Renty życiowe Renta życiowa jest serią płatności okonywanych w czasie życia ubezpieczonego Jej wartość teraźniejsza jest zienną losową (bo zależy o przyszłego czasu życia T, oznaczaną Y Postawowe renty życiowe Renta ożywotnia płatna z góry (ang whole life annuity ue zapewnia coroczną wypłatę kwoty opóki żyje ubezpieczony Płatności są okonywane w oentach 0,,, K Jej wartość teraźniejsza to: May Y = + υ + υ 2 + + υ K = ä K+ Pr(Y = ä k+ = Pr(K = k = k p x q x+k, la k = 0,, 2, Skłakę netto oznaczay ä x Zate Zienną Y ożna zapisać w postaci gzie ( = jest funkcją inykatorową, a więc ä x = ä k+ kp x q x+k ( Y = υ k (K k, {, jeśli zanie jest prawziwe 0, jeśli zanie jest fałszywe ä x = E(Y = υ k kp x W takiej interpretacji renta jest traktowana jako sua ubezpieczeń na ożycie
Uwaga Wzór ( ożna przekształcić bezpośrenio: ä x = = ( k ä k+ kp x q x+k = υ kp i x q x+k = i=0 υ i kp x q x+k = υ i Pr(K = k = υ i ip x i=0 k=i i=0 k=i i=0 Skłakę netto la renty ożna wyrazić w zależności o skłaki la ubezpieczenia na życie May bowie: Y = υk+ υ = υk+ = Z, ä K+ = υk+, (2 ską, obliczając wartości oczekiwane, otrzyujey: lub ä x = A x, = ä x + A x Równość tą ożna interpretować następująco: ług jest spłacany osetkai (z góry i końcową płatnością na koniec roku śierci Wzór (2 ożna również uzyskać traktując rentę ożywotnią jako różnicę wóch rent jenej rozpoczynającej się w chwili 0 (o wartości obecnej, rugiej w chwili K + (o wartości obecnej υ K+ Z zależności Y = Z ożna wyznaczyć oenty ziennej losowej Y, np Var(Y = Var(Z 2 W praktyce renty wypłacane są częściej niż raz w roku, np iesięcznie Ogólnie, załóży, że renta jest płatna -krotnie w ciągu roku Przy rencie płatnej z góry wypłaty w wysokości / następują w chwilach 0,, 2,, tak ługo jak rentobiorca żyje Wartość obecna jest zienną losową Y = ( + υ / + υ 2/ + υ (K+S( / 2
Suując otrzyay Inna postać: Y = K+S ( υ k/ = Z υ / Y = υ k/ (T k Jenorazową skłakę netto ( wartość oczekiwaną ziennej Y oznaczay ä ( x Zate ä ( x = E(Y = υ k/ k p x Skłakę netto la renty ożna też wyrazić w zależności o skłaki la ubezpieczenia na życie May bowie: Y = Z υ, / ską, obliczając wartości oczekiwane i uwzglęniając, że ( υ / = ( otrzyujey: ä ( x = A( x ( Rozważyy teraz renty czasowe (terinowe, tj płatne póki ubezpieczony żyje, ale nie łużej niż ustalony okres Dla renty czasowej n-letniej ay: Y = Poobnie jak poprzenio ay: { äk+ la K = 0,,, n ä n la K = n, n +, ä x:n = n ä k+ kp x q x+k + ä n n p x, lub ä x:n = n υ k kp x 3
May także Y = Z, gzie { υ Z = K la K = 0,,, n 0 la K = n, n +, Zate ä x:n = A x:n, = ä x:n + A x:n Rozpatrzy teraz renty płatne z ołu Wtey: Y = υ + υ 2 + + υ K = a K Ta zienna losowa różni się o opowieniej ziennej losowej la rent płatnych z góry jeynie skłanikie stały Zate skłaka netto: Ponieważ la rent stałych: a x = ä x a n = υn, r = ra n + υ n, więc postawiając n = K otrzyujey = ra K + υ K = ra K + ( + rυ K+ Obliczając wartości oczekiwane otrzyujey = ra x + ( + ra x 2 Renty ze zienną wartością Rozważy rentę zapewniającą wypłaty r 0, r, r 2 w oentach 0,,, K Wartość teraźniejsza wynosi: Y = υ k r k (K k 4
Stą skłaka netto: E(Y = υ k r k kp x Ogólniej, rozważy rentę złożoną z płatności z 0, z, z 2, w oentach 0,, 2,, K + S( (przyponijy, że S( = [S + ] Najpierw zastąpiy rocznych płatności ich suą: r k = j=0 υ j zk+ j Ponieważ w roku śierci nie bęzie wszystkich płatności, konieczny jest skłanik korygujący ujene ubezpieczenie na życie, przy czy sua ubezpieczenia w chwili k + u, 0 < u <, jest wartością teraźniejszą nieoszłych płatności: c(k + u = υ j u z k+ j, j J gzie J = J(u jest zbiore tych j {, 2,, } la których j > u Wiey już, że przy Założeniu a (tzn u q x = uq x la 0 < u < ; wtey K i S są niezależne: c k+ = Postawiając wartość c(k + u ostajey: c k+ = = 0 ( 0 j J 0 = j J j= c(k + u( + r u u υ j u z k+ j ( + r j zk+ j ( + r u u = u = j( + r j zk+ j A zate jenorazowa skłaka netto la ubezpieczenia z wypłatai razy w roku wynosi: υ k r kk p x c k+ υ k+ kp x q x+k, gzie współczynniki r k i c k określone są wzorai wyżej 5
3 Renty stanarowe Rozważy rentę złożoną z płatności r 0, r, r 2,, gzie r k = k + Wtey wartość teraźniejsza wypłaty wynosi: Y = (k + υ k (K k Skłakę netto oznaczay (Iä x Ponieważ: ä n = (Iä n + nυ n, (ożna to interpretować tak: renta w wysokości jest spłacana osetkai z góry w wysokości, 2,, n oraz kwotą n na koniec n-tego roku więc zastępując n przez K + ay: ä K+ = (Iä K+ + (K + υ K+ Obliczając wartości oczekiwane uzyskujey 2 Skłaki netto ä x = (Iä x + (IA x Polisa ubezpieczeniowa określa z jenej strony wypłaty la ubezpieczonego (jenorazowe lub w forie renty, a z rugiej strony skłaki płacone przez niego Można wyróżnić trzy fory płacenia skłaki: skłaka jenorazowa; 2 skłaki okresowe stałe; 3 skłaki okresowe zienne Z zasay skłaki są opłacane z góry Dla anej polisy ubezpieczeniowej określay całkowitą stratę ubezpieczyciela L, jako różnicę ięzy teraźniejszą wartością wypłat a teraźniejszą wartością skłaek Strata jest rozuiana algebraicznie w szczególności oże być ujena Skłakę nazyway skłaką netto, jeśli spełnia zasaę równoważności: E(L = 0 6
Jenorazowa skłaka netto, o której była już owa, spełnia ten warunek Przykła Rozważy 0-letnie ubezpieczenie na życie la 40-latka z suą ubezpieczenia C płatną na koniec roku śierci Skłaki w wysokości Π są płacone co roku z góry opóki ubezpieczony żyje, ale nie łużej niż 0 lat Wtey L = { Cυ K+ Πä K+ la K = 0,,, 9 Πä 0 la K 0 Zienna L a rozkła yskretny -punktowy, przy czy: Pr(L = Cυ k+ Πä k+ = k p 40 q 40+k, k = 0,,, 9; Pr(L = Πä 0 = 0 p 40 Wyznaczyy skłakę Π Z zasay równoważności ay 9 9 (Cυ k+ Πä k+ k p 40 q 40+k + ( Πä 0 0 p 40 = 0, ( 9 Cυ k+ kp 40 q 40+k Π ä k+ kp 40 q 40+k + ä 0 0p 40 = 0, więc otrzyujey warunek CA 40:0 Πä 40:0 = 0, Π = C A 40:0 ä 40:0 Dla ilustracji liczbowej weźy r = 4% i załóży, że śiertelność polega prawu e Moivre a, z wiekie końcowy ω = 00 Wtey k p 40 q 40+k =, 60 więc 0 A 40:0 = υ k 60 = 60 a 0 = 0, 352, oraz k= A 40:0 = 5 6 υ0 = 0, 5630, 7
zate Ostatecznie: A 40:0 = 0, 6982, ä 40:0 = A 40:0 Π = 0, 072C = 7, 8476 Oczywiście nie ożna oczekiwać, że ubezpieczyciel bęzie wypłacał świaczenia tylko za skłaki netto Pobiera on jeszcze skłakę za ryzyko Metoa wyznaczania tej skłaki opiera się na pojęciu funkcji użyteczności Jest to funkcja, której wartościai są wartości użyteczności (satysfakcji, kofortu psychicznego Można ówić o użyteczności różnych zjawisk Użyteczność pieniąza (bogactwa jest np funkcją, która wartości pieniężnej przyporząkowuje użyteczność la otrzyującego tę wartość Funkcja użyteczności jest pojęcie psychologiczny, co oznacza, że każy a swoją funkcję użyteczności Jenak pewne ogólne własności są wspólne Mianowicie, ponieważ każy woli posiaać więcej niż niej, więc funkcja użyteczności jest rosnąca Ponato krańcowa użyteczność jest alejąca, tzn każy oatkowy procent wzrostu bogactwa powouje coraz niejszy przyrost użyteczności Dla naszych potrzeb bęziey więc zakłaać, że funkcja użyteczności u(x jest funkcją spełniającą warunki: u (x > 0, u (x < 0, i określającą użyteczność posiaania przez ubezpieczyciela wartości (pieniężnej x Przykłaowo, załóży, że u(x = a ( e ax, gzie paraetr a ierzy awersję ubezpieczyciela o ryzyka Po uwzglęnieniu funkcji użyteczności warunek E(L = 0 zostaje zastąpiony warunkie: E(u( L = u(0 Oznacza to, że skłaka jest teraz wyznaczana tak, aby oczekiwana strata użyteczności była równa 0 Dla powyższej funkcji użyteczności ay: E( a ( eal = 0, ( E( E(e al = 0, a 8
Dla anych z przykłau: 60 E(e al = 9 exp(acυ k+ aπä k+ + 5 6 exp( aπä 0 = Wybierzy a = 0 6 aby zobaczyć, jak zieniają się skłaki: Sua ub C Skł netto Skł Π Procskł netto 00 000 720 790 04% 500 000 8600 0 600 23% 000 000 7200 26 00 53% 3 000 000 5600 22 900 430% 5 000 000 86000 073 600 248% Oczywiście teraz skłaka nie jest proporcjonalna o suy ubezpieczenia C Ozwierciela to fakt, że np sua 00 000 stanowi ałe ryzyko la ubezpieczyciela, stą preia za ryzyko wynosi tylko 4% W przypaku suy 5 000 000 ryzyko jest istotne, stą preia za nie wynosi aż 48% Uwaga W praktyce skłaki są jenak proporcjonalne o suy ubezpieczenia Ubezpieczyciel oże np oliczać 53% la każej wartości C Wtey suy ubezpieczenia przekraczające 000 000 wyagają reasekuracji Natoiast przy kwotach niejszych ubezpieczony przepłaca (to w pewny sensie rekopensuje stosunkowo wyższe kwoty stałe takich polis 3 Postawowe typy ubezpieczeń Rozważy ubezpieczenie na życie w wysokości, płatne na koniec roku śierci, które a być opłacone rocznyi skłakai netto w wysokości P x Strata ubezpieczyciela jest zienną losową: Z warunku E(L = 0 otrzyujey: L = υ K+ P x ä K+ P x = A x ä x Aby obliczyć wariancję wykorzystay wzór (2: ä K+ = υk+ 9
A więc: L = υ K+ υ K+ P x = ( + P x υk+ P x Stą ( Var(L = + P x 2Var(υ ( K+ = + P x 2Var(Z Pokazuje to, że ryzyko (ierzone wariancją jest większe w przypaku ubezpieczenia opłacanego rocznyi skłakai niż w przypaku ubezpieczenia opłacanego jenorazową skłaką Dla n-letniego ubezpieczenia na życie (sua ubezpieczenia, płatna na koniec roku śierci skłakę netto oznaczay Px:n Ponieważ strata ubezpieczyciela jest zienną losową: { υ K+ P L = x:n äk+ la K = 0,,, n Px:n än la K n, więc z warunku E(L = 0 ay A x:n P x:n ( n ä K+ kp x q x+k + ä n k p x = 0, P x:n = A x:n ä x:n 3 Ubezpieczenie na ożycie Załóży, że n-letnie ubezpieczenie na ożycie w wysokości opłacane jest rocznyi skłakai Px:n Wtey strata ubezpieczyciela wynosi: { P L = x:n äk+ la K = 0,,, n υ n Px:n än la K n, Zate: 0 = E(L = P x:n ( n ä K+ kp x q x+k ( n Px:n ä K+ kp x q x+k 0 + A x:n P x:n ä n n p x, + ä n n p x = A x:n
więc x:n = A x:n ä x:n P 32 Ubezpieczenie na życie i ożycie Skłakę netto oznaczay P x:n May: P x:n = A x:n ä x:n, oraz P x:n = P x:n + P x:n