Modelowanie Rynków Finansowych

Modelowanie Rynków Finansowych Modelowanie zmienności, modele GARCH Zajęcia 6 Katarzyna Lada, Paweł Sakowski, Paweł Strawiński 23 marca, 2009

Literatura na dziś Engle (2001), The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics, The Journal of Economic Perspectives, Vol. 15, No. 4, (Autumn, 2001), pp. 157-168 Engle, Patton (2003), What Good Is a Volatility Model? NYU Stern School of Business Engle (2003), Risk and Volatility: Econometric Models and Financial Practice, Nobel Lecture Diebold (2004), The Nobel Memorial Prize for Robert F. Engle, Wharton WP 04-09

Motywacja (1/2) Typowe modele zmienności, np. postaci: y t = γ 0 + γ 1 x 1t + + γ k x kt + u t zakładają homoskedastyczność czynnika losowego: u t IID(0, σ 2 ) W praktyce wygodniej jest zakładać, że: u t N(0, σ 2 )

Motywacja (2/2) Jeśli założenie to nie jest spełnione to oceny błędów standardowych parametrów mogą być nieprawidłowe! Zatem czy wariancja jest stała w czasie? Dla danych finansowych najczęściej nie jest! Poza tym liniowe modele strukturalne nie są w stanie wyjaśnić innych charakterystycznych własności szeregów czasowych. Owe własności określane są jako stylizowane fakty.

Leptokurtyczność rozkładu warunkowego Należą do nich: Leptokurtyczność (łac. leptokurthosis) rozkłady stóp zwrotu z aktywów, w porównaniu z rozkładem normalnym, mają grube ogony i wyższy szczyt funkcji gęstości. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia nietypowych zmian kursów (ang. outliers) jest większe, niż w przypadku, gdyby miały one rozkład normalny. Ponadto, wartości są bardziej skupione wokół swojej średniej.

Rozkład leptokurtyczny

Grupowanie wariancji Grupowanie wariancji (ang. volatility clustering) zarówno małe jak i duże zmiany kursów akcji mają tendencję do występowania seriami, okresy charakteryzujące się niską wariancją poprzedzają okresy z wysoką wariancją, jeśli zmienność jest wysoka to występuje duże prawdopodobieństwo, że będzie nadal wysoka!

Grupowanie wariancji

Efekt dźwigni Efekt dźwigni (ang. leverage effect) tendencja wariancji do większego wzrostu na skutek dużego spadku cen, lecz jednocześnie niższego wzrostu w przypadku wzrostu cen o tę samą wielkość. Oznacza to, że spadek kursu akcji przyczyni się do wzrostu niepewności na rynku w większym stopniu, niż wzrost kursu akcji tej samej wielkości. Zjawisko to nazywane jest asymetrią warunkowej wariancji.

Motywacja I Modelujemy zmienność ponieważ możemy uzyskać lepsze oszacowania i prognozy zmienności niż w przypadku stosowania odchylenia standardowego czy wariancji stóp zwrotu! Ma to istotne znaczenie w sytuacji kiedy zmienność jest wykorzystywana jako parametr m. in.: w modelach wyceny instrumentów (przykład: formuła Blacka-Scholesa w wycenie opcji) w modelach stosowanych do szacowania ryzyka na rynku (przykład: modele Value-at-Risk) Zmienność cen/stóp zwrotu aktywów odzwierciedla niepewność na rynku.

Motywacja II Często dokonując prognoz badacz jest zainteresowany nie tylko poziomem analizowanej zmiennej, lecz także związanym z tym ryzykiem, czyli prawdopodobieństwem wystąpienia dużych zmian cen.

ARCH (1) ARCH AutoRegressive Conditional Heteroscedastic Models, Robert Engle (1982), UCSD y t = γ 0 + γ 1 x 1t + + γ kt x kt + u t u t N(0, σ 2 t ) gdzie zmiennymi x 1,..., x k często są opóźnione wartosći zmiennej zależnej, Najprostszy model ARCH(1): σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t 1

ARCH (q) Model ARCH(q) σt 2 = α 0 + α 1 ut 1 2 + α 2 ut 2 2 + + α q ut q 2 Warunek stacjonarności procesów ARCH: q α i < 1 i=1

Test LM Oszacować reszty z równania średniej (mean equation): y t = γ 0 + γ 1 x 1t + + γ k x kt + u t (1) Oszacować regresję pomocniczą: û 2 t = a 0 + a 1 û 2 t 1 + a 2 û 2 t 2 + + a q û 2 t q + ν t (2) Hipotezę zerową H 0 : a 0 = a 1 = = a q = 0 przeciwko H 1 : a 0 0 a 1 0 a q 0 możemy przetestować za pomocą statystyki: TR 2 χ 2 (q), gdzie R 2 - współczynnik determinacji w regresji (2), a T - długość szeregu czasowego.

Test Q Jest to także test na autokorelację wśród kwadratów oszacowanych reszt: gdzie: r(i, û 2 t ) = Q(q) = T (T + 2) q i=1 T t=i+1 (û2 t ˆσ2 )(û 2 t i ˆσ2 ) T t=1 (û2 t ˆσ2 ) r(i, û 2 t ) T i oraz σ 2 = 1 T T t=1 û2 t Jeśli wśród kwadratów reszt nie występuje autokorelacja to statystyka ta ma rozkład asymptotyczny: Q(q) χ 2 (q)

Test JB Test JB pozwala wykryć zjawisko leptokurtozy w szeregu (grube ogony). Oparty jest na współczynnikach skośności i kurtozy: JB(T ) = T 6 b2 1 + T 24 (b 2 3) 3 gdzie: b 1 = T T t=1 û3 t ( T t=1 û2 t )3/2 oraz b 2 = T T t=1 û4 t (. T t=1 û2 t )2 Jeśli wśród kwadratów reszt nie występuje autokorelacja to statystyka ta ma rozkład asymptotyczny: JB(T ) χ 2 (2)

Wady ARCH Oceny parametrów muszą być nieujemne, tak aby wariancja była dodatnia. α 0 0, α 1 0,... α q 0 Niestety - w estymowanych modelach zdarzają się ujemne oceny parametrów. Często trzeba szacować dużą liczbę parametrów.

GARCH (1/2) GARCH Generalized Autoregressive Contitional Heteroscedasticity, Tim Bollerslev (1986), UCSD. GARCH(1, 1) GARCH(p, q) σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t 1 + β 1 σ 2 t 1 σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t 1 + + α q u 2 t q + β 1 σ 2 t 1 +... + β p σ 2 t p

GARCH (2/2) Są to modele bardzo oszczędne w parametrach, co jest ich dużą zaletą! W modelu GARCH(1, 1) mamy do oszacowania tylko trzy parametry W większości przypadków model GARCH(1, 1) sprawdza się doskonale.

Wariancja bezwarunkowa (1/2) Wariancja warunkowa zmienia się w czasie ale bezwarunkowa jest stała! ARCH(1): jeśli 0 < α 1 < 1 GARCH(1, 1): jeśli (α 1 + β 1 ) < 1 Var(u t ) = Var(u t ) = α 0 (1 α 1 ), α 0 1 (α 1 + β 1 ),

Wariancja bezwarunkowa (2/2) jeśli α 1 + β 1 > 1 to model nie jest stacjonarny w wariancji. jeśli α 1 + β 1 = 1 to model jest zintegrowany (IGARCH, Integrated GARCH). Warunek stacjonarności procesów GARCH: q α i + i=1 p β i < 1 i=1 W przypadku niestacjonarności w wariancji, prognozy warunkowej wariancji nie będą zbiegały do wariancji bezwarunkowej!

Wady GARCH Oszacowane oceny parametrów w równaniu warunkowej wariancji nie zawsze gwarantują jej nieujemność. Modele GARCH wyłapują zjawisko grupowania wariancji lecz nie radzą sobie z efektem dźwigni (asymetrycznymi reakcjami wariancji na szoki). Warunkowy rozkład reszt nie jest normalny. Brak bezpośredniej zależności między warunkową wariancją a warunkową średnią (co jest obserwowane w danych).

Jak znaleźć najlepszy model kryteria AIC i SBC im mniejsze wartości tym lepszy model zasada oszczędności w parametrach w większości przypadków GARCH(1, 1) będzie lepszy od np. ARCH(8) wystandaryzowane reszty nie mogą podlegać autokorelacji!

Wystandaryzowane reszty (1/2) Jak wiemy: u t N(µ, σ 2 ) z t = u t µ σ N(0, 1) Ponieważ E(u t ) = 0 to w przypadku procesów GARCH wystandaryzowane reszty to: z t = u t σ 2 t Czy wystandaryzowane reszty mają rozkład normalny? Dla danych finansowych przeważnie nie mają (grube ogony).

Wystandaryzowane reszty (2/2) Istotnie różne od zera wartości ACF dla wystandaryzowanych reszt świadczą o występowaniu wśród nich autokorelacji. Gdy mamy istotne wartości ACF dla kwadratów wystandaryzowanych reszt - występują wśród nich efekty ARCH!

Zastosowania GARCH Modelowanie zjawiska grupowania wariancji z uwagi na autoregresyjność warunkowej wariancji. Dzięki temu możemy prognozować przyszłą wariancję! Można pokazać, że: Var(y t y t 1, y t 2,... ) = Var(u t u t 1, u t 2,... ) Dlatego dzięki modelowaniu σ 2 t możemy także otrzymać prognozy y t Prognozy wariancji są addytywne w czasie!

Prognozy wariancji Wycena opcji C = f (S, X, σ 2, T, r) gdzie: S - cena akcji, na którą wystawiona jest opcja, X - cena wykonania opcji, σ 2 - zmienność cen akcji, T - termin wygaśnięcia opcji, r - stopa procentowa wolna od ryzyka Warunkowe współczynniki beta (model CAPM) β i,t = σ im,t σ 2 m,t Dynamiczne strategie zabezpieczające tzw. hedge ratio - ile kontraktów futures należy kupić/sprzedać na jednostkę instrumentu bazowego.

Rozszerzenia ARCH (1/2) W latach 80-tych i 90-tych opracowano wiele modeli uzupełniających właściwości standardowego modelu ARCH(1). Niektóre z nich to: EGARCH, GJR-GARCH, TGARCH, IGARCH, STARCH, AARCH, NARCH, MARCH, SWARCH, SNPARCH, APARCH, FIGARCH, FIEGARCH, QGARCH, SQGARCH, CESGARCH, SPARCH, GARCH-t, GARCH-in-Mean Oczywiście najważniejszym rozszerzeniem ARCH(1) jest GARCH(1, 1)

Rozszerzenia ARCH (2/2) Szczegółowy przegląd modeli można znaleźć w: Bera A. K. and M. L. Higgins (1993) On ARCH Models: Properties, Estimation and Testing, Journal of Economic Surveys, 7, 305-366. Bollerslev Tim, Ray Y. Chou, and Kenneth F. Kroner (1992) ARCH Modeling in Finance: A Review of the Theory and Empirical Evidence, Journal of Econometrics, 52, 5?59.

Exponential GARCH ln(σt 2 ) = ω + βln(σt 1) 2 + γ u t 1 σt 1 2 + α u t 1 σt 1 2 2 π Modelujemy logarytm wariancji, zatem niezależnie od wartości parametrów wariancja będzie dodatnia. Dopuszczamy występowanie asymetrycznej reakcji wariancji na szoki. Ujemna wartość parametru γ świadczy o występowaniu asymetrii!

Zmienność a wzrosty/spadki na rynku

Zmienność a wzrosty/spadki na rynku

News Impact Curve

GARCH-M GARCH-in-Mean y t = γ 0 + aγx 1t + + γ k x kt + δσ t + u t u t N(0, σ 2 t ) σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t 1 + + α q u 2 t q + β 1 σ 2 t 1 + + β p σ 2 t p Ocena parametru δ powinna być dodatnia i statystycznie istotna zgodnie z zależnością: im większe ryzyko, tym wyższa premia!

GARCH - t GARCH-t zakłada, że u t ma rozkład t-studenta zamiast rozkładu normalnego! Rozkład t-studenta z małą liczbą stopni swobody (tutaj 2) ma grubsze ogony. Im więcej stopni swobody tym bardziej rozkład t-studenta jest zbliżony do rozkładu normalnego.

Rozkład t-studenta a rozkład normalny

Dalsze rozszerzenia W dalszym ciągu można tworzyć bardziej skomplikowane modele, np. przez łączenie modeli już istniejących, np. ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)-M ARMA(2,0)-TGARCH(1)

Dziękujemy za uwagę!