AALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGAŁÓW DYSKRETYCH Spi treści. Zależości pomiędz aalizą czętotliościoą gałó aalogoch i dretch. Deiica i łaości drete traormaci Fouriera. Aaliza czętotliościoa dretch obrazó
Dreta traormaca Fouriera gał idmo amplitudoe idmo azoe.5.5 ag. Dicrete Fourier Traorm DFT 4 5 6 7 8 8 6 4.5 -.5 cza 4 5 6 7 8 czętotliość - 4 5 6 7 8 czętotliość
Trochę hitorii Baro Jea Baptite Joeph FOURIER (768-8 Z różieiem uończł zolę ooą Auerre. Zotał auczcielem Ecole ormal a potem Politechii Parżu. apoleo miaoał go zarządcą Dolego Egiptu 798 rou. Po porocie do Fraci zotał preetem Greoble. Baroem zotał 89 rou. Otateczie 86 rou zotał eretarzem Aademii au a atępie e człoiem 87. W oreie od 88 rou do 85 rou apiał tomo Opi Egiptu. Róaiem ciepła zaitereoał ię 87 rou. W opublioae 8 rou prac poazał a zereg zbudoa z iuó i oiuó moża orztać do aaliz przeodicta ciepła ciałach tałch. ad zeregami trgoometrczmi pracoał do ońca żcia, rozzerzaąc tę problematę a traormacę całoą.
Geeza traormaci gału edomiaroego Widmo gału aalogoego a ( T a ( t e t dt ( gdzie T et czaem traia gału. 4 5 6 7 Wproadźm dretzacę gdzie:,,..., - ilość próbe gętość dretzaci ( a ( t t T/( Wartość całi ozaczoe apromuem metodą protoątó a ( t ( e t 4
Dretzaca dziedziie czętotliości ( Drete idmo będziem zaczać putach Ab bł rozłożoe róomierie i obemoał zaróo dodatie a i ueme artości ( /, ( /,..., ( /, ( / - Hz Położeie rach putó mui: uzględiać założeia t. Shaoa i iać z pożzch założeń. Otrzmam zatem da arui: t ( / m p ( / / a z ich ia t T t 5
6 Prototp DFT ( ( t Wproadzaąc ozaczeie / i( / co( e ( ( ˆ ( ˆ a e t otrzmuem artości idma dretego ( ( ˆ t a e t t Przbliżoe artości idma aalogoego obliczam dla brach czętotliości otrzmuąc
Odrota dreta traormaca Fouriera ag. Ivere Dicrete Fourier Traorm IDFT Zidmaciągłego odtarzam gał aalogo a ( t m m a ( e t d Apromuąc artość całi metodą protoątó podzieam ię otrzmać drete artości gału ( ( gdzie e 7
8 Wzaema edozaczość traormaci DFT oraz IDFT t t t m m m ( ( ( ( ( ( m m m m m m ( dla dla m Re m Im 4 8 e 8 e 8 4 8 5 8 e 6 8 7 8 8 8 8 ( ( t ( (
Przład Jaie et idmo drete gału [ ] eśli gętość próboaia oi T t [ ]? Sgał poiada =6 próbe. Spodzieam ię, że reprezetue drgaia oiuoidale o oreie 4t 4 [] czli o czętotliości 5[ Hz]. 9
umer próbe Zaończeie przładu,,,, 4, 5 Drete idmo ma umeracę,5;,5;,5;,5;,5;,5 Gętość dretzaci dziedziie czętotliości 5 / [ Hz] t 6 Zatem idmo drete et obliczae dla czętotliości [Hz] 5/, 5, 5 /, 5 /, 5,5 / W oparciu o zór gdzie otrzmuem e ( t ( co( / i( / T
Macierzo zapi roziązaia przładu tw Macierz półczió gdzie 5, 5 75, 5, 5, 45, 6 75, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 45, 6 75, 5, 5 75, 5, zacza obrot etora 6 e umer ierza,5;,5;,5;,5;,5;,5 umer olum,,,, 4, 5 W C ( t (
Koiec przładu zapiie macierzom W T W t ˆ Dla rozażaego przładu macierz przeztałceia ma potać iotrzmuem T 5,5/, 5 /, 5 / 5,, / 5 dla czętotliości
Oreoość idma DFT Otrzmaliśm zór ( t ( gdzie e co( / i( / czli ( t ( co / i / Fuce trgoometrcze pooduą, że idmo et ucą o oreie, tz. bo ( t ( ( ( co / i /
Racoalizaca DFT Przmuem,,,..., Soro to T,,,...,( Wproadzam oą ucę dretą ( ( t Prz tch dóch założeiach zór ( t ( przmie otateczą potać drete traormaci Fouriera. 4
Deiica DFT oraz IDFT Dreta traormaca Fouriera zdeiioaa et zorem a odrota dreta traormaca Fouriera zorem Przeztałceie DFT moża zapiać macierzoo gdzie W C e,,,,, W co( / * W C ( ( ( ( W Elemet macierz W potaą przez podieieie do potęgi artości zepoloe i( / prz czm et umerem ierza a umerem olum. umeraca rozpocza ię od zera bo Macierz przeztałceia odrote drete traormaci Fouriera ma potać W 5
Właości DFT. Zależość pomiędz idmem dretm a idmem gału aalogoego ˆ ˆ dla / ( t a (. Ilość dretch artości idma et róa ilości próbe czaoch gału.. Gętość dretzaci idma T t t gdzie t T /( 6
Właości DFT 4. Szeroość idma: Dla ieparzte ilości próbe ma ( p t T p T Dla otrzmuem ma p / Dla parzte ilości próbe p ma t T 7
Właości DFT 5. Macierz W et ieooblia i metrcza, e elemet ą a ogół zepoloe a ich moduł ą zaze róe. Macierz odrota do ie W W / 6. Liioość DFT, tz. a b ( a ( b ( W ( 7. Przeuięcie dziedziie czau ( ( bo ( 8. Modulaca a b aw bw bo m ( m ( ( ( m ( m m m ˆ ˆ 9. Zachoaie eergii czli dreta potać tierdzeia Parevala ( ( 8
Graicza prezetaca przładu DFT gał idmo amplitudoe idmo azoe.5.5 4 5 6 7 8 8 6 4.5 -.5 cza 4 5 6 7 8 czętotliość - 4 5 6 7 8 czętotliość 9
Gętość próboaia oi drete gału Prezetaca przładu t, [ ] T?. Jaie et idmo Obliczam 8 8 e co( / 4 i( / 4 Podoząc tę liczbę do potęgi całoite otrzmam tlo edą z ośmiu możliości przedtaioch a poiżzm ruu. Im p. dla =8 Re
Macierzo zapi przładu Udoodim, że gał zaiera ładoą tałą i drgaia o oreie 4 [m], czli o czętotliości ] [ 5 Hz (7 (6 (5 (4 ( ( ( ( ˆ(7 ˆ(6 ˆ(5 ˆ(4 ˆ( ˆ( ˆ( ˆ( Gętość próboaia oi. Jaie et idmo drete gału ],[ t? T
Wliczam Roziązaie przładu 8 4 4 T Próboaie czętotliości t 5 [ Hz] Sgał ma ładoą tałą idrgaiaoczętotliości Szeroość idma oi 5[ Hz] ma 4 5 [ Hz] czli et róa czętotliości quita.
Jezcze raz te am przład Jaie et idmo drete gału [ ] T eśli gętość próboaia oi t [ ]? Sgał poiada =6 próbe. Reprezetue drgaia oiuoidale o oreie czli o czętotliości 4t 4 [] 5[ Hz]. 4t Gętość dretzaci dziedziie czętotliości oi 5 / [ Hz] t 6 czli idmo będzie liczae dla czętotliości, 5 /, / 6 t t Zatem, ie traiam czętotliość 5 [Hz].
Co zatem liczm? W gdzie 6 e W,5,5,5,5 / / / /,5,5,5,5 / / / /,5,5,5,5 / / / /,5,5,5,5 / / / / T T A przecież ładoe tałe i czętotliości 67 [Hz] oraz [Hz] ie ma gale! Jet tlo 5 [Hz]. 4
(, Dumiaroa traormaca Fouriera ao geeza drete traormaci obrazó Widmo czętotliościoe obrazu aalogoego zdeiioae et zorem (, ( co, (, e ( dd ( dd (, i ( Widmo rzeczite trzecie ćiartce et opią idma z pierze i podobie z czarte et opią z drugie. Widmo urooe trzecie ćiartce ma przeci za iż idmo z pierze i podobie z czarte, przeci za iż drugie. Odtarzaie obrazu aalogoego z ego idma czętotliościoego dooae et prz pomoc zoru (, (, e d d ( Wzor te orztam do proadzeia drete traormaci gałó dumiaroch, czli -D DFT. dd 5
otrzmuem Geeza drete traormaci obrazó Obliczaąc przbliżoe artości całe ozaczoch ( (, (, e dd (, (, e d d ( gdzie ˆ (, (, (, (, e e 6
7 Dreta traormaca gału dumiaroego,, ˆ, ˆ,, ˆ(, ( ˆ, ˆ(,,...,, Przmuem oraz i proadzam oą ucę dretą Prz tch dóch założeiach otrzmuem zor:,,...,, - drete traormaci Fouriera obrazó - odrote drete traormaci Fouriera obrazó
Macierzo zapi -D DFT W W ŝ W W gdzie (, (, C W C W C,,...,,,..., umer olum macierz umer olum umer ierza macierz umer ierza W oraz W ą macierzami metrczmi 8
Przład -D DFT Widmo amplitudoe z pierze ćiarti et idetcze a idmo z trzecie i podobie, czarte idetcze a drugie. 9