Zeszyty Problemoe Maszyny Eletryczne Nr 3/214 (13) 293 Przemysła Krzy, Maciej Sułoicz, Natalia Pragłosa Ryło Politechnia Kraosa ZASTOSOWANIE IDFT DO DIAGNOSTYKI SILNIKÓW ASYNCHRONICZNYCH APLICATION OF IDFT METHOD IN DIAGNOSTICS OF ASYNCHRONOUS MOTORS Streszczenie: W niniejszej racy rzedstaiono orónanie doładności estymacji arametró dla sygnału ieloharmonicznego dla lasycznej metody DFT oraz duuntoej metody interoloanego DFT (IDFT). Analizy doonano dla ybranych oien Rife a-incenta lasy I (RCI). W artyule suiono się rónież na suteczności nieloania rzecieu idma, zależności od ybranej metody estymacji, rodzaju użytego ona oraz długości czasu omiaru. Zmiana artość błędu omiaru dla estymacji częstotliości, amlitudy i fazy została rzedstaiona ostaci graficznej. Ponieaż jedną z metod oceny stanu lati silnia inducyjnego, jest analiza sładoej idma o częstotliości oślizgoej, niniejszy artyuł może stanoić odstaę do dalszych badań dotyczących diagnostyi silnia inducyjnego. Abstract: This aer resents a comarison of the accuracy of arameter estimation of multifrequency signal for classic DFT method and the method of to-oint interolated DFT (IDFT). The analysis as erformed for selected indos Rife-incent Class I (RCI). The article focuses on the effectiveness of eliminating the leaage of the sectrum, deending on the selected estimation method, used tyes of time indos and length of measurement time. The value of the measurement error of the frequency, the amlitude and the hase estimation are resented in grahical form. As one of the methods of assessing cage induction motor is analysis of sli sectrum comonent, this article can be used as a basis for further studies on the diagnosis of the induction motor. Słoa luczoe: analiza DFT, IDFT, estymacja arametró sygnału, rzecie idma, ona czasoe RCI Keyord: Discrete Fourier Transform (DFT), IDFT method, estimation of signal arameters, sectral leaage, time indos RCI 1. Wstę Diagnostya silnió eletrycznych jest obecnie szeroo stosoaną i dynamicznie rozijaną gałęzią badań nauoych [1-9]. Wczesne yrycie nieraidłoości racy maszyn umożliia obniżenie osztó esloatacji ziązanych z reducją liczby nierzeidzianych aarii oraz rzedłużeniem żyotności urządzeń [1-9]. Do diagnostyi maszyn eletrycznych z oodzeniem stosuje się analizy czasooczęstotliościoe. Jedną z odstaoych metod analizy idmoej rądó i naięć silnia jest lasyczna metoda DFT [1-9]. W rzyadu silnió asynchronicznych najczęściej rzeroadza się analizę idma rądu fazoego stojana uzględniając oślizg oraz ocenę sładoej tego idma o 1 2s f. częstotliości oślizgoej ( ) Doładność estymoanych arametró sygnału taich ja: amlituda, częstotliość oraz faza, znacząco łya, na jaość oceny stanu maszyn eletrycznych. Znaczne ogorszenie się doładności metody DFT ystęuje sytuacji ystęoania rzecieu idma. Pojęciem tym oreślane jest rzedostaanie się mocy z częstotliości rzeczyistej, do innych częstotliości. W rzyadu ystęoania zjaisa rzecieu idma, oszechnie stosuje się ydłużanie czasu omiaru oraz yorzystuje ona omiaroe [1]. W literaturze często sotya się rónież metodę olegającą na zięszaniu rozdzielczości analizy częstotliościoej, orzez uzuełnianie róbe sygnału zerami [11, 12, 13]. Innym sosobem minimalizoania łyu rzecieu idma, na jaość estymacji arametró sygnału, jest metoda interoloanego DFT (Interolated DFT IDFT), tóra ozala doładniej estymoać ołożenie szczytó listó głónych [14]. W niniejszym artyule zarezentoano orónanie lasycznej metody DFT z metodą IDFT. Doonano orónania artości
294 Zeszyty Problemoe Maszyny Eletryczne Nr 3/214 (13) estymoanych arametró harmonicznej 1 2s f uzysanych dzięi oślizgoej ( ) zastosoaniu obu metod, z yorzystaniem oien czasoych Rife a-incenta lasy I (RCI) ybranych rzędó. 2. Ona czasoe RCI Ona czasoe można odzielić na ona osinusoe i nieosinusoe [12]. W niniejszej racy autorzy ograniczyli się tylo do osinusoych oien Rife a-incenta lasy I (RCI) [12]. Ona osinusoe definiuje się, jao: M m 2π ( 1) Am cos mn, n < N n = m= N (1), > n N A amlituda m-tej harmonicznej funcji ona osinusoego rzędu M. Dla M= ono RCI jest onem rostoątnym, natomiast dla M=1 onem Hanninga. Ona RCI mają die charaterystyczne cechy: ystęoanie ięszego tłumienia listó bocznych oraz rozszerzanie się lista głónego raz ze zrostem rzędu ona [12]. Widmo sygnału dysretnego x n o niesończonej długości definioana jest, jao [12, 13]: jω jωn X e = x e (2) ( ) n= Wyorzystując (2), idmo ona RCI definiuje się, jao [12, 13]: dla: ( 1) m= j( ω+ ωm ) ( ) n j( ω ωm ) ( ) M jω m Am WM ( e ) = ( 1) W e + 2 + j W ( e ω ) m Am W e 2 2π ωm = m N idmo ona rostoątnego (3) (4) W niniejszej racy ograniczono się do yorzystania oien rzędó: zeroego (rostoątnego), ierszego (Hanninga) oraz trzeciego, oznaczając je odoiednio orzez: M=, M=1 oraz M=3. 3. Analiza estymacji arametró sygnału rzy yorzystaniu metody IDFT Omóienia algorytmó duuntoej metody IDFT niniejszym uncie, doonano na odstaie [12, 15-18]. Interolacja DFT olega na ychytyaniu z idma dóch rążó o najięszych modułach, a nastęnie znajdyaniu na ich odstaie rzesunięcia δ [12]. Przesunięcie to doonuje orecji częstotliości rąża ω, celu uzysania łaściej częstotliości sygnału oreślonej, jao: 2 π ω = ( ± δ ), < δ.5 (5) N Na odstaie rzeształceń z [12], jao oznaczono idmo DFT sygnału sinusoidalnego xn oraz orzystając ze zoru (5), uzysuje się zależność: 2π 2π W δ + + 1 N N (6) 2π W δ N Innymi słoy, metoda IDFT olega na yznaczeniu stosunu modułó rążó DFT o najięszej amlitudzie, analizoanych z yorzystaniem ształtu ona czasoego, czyli vn = n xn. Dla oien RCI rzędu M =,1, 2,... rzy yorzystaniu duuntoej metody interolacji DFT, sółczynni orygujący jest ostaci: ( M + 1) + 1 M δ = (7) + + 1 stąd: ( M + 1) + 1 M 2π ω = ± + + 1 N Wyorzystując dodatoo zależności: S + n = M m= M ( 1) m + n A m ( m + n) n (8) (9) δ gdzie etor sółczynnió ona rzędu M, definioany jest, jao: A m = A dla m = A (1) m Am = dla m 2 oraz uzględniając zais:
Zeszyty Problemoe Maszyny Eletryczne Nr 3/214 (13) 295 + 1 + 1 S (11) S otrzymuje się odoiednio zór na amlitudę i fazę rąża idma dla ω ostaci: ( ω ) ( ) = WH 2π 2π = sin WH δ N ( δπ ) S (12) π jδ ( N 1) N arg{ ( ω )} = arg{ ( ω )} ± arg e (13) 4. Porónanie metod DFT i IDFT Analizy sygnału doonano na odstaie rzebiegu ieloharmonicznego. Przeroadzono analizy orónacze dóch rzyadó: 1) sygnał jest oresoy, dla tórego f / sf N oraz f / f N 2) sygnał jest raie oresoy, dla tórego f / sf R \ Q oraz f / f R \ Q f częstotliość róboania. Doonano orónania artości błędu estymacji arametró rąża, dla częstotliości 1 2s f, otrzymanych z lasycznej metody ( ) DFT oraz z duuntoej interolacji DFT. Autorzy doonali orónania rezultató zależności od długości czasu omiaru, uzysanych o zastosoaniu metody odstaoej DFT oraz duuntoej interolacji DFT. Do analiz yorzystano ona RCI rzędó: zeroego, ierszego i trzeciego. Czas omiaru ynosił 1 seund, a unty omiaroe ybrano dla: 1, 2, 5, 1, 2, 5 i 1 seund. Przyjęto częstotliość róboania 1 S / s. Rezultaty rzedstaiono ostaci yresó, sali logarytmicznej. 4.1. Sygnał oresoy Zbadano zasymuloany sygnał oresoy, tórego idmo rzedstaiono na rys. 1. Sygnał ten osiada dziesięć harmonicznych głónych i ięć oślizgoych oraz definiuje go zależność: f = ls f ( ) = ; l = 1,2,...,5 dla = 1,2,...,1; l = 5, 4,...,5 (14) f = 5Hz s =,1 Rys. 1. Widmo sygnału oresoego z onem RCI trzeciego rzędu Po doonaniu analizy orónaczej rzyadu, iedy częstotliość róboania jest ielorotnością f i sf ( f / sf oraz f / f są liczbami naturalnymi), z yorzystaniem metod: odstaoej i duuntoej interolacji, otrzymano rezultaty, tóre rzedstaione są na rys. 2-4. Zarezentoany jest na nich odoiednio błąd omiaru częstotliości, amlitudy oraz fazy. Rys. 2. Porónanie błędu częstotliości dla metody odstaoej DFT i IDFT dla ybranych oien czasoych Przy analizie błędu bezzględnego omiaru częstotliości, uzysanego rzy użyciu metody lasycznego DFT oraz IDFT, dla rótiego czasu omiaru otrzymano raie jednaoe rezultaty. Początoo artość błędu ratycznie nie zmienia się. Jedna raz ze zrostem czasu omiaru błąd zaczyna gałtonie maleć. W rzyadu metody DFT błąd omiaru osiąga artość Hz dla czasu
296 Zeszyty Problemoe Maszyny Eletryczne Nr 3/214 (13) omiaru oyżej ięciu seund. W rzyadu metody IDFT błąd omiaru zania tylo dla oien rzędu 1 oraz 3, dla omiaró trających dłużej niż dziesięć seund. Dla ona rostoątnego, błąd sada masymalnie do 15 artości na oziomie 1 Hz. Rys. 3. Porónanie błędu amlitudy dla metody odstaoej DFT i IDFT dla ybranych oien czasoych Rys. 4. Porónanie błędu fazy dla metody odstaoej DFT i IDFT dla ybranych oien czasoych Przy yznaczaniu amlitudy i fazy bezzględny błąd omiaru dla obu metod całym zaresie omiaroym zmienia się odobnie. Dla estymacji obu ielości, rzy omiarze trającym mniej niż ięć seund jest on niedouszczalny. Jest to soodoane ystęoaniem rzecieu idma. W taim rzyadu głóny liste jest ta szeroi, że olejne rążi nie są idoczne. Listi boczne zaczynają być idoczne doiero dla czasu omiaru dłuższego niż ięć seund. Dla obu metod otrzymany zględny błąd omiaru amlitudy o ooło dziesięciu 14 seundach maleje do artości rzędu 1 15 rzyadu ona rzędu oraz do 1 dla oien rzędu 1 i 3. W rzyadu estymacji arametru fazy błąd omiaru osiąga artości rzędu 1 11 1 1 stonia dla ona rostoątnego i 11 12 1 1 stonia dla oien rzędu 1 oraz 3. Dla sygnału oresoego ystęuje znaczący rzecie głónego rąża, idoczny dla omiaró, trających rócej niż dziesięć seund. Dla omiaró dłuższych niż dziesięć seund ystęuje rzecie z listó bocznych. W rzyadu badania sygnału oresoego idać, iż najszybciej maleje artość błędu dla ona rostoątnego, tóre ma najęższy liste głóny. Najolniej oada artość błędu dla ona rzędu trzeciego. W sytuacji, iedy nie ystęuje zjaiso idma rzecieu lasyczna metoda DFT daje lesze rezultaty, niż duuntoa metoda interoloanego DFT. Można tu rónież ysnuć niose, iż czas omiaru ma ły na zmniejszanie rzecieu idma. 4.2. Sygnał raie oresoy W celu zbadania oziomu błędu metody IDFT dla sygnału raie oresoego, należało umożliić ystąienie zjaisa rzecieu idma. Wyorzystano tym celu rzebieg oreślony zależnością (14), ze zmienionymi na nieymierne artościami f i s, f = 5,54327Hz s =,15643 Wartości fazy i amlitudy ozostały bez zmian. Rys. 5. Widmo sygnału raie oresoego z onem RCI trzeciego rzędu Widmo tego sygnału rzedstaiono na rys. 5. Wynii analizy rzyadu, gdy częstotliość
Zeszyty Problemoe Maszyny Eletryczne Nr 3/214 (13) 297 róboania nie jest ielorotnością sf ( f / sf oraz f / f są liczbami nieymiernymi), dla metod: odstaoej i duuntoej interolacji, rzedstaiono na rys. 6-8. Rys. 6. Porónanie błędu częstotliości dla metody odstaoej DFT i IDFT dla ybranych oien czasoych Analizując uzysane rezultaty można stierdzić, iż duuntoa metoda interolacji DFT, znacząco oraia doładność estymoanych arametró sygnału. Różnica ta jest jedna zauażalna dla czasu omiaru dłuższego niż ięć seund. Dla czasu omiaru oniżej dóch seund błąd omiaru jest nieacetoalny dla obu analizoanych metod. W rzyadu omiaru częstotliości idać doładnie, ja zrost rzędu ona łya na zmniejszenie błędu estymacji rzyadu użycia IDFT. Natomiast dla metody lasycznego DFT rząd ona znacznie mniejszym stoniu łya na oraę doładności. Rys. 7. Porónanie błędu amlitudy dla metody odstaoej DFT i IDFT dla ybranych oien czasoych Rys. 8. Porónanie błędu fazy dla metody odstaoej DFT i IDFT dla ybranych oien czasoych W rzyadu estymacji arametró: amlitudy i fazy, dla czasu omiaru oniżej ięciu seund, analiza idma sygnału jest ratycznie niemożlia. Wynia z fatu ystęoania rzecieu idma. Dla omiaru trającego dłużej niż ięć seund, artość błędu dla metody IDFT zaczyna maleć. W rzyadu metody lasycznego DFT błąd zmienia się nieznacznie tracie całego omiaru. Błędy omiaru arametró metodą lasycznego DFT można zmniejszyć orzez łaściy dobór rzędu ona i długości czasu omiaru. W rzyadu metody interoloanego DFT czynnii te jeszcze ięszym stoniu ozalają ograniczyć błąd omiaru [12]. Przy użyciu ona rzędu trzeciego, rzyadu estymacji amlitudy, ograniczono artość zględnego błędu omiaru do 13 ielości rzędu 1. Dla omiaru fazy, 1 otrzymano błąd na oziomie 1 stonia. Przy yorzystaniu ona rostoątnego, błąd omiaru szystich ielości dla metody DFT i IDFT jest najięszy. Przyczyną tego zjaisa jest fat ystęoania rzecieu idma. Dla sygnału raie oresoego, rzecie z rąża głónego jest minimalny, natomiast znaczący ły ma rzecie idma z listó bocznych. Można go zmniejszyć yorzystując ona czasoe oczynając od ona rzędu ierszego. Analizując otrzymane rezultaty idać, iż duuntoa metoda interoloanego DFT daje lesze rezultaty niż lasyczna metoda DFT dla oien rzędu 1 oraz 3, rzy dłuższym czasie omiaru. Jedna rzyadu ona rostoątnego metoda IDFT yada najgorzej.
298 Zeszyty Problemoe Maszyny Eletryczne Nr 3/214 (13) 4.3. Analiza rądu silnia dla yrycia uszodzenia lati W uncie tym zarezentoana jest analiza sygnału naięcioego ochodzącego z rzetornia LEM tyu HY-5 mierzącego jeden z rądó fazoych silnia z uszodzoną latą. Pomiar yonyany był na zaresie 1 z rozdzielczością 16 bitó i częstotliością róboania 1S/s i trał rzez 18 s. Do analiz częstotliościoych yorzystyany był 5 s odcine czasoy, tóry był yznaczany co,1 s. Na rys. 9 rzedstaiony jest yres idma sygnału z ierszych 5 seund dla ona rostoątnego. Widać tutaj rozszerzenie się listó głónych i sade rzecieu idma, umożliiający miarę stabilne omiary arametró sygnału. Na rys. 11 i 12 rzedstaione są odoiednio yresy średniej artości częstotliości i amlitudy harmonicznej oślizgoej zależności od czasu ierszej róbi dla ona RCI rzędu 1. Rys. 11. Wyres średniej częstotliości harmonicznej oślizgoej zależności od czasu ierszej róbi dla ona RCI rzędu 1 Rys. 9. Wyres idma amlitudy sygnału omiaroego dla ona rostoątnego Widać yraźnie ąsi u szczytu liste harmonicznej odstaoej o częstotliości 5 Hz, tóry mocno rozszerza się u dołoi, co ziązane jest z rzecieiem idma. W rzyadu ona rostoątnego rzecie idma jest zbyt duży, rzez co uzysane dane omiaroe cechoały się dużą niestabilnością i nie zostały zarezentoane artyule. Przyade idma z onem RCI rzędu 1 odoiadającemu onu Hanninga rzedstaiony jest na rys. 1. Rys. 1. Wyres idma amlitudy sygnału omiaroego dla ona RCI rzędu 1 Rys. 12. Wyres średniej amlitudy harmonicznej oślizgoej zależności od czasu ierszej róbi dla ona RCI rzędu 1 Z ynió ynia, że rozdzielczość częstotliości lasycznej metody DFT ynosi 1/ (5s) =,2 Hz i jest ona znacznie niższa niż metody IDFT. Dodatoo rzyadu IDFT można zauażyć nieielie flutuacje artości częstotliości. W rzyadu amlitudy flutuacje artości ystęują rzyadu ynió dla obu metod, rzy czym dla IDFT są one znacząco niższe. Dodatoo metoda IDFT daje zasze nie mniejszą artość amlitudy niż metoda DFT, rzy czym różnica artości jest tym ięsza im ięsza jest różnica estymoanej częstotliości. Ponadto yres amlitudy dla metody IDFT jest bardziej gładi niż
Zeszyty Problemoe Maszyny Eletryczne Nr 3/214 (13) 299 rzyadu DFT, dla tórej rzyadu sooej zmiany częstotliości nastęuje sooa zmiana ąta nachylenia yresu (bra ciągłości drugiej ochodnej). Na rys. 13 rzedstaiony jest yres idma otrzymany dla ona RCI rzędu 3. różnica ta zrasta raz z zrostem estymoanej częstotliości. Ponadto można zauażyć, że zrost rzędu ona nie znieloał zuełnie sooej zmiany ąta nachylenia yresu DFT untach sooej zmiany częstotliości. Rys. 13. Wyres idma amlitudy sygnału omiaroego dla ona RCI rzędu 3 Z yresu ynia, że listi głóne są szersze niż orzednich rzyadach, oraz zaniają nietóre mniejsze zafaloania artości. Rysuni 14 i 15 zaierają odoiednio yresy średniej artości częstotliości i amlitudy harmonicznej oślizgoej zależności od czasu ierszej róbi dla ona RCI rzędu 3. Rys. 14. Wyres średniej częstotliości harmonicznej oślizgoej zależności od czasu ierszej róbi dla ona RCI rzędu 3 Na odstaie rys. 14 można stierdzić zani flutuacji ynió zaróno dla częstotliości ja i amlitudy, zaś otrzymane ynii są soreloane z yniami dla ona rzędu 1, rzy czym yraźniej są uidocznione szczegóły dynamii rzebiegó. Analogicznie ja rzyadu ona rzędu 1 metoda IDFT daje zasze nie mniejszą artość amlitudy niż metoda DFT, rzy czym ta ja orzednio Rys. 15. Wyres średniej amlitudy harmonicznej oślizgoej zależności od czasu ierszej róbi dla ona RCI rzędu 3 Na odstaie ynió można stierdzić, że metoda IDFT ozala estymoać artość 1 2s f z dużo harmonicznej oślizgoej ( ) ięszą rozdzielczością i mniejszym błędem niż lasyczna metoda DFT. Dodatoo zięszenie rzędu ona ozala na ograniczenie rzecieu idma, rzez co zmniejszają się flutuacje otrzymyanych danych a tym samym i błąd omiaru. 5. Podsumoanie Celem niniejszego artyułu było rzeroadzenie analiz orónaczych, celu uazania zalet stosoania metody interoloanego DFT diagnostyce silnia asynchronicznego. Poazano, ja rzy odoiednim yorzystaniu tej metody oraia się doładność estymacji arametró 1 2s f. Warto ją zastosoać, rąża ( ) rzyadu badania silnia słabo obciążonego, czyli sytuacji, iedy nie jest się stanie ontroloać oślizgu (sygnał raie oresoy). Wyorzystanie metody IDFT może sutecznie osłużyć diagnostyce maszyn eletrycznych. W artyule rzedstaiono ynii analiz dla sygnału ieloharmonicznego, z tórych ynia, że celu uzysania otymalnych rezultató, ona niższych rzędó należy użyać dla rótszego czasu omiaru i analogicznie ona yższych rzędó dla
3 Zeszyty Problemoe Maszyny Eletryczne Nr 3/214 (13) omiaró dłuższych (ięszej liczby róbe). Orócz ydłużenia czasu omiaru i doboru odoiednich oien czasoych, artość błędu omiaru ziązanego z ystęoaniem rzecieu idma, można jeszcze bardziej ograniczyć stosując metodę interoloanego DFT. Przeroadzony eseryment fizyczny otierdził ynii uzysane symulacyjnie. 6. Literatura [1]. Koalsi C.T., Kanior W.: Ocena suteczności analiz FFT, STFT i faloej yryaniu uszodzeń irnia silnia inducyjnego. Prace Nauoe Instytutu Maszyn, Naędó i Pomiaró Eletrycznych Politechnii Wrocłasiej, Nr 6, Wrocła 27 [2]. Ruse J.: Komuteroa analiza maszyny inducyjnej z yorzystaniem bilansu harmonicznych. Uczelniane Wydanicta Nauoo-Dydatyczne AGH, Kraó 2 [3]. Zając M.: Metody faloe monitoringu i diagnostyce uładó eletromechanicznych, seria: Inżynieria Eletryczna i Komuteroa, Monografia nr 371, Politechnia Kraosa, 29 [4]. Thomson W.T., Fenger M.: Current signature analysis to detect induction motor faults, IEEE Ind. Al. Mag., 7 (21), No. 4,. 26-34 [5]. Głoacz A., Głoacz Z.: Diagnostics of induction motor based on analysis of acoustic signals ith alication of FFT and classifier based on ords. Archives of Metallurgy and Materials, 21 vol. 55, issue. 3, s. 77 712 [6]. Weinreb K., Sułoicz M., Petryna J.: Komlesoa analiza uszodzeń irnia maszynach inducyjnych metodą rozdziału idma rądu stojana. Zeszyty Problemoe BOBRME Katoice, 2, Nr 61, str. 233-238 [7]. Weinreb K., Sułoicz M., Węgiel T.: Nieinazyjna diagnostya irnia maszyny asynchronicznej. Zeszyty Problemoe BOBRME Katoice, 24, Nr 69, str. 35-4 [8]. Weinreb K., Sułoicz M.: Suteczne yryanie escentryczności dynamicznej silniu asynchronicznym, Zeszyty Problemoe - Maszyny Eletryczne nr 83, 29, yd. BOBRME Komel, s. 27-212 [9]. Sobczy T.J., Weinreb K., Węgiel T., Sułoicz M., Warzecha A., Maciołe W.: Ocena suteczności diagnostyi irnió silnió latoych na odstaie idma rądó, Materiały 13. Konferencji Energetyi Energetya - modernizacja i rozój, Kliczó, 1-12.9.23, str. 167-176 [1]. Harris F. J.: On the use of indos for harmonic analysis ith the discrete Fourier transform, Proc. IEEE, vol. 66, Jan. 1978, s. 51-83 [11]. Zielińsi T. P.: Cyfroe rzetarzanie sygnałó, od teorii do zastosoań, WKŁ, Warszaa 25 [12]. Duda K.: Fourierosie metody estymacji idm rążoych, Wydanicta AGH, Kraó 211 [13]. Oenheim A.., Schafer R.W., Buc J.R.: Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice-Hall, 1999 [14]. Schouens J., Pintelon R., an hamme H.: The Interolated Fast Fourier Transform: A Comarative Study, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 41, no. 2, Aril 1992, s. 226-232. [15]. Jain. K., Collins W. L., Davis D.C.: High- Accuracy Analog Measurements via Interolated FFT, IEEE Trans. Instrum. Meas., ol. Im-28, no. 2, June 1979, s.113-122 [16]. Grande T.: Interolation Algorithms for Discrete Fourier Transforms of Weighted Signals, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol Im-32, no. 2, June 1983, s. 35-355 [17]. Andria G., Savino M., Trotta A.: Windos and interolation algorithms to imrove electrical measurement accuracy, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 38, 1989, s. 856-863 [18]. Offelli C., Petri D.: Interolation Techniques for Real-Time Multifrequency Waveform Analysis, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 39, no. 1, February 199, s. 16-111 Autorzy Dr inż. Przemysła Krzy Politechnia Kraosa, Wydział Inżynierii Eletrycznej i Komuteroej, Instytut Eletrotechnii Przemysłoej i Informatyi Technicznej, ul. Warszasa 24, 31-155 Kraó e-mail: rzy@.edu.l Dr inż. Maciej Sułoicz Politechnia Kraosa, Wydział Inżynierii Eletrycznej i Komuteroej, Instytut Eletromechanicznych Przemian Energii, ul. Warszasa 24, 31-155 Kraó e-mail: esuloi@cyf-r.edu.l Mgr inż. Natalia Pragłosa Ryło Politechnia Kraosa, Wydział Inżynierii Eletrycznej i Komuteroej, Instytut Eletrotechnii Przemysłoej i Informatyi Technicznej, ul. Warszasa 24, 31-155 Kraó e-mail: nraglosa-rylo@.edu.l