz ćwiczenie dla innych soczewek z tego zestawu. Zastanówmy się teraz, czy możliwe jest uzyskanie dwóch soczewek z tego samego materiału, o różnych promieniach krzywizny, mających takie same ogniskowe? Ćwiczenie 2 Czy soczewki o różnych promieniach krzywizny mogą mieć taką samą ogniskową? Przykład Do tego problemu podejdziemy podobnie jak do powyższego. Wybierzmy ogniskową oraz materiał, z którego zrobiona jest soczewka z pierwszego przykładu: f = 0,2 m; n =,5. Ustalmy także jeden z promieni krzywizny r = 0,3 m. Po wstawieniu naszych danych do równania otrzymujemy: 0,2 ( = (,5 ) 0,3 + ) r 2 = 0,5 m. (.3) r 2 Widzimy więc, że soczewkę o konkretnej ogniskowej możemy otrzymać na bardzo wiele sposobów. Dobrym ćwiczeniem będzie znalezienie innych promieni krzywizny dla powyższych parametrów. Spróbuj obliczyć r 2 dla: r = 0, m, r = 0,087 m, r = 0,67 m oraz doświadczalnie przekonać się o tym co przeliczyliśmy powyżej. Przebieg doświadczenia " Wybierz źródło światła (żarówkę) i kolimator. " Z zestawu szklanych soczewek o różnych kształtach i tej samej ogniskowej wybierz takie, które mają parametry z powyższych przykładów. " Zamontuj źródło światła ze skolimowaną wiązką. " Wstaw soczewkę z powyższego przykładu do układu optycznego. " Znajdź punkt, w którym promienie światła wiązki skolimowanej skupiają się. 3
" Wyznacz ogniskową, czyli odległość tego punktu od środka soczewki. " Wyznaczoną ogniskową porównaj ze swoimi obliczeniami. " Powtórz ćwiczenie dla innych soczewek z tego zestawu. Ćwiczenie 3 Jak było wspomniane wcześniej, n jest współczynnikiem załamania światła. Wielkość ta jest charakterystyczna dla danego materiału. Dla jakiego materiału n =,5? By się o tym przekonać klikamy Tablice fizyczne w głównym menu. Tam odnajdziemy materiał, którego współczynnik załamania wynosi,5. Zwróć uwagę, że każdy z wymienionych w tablicach materiałów ma inny współczynnik załamania. Okazuje się, że w zależności od odmiany szkła (domieszkowania różnymi pierwiastkami etc.), współczynnik załamania może przyjmować różne wartości, od poniżej,5 do prawie 2,0. Ogniskowe soczewek z różnych materiałów Przykład Dla przykładu wybierzmy soczewkę diamentową o promieniach krzywizny r = r 2 = 0,2 m. Po odczytaniu ile wynosi współczynnik załamania światła dla diamentu mamy: n = 2,4; r = 0,2 m; r 2 = 0,2 m. Zatem f = (2,4 ) ( 0,2 + ) f 0,07 m. (.4) 0,2 Przebieg doświadczenia " Wybierz źródło światła (żarówkę) i kolimator. " Z zestawu soczewek z różnych materiałów o tych samych promieniach krzywizny wybierz soczewkę z powyższego przykładu. " Zamontuj źródło światła ze skolimowaną wiązką. " Wstaw soczewkę do układu optycznego. " Znajdź punkt, w którym promienie światła wiązki skolimowanej skupiają się. " Wyznacz ogniskową, czyli odległość tego punktu od środka soczewki. " Wyznaczoną ogniskową porównaj ze swoimi obliczeniami. " Powtórz ćwiczenie dla innych soczewek z tego zestawu. 4
2 Wady soczewek sferycznych Jak zostało wspomniane w poprzednim rozdziale, aby móc uznać wzór szlifierzy soczewek za poprawny, musimy przyjąć pewne założenia. Konsekwencją tych założeń jest ograniczona stosowalność równania (.). Zastanówmy się jednak, co się stanie gdy znajdziemy w obszarze, w którym argumenty za wcześniej zastosowanymi przybliżeniami nie będą spełnione? W obszarach tych dochodzi do zjawisk, które wywołane są przez tak zwane wady soczewek. Poznamy tutaj wadę zwaną aberracją sferyczną. Ćwiczenie 4 Aberracja sferyczna Na początku spróbujmy doświadczalnie przekonać się, czym dokładnie jest aberracja sferyczna. Przebieg doświadczenia " Wybierz źródło światła: samą żarówkę. " Z zestawu soczewek do obserwacji aberracji sferycznej wybierz jedną z soczewek. " Zamontuj źródło światła na ławie optycznej. " Wstaw soczewkę do układu optycznego. " Widać wyraźnie, że przejście światła przez niektóre soczewki sprawia, że wiązki światła nie ogniskują się w jednym punkcie. Właśnie to zjawisko nazywamy aberracją sferyczną. Podkreślamy, że to właśnie fakt, że wszystkie wiązki światła ogniskują się w jednym punkcie pozwala nam w optyce geometrycznej wyznaczyć położenie i wielkość uzyskanego obrazu. " Powtórz ćwiczenie dla innych soczewek z tego zestawu. " Na podstawie obserwacji, spróbuj wytłumaczyć, z czego wynika aberracja sferyczna. " Co odróżnia soczewki z tego układu od tych użytych w ćwiczeniach 3? " Zastanów się jakie są sposoby zapobiegania aberracji sferycznej? 5
3 Jakie obrazy możemy uzyskać za pomocą soczewek? Jak już wspomnieliśmy w poprzednich rozdziałach, podstawową rolą soczewek jest skupianie lub rozpraszanie promieni światła wzdłuż osi optycznej. Jeśli po przejściu przez układ optyczny promienie światła skupiają się, to mamy możliwość obserwowania obrazów powstających właśnie w miejscu skupienia się tych promieni. Takie obrazy nazywamy rzeczywistymi. Obrazy rzeczywiste Obraz rzeczywisty to obraz przedmiotu, który powstaje w wyniku przecięcia się promieni przechodzących przez soczewkę lub układ optyczny, składający się np. z kilku soczewek. Obraz rzeczywisty możemy zaobserwować na ekranie umieszczonym właśnie w miejscu przecięcia się tych promieni. Jednak nie zawsze bywa tak, że promienie świetlne po przejściu przez soczewkę dają obraz rzeczywisty. Jeśli po przejściu przez układ optyczny promienie rozpraszają się, to możemy zaobserwować obrazy pozorne. Obrazy pozorne Obraz pozorny to obraz przedmiotu, który powstaje w wyniku przecięcia się przedłużeń promieni rzeczywistych po ich przejściu przez soczewkę. Obraz ten jest widoczny dla obserwatora rejestrującego rozbieżną wiązkę promieni opuszczających układ optyczny. To nasze zmysły lokują obraz w miejscu, w którym w rzeczywistości nie biegną żadne promienie, stąd też nazwa obrazu pozornego. Oczywiście obraz pozorny nie jest widoczny na ekranie, aby go zobaczyć należy popatrzeć przez soczewkę. 6
Ćwiczenie 5 Kiedy otrzymujemy obrazy pozorne, a kiedy rzeczywiste? Soczewki skupiające " Montujemy na ławie źródło światła z dowolnym filtrem. " Z zestawu soczewek szklanych o różnych ogniskowych wybieramy dowolną soczewkę skupiającą (taką o dodatniej wartości ogniskowej) i montujemy ją na ławie optycznej. " Po drugiej stronie soczewki, na razie w dowolnej odległości, montujemy ekran. " Źródło światła ustawiamy kolejno: przed ogniskiem soczewki, w ognisku i w odległości większej niż ogniskowa przed soczewką. " Dla każdego z tych trzech przypadków sprawdzamy, czy powstaje obraz na ekranie. " Jeżeli obraz na ekranie jest niewyraźny, spróbuj przesuwać ekranem wzdłuż ławy optycznej tak aby uzyskać najlepszy rezultat. " Jeśli nie obserwujemy żadnego obrazu na ekranie, popatrzmy przez soczewkę i sprawdźmy czy można zaobserwować obraz pozorny. " Proponujemy powtórzyć ćwiczenie dla innych soczewek skupiających z tego zestawu. Soczewki rozpraszające Zastanów się " Teraz z zestawu soczewek szklanych o różnych ogniskowych wybieramy dowolna soczewkę rozpraszającą (taką o ujemnej wartości ogniskowej) i montujemy na ławie optycznej zamiast soczewki skupiającej. " Źródło światła ustawiamy kolejno przed ogniskiem soczewki, w ognisku i w odległości większej niż większej niż ogniskowa przed soczewką. " Dla każdego z tych trzech przypadków sprawdzamy, czy obraz powstaje na ekranie. " Jeśli nie obserwujemy żadnego obrazu na ekranie, popatrzmy przez soczewkę i sprawdźmy, czy można zaobserwować obraz pozorny. " Ćwiczenie warto powtórzyć dla innych soczewek rozpraszających z tego zestawu. " Kiedy otrzymujemy obrazy rzeczywiste, a kiedy pozorne dla soczewek skupiających i rozpraszających? 7
Obrazy proste i odwrócone Ćwiczenie 6 Z ćwiczenia 5 dowiedzieliśmy się, że dzięki soczewkom możemy obserwować obrazy rzeczywiste na ekranie, bądź pozorne patrząc przez soczewkę. W kolejnym ćwiczeniu zastanowimy się kiedy obserwowane obrazy są proste, a kiedy odwrócone. Kiedy otrzymujemy obrazy proste, a kiedy odwrócone? Soczewki skupiające Soczewki rozpraszające " Montujemy na ławie optycznej źródło światła z filtrem. Warto do tego ćwiczenia wykorzystać filtr w kształcie strzałki lub uśmiechniętej buźki. " Z zestawu soczewek szklanych o różnych ogniskowych wybieramy dowolna soczewkę skupiającą i montujemy na ławie optycznej. " Po drugiej stronie soczewki, na razie w dowolnej odległości, montujemy ekran. " Źródło światła z filtrem ustawiamy kolejno przed ogniskiem soczewki, w ognisku i w odległości większej niż ogniskowa przed soczewką. " Dla każdego z tych trzech przypadków obserwujemy, czy obraz powstaje na ekranie. " Jeżeli obraz na ekranie jest niewyraźny, spróbuj przesuwać ekranem wzdłuż ławy optycznej tak, aby uzyskać lepszą ostrość. " Jeśli nie obserwujemy żadnego obrazu, popatrzmy przez soczewkę. " Czy obserwowany przez nas obraz jest prosty, czy odwrócony? " Z zestawu soczewek szklanych o różnych ogniskowych wybieramy dowolna soczewkę rozpraszającą i montujemy na ławie optycznej. " Montujemy na ławie źródło światła z filtrem. " Źródło światła z filtrem ustawiamy kolejno przed ogniskiem soczewki, w ognisku i w odległości większej niż ogniskowa przed soczewką. " Dla każdego z tych trzech przypadków obserwujemy, czy obraz powstaje na ekranie. " Jeśli nie obserwujemy żadnego obrazu, popatrzmy przez soczewkę. " Czy obserwowany przez nas obraz jest prosty, czy odwrócony? 8
Obrazy powiększone i pomniejszone Ćwiczenie 7 Zapewne zauważyliśmy już, że obrazy wytworzone przez soczewki zazwyczaj są innej wielkości niż sam przedmiot. Zastanówmy się nad tym, w których sytuacjach obrazy są powiększone, a w których pomniejszone. Kiedy otrzymujemy obrazy powiększone, a kiedy pomniejszone? Soczewki skupiające Soczewki rozpraszające " Z zestawu soczewek szklanych o różnych ogniskowych wybieramy dowolna soczewkę skupiającą i montujemy na ławie optycznej. " Montujemy na ławie źródło światła z dowolnym filtrem. " Źródło światła wraz z filtrem ustawiamy kolejno w punktach: 0 < x < f, x = f, f < x < 2f, x = 2f, x > 2f, przy czym x jest odległością źródła światła od soczewki o ogniskowej f. " Dla każdego z tych przypadków sprawdzamy, czy obraz powstaje na ekranie i jeśli tak to przesuwając ekranem ustawiamy jego ostrość. " Jeśli nie obserwujemy żadnego obrazu, popatrzmy przez soczewkę. " Czy obserwowane przez nas obrazy są powiększone, czy pomniejszone? " Z zestawu soczewek szklanych o różnych ogniskowych wybieramy dowolna soczewkę rozpraszającą i montujemy na ławie optycznej. " Montujemy na ławie źródło światła z dowolnym filtrem. " Źródło światła wraz z filtrem ustawiamy kolejno w punktach: 0 < x < f, x = f, f < x < 2f, x = 2f, x > 2f. " Dla każdego z tych trzech przypadków obserwujemy, czy obraz powstaje na ekranie. " Jeśli nie obserwujemy żadnego obrazu, popatrzmy przez soczewkę. " Czy obserwowane przez nas obrazy są powiększone czy pomniejszone? 9
Ćwiczenie 8 Podsumowanie Ćwiczeń 5 7 " W poniższych tabelkach x to odległość źródła światła od soczewki. Uzupełnij tabelki: zaznacz znakiem X przypadki, w których powstające obrazy są rzeczywiste lub pozorne, proste lub odwrócone, powiększone lub pomniejszone: Soczewki skupiające rzeczywisty pozorny prosty odwrócony powiększony pomniejszony 0 < x < f x = f f < x < 2f x = 2f x > 2f Soczewki rozpraszające rzeczywisty pozorny prosty odwrócony powiększony pomniejszony 0 < x < f x = f f < x < 2f x = 2f x > 2f 0
Jak zapewne zauważyliśmy z poprzednich ćwiczeń, ustawienie ekranu w odpowiednim miejscu na ławie optycznej umożliwia nam obejrzenie ostrego obrazu. Aby móc zaobserwować ostry obraz, należy umieścić ekran dokładnie w płaszczyźnie przecięcia się wiązki światła wychodzącej z soczewki. Równanie cienkiej soczewki Zależność pomiędzy odległością przedmiotu od soczewki, a odległością powstającego obrazu wyraża się wzorem: f = x + y, (3.) gdzie f jest ogniskową soczewki, x odległością przedmiotu od soczewki i y odległością powstającego obrazu od soczewki. Potrzeba jeszcze dodać, że to równanie jest przybliżeniem i jest dobrze spełnione dla cienkich soczewek. Ćwiczenie 9 W jakiej odległości powinniśmy umieścić ekran, aby obraz był ostry? Przykład Dla przykładu wyznaczmy odległość, w której powstanie ostry obraz na ekranie dla soczewki o ogniskowej f = 0,2 m, postawionej w odległości x = 0,3 m od źródła światła z filtrem (przedmiotu). f = x + y y = f x x f y = 0,2 0,3 0,3 0,2 y = 0,6 m (3.2) Rozwiąż " Spróbujemy teraz doświadczalnie przekonać się o tym, co przeliczyliśmy powyżej. " Zwróć szczególną uwagę na pomocnicze promienie źródła światła. " Na ławie optycznej w odległości x = 0,5 m od przedmiotu (żarówka z filtrem), została wstawiona soczewka o ogniskowej f = 0, m. W jakiej odległości od soczewki należy ustawić ekran, aby móc obejrzeć ostry obraz? " Na ławie optycznej przedmiot i ekran są umieszczone w odległości m od siebie. W którym miejscu należy wstawić soczewkę o ogniskowej f = 0,5 m, aby na ekranie powstawał ostry obraz? Ile istnieje rozwiązań tego problemu?
Powiększenie obrazu Powiększenie obrazu wytworzonego przez soczewkę wyraża się wzorem: p = h k h p = y x (3.3) przy czym h p jest wysokością obiektu, h k wysokością obrazu, y odległością obrazu od soczewki, a x odległością obiektu od soczewki. Ćwiczenie 0 Powiększenie obrazu Przykład Dla przykładu wyznaczmy powiększenie ostrego obrazu, powstającego z soczewki o ogniskowej f = 0,2 m umieszczonej x = 0,3 m od przedmiotu (żarówki z filtrem). Z poprzedniego ćwiczenia wiemy, że aby obejrzeć ostry obraz, musimy wstawić ekran w odległości y = 0,6 m od soczewki, zatem: p = y x p = 0,6 0,3 p = 2. (3.4) " Spróbujemy teraz doświadczalnie przekonać się o tym co przeliczyliśmy powyżej. " Powtórz ćwiczenie także dla innych soczewek ustawionych w różnych odległościach od przedmiotu. 2
4 Łączenie soczewek Zajmiemy się aktualnie łączeniem soczewek. Niestety, sytuacja już z dwoma soczewkami staje się dość skomplikowana. Zatem ograniczymy się tylko do układu dwóch soczewek, spełniającego odpowiednie założenia. Wiedza ta wystarczy, by móc zrozumieć kolejne ćwiczenia (szczególnie działanie mikroskopu i teleskopu). Rozważmy układ optyczny składający się z przedmiotu (źródła), dwóch soczewek skupiających oraz ekranu. Przyjmijmy oznaczenia: x odległość obiektu od pierwszej soczewki, y odległość obrazu od pierwszej soczewki, f ogniskowa pierwszej soczewki, x 2 odległość obiektu (tu obiektem jest obraz powstały po przejściu promieni świetlnych przez pierwszą soczewkę) od drugiej soczewki, y 2 odległość obrazu (ekranu) od drugiej soczewki, f 2 ogniskowa drugiej soczewki, L odległość między soczewkami. Przypomnijmy sobie teraz równanie dla cienkiej soczewki: f = x + y. Stosując ten wzór, znajdziemy zależność położenia ostrego obrazu w zależności od położenia obiektu przy założeniu, że ogniskowa pierwszej soczewki jest mniejsza od odległości między soczewkami (f < L). Zaczynamy od równania (3.) dla pierwszej soczewki: f = x + y. (4.) Wiemy również, że miejsce powstania obrazu pierwszej soczewki, jest miejscem położenia obiektu dla drugiej soczewki. Możemy więc napisać: = +. (4.2) f 2 L y y 2 Łącząc powyższe równania ze sobą otrzymujemy: f 2 = L f +. (4.3) x y 2 x f 3
Mając powyższe równanie, możemy wyznaczyć odległość ostrego obrazu od drugiej soczewki, znając odległość źródła światła od pierwszej soczewki, odległość między soczewkami oraz ogniskowe soczewek. Spróbujmy zatem wyznaczyć odległość ostrego obrazu mając następujące dane: x = 0,3 m, f = 0,2 m, f 2 = 0,2 m, L = 0,4 m Wstawiając je do wzoru (4.3) otrzymujemy: y 2 = f 2 L f x x f y 2 = Podstawiając powyższe wartości: f 2 y 2 = 0,2 0,2 0,3 0,4 0,3 0,2 L f x x f. (4.4) = 0, m. (4.5) Widzimy więc, że odległość ostrego obrazu od drugiej soczewki wynosi 0 cm. Podobnie jak to było w przypadku pojedynczej soczewki, możemy również określić powiększenie obrazu. Przypomnijmy, że dla pojedynczej soczewki powiększenie obrazu mogliśmy zdefiniować następująco: p = h k /h p = y/x, gdzie h p jest wysokością obiektu, h k wysokością obrazu. Znając te wzory wyprowadźmy jeszcze wzór na powiększenie obrazu dla układu dwóch soczewek. Wiemy, że obraz powstały przy przejściu promieni światła przez pierwszą soczewkę jest jednocześnie obiektem dla drugiej soczewki (h k = h p2 ), możemy więc napisać: oraz: h p = h p2 p, (4.6) p 2 = h k2 h p2. (4.7) Wiążąc obydwa powyższe równania, otrzymujemy: h k2 = p p 2 h p. (4.8) 4
Ćwiczenie Łączenie soczewek Spróbujmy teraz doświadczalnie potwierdzić słuszność otrzymanych wzorów. Układ doświadczalny Rozwiąż i sprawdź doświadczalnie " Wybieramy obrazek, którego chcesz używać jako obiektu. " Ze zbioru soczewek wybieramy 2 soczewki o dowolnych ogniskowych. Montujemy źródło. Ustawiamy soczewki tak, by spełniona była nierówność f < L. Manipulując położeniem soczewek, znajdujemy ostry obraz. Odczytujemy położenie soczewek. " Wstawiając do wzoru odpowiednie wielkości, sprawdzamy poprawność wzoru. Powyższe doświadczenie spróbuj wykonać również dobierając tak soczewki i odległości, by były zgodne z wielkościami wziętymi do powyższego przykładu. " Znajdź położenie ostrego obrazu, jeśli: odległość między źródłem światła a pierwszą soczewką wynosi 20 cm, ogniskowa pierwszej soczewki wynosi 0 cm, odległość między soczewkami wynosi 5 cm, ogniskowa drugiej soczewki wynosi 5 cm. " Znajdź położenie pierwszej soczewki od źródła światła, jeśli: ogniskowa pierwszej soczewki wynosi 20 cm, odległość między soczewkami wynosi 5 cm, ogniskowa drugiej soczewki wynosi 5 cm, odległość ostrego obrazu od drugiej soczewki wynosi 4,5 cm. " Znajdź odległość między soczewkami, jeśli: odległość między źródłem światła a pierwszą soczewką wynosi 40 cm, ogniskowa pierwszej soczewki wynosi 20 cm, ogniskowa drugiej soczewki wynosi 20 cm, odległość ostrego obrazu od drugiej soczewki wynosi 2 cm. " Dla każdego z powyższych przykładów wyznacz też powiększenie. 5
Ćwiczenie 2 W poprzednim ćwiczeniu ustawialiśmy soczewki w pewnej odległości od siebie. A gdyby tak znaleźć ostry obraz, gdy dwie soczewki cienkie są blisko siebie? Czy taki układ można zastąpić pojedynczą soczewką cienką? Jeżeli masz wątpliwości, przeprowadź następujące ćwiczenie. Wykonanie doświadczenia Zastanów się Ćwiczenie 3 " Wybieramy żarówkę i filtr, którego chcemy użyć jako obiekt. " Wybieramy dwie soczewki ze zbioru soczewek i umieszczamy blisko siebie. " Włączamy źródło. " Manipulujemy położeniem soczewek, aby uzyskać ostry obraz na ekranie (soczewki przy uzyskaniu ostrego obrazu muszą być także blisko siebie). " Odczytujemy odległość przedmiotową x (czyli odległość przedmiotu od soczewki) oraz obrazową y (czyli odległość obrazu od soczewki). " Obliczamy ogniskową soczewki cienkiej, która zastąpiłaby ten układ. " Czy ważna jest kolejność soczewek w układzie blisko położonych soczewek? " Czy układ soczewki skupiającej i rozpraszającej ma charakter skupiający czy rozpraszający? Od czego to zależy? Luneta holenderska jako przykład lornetki teatralnej Wykonanie doświadczenia Zastanów się " Wybieramy żarówkę i filtr, którego chcemy użyć jako obiekt. " Wybieramy soczewkę skupiającą i rozpraszającą. " Włączamy źródło. " Manipulujemy położeniem soczewek tak, aby ich ogniska były w tym samym punkcie. " Patrzymy przez soczewkę rozpraszającą, która znajduje się dalej od przedmiotu powinniśmy zobaczyć obraz. " Zastanów się, dlaczego pomimo uzyskania obrazu pomniejszonego, w takim układzie widzimy przedmiot lepiej? 6
5 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Rozpatrując poprzednie ćwiczenia, wiedzieliśmy zawsze jaką odległość ogniskową f posiada nasza soczewka. Co jednak, jeśli nie dysponujemy wiedzą na temat odległości ogniskowej? Istnieje wiele sposobów doświadczalnych, aby ustalić wartość odległości ogniskowej soczewki. Dla nas najwygodniej jest przyjrzeć się problemowi odwrotnemu niż w poprzednich ćwiczeniach, tj. ustalenie ogniskowej na podstawie uzyskanych ostrych obrazów rzeczywistych na ekranie. Ćwiczenie 4 Najprostszym sposobem jest wyznaczenie ogniskowej soczewki wprost ze wzoru soczewkowego dla cienkiej soczewki (3.). W tym celu wystarczy jedynie zmierzyć (w e-doświadczeniu odczytać z linijki) odległość przedmiot-soczewka oraz odległość soczewka-obraz. W celu ustalenia ostrego obrazu, możemy manipulować położeniem przedmiotu, ekranu jak i soczewki. Teoretycznie, za pomocą tej metody jesteśmy w stanie wyznaczyć każdą wartość ogniskowej, gdyż nie mamy żadnego ograniczenia co do długości ławy optycznej. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą tradycyjną Wykonanie doświadczenia " Wybieramy żarówkę i filtr, którego chcemy użyć jako obiekt. " Wybieramy jedną soczewkę skupiająca ze zbioru soczewek. " Włączamy źródło. " Manipulujemy położeniem soczewki, ekranu lub przedmiotu, aby uzyskać ostry obraz na ekranie. " Odczytujemy odległość przedmiotową x oraz obrazową y. " Odczytane wyniki wpisujemy do tabeli (wraz z niepewnościami pomiarowymi) i wyliczamy ogniskową soczewki ze wzoru (3.). " Nie zapomnij zanotować jednostek wyznaczanych wielkości w nagłówku tabeli pomiarowej. 7
Metoda tradycyjna lp x[ ] y[ ] x[ ] y[ ] f[ ] f[ ] 2 3 4 5 Zastanów się Analiza niepewności " Za pomocą soczewki rozpraszającej nie jesteśmy w stanie uzyskać ostrego obrazu na ekranie. Czy możliwe jest w takim razie wyznaczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej tą metodą? Metoda, którą omawiamy, jest metodą pośrednią wyznaczania ogniskowej soczewki, dlatego musimy wyznaczyć niepewności odległości przedmiotowej x oraz obrazowej y. W naszym przypadku wystarczy, jak za niepewności tych wielkości przyjmiemy najmniejszą działkę pomnożoną razy dwa. Jednak w takim przypadku nie możemy odczytywać wyników pomiaru, gdy uzyskaliśmy ostry obraz od soczewki znajdującej się blisko ekranu lub przedmiotu. Jeżeli nasz pomiar został przeprowadzony zgodnie z powyższymi założeniami, maksymalną niepewność ogniskowej soczewki możemy wyliczyć z wzoru: f = f x f 2 x + f xy y f 2 y. (5.) xy Aby operować procentowym przedziałem niepewności wielkości mierzonej, musimy wyliczyć niepewność względną i przemnożyć ją przez sto procent: δ f = f 00%. (5.2) f Powyższa metoda pomimo swojej prostoty posiada liczne wady. Po pierwsze, nie jesteśmy w stanie mierzyć nieskończonych odległości, gdyż warunki laboratoryjne są ograniczone. Po drugie, manipulujemy trzema elementami układu aby oczytać wartości mierzone, co zwiększa niepewności pomiarowe. Po trzecie, uzyskujemy tylko jeden ostry obraz, gdy wiemy, że ostry obraz na ekranie dla danej soczewki skupiającej możemy uzyskać dla dwóch położeń soczewki względem przedmiotu i ekranu. Alternatywą dla tej metody jest metoda Bessela. 8
Idea metody Bessela W metodzie tej używa się ławy optycznej o określonej długości l. Na krańcach tej ławy ustawia się źródło światła i ekran, a pomiędzy te elementy wstawia się soczewkę (rys. 5.). Położenie ekranu oraz źródła światła jest niezmienne podczas trwania pomiaru. Rysunek 5.: Ilustracja pomiaru metodą Bessela. W układzie z rysunku (5.) istnieje możliwość uzyskania na ekranie dwóch obrazów rzeczywistych odwróconych, przy czym jeden jest pomniejszony (położenie soczewki kolor zielony), a drugi powiększony (położenie soczewki kolor niebieski). Metoda ta pozwala wyznaczyć ogniskową soczewki, znając odległość różnicy położeń soczewki e, oraz długość ławy optycznej l. Zależność na ogniskową badanej soczewki wyraża się następująco: f = l2 e 2. (5.3) 4l 9
Wyprowadzenie wzoru Bessela Aby wyprowadzić zależność określoną wzorem (5.3), należy zauważyć następujące związki z rysunku (5.): a + b = a + b = l, a a = b b = e. Znając odległości a i b możemy przedstawić ogniskową soczewki w postaci: f = a + l a. Po przekształceniu powyższego równania otrzymamy równanie kwadratowe: a 2 al + fl = 0. Wyróżnik tego równania kwadratowego wynosi: = l 2 4fl. Aby nasze równanie kwadratowe miało rozwiązanie, to > 0. W związku z tym mamy ograniczenie tej metody co do badanych soczewek i musi być spełniony warunek: f < l 4. Gdy powyższy warunek jest spełniony, otrzymujemy pierwiastki równania kwadratowego postaci: a = l + l 2 4fl 2, a 2 = l l 2 4fl. 2 Różnica powyższych pierwiastków jest odległością e: e = a a 2 = l 2 4fl, co po przekształceniu daje nam wzór Bessela (5.3). 20
Analiza niepewności metody Bessela Ćwiczenie 5 Możemy przyjąć, że długość ławy optycznej l nie jest obarczona niepewnością, a jedynie niepewność pochodzi od wyznaczenie odległości pomiędzy dwoma położeniami soczewki, przy których powstają ostre obrazy. Wówczas, niepewność maksymalną ogniskowej f możemy wyliczyć z zależności: f = e e, (5.4) 2l gdzie niepewność e jest podwójną wartością najmniejszej działki na linijce. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela Przebieg doświadczenia " Wybieramy żarówkę i filtr, którego chcemy użyć jako obiekt. " Wybieramy jedną soczewkę skupiająca ze zbioru soczewek. " Włączamy źródło. " Manipulujemy położeniem soczewki, aby uzyskać ostry obraz na ekranie (np. pomniejszony). " Odczytujemy położenie soczewki na ławie optycznej. " Manipulujemy położeniem soczewki, aby uzyskać drugi (powiększony) ostry obraz na ekranie. " Odczytujemy położenie soczewki na ławie optycznej. " Wyliczamy różnicę położeń soczewki. " Odczytany wynik wpisujemy do tabeli (wraz z niepewnością pomiarową) i wyliczamy ogniskową soczewki z wzoru (5.3), a niepewność ogniskową z wzoru (5.4). " Nie zapomnij zanotować jednostek wyznaczanych wielkości w nagłówku tabeli. Metoda Bessela lp a [ ] a 2 [ ] b [ ] b 2 [ ] l[ ] e[ ] e[ ] f[ ] f[ ] 2 3 4 5 Zastanów się " Czy uzyskane niepewności ogniskowych są takie same? Która metoda jest bardziej precyzyjna tradycyjna czy Bessela? " Czy ta metoda pozwala wyznaczyć ogniskową soczewki rozpraszającej? 2
Metoda graficzna W celu szybkiego ustalenia ogniskowej soczewki możemy skorzystać z metody graficznej, w której wykorzystuje się pomiary z metody Bessela. " W tym celu musimy wykreślić pierwszą ćwiartkę prostokątnego układu współrzędnych. Na osi rzędnych odznaczamy odległość przedmiot soczewka, a na osi odciętych odległość soczewka obraz, co przedstawia rysunek (5.2). " W punkcie przecięcia się prostych ab i a b wykonujemy rzut na oś rzędnych i odciętych. Rzuty powinny odzwierciedlać nam ogniskową badanej soczewki. " Niepewności pomiarowe wyznaczonej ogniskowej odczytujemy wprost z wykresu. Rysunek 5.2: Ilustracja metody graficznej. Nie jest to metoda precyzyjna, gdyż jest obarczona dużą niepewnością, ale technicznie szybko uzyskujemy przybliżoną wartość ogniskowej. 22
6 Układy kolimujące światło Na samym początku e-doświadczenia używaliśmy równoległej wiązki światła w celu wyznaczenia ogniskowej soczewki. Był to bardzo prosty sposób, jeżeli dysponowaliśmy taką wiązką. W rzeczywistości promieniowanie rozchodzi się w każdym kierunku. Do tworzenia wiązki równoległej służą kolimatory. Najprostszy kolimator składa się z soczewki wypukłej, umieszczonej wewnątrz przesłony z otworem. W takim przypadku, aby z wiązki rozbieżnej powstała wiązka równoległa, jedno z ognisk z soczewki musi mieć swoje położenie w otworze przesłony. Kolimatory są stosowane w wielu układach optycznych, miedzy innymi w mikroskopach, lornetkach, spektrografach, aparatach fotograficznych, itp. Wiązkę skolimowaną można również uzyskać przy pomocy zwierciadła wklęsłego. W urządzeniach optycznych, kolimatory są kombinacją ustawień soczewek i zwierciadeł. Ćwiczenie 6 Test najprostszego kolimatora Wykonanie pomiaru " Wybieramy soczewkę skupiającą. " Włączamy punktowe źródło światła (samą żarówkę). " Manipulujemy położeniem soczewki, aby padające promienie na soczewkę na wyjściu soczewki były równoległe do osi optycznej. " Sprawdzamy, czy odległość soczewki od źródła światła jest równa odległości ogniskowej soczewki. 23
Ćwiczenie 7 Transmisja wiązki równoległej po przejściu przez soczewki Problem polega na rozmieszczeniu dwóch soczewek: skupiającej i rozpraszającej tak, aby równoległa wiązka światła po przejściu przez obie soczewki pozostała nadal równoległa. Wykonanie pomiaru Zastanów się " Wybieramy soczewkę skupiającą i rozpraszającą. " Włączamy źródło równoległej wiązki światła (żarówkę z kolimatorem). " Manipulujemy położeniem soczewek, aby wiązka po przejściu przez obydwie soczewki była nadal równoległa. " Czy istnieje relacja pomiędzy wzajemnymi odległościami tych soczewek, dla których wiązka jest równoległa? " Czy powyższe doświadczenie można przeprowadzić przy pomocy dwóch soczewek skupiających i uzyskać wiązkę równoległą? 24
7 Najczęściej zadawane pytania (FAQ) Jak skonstruować ławę optyczną? Aby skonstruować ławę optyczną, musisz zajrzeć do szuflady z narzędziami ( Narzędzia zakładka ŁAWA OPTYCZNA ), aby wyjąć z niej elementy niezbędne do skonstruowania ławy. Na ekranie pojawi się okno zawierające narzędzia właściwie dla danego doświadczenia. W przypadku ławy, będą to: " ława optyczna " ekran 25
" żarówka " kolimator " filtry " soczewki (pogrupowane w 4 zakładkach po 2 sztuki dla każdego z rodzajów): 8 rodzajów soczewek szklanych (n = 5) o rożnych ogniskowych i promieniach krzywizny 4 rodzajów soczewek wykonanych z rożnych ośrodków, ale z jednakowymi promieniami krzywizny 4 rodzajów soczewek o takich samych ogniskowych 3 rodzajów soczewek pozwalających zaobserwować aberrację sferyczną. Wybór trzech rożnych soczewek (zarówno ze względu na materiał wykonania jak i na ogniskową oraz promień krzywizny) jest możliwy. Po wybraniu niezbędnych elementów zamykamy szufladę poprzez klikniecie na znak (x) w prawym górnym rogu okna Narzędzia. Na stole pojawią się wybrane elementy. Teraz pozostaje nam już tylko złożenie naszej ławy. Aby to zrobić, za pomocą kursora myszy podnieś wybrane z szuflady elementy (ekran żarówka kolimator filtry soczewki) i umieść je na ławie optycznej. 26
Po umieszczeniu elementów na ławie, po lewej stronie pojawi się możliwość ustawienia pozycji każdego z nich. Twoja ława optyczna jest gotowa możesz przejść do dalszej części doświadczenia. Zapamiętaj! Wybór kolimatora jest opcjonalny, ale wszystkie pozostałe elementy są niezbędne do przeprowadzenia doświadczenia. Inaczej obraz będzie niewidoczny. Jak skonstruować mikroskop? Aby skonstruować mikroskop, musisz zajrzeć do szuflady z narzędziami ( Narzędzia zakładka MIKROSKOP ), aby wyjąć z niej elementy niezbędne do skonstruowania mikroskopu. Na ekranie pojawi się okno zawierające narzędzia właściwie dla danego doświadczenia. W przypadku mikroskopu będą to: " tubus mikroskopu " źródło światła 27
" próbki (w tej chwili dostępny jest tylko liść) " soczewki (pogrupowane w 2 wierszach): 7 soczewek skupiających o ogniskowych: f = ; f = 5; f = 2; f = 3; f = 4; f = 5; f = 6; 7 soczewek rozpraszających o ogniskowych: f = ; f = 5; f = 2; f = 3; f = 4; f = 5; f = 6. Wybór dwóch rożnych soczewek jest możliwy. Po wybraniu niezbędnych elementów zamykamy szufladę poprzez klikniecie na znak (x) w prawym górnym rogu okna Narzędzia. Na stole pojawią się wybrane elementy. Teraz pozostaje nam już tylko złożenie naszego mikroskopu. Aby to zrobić za pomocą kursora myszy, podnieś : " soczewki i umieść je w obiektywie i okularze mikroskopu " źródło światła na statywie próbka może być oświetlona od góry lub od dołu. 28
Po umieszczeniu wszystkich elementów, po lewej stronie pojawi się możliwość ustawienia odległości próbki od obiektywu mikroskopu. Twój mikroskop jest gotowy możesz przejść do dalszej części doświadczenia. Zapamiętaj! Do skonstruowania mikroskopu, wszystkie wyżej wymienione elementy (tubus mikroskopu 2 soczewki źródło światła próbki) są niezbędne. Inaczej obraz będzie niewidoczny. Jak skonstruować lunetę? Aby skonstruować lunetę, musisz zajrzeć do szuflady z narzędziami ( Narzędzia zakładka LUNETA ) aby wyjąć z niej elementy niezbędne do skonstruowania lunety. Na ekranie pojawi się okno zawierające narzędzia właściwie dla danego doświadczenia. W przypadku mikroskopu będą to: " tubus teleskopu " obiekt do obserwowania (w tej chwili dostępny jest ptak i księżyc), " soczewki (pogrupowane w 2 wierszach): 6 soczewek skupiających o ogniskowych: f = 0; f = 20; f = 50; f = 75; f = 00; f = 50; 5 soczewek rozpraszających o ogniskowych: f = 2 5; f = 5; f = 7 5; f = 0; f = 5. Wybór dwóch rożnych soczewek jest możliwy. Po wybraniu niezbędnych elementów zamykamy szufladę poprzez klikniecie na znak (x) w prawym górnym rogu okna Narzędzia. 29
Na stole pojawią się wybrane elementy. Teraz pozostaje nam już tylko złożenie naszej lunety. Aby to zrobić, za pomocą kursora myszy podnieś soczewki i umieść je w obiektywie i okularze lunety. Po umieszczeniu soczewek, po lewej stronie pojawi się możliwość regulacji odległości okularu i obiektywu lunety. Twoja luneta jest gotowa możesz przejść do dalszej części doświadczenia. Zapamiętaj! Do skonstruowania lunety, wszystkie wyżej wymienione elementy (tubus lunety 2 soczewki źródło światła obiekt do obserwacji) są niezbędne. Inaczej obraz będzie niewidoczny. 30
Gdańsk 20 Politechnika Gdańska, Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej ul. Narutowicza /2, 80-233 Gdańsk, tel. +48 58 348 63 70 http://e-doswiadczenia.mif.pg.gda.pl e-doświadczenia w fizyce projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego