Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
ÓÔ Ö Ò Ð Ø Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù ÛÝ Ù ÈÐ Ò Ð Ø ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÐ Ð ÓÖÝØÑ Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ ÛÝÖ ÖÝØÑ ØÝÞÒÝ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
ÑÔÐ Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý ÞÙ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ ÛÝ Ù º º ÈÐ Ò ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÎÄ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞÝ Ù Ý Ù ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Ä Ø ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Ä Ø Ò ÞÝÛ ÑÝ Ð Ò ÓÛ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ Û Ø Ö ÔÓØÖ ÑÝ ÛÝÖ Ò Ð Ñ ÒØ Ô ÖÛ ÞÝ Á º Ð Øݵ ÓÖ Þ Ð Ñ ÒØ Ó Ø ØÒ ÓÒ Ð Øݵº ÔÓÞ Ø Ä Ø ÓÔ Ö Ò Ð Ø Ù ÝÛ Ò ÓÔ Ö Þ ØÓ ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Ð Ø Ø ÔÙ Ø ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Ð Ñ ÒØ ÞÒ Ù Û Ð Û Ø Û Ò Ð Ñ ÒØÙ Ò ÔÓÞ Ø» ÓÒ»Û ÓÛÓÐÒ Ñ Ð ØÝ Ù ÙÒ Ð Ñ ÒØÙ Þ Ð ØÝ ÙØÛÓÖÞ Ò ÔÓ Ð ØÝ ÔÓ Þ Ò Ð Ø Ø º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Ø ØÝÞÒ º Ì Ð Û Ø Ö Þ Ó Ò Þ ÔÓÖÞ Ñ Ð ØÝ Þ Ô Ò Ð Ñ ÒØÝ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÔº ÝÒ Ñ ÞÒ º ËØÖÙ ØÙÖ ÓÛ Þ Ò ÓÛ Û Ø Ö Þ Ó Ò Þ ÔÓÖÞ Ñ Ð ØÝ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØÝ ÒÔº Þ Ô Ò Â Ø Þ Ó ÓÒÓ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÓÔ Ö Ò Ð Ø Û Þ Ð ÒÓ Ó ÖÓ Þ Ù ÈÝØ Ò º ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ä Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ø ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Ä Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ø ØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛ Þ Ò ÓÛ ÛÝÖ Ò ÑÝ Ø Ð ØÝ Ð ÛÙ ØÖÓÒÒ Ý Ð ÞÒ ÛÙ ØÖÓÒÒ Ý Ð ÞÒ º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
ËØÓ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
E S {true, false}, empty, top, push, pop Þ S Ø ÙÒ Û Ö ÙÑ ÑÙÐØ Þ ÓÖ Û empty : S {true, false} top : S E push : S E S pop : S S ËØÓ Á ØÓ Ù ËÔ Ý Ý Ò ØÙÖ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
top(push(s, e)) = e pop(push(s, e)) = s empty (s) push(pop(s), top(s)) = s ÔÖÓ Ö Ñ Û Ð ÑÔØÝ µµ ÔÓÔ µ Ñ Û ÒÓ ØÓÔÙº ËØÓ ØÓ Ù º ºµ ËÔ Ý ÓÑ ØÝ ÌÛ Ö Þ Ò º ÓÛÓÐÒ ØÖÙ ØÙÖ Ø Ö Ô Ò ÓÑ ØÝ Ô Ý ØÓ Ù Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ Ô ÛÒ Ø Ò Ö ÓÛ ØÖÙ ØÙÖ ØÓ Ûº ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½¼ È Û Ê Ñ Ð
ËØÓ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù ÊÓÞÛ Þ Ò º ÚÓ Ë Ö Ô Î ÖØ Ü Úµ ß ËØ»» ØÓ Ø ÔÓÞ Ø ÓÛÓ ÔÙ ØÝ Î ÖØ Ü ØÑÔ Û Ø Û ÓÞÒ Þ Û ÖÞ Ó Úµ Û Ð ÑÔØÝ µµ ß ØÑÔ ØÓÔ µ ÔÓÔ µ ÛÝÔ Þ Û ÖÞ Ó ØÑÔµ Û Ø Û ÓÞÒ Þ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ Û ÖÞ Ó Ò ØÑÔ µ»» Û Ø Û Ò Ó ÝÛ Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÖÞ Ù Ð Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÛÞ Ð Ñ ÓÔ Ö Ò ØÓ Ò º ÈÖÞ Ð õ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Ë Ò ÓÛÓÐÒÝÑ 8¹Û ÖÞ Ó ÓÛÝÑ Ö Û ÓÛÝÑ Ø Ö Ó Û ÖÞ Ó ØÝ ØÓÛ Ò Ð Ø Ö Ñ ÓÐ ÒÓ Û Ø Û Ò Û ÖÞ Ó Û Ò ÓÞÒ ÞÓÒÝ Ó ØÓ Ù Ø Þ Ó Ò Þ ÔÓÖÞ Ñ Ð ØÝÞÒÝÑ ØÝ Øº ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½½ È Û Ê Ñ Ð
Ç Ð Þ ÑÝ Û ÖØÓ Ò ÔÙ Ø Ó ÔÓÔÖ ÛÒ Ó Û Ô Ò Ò Û ÓÛ Ò Ó ÛÝÖ Ò Ó Ò º Þ Ò ÓÛ Ò Ó Ò Ð Ø Ñ ÞÒ Û ÖÝØÑ ØÝÞÒ Ó ËØÓ Ð ÓÖÝØÑ Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ ÛÝÖ ÖÝØÑ ØÝÞÒÝ Σ = {0,1,2,..., 9} {+,,, /} {(,)}. Ð ÓÖÝØÑÙº Æ w Þ ÛÝÖ Ò Ñ Û ÓÛÝÑ ÛØ Ý Á ÙØÛ ÖÞ Û ÔÙ Ø ØÓ Ý opr Ó ÔÓÛ Ò Ó ØÓ Ö ÙÑ ÒØ Û ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û arg ÓÔ w Ò Ø ÛÝÖ Ò Ñ ÔÙ ØÝÑ ÛÞÝØ Þ ÔÓÞ Ø Ù ÛÝÖ Ò w ØÓ Ò t Ð t Ø Ð Þ ÛÝ ÓÒ push(arg, t) t Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÛÝ ÓÒ push(opr, t) t Ø ÞÒ Ñ ) ÛÝ ÓÒ ÓÐ ÒÓ x top(arg) = arg pop(arg) = y = top(arg) arg = pop(arg) push(arg, y top(opr) x) pop(opr) Ù Ù ØÓ Ò t Þ ÔÓÞ Ø Ù ÛÝÖ Ò w Û ÖØÓ ÛÝÖ Ò w Ø Ö ÛÒ top(arg)º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½¾ È Û Ê Ñ Ð
ÈÖÞ Ð õ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ ÛÝÖ Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ Ó Ð Ò º 5¹ Ó ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ Ó ÛÝÖ Ò Û ÓÛ Óº ÓÛÓÐÒ Ó Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÝÐ Þ Ò Û ÖØÓ ÛÝÖ ÈÝØ Ò º Ñ ÖÞÓÒ Ð Þ ÓÔ Ö Ò Ó Ù ØÓ ÖÝØÑ ØÝÞÒÝ Â Ø Ñ ÝÑ ÐÒ ÑÓ Ð Û ÛÝ Ó Ó ØÓ Ù Ö ÙÑ ÒØ Û arg Ð ÛÝÖ Ò ÈÝØ Ò º Þ n Ö ÙÑ ÒØ Û Þ Ù ÓÛ Ò Ó Â Ø Ñ ÝÑ ÐÒ ÑÓ Ð Û ÛÝ Ó Ó ØÓ Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û opr Ð ÛÝÖ Ò ÈÝØ Ò º Þ n ÓÔ Ö ØÓÖ Û Þ Ù ÓÛ Ò Ó ËØÓ Ð ÓÖÝØÑ Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ ÛÝÖ ÖÝØÑ ØÝÞÒÝ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
ÃÓÐ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
E Q {true, false}, empty, first, in, out Þ Q Ø ÙÒ Û Ö ÙÑ ÑÙÐØ Þ ÓÖ Û empty : Q {true, false} first : Q E in : Q E Q out : Q Q ÃÓÐ Á ÓÐ ËÔ Ý Ý Ò ØÙÖ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
empty (in(q, e)) empty (q) first(in(q, e)) = e empty (q) out(in(q, e)) = q empty (q) first (in(q, e)) = first(q) empty (q) in(out(q), e) = out(in(q, e)) ÔÖÓ Ö Ñ Û Ð ÑÔØÝ Õµµ Õ ÓÙØ Õµ Ñ Û ÒÓ ØÓÔÙº ÃÓÐ ÓÐ º ºµ ËÔ Ý ÓÑ ØÝ ÌÛ Ö Þ Ò º ÓÛÓÐÒ ØÖÙ ØÙÖ Ø Ö Ô Ò ÓÑ ØÝ Ô Ý ÓÐ Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ Ô ÛÒ Ø Ò Ö ÓÛ ØÖÙ ØÙÖ ÓÐ º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
ÈÖÞ Ð õ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Ë Ò ÓÛÓÐÒÝÑ 8¹Û ÖÞ Ó ÓÛÝÑ Ö Û ÓÛÝÑ Ò º Û ÖÞ Ó ØÝ ØÓÛ Ò Ð Ø Ö Ñ ÓÐ ÒÓ Û Ø Û Ò Û ÖÞ Ó Û Ø Ö Ó ÃÓÐ Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù ÊÓÞÛ Þ Ò º ÚÓ Ë Ö Ô Î ÖØ Ü Úµ ß ÉÙ Ù Õ»» ÓÐ Ø ÔÓÞ Ø ÓÛÓ ÔÙ Ø Î ÖØ Ü ØÑÔ Õ Û Ø Û ÓÞÒ Þ Û ÖÞ Ó Õ Úµ Û Ð ÑÔØÝ Õµµ ß ØÑÔ Ö Ø Õµ Õ ÓÙØ Õµ ÛÝÔ Þ Û ÖÞ Ó ØÑÔµ Û Ø Û ÓÞÒ Þ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ Û ÖÞ Ó Ò Õ ØÑÔ µ»» Û Ø Û Ò Ó ÝÛ Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÓÖÞ Ù Ð Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ë ÛÞ Ð Ñ ÓÔ Ö Ò ÓÐ Ò ÓÞÒ ÞÓÒÝ Ó ØÓ Ù Ø Þ Ó Ò Þ ÔÓÖÞ Ñ Ð ØÝÞÒÝÑ ØÝ Øº ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
Ë ÓÛÒ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
E D, empty, member, insert, delete, any empty : D {true, false} member : D E {true, false} Ë ÓÛÒ ÑÓ Ð Ø Ò Ö ÓÛÝ ÓÛÒ µ Á E D {true, false}, empty, member, insert, any Þ delete, Ø ÙÒ Û Ö ÙÑ D Þ ÓÖ Û empty (d) df (d = ) member (d, e) df (e d) insert(d, e) = df (d {e}) delete(d, e) = df (d \ {e}) any (d) ÓÛÓÐÒ ÓÔ Ö Ø Ö Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ø Ô Û Ò Ð Ñ ÒØ Þ ÓÖÙ dº ÓÛÒ ËÔ Ý Ý Ò ØÙÖ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
insert : D E D delete : D E D member (d, e) P (d, e) Þ È Ø Ò ØÔÙ ÝÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ ØÑÔ Ë ÓÛÒ ÓÛÒ º ºµ ËÔ Ý Ý Ò ØÙÖ any : D E ÓÑ ØÝ Û Ð ÑÔØÝ µµ ß ØÑÔ ÒÝ µ ØÑÔ µ Ö ØÙÖÒ ØÖÙ Ð Ð Ø ØÑÔµ Ð Ö ØÙÖÒ Ð ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾¼ È Û Ê Ñ Ð
empty (d) e E (member (d, e)) empty (d) member (d, any (d)) ÔÖÓ Ö Ñ Û Ð ÑÔØÝ µµ Ð Ø ÒÝ µµ Ñ Û ÒÓ ØÓÔÙº Ë ÓÛÒ ÓÛÒ º ºµ ËÔ Ý ÓÑ ØÝ member (insert(d, e), e) e e member (d, e ) member (d, insert(d, e)), member (delete(d, e), e) e e member (d, e) member (delete(d, e ), e), ÌÛ Ö Þ Ò º ÓÛÓÐÒ ØÖÙ ØÙÖ Ø Ö Ô Ò ÓÑ ØÝ Ô Ý ÓÛÒ Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒ Þ Ô ÛÒ Ø Ò Ö ÓÛ ØÖÙ ØÙÖ ÓÛÒ Û Þ Ó ÒÓ Ó ÓÔ Ö any : D Eº ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾½ È Û Ê Ñ Ð
Ë ÓÛÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý ÞÙ µ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾¾ È Û Ê Ñ Ð
ÈÓ ÔÖÞÝ Ø Ð Ý ÞÙ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÛÒ Ø Ö Ó ÙÒ Û Ö ÙÑ Ò º ØÓ Þ Ö Ð Þ {0,1,2,..., 999}º Ð Ñ ÒØ Û Ë ÓÛÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý ÞÙ Æ E Þ ÙÒ Û Ö ÙÑ Ð Ñ ÒØ Û ÓÛÒ d Þ E = nº Ì Ð ÞÙ Á º Ô Ö (A, h) Þ A Ø m¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ø Ð h : E {0,1,..., m 1} ÙÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÞÙ º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
Ø º Ý Ò Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ ÙÒ Û Ö ÙÑ ÓÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò ÒÔº ÖÞ ÞÝ ÓÛ Ð Û Ó Ö Ò ÞÓÒ Ù Ó Ò Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ð Ø Ñµ ØÖÙ ØÙÖ Ø Ð Ý ÓÛÒ Ø Ò ØÝÛÒ Ô Ñ ÓÛÓ Ò Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý A ÞÙ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ð ÓÛÒ Û ØÝ Ø º Ý ÔÖ Û Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ ÙÒ Û Ö ÙÑ ÓÛÒ Ò Ù Û ÔÖ ØÝ ÞÒ Ð õ ÙÒ ÞÙ h Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ö ÞÓ Þ ØÓ ÛÝ ØÔÙ ØÞÛº ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐ Þ Ø º Ð Û Ö ÒÝ Ï e Ð Ñ ÒØ Û 1, e 2 Þ Ó Þ E h (e 1 ) = h(e 2 )º Ë ÓÛÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý ÞÙ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ º Â Ó Ö Ù Ó m Ø Ð Ý A ÈÖÞÝÔ Ó ÖÓÞÛ Ò ÌÖÙ ÒÓ m n ÛØ Ý ØÒ ÙÒ ÞÙ > Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ ØÖÙ ØÙÖ Ø Ð Ý ÞÙ h Ø Ò ØÝÛÒ Ô Ñ ÓÛÓ Ò Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý A ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò m = n ÛØ Ý ØÒ ÙÒ ÞÙ h Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ Ò Ð ÓÛÒ Û m < n ÛØ Ý Ð ÓÛÒ Û ÖÞ Ù Û ÔÖ ØÝ ÞÒ Ð õ ÙÒ ÞÙ h Ò Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ Ò Ð Ó Ø ÙÒ Ò ØÒ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
Ï Ñ Ø Ð Ý Ð Ñ ÒØ Û ÙÒ Û Ö ÙÑ ÓÛÒ ØÓ Ù ÑÝ Ø Ð ÓÐ Û ÊÓÞÛ Þ Ò º ØÓ ÓÐ ÔÖÞ ÓÛÙ ÑÝ Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ð Ø ÖÝ Û ÖØÓ ÙÒ ÞÙ Ø ÖÝ Ë ÓÛÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý ÞÙ ÌÖÙ ÒÓ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ º Â ÖÓÞÛ Þ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐ Þ Ø ÒØÝÞÒ º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
ÑÓ ÙÐ ÖÒ Ó Þ h (i e ) = i e m Ð m Ó Ð Þ Ô ÖÛ Þ Ò Þ ÝØ Ð ÑÓ 2 ÔÓØ Þ ÔÖÞ Þ ÑÒÓ Ò Þ h (i e ) = m (a k a k ) Ð 0 < a < 1 ÙÒ Û Ö ÐÒ Ó Þ Ö ÓÛ Ò Ñ ÓØÛ ÖØÝÑ Ø º Ë ÓÛÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý ÞÙ ÌÖÙ ÒÓ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ º  ÞÒ Ð õ Û Û ÙÒ Þ٠غ Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ÐÒÝÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ø Ò Ð ÓØÛ ÖØÝ ÈÓ Ø Ò Ö ÓÛ ÊÓÞÛ Þ Ò º Ù Ø Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ Þ ÓÖÙ Ð Ñ ÒØ Û ÙÒ Û Ö ÙÑ Û Þ Ö Ð Þ E Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ø º Ð Ó e E Ù Ø Ð ÑÝ Û ÔÓ ÒÓÞÒ ÞÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ i e Ù Ý ÞÓÛ Ò ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
Ì Ð ÞÙ ÑÓ Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÛÒ Ó Ø ÝÑ ÓÞ Û ÒÝÑ Þ ÏÒ Ó º ÓÔ Ö ÓÛÒ ÓÛÝ º Þ Ò Ì Ð ÞÙ ÑÓ Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÛÒ Ó Ð Ò ÓÛÝÑ Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Þ ÏÒ Ó º ÓÔ Ö ÓÛÒ ÓÛÝ º Þ Ò Â Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÛ ÓÔ Ö ÓÛÒ ÓÛ empty Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ð Ý ÞÙ Ø ÈÝØ Ò º Þ Ó ÓÒÓ Ø ÓÔ Ö Ý Ø Ý Ë ÓÛÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý ÞÙ ÌÛ Ö Þ Ò º Æ (A, h) Þ Ø Ð ÞÙ Ù Ó m Þ ÓÐ Ñ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÛÒ d Ð ÙÒ Û Ö ÙÑ Ð Ñ ÒØ Û E Þ E = nº Â Ð Ó ÞØ ÛÝÞÒ Þ Ò ÙÒ ÞÙ h Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ð Ñ ÒØÙ e E Ø Ø Ý ØÓ Û ÖØÓ member (d, ÔÖ Û õ ÞÝ Ð Ñ ÒØ e) Ò Ð Ý Ó ÓÐ A[h(e)] Þ Ó ÓÒÓ Ö Ò e O ( 1 + n Ô ÝÑ ØÝÞÒ m) O (n) insert(d, e) Ð member (d, e) = false Û Ø Û Ð Ñ ÒØ e Ó ÓÐ A[h (e)] Þ Ó ÓÒÓ Ö Ò O ( 1 + n m) Ô ÝÑ ØÝÞÒ O (n) delete(d, e) Ð member (d, e) = true Ù Ù Ð Ñ ÒØ e Þ ÓÐ A[h (e)] Þ Ó ÓÒÓ Ö Ò O ( 1 + n m) Ô ÝÑ ØÝÞÒ O (n)º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Ë̵ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
ÖÞ Û Ñ Ò ÖÒÝ ÔÓ ÞÙ Û ËÌ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ ÛÓ Ò ÖÒ G = (V Ò º G, E G et), Þ u Ø Ð ÛÝÑ Ò ØÔÒ Ñ Û ÖÞ Ó v ØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Û ÖÞ Ó x Ò Ð Ó Ó Ó ÓÖÞ Ò Ù Û Û ÖÞ Ó Ù u Þ Ó Þ et(x) et (v) ÔÓ ÖÞ Û w Ø ÔÖ ÛÝÑ Ò ØÔÒ Ñ Û ÖÞ Ó v ØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Û ÖÞ Ó y Ò Ð Ó ÔÓ ÖÞ Û Ó ÓÖÞ Ò Ù Û Û ÖÞ Ó Ù w Þ Ó Þ et (v) et(y)º Ó Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ et : V G E Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ ÙÒ ØÝ ØÓÛ Ò Û ÖÞ Ó Û E Ø Ô ÛÒÝÑ Ò ÔÙ ØÝÑ Ð Ò ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ ØÝ Ø E, Ð ØÖ Û ÖÞ Ó Û u, v, w Ð ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ ÈÖÞÝ Ý Þ Ö ØÝ Ø N, Þ Ö ØÝ Ø Π, leks Þ Π Ø Þ ÓÖ Ñ Û ÞÝ ÔÓÐ Ó ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð
member (d, e) º Æ T Þ ÖÞ Û Ñ ËÌ ÝÑ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÇÔ Ö d Ð ÙÒ Û Ö ÙÑ Ð Ñ ÒØ Û E Ò e Þ Ð Ñ ÒØ Ñ ÙÒ Û Ö ÙÑ Eº ÓÛÒ Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ Ó ÓÖÞ Ò ÖÞ Û ËÌ ÊÓÞÔÓÞÝÒ ÔÖ Û õ ÞÝ ÓÛ Þ Ò Ó ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Û ÖÞ Ó Ø ÔÙ Ø ÛØ Ý v member (d, e) false = ÔÖ Û õ Ð ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Û ÖÞ Ó ÞÝ et(v) = e Ð Ø ØÓ member (d, e) = true Ð et(v) > e ÔÖÞ õ Ó Û ÖÞ Ó v.left ÔÓÛØ ÖÞ ÔÓÛÝ Þ ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ð et(v) < e ÔÖÞ õ Ó Û ÖÞ Ó v.right ÔÓÛØ ÖÞ ÔÓÛÝ Þ ÔÓ ØÔÓÛ Ò º ÈÖÞÝ º ÏÝ ÞÙ Ù ÑÝ Û ÓÛÒ Ù d = {1,2,4, 6,8,9} Ð Ñ ÒØÙ 1 ÓÖ Þ 7º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
Â Ø Ô ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Å Ñ Ö ÛÞ Ð Ñ Ð Þ Ý ÈÝØ Ò º Û ÖÞ Ó Û Ó Û ÞÓÒÝ Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ ÇÔ Ö member (d, e) ÑÔÐ Ñ ÒØ º ÓÓÐ Å Ñ Ö ÌÖ ÆÓ ÖÓÓØ µ ß Û Ð ÖÓÓØ ÆÍÄĵ ÖÓÓغ Ø µ Ö ØÙÖÒ ØÖÙ Ð ÖÓÓغ Ø µ ÖÓÓØ ÖÓÓØºÐ Ø Ð ÖÓÓØ ÖÓÓØºÖ Ø Ö ØÙÖÒ Ð Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Å Ñ Ö ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ insert(d, e) º Æ T Þ ÖÞ Û Ñ ËÌ ÝÑ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÛÒ d ÇÔ Ö ÙÒ Û Ö ÙÑ Ð Ñ ÒØ Û E Ò e Þ Ð Ñ ÒØ Ñ ÙÒ Û Ö ÙÑ Eº ÊÓÞÔÓÞÝÒ Ó Ð ÖÞ Û ËÌ ÓÖÞ Ò ÔÖ Û õ ÞÝ ÓÛ Þ Ò Ó ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Û ÖÞ Ó Ø ÔÙ Ø Ð Ø ØÓ v ÙØÛ ÖÞ Û ØÙ ÐÒÝÑ ÓÛ Þ Ò Ùµ ÒÓÛÝ Û ÖÞ Ó Þ ØÝ Ø e ÔÖ Û õ Ð ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Û ÖÞ Ó ÞÝ et(v) = e Ð Ø ØÓ Þ Ó Þ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Ð et(v) > e ÔÖÞ õ Ó Û ÖÞ Ó v.left ÔÓÛØ ÖÞ ÔÓÛÝ Þ ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ð et(v) < e ÔÖÞ õ Ó Û ÖÞ Ó v.right ÔÓÛØ ÖÞ ÔÓÛÝ Þ ÔÓ ØÔÓÛ Ò º ÈÖÞÝ º Ï Ø Û ÑÝ Ó ÓÛÒ d = {1,2,4, 6,8,9} Ð Ñ ÒØ 4 ÓÖ Þ 7º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ ÇÔ Ö insert(d, e) ÑÔÐ Ñ ÒØ º ÌÖ ÆÓ ÁÒ ÖØ ÌÖ ÆÓ ÖÓÓØ µ ß ÌÖ ÆÓ ØÑÔ ÖÓÓØ ÖÓÓØ ÆÍÄĵ Ö ØÙÖÒ Æ ÛÎ ÖØ Ü µ Û Ð ØÖÙ µ ß ØÑÔº Ø µ Ö ØÙÖÒ ÖÓÓØ ØÑÔº Ø µ ØÑÔºÐ Ø ÆÍÄĵ ØÑÔ ØÑÔºÐ Ø Ð ß ØÑÔºÐ Ø Æ ÛÎ ÖØ Ü µ Ö ØÙÖÒ ÖÓÓØ Ð ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Â Ô ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÁÒ ÖØ ÛÞ Ð Ñ Ð Þ Ý Ó Û ÞÓÒÝ ÈÝØ Ò º Û ÖÞ Ó Û Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ ÇÔ Ö insert(d, e) ÑÔÐ Ñ ÒØ º ºµº Ð ØÑÔºÖ Ø ÆÍÄĵ ØÑÔ ØÑÔºÖ Ø Ð ß ØÑÔºÖ Ø Æ ÛÎ ÖØ Ü µ Ö ØÙÖÒ ÖÓÓØ Ð Ð Ö ØÙÖÒ Ð Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÁÒ ÖØ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
ÇÞ Û Ò Þ Ó ÓÒÓ ÓÔ Ö ÓÛÒ memeber Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û ËÌ ÏÒ Ó º O (lg n) Þ n Ø Ð Þ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û º ÛÝÒÓ Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ ÌÛ Ö Þ Ò º Æ T Þ ÖÞ Û Ñ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ ÝÑ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÛÒ d Ð ÙÒ Û Ö ÙÑ Ð Ñ ÒØ Û E Þ E = nº Â Ð ÖÞ ÛÓ T ÔÓÛ Ø Ó ÔÖÞ Þ ÓÐ Ò Û Ø Û Ò Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÖÙ E Û ÐÓ ÓÛ ÓÐ ÒÓ ØÓ ÓÞ Û Ò ÛÝ Ó Ó Ø Ó ÖÞ Û Ø ÖÞ Ù O (lg n)º ÇÞ Û Ò Þ Ó ÓÒÓ ÓÔ Ö ÓÛÒ insert Û ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÞ Û ËÌ ÛÝÒÓ ÏÒ Ó º O n) Þ (lg Ø Ð Þ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û º n ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Û ÖÞ Ó u Ø Ð Ñ Û ÖÞ Û ËÌ Û ÖÞ Ó u Ñ ØÝÐ Ó Ò Ó ÝÒ Û ÖÞ Û ËÌ Û ÖÞ Ó u Ñ Û ÝÒ Û Û ÖÞ Û Ë̺ Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ delete(d, e) º Æ T Þ ÖÞ Û Ñ ËÌ ÝÑ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÛÒ d ÇÔ Ö ÙÒ Û Ö ÙÑ Ð Ñ ÒØ Û E Ò e Þ Ð Ñ ÒØ Ñ ÙÒ Û Ö ÙÑ Eº ÊÓÞÔÓÞÝÒ Ó Ð ÖÞ Û ËÌ ÓÖÞ Ò ÔÖ Û õ ÞÝ ÓÛ Þ Ò Ó ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Û ÖÞ Ó Ø ÔÙ Ø ÛØ Ý Þ Ó Þ u Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Ð et(u) > e ÔÖÞ õ Ó Û ÖÞ Ó u.left ÔÓÛØ ÖÞ ÔÓÛÝ Þ ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ð et(u) < e ÔÖÞ õ Ó Û ÖÞ Ó u.right ÔÓÛØ ÖÞ ÔÓÛÝ Þ ÔÓ ØÔÓÛ Ò º ÔÖ Û õ Ð ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Û ÖÞ Ó ÞÝ et(u) = e Ð Ø ØÓ ÛÝ ÓÒ Ò Þ ØÖÞ Û Ö ÒØ Û ÓÔ Ö Ù ÙÛ Ò Û ÖÞ Ó ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
 ÓÞ Û Ò Ô ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ð Ø Û ØÝÑ ÈÝØ Ò º ÔÖÞÝÔ Ù Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ ÇÔ Ö delete(d, e) º ºµº Ï ÖÞ Ó u Ø Ð Ñ Û ÖÞ Û ËÌ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
 ÓÞ Û Ò Ô ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ð Ø Û ØÝÑ ÈÝØ Ò º ÔÖÞÝÔ Ù Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ ÇÔ Ö delete(d, e) º ºµº Ï ÖÞ Ó u Ñ ØÝÐ Ó Ò Ó ÝÒ Û ÖÞ Û ËÌ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
delete(d, e) º ºµº Ï ÖÞ Ó u Ñ Û ÝÒ Û Û ÖÞ Û ËÌ ÇÔ Ö β Ø ÞÔÓ Ö Ò Ñ ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Û Ò ÔÓÖÞ Ù ØÝ Ø Û ÖÞ Ó u Û ÖÞ Ó Â ÓÞ Û Ò Ô ÝÑ ØÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ð Ø Û ØÝÑ ÈÝØ Ò º ÔÖÞÝÔ Ù Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ËÌ Ò ÐÓ ÞÒ Ð ÞÔÓ Ö Ò Ó Ò ØÔÒ Û ÔÓ ÖÞ Û Û ÖÞ Ó γµ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð
Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Îĵ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
ÖÞ Û Ñ Ò ÖÒÝ ÔÓ ÞÙ Û ÎÄ Ð ÓÒ Î Ð Ä Ò µ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÞ ÛÓ Ò º G = (V ËÌ G, E G et) Þ Ð ØÖ Û ÖÞ Ó Û, u, v, Ö Ò ÛÝ Ó Ó ÔÓ ÖÞ Û w Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÎÄ Û ÖÞ Ó v Ø º h(u) h (w) Ø Ö ÛÒ 1 0 Ð Ó 1º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÎÄ ÈÖÞÝ Ý Þ Ö ØÝ Ø N, ÖÞ ÛÓ ËÌ ÎÄ Þ Ö ØÝ Ø Π, leks ÖÞ ÛÓ ËÌ Ð Ò ÎÄ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
ÃÓ ÞØ Þ ÓÛÝ ÔÓ ÝÒÞ ÖÓØ ÛÞ Ð Ñ ÓÔ Ö Ò ØÖÙ ØÙÖÞ ÖÞ Û ÎÄ Ø Ó ÓÒÓ º Ø Ýº ÈÓ ÔÖÞÝ ÖÞ Û ËÌ Ð Ò ÎÄ Ð Ø Ö Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÝÒÞ ÖÓØ Û Ò º ÔÓÛÓ Ù ÖÞ ÛÓ Ø Ò ÖÞ Û Ñ Îĺ ÔÖ ÛÓ Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÎÄ Ë Ñ Ø ÖÓØ ÔÓ ÝÒÞ Û ÔÖ ÛÓ ÖÓØ Û Ð ÛÓ Ò ÐÓ ÞÒ µº ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÎÄ Ë Ñ Ø ÖÓØ ÔÓ Û Ò Ð ÛÓ¹ÔÖ ÛÓ ÖÓØ Û ÔÖ ÛӹРÛÓ Ò ÐÓ ÞÒ µ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
ÃÓ ÞØ Þ ÓÛÝ ÔÓ Û Ò ÖÓØ ÛÞ Ð Ñ ÓÔ Ö Ò ØÖÙ ØÙÖÞ ÖÞ Û ÎÄ Ø Ó ÓÒÓ º Ø Ýº ÈÓ ÔÖÞÝ ÖÞ Û ËÌ Ð Ò ÎÄ Ð Ø Ö Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ Û Ò ÖÓØ Û Ò º ÔÓÛÓ Ù ÖÞ ÛÓ Ø Ò ÖÞ Û Ñ Îĺ Ð ÛÓ¹ÔÖ ÛÓ Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÎÄ Ë Ñ Ø ÖÓØ ÔÓ Û Ò Ð ÛÓ¹ÔÖ ÛÓ ÖÓØ Û ÔÖ ÛӹРÛÓ Ò ÐÓ ÞÒ µ º º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
ÇÔ Ö insert Ð ÖÞ Û ÎÄ ÛÝÑ ÛÝ ÓÒ Ò Ó Ò ÛÝ Ò Ó Ò ÛÝ Øº ÖÓØ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ð Þ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û º ÔÓ Û Ò Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÎÄ member (d, e) ÇÔ Ö ÛÝ ÞÙ Ù ÑÝ Û ÖÞ Ó Þ Ó Ò Þ ÔÖÓ ÙÖ Ð ÖÞ Û ËÌ member Ö ÞÙÐØ Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÖÞ ÛÓ ÎÄ Ó ÓÒÓ ÓÔ Ö W (n) = A(n) = O (lg n) Þ n Ø Ð Þ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û º insert(d, e) ÇÔ Ö Û Ø Û ÑÝ Û ÖÞ Ó Þ Ó Ò Þ ÔÖÓ ÙÖ Ð ÖÞ Û ËÌ insert ÔÖÞ Ð ÑÝ Û ÖÞ Ó ¹ ÓÖÞ ÖÞ Û ÛÝ ÓÒÙ ÑÝ ØÓ ÓÛÒ ÖÓØ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ø ÖÞ ÛÓ Îĺ Ó ÓÒÓ ÓÔ Ö W (n) = A(n) = O (lg n) Þ n Ø Ð Þ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Û ÖÞ Ó u Ø Ð Ñ Û ÖÞ Û ÎÄ Ð Ó Û ÖÞ Ó u Ñ ØÝÐ Ó Ò Ó ÝÒ Û ÎÄ ØÓ ÔÖÞ Ð ÑÝ Û ÖÞ Ó ¹ ÓÖÞ ÖÞ Û ÛÝ ÓÒÙ ÑÝ ØÓ ÓÛÒ ÖÞ Û Û ÖÞ Ó u Ñ Û ÝÒ Û Û ÖÞ Û ÎÄ ØÓ ÔÖÞ Ð ÑÝ Û ÖÞ Ó ÔÓÔÖÞ Ò ¹ ÓÖÞ Ò ÐÓ ÞÒ Û ÖÞ Ó ÞÔÓ Ö Ò Ò ØÔÒ ¹ ÓÖÞ µ ÞÔÓ Ö Ò ÇÔ Ö delete Ð ÖÞ Û ÎÄ ÛÝÑ ÛÝ ÓÒ Ò Ó Ò ÛÝ lg n Ó Ò ÛÝ Øº ÖÓØ Þ n Ø Ð Þ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û º ÔÓ Û ÒÝ µº ÈÓ ÔÖÞÝ ÖÞ Û ÎÄ Ó n > 16 Û ÖÞ Ó Û Ø ÖÝÑ Ù ÙÒ Ò Û ÖÞ Ó ÛÝÑÙ ÛÝ ÓÒ Ò Θ(h) ÖÓØ Þ h Ø ÛÝ Ó Ó ÖÞ Û º Ô ÛÒ Ó Ë ÓÛÒ ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÎÄ delete(d, e) ÇÔ Ö Ù ÙÛ ÑÝ Û ÖÞ Ó Ù Þ Ó Ò Þ ÔÖÓ ÙÖ Ð ÖÞ Û ËÌ Ð delete ÖÓØ ÖÞ Û ÛÝ ÓÒÙ ÑÝ ØÓ ÓÛÒ ÖÓØ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ø ÖÞ ÛÓ Îĺ Ó ÓÒÓ ÓÔ Ö W (n) = A(n) = O (lg n) Þ n Ø Ð Þ Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û º ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
ÔÖÞÝ Ù Ý Ù ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û ËÓÖØÓÛ Ò Ò ÖÒÝ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
Ð ÓÖÝØÑÙ ÌÖ ËÓÖغ Æ E Þ Þ ÓÖ Ñ n Ð Ñ ÒØ Û Þ Ó Ö ÐÓÒ Ö Ð ÔÓÖÞ Ù Á ÓÖ Þ T ÔÙ ØÝÑ ÖÞ Û Ñ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Þ ÓÛ Ó Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÖÙ E Ø ÔÓ ÓÖØÓÛ ÒÝ ÖÓ Ò Ó ÛÞ Ð Ñ Ö Ð ÔÓÖÞ Ù ÇØÖÞÝÑ ÒÝ º Þ ÓÛ Ó µº Í ÓÛÓ Ò ØÝ ØÝ ÓÛÓÐÒ Ó ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Ó ÞÝØ Ò Û Ò ÁÒÇÖ Ö ØÛÓÖÞ Ò Ñ Ð Ýº ÓÐ ÒÓ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÌÖ ËÓÖØ Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÖÞ Û ÎÄ ÑÓ Ò Øº ÓÐ ÒÓ ÔÖÞ Þ Θ(n lg n) Θ(n) Þ n Ø ÖÓÞÑ Ö Ñ ÒÝ Û ÓÛÝ º Ó Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑ ÌÖ ËÓÖØ Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ Ð ÓÖÝØÑ Ñ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÏÒ Ó º ÔÓÖ ÛÒ Ò º ËÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞÝ Ù Ý Ù ÖÞ Û ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Û Ø Û Û ÓÛÓÐÒ ÓÐ ÒÓ µ Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Þ ÓÖÙ E Ó ÖÞ Û T ÛÝÔ Þ Û ÖÞ Ó ÖÞ Û T Û ÓÐ ÒÓ ÁÒÇÖ Öº ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÌÖ ËÓÖØ Û ØÖÙ ØÙÖÞ ÖÞ Û ËÌ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð