STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Mchał Kolupa Poltechnka Radomska w Radomu Joanna Plebanak Szkoła Główna Handlowa w Warszawe KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K) Streszczene W artykule pokazano, że jakość koncydentnego modelu ekonometrycznego określonego przez regularną parę korelacyjną (R(, R (), merzona wartoścą współczynnka r 2 (, gdze: r 2 T ( = R ( R ( R ( spełna warunek: r 2 ( Sr 1, gdze S = a 1 + a 2 + + a k. Zarówno r 2 ( jak S oblczamy, stosując macerz brzegową Q postac: R( R ( Q = T R (, gdze 1 wektor werszowy k-wymarowy, którego każda składowa jest równa jednośc. Po wykonanu (na macerzy Q) przekształceń elementarnych typu α β dostajemy: ( R ( Q ~ 2 r (, S stąd odczytujemy welkośc r 2 ( oraz S. Słowa kluczowe: macerz korelacj, koncydentność, jakość modelu.
196 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Rozpatrujemy model ekonometryczny określony przez regularną parę korelacyjną (R(, R (), gdze R( = [r j ] jest macerzą korelacj stopna k, natomast wektor R ( = [r ] stanow wektor korelacj. Jest to k-wymarowy wektor kolumnowy o składowych r,. = 1, 2,, k, będących współczynnkam korelacj mędzy zmenną endogenczną Y a poszczególnym zmennym objaśnającym Z, to znaczy, że r = r(y, Z ), = 1, 2,, k. Z kole elementam r j macerzy R( są współczynnk korelacj mędzy param zmennych objaśnających Z oraz Z j, czyl r j = r(z, Z j ), ), = j = 1, 2,, k. Przypomnamy, że para korelacyjna (R(, R () jest regularną parą korelacyjną, to znaczy, że jest spełnona zależność [1]: < r 1 r 2 r k < 1 (1) natomast parze korelacyjnej (R(, R () odpowada model: Y = α 1 Z 1 + α 2 Z 2 + + α k Z k + e (2) Mówmy, że zmenna Z modelu (2) jest zmenną koncydentną, jeżel: sgnr gdze: a oszacowane parametru α, ( = 1, 2,, modelu (2) uzyskane MNK. = sgn a (3) Zatem składowe a tworzą wektor A(, który jest rozwązanem układu równań: R(A( = R ( (4) Poneważ para korelacyjna (R(, R () jest z założena regularną parę korelacyjną, węc równość (3) przechodz w równość: sgn = +1 (5) Chcąc rozstrzygnąć, czy dana zmenna objaśnająca modelu (2) jest zmenną koncydentną, korzystamy z następującego twerdzena [2]: Twerdzene (Kolupa 1986) Warunkem konecznym dostatecznym na to, aby zmenna objaśnająca Z ( 1 k ) była koncydentna, jest spełnene warunku: a r ρr R > (6)
MICHAŁ KOLUPA, JOANNA PLEBANIAK KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO 197 gdze: r = r(y, Z ), ρ -ty wersz macerzy R( bez -tego elementu. R powstaje z wektora R ( przez odrzucene -tej jego składowej, a macerz R powstaje z macerzy R( przez odrzucene -tego wersza równeż -tej kolumny. Przypomnamy, że stneje macerz odwrotna do macerzy R, poneważ macerz korelacj jest macerzą dodatno określoną. Chcąc zatem zbadać koncydentność zmennej Z, korzystamy z macerzy brzegowej U o postac: U = R R ρ r (7) na której werszach wykonujemy elementarne przekształcena typu α (macerz R przechodz w górną macerz trójkątną (zera ponżej głównej przekątnej) z jedynkam na głównej przekątnej) oraz przekształcena typu β (wektor ρ przechodz w wektor zerowy). Po wykonanu tych przekształceń macerz U przechodz w macerz U o postac: U = R d (8) gdze: d = r ρr R (9) Jeżel d > (d < ), to zmenna Z jest koncydentna (ne jest koncydentna). Przypomnjmy, że jakość pary korelacyjnej (R(, R () merzymy wartoścą współczynnka r 2 ( o postac: 2 T r 2 ( k ) = R ( R ( R ( = a1r1 + a2r +... + a k r k (1) Współczynnk ten możemy oblczyć, wykorzystując macerz brzegową V o postac: V = R( R( T R ( (11)
198 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Wykonujemy na nej przekształcena elementarne typu α oraz β. Po ch wykonanu macerz V przechodz w macerz V o postac: V = ( R ( 2 r ( (12) z której bezpośredno odczytujemy wartość r 2 (. Z uwag na zależnośc (1) (5) współczynnk r 2 ( dany wzorem (1) spełna nerówność [3]: 2 r ( ( a 1 + a2 +... + ak ) r1 (13) Dla wygody w dalszych rozważanach oznaczono: a1 + a2 +... + ak = S (14) Wówczas nerówność (13) zapsujemy w równoważnej postac: 2 r ( Sr Pokażemy, w jak sposób można jednocześne oblczyć r 2 ( skorzystamy z macerzy brzegowej Q o postac: R( R( Q = T R ( 1 (15) S. W tym celu (16) gdze 1 wektor werszowy k-wymarowy, którego każda składowa jest równa jednośc. Na macerzy Q danej wzorem (16) wykonujemy przekształcena elementarne typu α β. Po ch wykonanu otrzymujemy: ( Q ~ Q = R ( 2 r ( S (17) Odwołajmy sę do przykładu lustrującego opsane postępowane.
MICHAŁ KOLUPA, JOANNA PLEBANIAK KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO 199 Przykład. Dana jest regularna para korelacyjna (R(2), R (2)), gdze: 1,2 R(2) =,,2 1 R (2) =,3,4 (18) Sprawdzamy, czy jest to para koncydentna. Innym słowy, czy model o postac: jest koncydentny. Y = α 1 Z 1 + α 2 Z 2 + e (19) U 1 = 11 ρ1 R1 1 = r 1,2,4,3 (2) oraz: U 2 = ρ2 22 R2 1 = r 2,2,3,4 (21) Na macerzach brzegowych U 1 oraz U 2 wykonujemy przekształcena elementarne typu α β. Mamy zatem: 1,4 U 1 ~,,22,22 >, węc zmenna Z 1 jest koncydentna. Analogczne: 1,3 U 2 ~,,34,34 >, węc zmenna Z 2 jest koncydentna. Wobec tego para korelacyjna dana wzorem (18) jest koncydntna regularna. W dalszym cągu korzystamy z macerzy brzegowej Q danej wzorem (16): Q = 1,2,3,2 1,4,3,4 (22)
2 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Na tej macerzy wykonujemy przekształcena elementarne typu α β. Mamy wówczas: Q ~ 1,2,96,34,8 1,3,34 ~,9,3,2 1,3 17 48 11 48 7 12 (23) Z macerzy danej wzorem (22) odczytujemy: 11 7 r 2 ( = ; S = 48 12 (24) 7 Poneważ r 1 =,3, węc Sr 1 =. Jest zatem spełnona nerówność (15) 4 11 7 ( > ). 48 4 Istota przedłożonej propozycj polega na tym, aby móc od dołu oszacować wartość współczynnka r 2 ( merzącego jakość danej regularnej koncydentnej pary korelacyjnej. Oszacowane to pownno być łatwe do wyznaczena pod względem rachunkowym. Chodz tu o podane welkośc Sr 1, która zgodne z nerównoścą (15) jest oszacowanem od dołu współczynnka r 2 (. Zauważmy, że wyznaczene sumy S danej wzorem (15) jest możlwe wyłączne za pomocą macerzy brzegowej, poneważ wykorzystane układu (4) jest necelowe. Posługujemy sę macerzą brzegową o postac: ( R( F = (25) Jak zawsze na macerzy tej wykonujemy przekształcena elementarne typu α β. Po ch wykonanu z macerzy F o postac: F R ( R( = S (26) odczytujemy wartość S.
MICHAŁ KOLUPA, JOANNA PLEBANIAK KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO 21 Lteratura 1. Hellwg Z., Przechodność relacj skorelowana zmennych losowych płynące stąd wnosk ekonometryczne, Przegląd Statystyczny 1976, nr 2. 2. Kolupa M., O kryterum służącym do badana koncydentnośc danej zmennej objaśnającej, Przegląd Statystyczny 1986, nr 4. 3. Kolupa M., Marcnkowska-Lewandowska W., Radzo A., Koncydencja model ekonometrycznych teora zastosowana, Instytut Cybernetyk Zarządzana, SGPS Warszawa 1991. COINCIDENCE OF THE ECONOMETRICS MODEL AND ITS QUALITY MEASURED BY THE VALUE OF COEFFICIENT R 2 (K) Summary In the paper t was proved that the qualty of the concdence model defned by a regular correlaton par (R(, R () measured by the value of coeffcent r 2 ( where: r 2 T ( = R ( R ( R ( s the soluton to the equaton: r 2 ( Sr 1, where S = a 1 + a 2 + + a k. Value r 2 ( and S can be derved from a bordered matrx Q of: R( R( Q = T R (, where 1 row vector of order 1xk, whose every coeffcent s one. When elementary operatons type α and β are performed (on the matrx Q), we arrve at: ( R ( Q ~ 2 r (, S thus the value of r 2 ( and S can be read. Keywords: correlaton matrx, concdence, the qualty of models. Translated by Joanna Plebanak
22 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII