DIAGNOSTYKA USZKODZEŃ SILNIKA INDUKCYJNEGO W DYNAMICZNYCH STANACH PRACY Z WYKORZYSTANIEM SYGNAŁÓW W DOMENIE CZASU I CZĘSTOTLIWOŚCI

Transkrypt

1 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 4/4 (4) 7 Maciej Sułowicz, Mieczysław Zając Politechnika Krakowska DIAGNOSTYKA USZKODZEŃ SILNIKA INDUKCYJNEGO W DYNAMICZNYCH STANACH PRACY Z WYKORZYSTANIEM SYGNAŁÓW W DOMENIE CZASU I CZĘSTOTLIWOŚCI DIAGNOSTICS OF INDUCTION MOTOR IN DYNAMIC OPERATING CONDITIONS USING SIGNALS IN TIME-FREQUENCY DOMAIN Streszczenie: W pracy przedstawiono wyniki badań diagnostycznych silnika indukcyjnego przy wykorzystaniu sygnałów prądów fazowych w niestacjonarnych stanach pracy spowodowanych skokowymi zmianami momentu obciążenia. Zastosowano metodę analizy opartą na wykorzystaniu transformaty falkowej. Zbiory falkowych funkcji bazowych użytych w testach diagnostycznych zbudowano w oparciu o rzeczywiste przebiegi prądów fazowych. Pokazano wyniki badań przebiegów dynamicznych silnika z dwoma rodzajami uszkodzeń prętów klatki wirnika porównując je następnie z wynikami testów dla silnika nieuszkodzonego. Analiza przeprowadzona w dziedzinie czasu i częstotliwości potwierdziła, że zastosowana metodyka umożliwia identyfikację rodzaju uszkodzenia wirnika. Abstract: The paper presents the results of diagnostic tests using the phase current signals in non-stationary operating conditions of the induction motor due to step changes of the load torque. The method of signal analysis is based on the use of wavelet transform. The sets of wavelet basis functions used by the authors in diagnostic analysis were built on the basis of the real waveforms of phase currents. The paper presents the results of the wavelet decomposition of the phase current signal for the two types of the rotor faults, then compared them with the results obtained for the motor without faults. The analysis in the time-frequency domain confirmed that the applied methodology allows the identification of the type of the rotor fault. Słowa kluczowe: silnik indukcyjny, badania diagnostyczne, transformacja falkowa, uszkodzenia wirnika Keywords: induction motor, diagnostic investigations, wavelet transform, rotor faults. Wstęp Źródłem detekcji uszkodzeń obiektu dynamicznego jest często analiza sygnałów diagnostycznych []-[3]. Konwencjonalne metody takiej analizy mogą być skuteczne jedynie przy założeniu quasi-stacjonarności ich przebiegów dynamicznych [3]. W przypadku procesów niestacjonarnych charakteryzujących stany przejściowe skuteczność tej analizy może być podwyższona poprzez przeprowadzenie badań w domenie czasowo-częstotliwościowej. Można też sformułować pogląd, że wykrywanie uszkodzeń w analizie stanów dynamicznych jest często łatwiejsze w porównaniu z analizami przeprowadzanymi w okresach pracy ustalonej, ponieważ stany dynamiczne wyraźniej ujawniają występujące różnice wartości parametrów obiektu []. Narzędzie użyteczne w procesie analizy diagnostycznej powinno mieć wówczas jednocześnie dobrą rozdzielczość zarówno względem częstotliwości jak i czasu. Takim narzędziem jest m.in. analiza falkowa [4],[8],[]. Jakkolwiek prądy i napięcia są podstawowymi sygnałami elektrycznymi w badaniach diagnostycznych, to sygnały prądowe charakteryzują się mniejszą wrażliwością na różnego rodzaju zewnętrzne fluktuacje w porównaniu z sygnałami napięciowymi. Z tych względów w pracy przedstawiono wyniki identyfikacji uszkodzeń wirnika silnika indukcyjnego przy wykorzystaniu analizy sygnałów prądów fazowych stojana w domenie czasowo-częstotliwościowej.. Opis obiektu badań Obiektem badań był silnik indukcyjny SgM-4 o danych znamionowych P N =4, kw, U N =38 V, I N =8,6 A, n N =44 obr/min. Silnik połączono mechanicznie poprzez sprzęgła Rotex i miernik momentu DataFlex / z obcowzbudną maszyną prądu stałego PZM4 o danych P N = 4,kW, U N =3V, I N =9,6A, n N =4 obr/min, I W =,86A. Silnik indukcyjny zasilono bezpośrednio z sieci napięciem znamionowym. Do wyjścia maszyny prądu stałego, pracującej jako prądnica, dołączono zestaw grzałek rezystancyjnych o mocy

2 7 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 4/4 (4) 8 kw umożliwiających obciążenie badanego silnika w szerokim zakresie zmian momentu obciążenia. Szeroki zakres zmian momentu obciążenia był łatwy do zrealizowania dzięki regulacji napięcie wzbudzenia prądnicy DC. Dodatkowo w obwód wzbudzenia maszyny prądu stałego włączono mikroprocesorowy układ regulacji wzbudzenia []. Układ ten sterowany z komputera umożliwiał zadawania powtarzalnych zmian momentu obciążenia o dowolnie kształtowanej dynamice zmian. Identyczny przebieg zmian momentu obciążenia można było zadać przy testowaniu każdego uszkodzenia badanego silnika. W badaniach zastosowano przebieg zmian napięcia w obwodzie wzbudzenia przedstawiony na rysunku. Napięcie wzbudzenia [V] Czas [s] Rys.. Przebieg czasowy skokowej zmiany napięcia wzbudzenia Podczas dynamicznych zmian obciążenia dla badanego silnika istniała możliwość testowania różnych uszkodzeń wirnika [7]. Dla opracowania skutecznych algorytmów diagnostycznych przetestowano trzy przypadki: silnik zdrowy, silnik z uszkodzeniem jednego pręta klatki wirnika i silnik z uszkodzeniem dwóch prętów klatki wirnika. Uszkodzenie klatki w badanym silniku było realizowane poprzez zamontowanie wymiennych wirników z uszkodzeniem jednego lub dwóch prętów klatki. W obwody prądowe poszczególnych trzech faz zasilających badany silnik włączono przetworniki prądowe LEM HY. Sygnały z przetworników prądowych doprowadzono do zacisków karty pomiarowej NI USB 69 BNC. Do karty pomiarowej podłączono również sygnały proporcjonalne do momentu i prędkości obrotowej z miernika DataFlex oraz sygnały trzech napięć zasilających badanych silnik z przetworników napięciowych LV. Wszystkie osiem sygnałów rejestrowano przy pomocy oprogramowania przygotowanego w środowisku MATLAB [4]. Sygnały rejestrowano z częstotliwością próbkowania khz przez okres sekund. Wszystkie zarejestrowane dane zapisano w plikach tekstowych. Wykonano wielowariantowe rejestracje sygnałów przy różnych zmianach momentu obciążenia. Do analizy wybrano przedziały czasu związane ze zmianami momentu spowodowanymi zmianami napięcia w obwodzie wzbudzenia przedstawionymi na rysunku. Zarejestrowane dane dla wybranych przypadków uszkodzeń i silnika zdrowego poddano analizie z wykorzystaniem dyskretnej transformacji falkowej. 3. Analiza i rozpoznawanie sygnałów diagnostycznych Szczegółowej analizie poddano przebiegi czasowe prądów fazowych stojana, które stanowią przykłady procesów niestacjonarnych. Na rysunku b pokazano wykorzystane do analizy próbki zarejestrowanych sygnałów prądów fazowy stojana (faza A), odpowiadających trzem przypadkom: silnikowi z nieuszkodzonym wirnikiem (kolor niebieski), silnikowi z uszkodzonym jednym prętem wirnika (kolor zielony) i silnikowi z uszkodzonymi dwoma prętami (kolor czerwony). Na rysunku a pokazano w szerszym oknie czasowym próbkę sygnału prądu fazy A silnika z dwoma uszkodzonymi prętami klatki, wykorzystaną do generacji bazy falkowej stanowiącej podstawę analizy wielorozdzielczej wykorzystanej do celów diagnostycznych w jednym z testów. prąd fazy A [A] prąd fazy A [A] Próbka sygnału stanowiąca podstawę generacji bazy falkowej Analizowane sygnały w oknie czasowym odpowiadającym falce podstawowej na poziomie generacji Rys.. a - Próbka sygnału prądu fazy A (uszkodzone dwa pręty klatki), b - analizowane sygnały w oknie odpowiadającym nośnikowi falki podstawowej Pokazane przebiegi prądów fazowych ilustrują przypadki, kiedy nagłe i krótkotrwałe zmiany obciążenia wywołują szybkozmienne zjawiska elektromagnetyczne w maszynie, dla analizy których konwencjonalne metody prowadzą często do rozmycia się reprezentacji sygnałów w domenie częstotliwościowej. Falkowa analiza wielorozdzielcza nie ma tych ograniczeń ponieważ można dobierać zakres częstotliwości

3 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 4/4 (4) 73 środkowych falek analizujących w taki sposób aby był on zbliżony do częstotliwości własnych badanego układu elektromechanicznego. Można też projektować bazy falkowe w taki sposób, aby w tym zakresie uzyskać dostatecznie wąskie pasma zapewniające dobrą rozdzielczość względem częstotliwości []. Wynik generacji funkcji falkowych przeprowadzonej w oparciu o sygnał przedstawiony na rysunku a pokazano na rysunkach 3 i 4, gdzie przedstawiono kolejno falkowe funkcje bazowe na poziomach dekompozycji od do odpowiadających zakresowi -8 Hz oraz na poziomach od 6 do odpowiadających zakresowi częstotliwości środkowych 6 Hz, khz. Przeliczenia skali na częstotliwość dokonano uwzględniając wartość częstotliwości próbkowania. - Baza falkowa - pasma niskich i średnich częstotliwości od do 7, na których zobrazowano współczynniki falkowe oraz od 8 do, gdzie zobrazowano odpowiadające im detale falkowe. Wykorzystując wektor zawierający współczynniki aproksymacji poziomu o najniższej częstotliwości i współczynniki falkowe wszystkich poziomów dokonano syntezy aproksymacji, a także kontrolnej rekonstrukcji analizowanego sygnału Wspolczynniki falkowe sygnałów S-S4 - poziomy dekompozycji Rys.. Współczynniki falkowe na poziomach dekompozycji od do x -3 Wspolczynniki falkowe sygnałów S-S4 - poziomy dekompozycji Rys. 3. Wygenerowana baza funkcji falkowych na poziomach dekompozycji od do Baza falkowa - przeskalowane pasma wyższych częstotliwości x -3 x Rys. 6. Współczynniki falkowe na poziomach dekompozycji od do 8 x -4 Współczynnki falkowe sygnałów S-S3 na poziomach dekompozycji 9 i Rys.4 Przeskalowana baza funkcji falkowych na poziomach dekompozycji od 6 do Do analizy wybrano sygnały prądowe próbkowane z częstotliwością khz w przedziale czasowym -,89s. Pojedyncza analizowana próbka sygnału obejmowała przedział czasowy od do,s. Dyskretna analiza falkowa sprowadzała się do wyznaczenia transformat (współczynników falkowych) będących iloczynami skalarnymi sygnału prądu fazowego stojana i ciągu bazowych funkcji falkowych. W rezultacie wielostopniowej czasowoczęstotliwościowej dekompozycji sygnałów prądu uzyskano wyniki pokazane na rysunkach x Rys. 7. Współczynniki falkowe na poziomach dekompozycji 9 i Pokazane współczynniki falkowe stanowią w pewnym sensie wspólną reprezentację analizowanych prądów fazowych stojana i falek bazowych. Obrazują więc niewidoczne w domenie czasowej określone cechy tych prądowych sygnałów zbliżone do cech falek bazowych, przy czym możemy jednocześnie zmieniać poziom częstotliwości składników sygnałów i lokalizację chwili przeprowadzania testu diagno-

4 74 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 4/4 (4) stycznego na osi czasu. Jednak analiza ilościowa współczynników nie jest wygodna, dlatego częściej przeprowadza się analizę przedstawionych poniżej, związanych z nimi detali. - Detale falkowe na poziomach dekompozycji D-D w sposób bardziej przejrzysty na dokonywanie oceny czasowo-częstotliwościowego rozkładu energetycznego reprezentacji sygnałów oraz, co jest niemożliwe przy stosowaniu konwencjonalnych metod, na zaobserwowanie dynamicznych przepływów energii pomiędzy czasowoczęstotliwościowymi składnikami zdekomponowanego sygnału Rys. 8. Detale falkowe na poziomach dekompozycji od do 3 w przedziale czasowym -,s Rysunek 8 przedstawia przebiegi detali falkowych na poziomach dekompozycji D-D3 dla pełnego zakresu czasowego, [s], przy czym oś odciętych wyskalowano w numerach próbek. Detale na poziomach o wyższych częstotliwościach przeskalowano (rys.9, rys.) celem uzyskania lepszego wglądu w ich naturę. Na rysunku 9 prezentującym detale na poziomach dekompozycji D4-D6 oś czasu wydłużono dwukrotnie. Natomiast na rysunku przy prezentacji poziomów D7-D czterokrotnie.. Detale falkowe na poziomach dekompozycji D4-D x x x x Rys. 9. Detale falkowe na poziomach dekompozycji od 4 do 6 w przedziałach: -,4[s] (rys.9a, 9b, 9c) oraz,-, [s] (rys. 9d, 9e, 9f) Obliczone detale falkowe, obrazujące zmiany w czasie amplitud szczegółowej reprezentacji falkowej prądów fazowych stojana, pozwalają Rys.. Detale falkowe na poziomach dekompozycji od 7 do w przedziałach: -,[s] (rys.a, b, c),,3-,[s] (rys.d, e, f),,6-,36 [s] (rys. g, h, i) oraz,37-,48 [s] (rys. j, k, l) Te dynamiczne fluktuacje w stanach przejściowych, widoczne szczególnie na rysunkach 9 i

5 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 4/4 (4) 7, mogą stać się powodem błędu oceny przy stosowaniu metod, dla których okna czasowe nie zmieniają swojego położenia czy też swojej szerokości, w szczególności gdy są zbyt wąskie. Pojawienie się tych fluktuacji uzasadnia potrzebę przyjęcia energii detali falkowych w określonych przedziałach czasu w charakterze ilościowych wskaźników jakości używanych przy podejmowaniu decyzji diagnostycznych. W szczególności wskaźnikiem jakości może być też zawartość energetyczna całości szczegółowej reprezentacji falkowej, lub jej wybranej części, w energii całkowitej sygnału. Na rysunkach pokazano uzyskane udziały energetyczne szczegółowej reprezentacji falkowej w energii badanych sygnałów dla baz falkowych wygenerowanych w oparciu o sygnały silnika z uszkodzeniami wirnika, a na rysunku 3 w oparciu o sygnał silnika nieuszkodzonego. Jak można zauważyć, zastosowanie bazy falkowej skonstruowanej w oparciu o sygnał prądu fazowego stojana maszyny uszkodzonej w stanie przejściowym skutkuje w przyjętym horyzoncie czasu zauważalnym zwiększeniem energii współczynników falkowych (i odpowiadających im detali) tylko w przypadku gdy badany sygnał pochodzi z maszyny, która wykazuje ten sam charakter uszkodzenia. Podobny efekt nie występuje, kiedy badany jest sygnał maszyny nieuszkodzonej, czy też maszyny z uszkodzeniem innego rodzaju. Na rysunkach a, a i 3a pokazano energię całkowitą trzech sygnałów prądów fazy A silników: nieuszkodzonego, z uszkodzeniem jednego pręta klatki i z uszkodzeniem dwu prętów. Na rysunkach b, b, 3b pokazano energię pełnej falkowej reprezentacji szczegółowej tych samych sygnałów (wszystkich ich detali), a na rysunkach c, c, i 3c pokazano udziały energii falkowej reprezentacji szczegółowej w energii całkowitej sygnałów. Prezentacje dotyczą trzech przypadków: - rysunek pokazuje przypadek, kiedy baza funkcji falkowych została skonstruowana w oparciu o sygnał prądu fazowego silnika z dwoma uszkodzonymi prętami, - rysunek odpowiada sytuacji, kiedy baza funkcji falkowych została skonstruowana w oparciu o sygnał silnika z jednym uszkodzonym prętem, - rysunek 3 odpowiada sytuacji, kiedy baza funkcji falkowej została skonstruowana w oparciu o sygnał silnika z wirnikiem nieuszkodzonym. Wyniki wskazują, że zawartość energetyczna pełnej falkowej reprezentacji szczegółowej testowanych sygnałów prądów fazowych jest wyraźnie zależna od uprzednio skonstruowanej i wybranej do zastosowania w teście bazy funkcji falkowych. Dotyczy to także silnika z wirnikiem nieuszkodzonym. Wykonanie testów takiego silnika przy użyciu bazy falkowej odpowiadającej silnikowi zdrowemu przynosi potwierdzenie braku uszkodzeń prętów wirnika. e n e rg ia s y g n a łu p rą d u f a z y A [ A * s ] Zawartość energii detali i energii sygnału w oknie analizy e n e rg ia d e t a li f a lk o w y c h p rą d u f a z y A [ A * s ] zawartość energii detali falkowych w energii sygnału Rys.. Zawartości energii detali prądu fazy A w energii tego sygnału w przypadku bazy utworzonej sygnału silnika z dwoma uszkodzonymi prętami klatki energia sygnału prądu fazy A [A *s] Zawartość energii detali i energii sygnału w oknie analizy.8.4 energia detali falkow ych prądu fazy A [A *s] zawartość energii detali falkowych w energii sygnału Rys.. Zawartości energii detali prądu fazy A w energii tego sygnału dla bazy utworzonej z sygnału silnika z jednym uszkodzonym prętem energia sygnału prądu fazy A [A *s] Zawartość energii detali i energii sygnału w oknie analizy.4 energia detali falkowych prądu fazy A [A *s] zawartość energii detali falkowych w energii sygnału Rys. 3. Zawartości energii detali prądu fazy A w energii tego sygnału w przypadku bazy utworzonej z sygnału silnika nieuszkodzonego

6 76 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 4/4 (4). Podsumowanie Zastosowanie rodzin falkowych funkcji ortonormalnych do analizy i rozpoznawania uszkodzeń silnika indukcyjnego pozwala określić jego stan, w rozpatrywanym przypadku stan klatki wirnika, na podstawie wyników dekompozycji czasowo-częstotliwościowej sygnału prądu fazowego stojana. Jakkolwiek pełna informacja o oryginalnym sygnale prądu fazowego jest zachowana zarówno w zbiorze współczynników rozwinięcia i w aproksymacji najmniej szczegółowego poziomu rozdzielczości, to jednak w procesie wykrywania uszkodzeń istotna jest głównie informacja zawarta w zbiorze współczynników. Dobrym i użytecznym miernikiem służącym do wypracowania decyzji diagnostycznych może być monitorowanie energii współczynników falkowych sygnałów prądów fazowych w stanie nieustalonym spowodowanym skokową zmianą obciążenia. Poziom dekompozycji współczynników reprezentacji falkowej powinien jednak odpowiadać poziomowi, na którym efekty uszkodzenia w reprezentacji czasowo-częstotliwościowej testowanego sygnału są najbardziej widoczne. W analizach należy uwzględniać fakt, że nieodpowiedni dobór poziomów dekompozycji oraz falkowych filtrów detekcyjnych, w szczególności nie zapewnienie należytej gładkości falkowych funkcji bazowych czy też ich ortonormalności, może być przyczyną nieliniowych zniekształceń uzyskanych falkowych reprezentacji analizowanych sygnałów. Metoda może znaleźć zastosowanie praktyczne w monitorowaniu napędów o zmiennym charakterze obciążenia pracującym w trybie ciągłym bez częstych rozruchów. Zamiast powszechnie stosowanej analizy prądu rozruchowego można by wykorzystać w algorytmie diagnostycznym pewien często powtarzający się wzorzec zmian obciążenia. W połączeniu z ciągłą rejestracją przebiegów prądów i innych sygnałów diagnostycznych można wtedy znacznie częściej, niż tylko podczas rozruchów maszyn, oceniać stan klatki wirnika badanej maszyny podczas stanów dynamicznych. W artykule pokazano skuteczność metody na testowym sygnale zakłócenia zmieniającym się skokowo. W algorytmach diagnostycznych mogą również być wykorzystane inne wzorce zmian obciążenia np. linowa narastanie lub zmniejszanie obciążenia monitorowanej maszyny. Bardzo ważna dla proponowanej metody jest powtarzalność zmian obciążenia warunkująca wysoką skuteczność rozpoznawania uszkodzeń przy zastosowaniu analiz czasowoczęstotliwościowych. 6. Literatura []. Glinka T.: Badania diagnostyczne maszyn elektrycznych w przemyśle. Wyd. BOBRME Komel Katowice 998 []. Kowalski Cz.T.: Monitorowanie i diagnostyka uszkodzeń silników indukcyjnych z wykorzystaniem sieci neuronowych. Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej nr 7, Seria: Monografie nr 8, Wrocław [3]. Sobczyk T.J.: Frequency analysis of faulty machines possibilities and limitation. Proceedings of SDEMPED, 7, Cracow, , pp. - [4]. Cusido J., Romeral L., Ortega J.A., Rosero J.A., Garcia Espinosa A., Fault Detection in Induction Machines Using Power Spectral Density in Wavelet Decomposition, Industrial Electronics, IEEE Transactions on, vol., no., pp , Feb. 8 []. Zając M.: Metody falkowe w monitoringu i diagnostyce układów elektromechanicznych, seria: Inżynieria Elektryczna i Komputerowa, Monografia nr 37, Politechnika Krakowska, 9 [6]. Sułowicz M., Borkowski D., Węgiel T., Weinreb K.: Specialized diagnostic system for induction motors. Przegląd Elektrotechniczny, 86 (4): pp. 89 [7]. Antonino-Daviu J., Aviyente S., Strangas E., Riera-Guasp M., A scale invariant algorithm for the automatic diagnosis of rotor bar failures in induction motors, Industrial Electronics (ISIE), IEEE International Symposium on, vol., no., pp.496, 7-3 June [8]. Zając M.: Metody falkowe w badaniu uszkodzeń układu przeniesienia napędu, Czasopismo Techniczne, Automatyka, -AC/, zeszyt, rok 9,, s. 39 [9]. Zając M.: Monitorowanie układu elektromechanicznego metodą analizy czasowo-częstotliwościowej, Czasopismo Techniczne, Automatyka, -AC/, zeszyt, rok 9,, s []. Dziechciarz A., Sułowicz M.: Zastosowanie analizy falkowej do diagnozowania uszkodzeń w silniku indukcyjnym podczas pracy przy zmiennym obciążeniu, Czasopismo Techniczne, Elektrotechnika, -E/, zeszyt 4, rok 9,, s []. Łępa P.: Monitorowanie i sterowanie pracą silnika indukcyjnego w dynamicznych stanach pracy. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, 3

7 Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 4/4 (4) 77 []. Sułowicz M., Petryna J., Weinreb K., Guziec K.: Porównawcze pomiary defektów klatek rozruchowych silników indukcyjnych pod kątem wykorzystania w diagnostyce. Zeszyty Problemowe - Maszyny Elektryczne nr 99, 3, wyd. BOBRME Komel, s [3]. Wolkiewicz M., Kowalski C.T.: Zastosowanie dyskretnej analizy falkowej do wykrywania zwarć zwojowych w silniku indukcyjnym. Zeszyty Problemowe - Maszyny Elektryczne nr, 3, wyd. BOBRME Komel, s [4]. MathWorks: MATLAB and Simulink for Technical Computing, 4, []. Głowacz A., Głowacz Z.: Diagnostics of induction motor based on analysis of acoustic signals with application of FFT and classifier based on words. Archives of Metallurgy and Materials, vol. issue. 3 s Autorzy Dr inż. Maciej Sułowicz Politechnika Krakowska, Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej, Instytut Elektromechanicznych Przemian Energii, Katedra Maszyn Elektrycznych, ul. Warszawska 4, 3 Kraków, pesulowi@cyf-kr.edu.pl Dr hab. inż. Mieczysław Zając Politechnika Krakowska, Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej, Katedra Automatyki i Technik Informacyjnych, ul. Warszawska 4, 3 Kraków, mzaj@pk.edu.pl