Ćwiczenie 13. Współczynnik lepkości

Ćwiczenie 13. Współczynnik lepkości Małgorzata Nowina-Konopka,Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Zapoznanie się z własnościami cieczy lepkiej, wyznaczenie współczynnika lepkości metodą spadania kulki (metodą Stokesa). Wprowadzenie Przy przepływie wszystkich cieczy rzeczywistych ujawniają się większe lub mniejsze siły tarcia. W przeciwieństwie do ruchu ciał stałych, w którym tarcie występuje tylko na powierzchni, w cieczach i w gazach ujawnia się ono w całej objętości. Jest więc zwane tarciem wewnętrznym lub lepkością. Przypuśćmy, że mamy dwie płaskie płytki o powierzchni S, a pomiędzy nimi ciecz, tak jak to przedstawiono na rysunku Rys.1. Jeżeli jedna z płytek będzie się poruszać względem drugiej z niewielką prędkością v, to siła potrzebna do podtrzymania ruchu będzie proporcjonalna do powierzchni S i prędkości v, a odwrotnie proporcjonalna do odległości płytek d F = η Sv d. (13.1) Stałą η nazywamy współczynnikiem lepkości. Jednostką η w układzie SI jest [Pa s]. Rys. 1. Rysunek pomocniczy do definicji współczynnika lepkości Zjawisko lepkości wykazują wszystkie ciecze i gazy. (Jednym dość szczególnym wyjątkiem jest ciekły hel, który w temperaturach bliskich zera bezwzględnego wykazuje zjawisko nadciekłości czyli zupełne zniknięcie lepkości.) Lepkość zależy w dużym stopniu od temperatury. Dla gazów rośnie proporcjonalnie do temperatury bezwzględnej. Dla cieczy zmniejsza się znacznie ze wzrostem temperatury. Bardzo silną zależność temperaturową obserwuje się dla cieczy o dużej lepkości jak np. dla gliceryny (patrz dane w tabeli 1) czy dla olejów silnikowych. 13-1

Tabela 1: Wybrane wartości współczynnika lepkości Rodzaj cieczy η [Pa s] powietrze 18, 5 10 6 eter etylowy 0,00012 woda (20 C) 0,00100 gliceryna (0 C) 135 gliceryna (20 C) 1,945 gliceryna (30 C) 0,629 gliceryna(20 C, 2 % wody) 0,971 olej z oliwek 0,084 Spadanie kuli w cieczy lepkiej w zakresie opływu laminarnego Lepkość płynów (cieczy i gazów) jest odpowiedzialna za występowanie oporów ruchu ciała poruszającego się w płynie. Trajektorie cząstek cieczy wokół poruszającej się kuli przedstawia rysunek Rys. 2. Rys. 2. Spadanie kulki w cieczy lepkiej Jest to przykład opływu laminarnego, występującego przy małych prędkościach, kiedy ciecz opływająca kulę nie tworzy jeszcze żadnych wirów czy turbulencji. W analogii do równania (13.1) siła oporu lepkiego działającego na dowolny przedmiot w zakresie opływu laminarnego jest proporcjonalna do współczynnika lepkości i prędkości kuli. Siłę oporu ruchu działającą ze strony cieczy na poruszającą się w niej kulkę 13-2

wyraża wzór Stokesa F = 6πηrv, (13.2) gdzie: v r prędkość kulki, promień kulki. Wzór ten jest słuszny, gdy kulka porusza się w nieograniczonej objętości cieczy. W przypadku, gdy ruch kulki odbywa się wzdłuż osi cylindra o promieniu R wzór (13.3) przybiera postać ( F = 6πηrv 1 + 2, 4 r ). (13.3) R Jeśli kulka spada w cieczy pod wpływem grawitacji, działają na nią następujące trzy siły (rys.2): 1. F = mg siła ciężkości, 2. F w = m w g = ρv g siła wyporu Archimedesa, gdzie: ρ gęstość cieczy, V objętość kulki, 3. F 0 = Kv siła oporu ( (siła Stokesa), gdzie K = 6πηr 1 + 2, 4 r ). R Zgodnie z II zasadą dynamiki równanie ruchu kulki ma postać lub ma = F F w F 0 (13.4) m dv dt = F F w Kv. Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze względu na prędkość v. Jeżeli w chwili początkowej t = 0 prędkość v = v 0, to po scałkowaniu dostajemy zależność prędkości od czasu w postaci ( t ) v(t) = v gr + (v 0 v gr ) exp, (13.5) τ gdzie wielkość τ = m/k nazywamy stałą czasową. Zależność prędkości od czasu dla kulki poruszającej się w cieczy lepkiej przedstawia rysunek Rys.3. Drugi wyraz po prawej stronie wzoru (13.5) maleje eksponencjalnie z czasem, więc dla dostatecznie dużego t jest on zaniedbywalnie mały. G.G. Stokes (1819-1903), fizyk i matematyk angielski. W kursie matematyki poznajemy twierdzenie Stokesa dotyczące całek krzywoliniowych i powierzchniowych. 13-3

Rys. 3. Zależność v(t) dla kulki rozpoczynającej ruch w cieczy lepkiej z prędkością początkową v 0 = 0 Skutkiem tego ruch kulki po czasie rzędu 3τ staje się jednostajny z prędkością graniczną równą v gr = F F w K = (m ρv )g 6πηr(1 + 2, 4 r R ) (13.6) Pomiar prędkości spadania kulki w cieczy stanowi jedną z metod wyznaczania współczynnika lepkości cieczy. Droga jaką przebędzie kulka przed osiągnięciem prędkości granicznej wynosi około 3τv gr. Pomiar prędkości granicznej wykonać należy na odcinku drogi (rys.5), na której kulka osiągnęła już ustaloną prędkość. Ze wzoru (13.6) otrzymujemy η = (m ρv )g 6πrv gr (1 + 2, 4 r R ). (13.7) Wyznaczenie lepkości metodą Stokesa polega na bezpośrednim pomiarze wszystkich wielkości występujących po prawej stronie wzoru (13.7). Zamiast kul wykonanych z ciała stałego wykorzystać też można kuliste krople cieczy o większej gęstości, spadające w cieczy badanej. 13-4

Zakres stosowalności wzoru Stokesa Wzór Stokesa jest słuszny tylko dla przepływów laminarnych. Parametrem, który decyduje o charakterze opływu cieczy wokół ciała jest liczba Reynoldsa, dana wzorem ogólnym Re = vlρ η, (13.8) gdzie: ρ l gęstość cieczy, wymiar liniowy poruszającego się ciała mierzony w kierunku prostopadłym do wektora v. W przypadku kulki przyjmujemy l = 2r. Jak dotąd nie ma teorii pozwalającej w sposób ścisły opisać odstępstwa od wzoru Stokesa ze wzrostem liczby Reynoldsa. Badania doświadczalne wskazują, że odstępstwa pojawiają się już dla Re < 1, i narastają w sposób ciągły tak, że nie sposób podać określoną wartość liczby Reynoldsa, poniżej której wzór Stokesa jest w pełni dokładny. Jest to sytuacja odmienna od przypadku przepływu cieczy przez rurę, kiedy to ostre przejście od przepływu laminarnego do turbulentnego pojawia się dopiero przy Re = 2000. Ze względu na ograniczony zakres stosowalności wzoru Stokesa, metoda spadania kulki nadaje się do wyznaczania η dla cieczy o stosunkowo dużej lepkości. Literatura 1. Problem laminarności opływu i inne aspekty zjawiska ruchu kulki w cieczy omawiane są w podręczniku: Wróblewski A.K., Zakrzewski J.A.: Wstęp do fizyki. Warszawa, PWN 1976. 2. Ogólny opis zjawiska przejścia od przepływu laminarnego do wirowego i turbulentnego oraz teoria liczby Reynoldsa podane są m.in. w podręczniku: Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M.: Feynmana wykłady z fizyki. T. II. Cz. 2. Warszawa, PWN 1970, 2001. Aparatura Rysunek (4) przedstawia cylinder szklany wypełniony cieczą, do którego wrzuca się kulki. Dwa poziome paski naklejone na cylinder w odległości l od siebie wyznaczają badany odcinek drogi kulek. Górny pasek musi być co najmniej o 3τv poniżej powierzchni gliceryny. Odległość pomiędzy paskami mierzy się przymiarem metrowym, czas ruchu kulek na tym odcinku sekundomierzem. Kulki waży się na wadze analitycznej, a ich promienie mierzy się śrubą mikrometryczną. Wydobycie kulek z cylindra ułatwia zwolnienie na chwilę zacisku Z na wężu gumowym. Kulki spadają wtedy do małej probówki założonej na końcu węża, którą po ponownym zaciśnięciu zacisku można wyjąć, odlać ciecz i wysypać kulki. 13-5

Badaną cieczą jest gliceryna, niepalny związek organiczny CH 2 OH CHOH CH 2 OH. Jej lepkość silnie zależy od temperatury i nawet niewielkiego dodatku wody (por. tabela, zamieszczona na końcu). Stosowana jest m.in. w płynach chłodniczych i hamulcowych w samochodach jako składnik obniżający temperaturę krzepnięcia. Wykonanie ćwiczenia A. Metoda spadania kulki z materiału stałego. 1. Pomiary wstępne. a) Dla poszczególnych kulek wykonać pomiary masy przy użyciu wagi torsyjnej lub wagi analitycznej. b) Zmierzyć średnicę 2r kulek za pomocą śruby mikrometrycznej. c) Zmierzyć wewnętrzną średnicę cylindra oraz odległość l między znaczkami górnym i dolnym. d) Odczytać temperaturę, w jakiej wykonywano pomiary. 2. Pomiar prędkości ruchu kulek: wpuszczać pojedynczo kulki do cylindra z cieczą (możliwie blisko osi cylindra) i mierzyć czas w jakim przebywają drogę l. Opracowanie wyników 1. Określić wartości i niepewności wielkości mierzonych bezpośrednio. 2. Obliczyć wartość współczynnika lepkości η. Obliczenie wykonać osobno dla grup kulek o różnych rozmiarach. 3. Obliczyć u c (η) korzystając z prawa przenoszenia niepewności [z użyciem wzoru (13.7), ale z pominięciem czynnika poprawkowego (1 + 2, 4r/R)]. Czy wartości współczynnika lepkości uzyskane z pomiaru ruchu kulek o różnych rozmiarach są różne, czy też równe w granicach błędu? 4. Obliczyć wartości liczby Reynoldsa dla kulek o różnych rozmiarach. Rys. 4. Pomiar współczynnika lepkości metodą Stokesa 13-6

B. Metoda spadania kropli (wariant ćwiczenia w Zakładzie Fizyki Ciała Stałego). Aparatura Zestaw ćwiczeniowy stanowi cylinder szklany wypełniony olejem parafinowym umieszczony na statywie. Szklana biureta z podziałką pozwala na precyzyjne dozowanie ustalonej ilości wody. Woda, jednostajnie wpadająca do oleju, formuje się w jednakowe krople o, w przybliżeniu, kulistym kształcie. Czas przelotu kulek na zaznaczonym paskami odcinku cylindra mierzy się stoperem. Średnicę kulek określa się mierząc ilość utworzonych kropel ze znanej objętości wody. Gdy ilość zebranej na dnie cylindra wody jest zbyt duża, należy wodę zlać do zlewki przez zwolnienie zacisku na dnie cylindra. Wykonanie ćwiczenia 1. Dla wyznaczenia średniego promienia kulek wody wypływających z biurety wypuścić 20 cm 3 wody licząc liczbę kropel. 2. Dziesięciokrotnie wyznaczyć czas spadania kropel między kreskami zaznaczonymi na cylindrze. Odległość kresek wynosi 25 cm. Uwaga. Czynności 1 i 2 muszą być przeprowadzone przy tym samym położeniu kurka (jednakowa objętość kropel). Koniec biurety musi być zanurzony w oleju. 3. Pomiar powtórzyć dwukrotnie. Opracowanie wyników 1. Na podstawie danych z punktu 1 i 2 obliczyć średni promień kropli, średnią masę kropel, oraz prędkość opadania kropel w oleju, v gr. Ocenić niepewności pomiaru tych wielkości. 2. Obliczyć wartość i niepewność złożoną współczynnika lepkości z równania (13.7). Przy obliczeniach można pominąć czynnik poprawkowy (1 + 2, 4r/R). Przyjąć średnicę cylindra 2R = 4, 5 cm, oraz gęstość oleju ρ = 0, 80 g/cm 3. 3. Obliczyć liczbę Reynoldsa. Dodatek historyczny. Odkrycie anizotropii współczynnika lepkości Współczynnik lepkości zwykłych cieczy jest skalarem, tj. wielkością bezkierunkową. Anizotropia współczynnika lepkości występuje w cieczach anizotropowych, jakimi są ciekłe kryształy. Anizotropię lepkości ciekłych kryształów odkrył około 1933 roku Marian Mięsowicz (1907 1992), asystent prof. Jeżewskiego w Katedrze Fizyki ówczesnej Akademii Górniczej. Pomiary wykonał dla pazyksoanizolu (PAA), którego wydłużone cząsteczki tworzą w zakresie temperatur od 118 C do 135 C jeden z najprostszych ciekłych 13-7

kryształów. Współczynnik lepkości wyznaczył z pomiaru tłumienia drgań cienkiej płytki szklanej zanurzonej w prostopadłościennym naczyniu z ciekłym kryształem (rys.5). Zastosowany układ stanowił dobre przybliżenie geometrii idealnej (por. rys.4), jakiej używa się do definicji współczynnika lepkości. Przy użyciu pola magnetycznego można zorientować osie cząsteczek ciekłego kryształu wzdłuż trzech wzajemnie prostopadłych kierunków (rys.5). Rys. 5. Schemat doświadczenia Mięsowicza Dla każdego z nich wartość współczynnika lepkości jest inna. Tak określone η 1, η 2, η 3 noszą dziś nazwę współczynników lepkości Mięsowicza. Synteza związków będących ciekłymi kryształami w temperaturze pokojowej umożliwiła wynalazek displejów ciekłokrystalicznych. Elementy te, stosowane w zegarkach, cyfrowych przyrządach pomiarowych, kalkulatorach i komputerach przenośnych, charakteryzują się płaską budową i znikomym poborem mocy. Lepkość ciekłych kryształów pozostaje jednym z czynników ograniczających szybkość działania tych urządzeń. Po wojnie prof. Mięsowicz prowadził badania promieni kosmicznych, cząstek elementarnych i zastosowań fizyki jądrowej. Był inicjatorem powstania i długoletnim dyrektorem Instytutu Fizyki i Techniki Jądrowej. Instytut ten, po przeprowadzce do budynku przy ul. Reymonta 19 i po połączeniu z Zakładem Fizyki Ciała Stałego Wydziału Metalurgii, przekształcił się w obecny Wydział Fizyki i Techniki Jądrowej. Na następnej stronie zamieszczamy tabelę, ilustrującą zależność współczynnika lepkości gliceryny od zawartości frakcji wodnej. 13-8

Zawartość Gęstość (25 ) Współczynnik gliceryny [%] [kg/m 3 ] lepkości [mpa s] 20 C 25 C 30 C 100 1262 1495 942 622 99 1259 1194 772 509 98 1257 971 627 423 97 1254 802 522 353 96 1252 659 434 296 95 1249 544 365 248 80 1209 61,8 45,7 34,8 50 1127 6,03 5,02 4,23 25 1061 2,09 1,8 1,59 10 1024 1,31 1,15 1,02 0 997 1 0,89 0,80 13-9