Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ Ö

Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Ð Ò Û ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Óº Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Ó Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò º ÛÝ Ù º º ÈÐ Ò ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò Ø ÐÒÓ Þ Ò Û Ñ Ù ÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð µ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÛÝ ÞÙ Ð Ñ ÒØ Ò ÑÒ ÞÝ Û Ö Ð Ñ ÒØ Û A[i], A[i + 1],..., A [n 1] Ò ØÓ Ð Ñ ÒØ A[min] Þ ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Ò º Û ÓÛÝ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Û ÔÖÞÝÔ Ù ÈÝØ Ò º Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò µº Æ A Þ Ø Ð n Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Þ Ò n 0º ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ ÙÔÓÖÞ Ù Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý > Û ÓÐ ÒÓ ÖÓ Ò º A Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò º Æ i = 0 Á n 1¹ ÖÓØÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ØÔÙ Þ Ò Þ Ñ Ð Ñ ÒØ A[min] Þ Ð Ñ ÒØ Ñ A[i] ÞÛ Þ i Ó Òº A = [10, 7,6,4,2,11, 16,8, 3,1,9]. ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò µ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÓÔ A[i] < A [i 1] Þ Ñ A[i] Þ A[i 1] ÞÛ Þ i Ó Òº ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Ò º Û ÓÛÝ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÈÝØ Ò º Ö Ò Ñ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÈÝØ Ò º Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò º Æ i = 1 Á n 1¹ ÖÓØÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ØÔÙ Þ Ò A = [10, 7,6,4,2,11, 16,8, 3,1,9]. ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Â Ø Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Ð ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò ÖÓ Ò Ó ÈÝØ Ò º ÖÓÞÑ ÖÙ 100 Ø Ð Ý Â Ø Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò ÖÓ Ò Ó Ø Ð Ý ÈÝØ Ò º 100 ÖÓÞÑ ÖÙ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Ð Þ ÓÔ Ö ÈÝØ Ò º ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ ÞÝÒÒÓ ÔÖÞ Ø Û Ò Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý A ÓÑ ÒÙ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð Þ ÓÔ Ö ÈÝØ Ò º ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ ÞÝÒÒÓ ÔÖÞ Ø Û Ò Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý A ÓÑ ÒÙ ÖÓÞÑ Ö Ñ Ø Ð Ý A ÞÝ ÑÓ Ý Ø ÞÑ Ò Ø Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÞ Ð Ñ Ø ÓÔ Ö ÔÖÞ Ø Û Ò Ð Ñ ÒØ Û Ð Þ Ý ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Â ÞÑÓ Ý ÓÛ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Ø Ý Þ Ó ÓÒÓ ÈÝØ Ò º Ñ ÖÞÓÒ Ð Þ ÓÔ Ö ÔÓÖ ÛÒ Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý Aµ Ý ÖÞ Ù nlg n Þ n ÖÓÞÛ Þ Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Óµ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Ò º Û ÓÛÝ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Óº ÈÓÛØ ÖÞ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ò ØÔÙ Ý Ñ Ø Þ Ò Á ÛÝ ÖÞ ÓÛÓÐÒÝ Ð Ñ ÒØ ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý A ØÞÛº Ñ Ò Ò Þ ØÓ A[m] ÖÓÞ Þ Ð Ð Ñ ÒØÝ ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý Ò Ð Ñ ÒØÝ ÑÒ Þ Ó A[m] ØÞÛº Þ Ñ Ó Þ Ø Ð Ý ÓÖ Þ Ð Ñ ÒØÝ Û Þ Ó A[m] ØÞÛº Þ Ø Ö Þ Ø Ð Ý ÙÑ Ð Ñ ÒØ A[m] Û Ø Ð Ý A Ø Ý ÔÓÔÖ ÛÒ ÖÓÞ Þ Ð Þ Ñ Ó Þ Ó Ø Ö Þ ÔÓ ÓÖØÙ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ñ Ó Þ Þ Ø Ð Ý ÔÓ ÓÖØÙ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ø Ö Þ Þ Ø Ð Ýº A = [10, 7,6,4,2,11, 16,8, 3,1,9]. ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½¼ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó ÚÓ ÉÙ ËÓÖØ ÒØ Ò ÒØ Ð ÒØ Öµ ß»» ÛÔ n > 0 ÒØ Ñ Ñ ÊÓÞ Þ Ð Ð Öµ ÉÙ ËÓÖØ Ð Ñ¹½µ ÉÙ ËÓÖØ Ñ ½ Öµ Ð Þ ÊÓÞ Þ Ð ØÓ ÒÔº ÔÖÓ ÙÖ ËÔÐ Ø Ð Ó È ÖØ Ø ÓÒº ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½½ È Û Ê Ñ Ð

Ô ÝÑ ØÝÞÒݺ Ð Ñ ÒØÝ n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ø Ð Ý A ÔÓ ÓÖØÓÛ Ò ÖÓ Ò Ó Ð Ó ÈÖÞÝÔ ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÓ Ø Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÛ Ò Þ Ó Ò Þ Ñ ØÓ ËÔÐ Ø Ð Ó Ñ Ð Ó ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó È ÖØ Ø ÓÒ ÛØ Ý W (n) = 0 Ð n = 1 n 1 + W (n Ð 1) n > 1, W (n,1) = n 1 + W (n 1) = n 1 + n 2 + W (n 2) =... = = n(n 1)... = n 1 + n 2 +... + 0 = = Θ ( n 2). 2 ÞÝÐ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½¾ È Û Ê Ñ Ð

Ö Ò º ÊÓÞ Ð Ñ ÒØ Û n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ø Ð Ý A Ø ÒÓÖÓ ÒÝ Ñ Ò Ø ÈÖÞÝÔ k¹øýñ Ó Ó Û Ð Ó ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÓ Ø Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÛ Ò Þ Ó Ò Þ Ð Ñ ÒØ Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó Ñ ØÓ ËÔÐ Ø Ð Ó È ÖØ Ø ÓÒ ÛØ Ý A(n) = Ð 0 n = 1 n n 1 + 1 (A(n k) + Ð A(k)) n > 1, n m=1 A(n) = O (n lg n). ÞÝÐ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÖÞ Û Ñ ÝÞÝ ÒÝÑ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÔÓÖ ÛÒ Ò Ò ÞÝÛ ÑÝ ÐÓ ÐÒ Ò º ÖÞ ÛÓ Ò ÖÒ Ø º Ý Û ÖÞ Ó Û ÛÒØÖÞÒÝ ÖÞ Û Ñ Ó Ò Û Û ÖÞ Ó Ô Ò Þ Ö Ð Ñ ÞÝ Ð Ñ ÒØ Ñ Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ò ÔÓ Ø Û ØÝ Ø Û ÖÞ Ó Û ÛÝÒ ÓÖÞ ÖÞ Û Ð ÖÞ Û º Û ÛÒØÖÞÒÝ ÓÛÓÐÒ ÖÞ ÛÓ ÝÞÝ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÔÓÖ ÛÒ Ò n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ó ÏÒ Ó º Û ÓÛ Ó Þ Û Ö Ó Ò ÑÒ n! Ð º Ù ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò Û Ø ÖÝÑ Ò ØÔÒ Þ µ ØÝ Ø Ñ Û ÖÞ Ó Û Û ÛÒØÖÞÒÝ Þ Ò ÓÔ Ù Ö Ð Ñ ÞÝ ÓÖØÓÛ ÒÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ ØÝ Ø Ñ Û ÖÞ Ó Û Þ ÛÒØÖÞÒÝ Ð µ Ô ÖÑÙØ ÓÖØÓÛ ÒÝ Ð Ñ ÒØ Û ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÖÞ ÛÓ ÝÞÝ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð Û ÓÛ Ó Ù ÈÖÞÝ º ÔÓ Ø e 1 e 2 e Ð Ñ ÒØ Û 3 º ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÖÞ ÛÓ ÝÞÝ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò Ð Û ÓÛ Ó Ù ÈÖÞÝ º ÔÓ Ø e 1 e 2 e Ð Ñ ÒØ Û 3 º ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÛÝ Ó Ó k + 1º Ï ØÝÑ ÐÙ ÛÝ Ö ÑÝ y Ð Þ ÖÞ Û ÛÝ Ó Ó k Ò k¹øýñ ÔÓÞ ÓÑ Ó ÞÒ Ù Ó Ò ÛÝ 2 k Ð µ Ó ÑÝ Ó Ò Ó Ò ÛÝ 2y Û ÖÞ Ó Û ÖÞ Û Þ Ð Ñ ØÙ ½µº à ÖÞ ÛÓ ÝÞÝ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÏÒ Ó Ù Û ÓÛ Ó Ñ ÛÝ Ó Ó Ö ÛÒ Ó Ò ÑÒ lg n! = nlg n º n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ó ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò Ä Ñ Ø ½º Æ x h Þ Ð Þ Ð Û ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ ÛÝ Ó Ó hº ÏØ Ý x h 2 h ÞÝÐ h lg x h º ÁÒ Ù ÛÞ Ð Ñ h ÓÛ º Þ Ò Ù Ð h = Þ Ó Þ 0 1 2 ÞÝÐ 1 1 0 Þ Ó Ò Ò Ù Ý Ò Ð h = k Þ Ó Þ x k 2 k Ø Þ Ò Ù Ý Ò Ð h = k + 1 Þ Ó Þ x k+1 2 k+1 ÓÛ Ø ÞÝ Þ Þ Ó Ò Ò Ù Ý Ò Ó x k 2 k ÔÓÛ Þ ÑÝ ÖÞ ÛÓ Ò ÖÒ ÛÝ Ó Ó k Ò ØÔÒ ÞÝ º Ø Ñ x k+1 2y + 2 k y = y + 2 k 2 k + 2 k = 2 k+1. Ç Ø Ø ÞÒ x h 2 h ÞÝÐ h lg x h º ÌÛ Ö Þ Ò Þ Ð Ñ ØÙ ½µº Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÙ Ó ÔÖÞ Þ ÔÓÖ ÛÒ Ò n Ð Ñ ÒØÓÛÝ Û ÓÛÝ Þ Ó Þ W (n) = Ω(nlg n)º ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ï Ö ÖÞ Û ÐÓ ÐÒ Ô ÒÝ T ÓÛ º x Þ x Ð ÙÑ Ù Ó Û ÞÝ Ø Ý ÓÖÞ ¹Ð Û ÖÞ Û T x Ñ Ò Ñ ÐÒ ÛØ Ý Ý Û ÞÝ Ø Ð ÖÞ Û T Ø x ÞÒ Ù ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ¾º T Ä Ñ Ø Æ x Ò ÖÒÝÑ ÐÓ ÐÒ Ô ÒÝÑ Ó x Ð T Þ ÖÞ Û Ñ x Þ ÓÖ Ñ Ò ÖÒÝ ÐÓ ÐÒ Ô ÒÝ Ó x Ð (T Û ÞÝ Ø ÖÞ Û x Ù Ó Û ÞÝ Ø ÙÑ ) ÓÖÞ ¹Ð ÖÞ Û T x ÛØ Ý Û { } min (Tx ) : T x T x x lg x x. Ò Ó Ò ÛÝ Û Ó Ø ØÒ ÔÓÞ ÓÑ ÒÔº ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾¼ È Û Ê Ñ Ð

ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò º ºµ ÁÒØ Ö Ù Ò Û ÔÖÞÝÔ ÓÛ º Ý Ð ÞÒ Ù ÝÒ Ò Ó Ø ØÒ Ñ ÔÓÞ ÓÑ ÛØ Ý ÖÞ ÛÓ T x ÖÞ Û Ñ Ø Ó ÓÒ ÝÑ Ø (T x ) = x lg x x lg x x Ý Ð ÞÒ Ù Ò Û Ó Ø ØÒ Ñ ÔÓÞ ÓÑ ÛØ Ý Ð ÖÞ Û ÛÝ Ó Ó h Ò h 1 ÞÒ Ù p = 2 h 1 q Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ h ÞÒ Ù ÔÓÞ ÓÑ 2 ( 2 h 1 p ) = Ð 2q ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾½ È Û Ê Ñ Ð

ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò º ºµ Ø Ñ ÓÛ º (Tx ) = p(h 1) + 2qh = ph + 2qh p = h (p + 2q) p = hx p Ò Ð Ñ ØÙ ½ Ø º µ ÔÓ Ø Û h lg x h (Tx ) = hx p x lg x p. Ð ÓÛÓÐÒ Ó ÖÞ Û Ò ÖÒ Ó ÐÓ ÐÒ Ô Ò Ó Þ Ó Þ p x ØÓ ÈÓÒ Û (Tx ) x lg x x. ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾¾ È Û Ê Ñ Ð

Æ ÔÓ Ø Û Ð Ñ ØÙ ¾ ÙÑ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ñ Ò Ñ ÐÒÝÑ Û ÓÛÓÐÒÝÑ ÐÓ ÐÒ ÓÛ º ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ ÛÝÒÓ Ó Ò ÑÒ x lg x x = x( lg x 1) Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÒÝÑ Þ Ð Ñ ØÙ µº à ÖÞ ÛÓ ÝÞÝ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÏÒ Ó Ù Û ÓÛ Ó Ñ Ö Ò ÛÝ Ó Ó Ö ÛÒ Ó Ò ÑÒ n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ó Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÏÒ Ó º ÔÓÖ ÛÒ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÞ Û ÒÝѺ ÔÖÞ Þ ÖÞ Û ÝÞÝ Ò ÓÐÒ Ó Ö Ò Þ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÖØÓÛ Ò Ä Ñ Ø º áö Ò Ù Ó Û ÐÓ ÐÒ Ô ÒÝÑ ÖÞ Û Ò ÖÒÝÑ Ó x Ð Ø Ò ÑÒ Þ Ò lg x 1º Ö Ò Ñ 1 x (x ( lg x 1)) = lg x 1º lg n! 1 = nlg n 1º ÌÛ Ö Þ Ò Þ Ð Ñ ØÙ µº Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÙ Ó ÔÖÞ Þ ÔÓÖ ÛÒ Ò n¹ Ð Ñ ÒØÓÛÝ Û ÓÛÝ Þ Ó Þ A(n) = Ω(nlg n)º ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ËÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò º Æ m Þ ÖÓÞÑ Ö Ñ ØÙ ÐÒ Ò Ð ÞÓÛ Ò Ó Á Ø Ð Ý Ö Ñ ÒØÙ ÔÖÞ ÖÛ Ñ Ø ÔÓ Þ Ù Ð Ö ÙÖ ÒÝ Ò Û ÞÝ Ø ÔÓ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓ ÓÛÝ ÔÓ Ø Ð Ø Ý ÔÓ ÝÑ ÖÓ Ù ØÙ ÐÒ Ò Ð ÞÓÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ Ø Ð Ý Ø ÒÓÛ ÔÓ ÓÖØÓÛ ÒÝ Ð Ñ ÒØ Ûº Ð Ò ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÞÝ Ó Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Ò º Û ÓÛÝ ËÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò Ó Ò º A Ø Ø Ð n Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Þ n = 2 k k N + º Ð m > 1 ÖÓÞ Þ Ð Û ÔÓ ÓÛ ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ Ø Ð Ý Ò Û ÔÓ Ø Ð ÔÓÛØ ÖÞ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ñ Ø ÔÓ Þ Ù Ð Ó Ù ÔÓ Ø Ð Ó Þ ÐÒ Ð m = 1 ØÓ A = [7,5,3,2, 12,17,8, 4,11,15, 16,19,20, 1,0,13]. ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ËÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò ÚÓ Ë Ð Ò ÒØ Ð ÒØ Ö ÒØ Ñµ ß»» ÙÒ Ó ÓÒÙ Ð Ò ÔÓ ÓÖØÓÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý ººº A [l], A [l + 1],..., A ÓÖ Þ [m] A [m + 1], A [m + 2],..., A [r] Ò ÔÓ ÓÖØÓÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ A [l], A [l + 1],..., A [r] Û Ð ÚÓ Å Ö ËÓÖØ ÒØ Ò ÒØ Ð ÒØ Öµ ß»» ÛÔ n = 2 k k N + º ÒØ Ñ Ð Öµ Ú ¾ Ö Ðµ ß Å Ö ËÓÖØ Ð Ñµ Å Ö ËÓÖØ Ñ ½ Öµ Ë Ð Ð Ñ Öµ Ð Ð ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

A[l], A[l + 1],..., A [m] ÓÖ Þ A[m + 1], A[m + 2],..., A [r] Ò ÔÙ ØÝÑ Ó Ò º ÖÓ Ò Ó ÔÓ Ø Ð Ñ Ø Ð Ý A Ù Ó Ó ÔÓÛ Ò Ó n ÔÓ ÓÖØÓÛ ÒÝÑ 1 n 2 Þ ÓÖ Þ ËÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò Ð Ò Û ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ n 1 + n 2 = nº Ð ÙÔÖÓ ÞÞ Ò ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ n 1 n 2 º Ð ÓÖÝØÑÙ Å Ö Û Ö ÒØ Þ Ô Ñ Ó Ø ÓÛ ÖÓÞÑ ÖÙ Θ(min(n Á 1, n 2 ))º ÙØÛ ÖÞ Ø Ð ÔÓÑÓÒ Þ ÖÓÞÑ ÖÙ Tmp n 1 ÔÖÞ Ô Þ Þ Û ÖØÓ ÔÓ Ø Ð Ý A[l], A[l + 1],..., A [m] Ó Ø Ð Ý Tmp Ò i = l w 1 = 0 ÓÖ Þ w 2 = m + 1 Ð w 1 < n 1 w 2 r ØÓ Ð < Tmp [w 1 ] < A [w 2 ØÓ A[i] = Tmp [w ] 1 ÞÛ Þ w ] 1 i ÓÖ Þ ½ Û ÔºÔº A[i] = A[w Ó 2 ÞÛ Þ w ] 2 i Ó ½ ÓÖ Þ w 1 < n 1 w 2 r ØÓ = A[i] = Tmp [w 1 ÞÛ Þ w ] 1 i Ó ½ ÓÖ Þ w 1 = n 1 w 2 r ØÓ < A[i] = A[w 2 ÞÛ Þ w ] 2 i Ó ½º ÓÖ Þ ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Å Ö Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [1,3,5,7, 2,4,6,8], l = 0, r = 7, m = 3. ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Å Ö ÛÞ Ð Ñ Ð Þ Ý ÔÓÖ ÛÒ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÔÖÞ Þ Û ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ ËÓÖØÓÛ Ò Ð Ò Ð Ò ( ) Û Ö ÒØ Þ Ô Ñ Ó Ø ÓÛ ÖÓÞÑ ÖÙ Θ Á Ð ÓÖÝØÑÙ Å Ö min(n1, n 2 ) º Þ ÓÛ ÑÝ ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ø Ð Þ ÔÓÖ ÛÒ ÛØ Ý Ó ÓÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò º T (n) = min (n1, n 2 ) O (lg (max (n 1, n 2 ))) + Θ(n) = Θ(n). ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Å Ö ËÓÖغ Æ T (n) Þ Ð Þ Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÓÔ Ö Ó ÓÒÓ Ð Ñ ÒØ Û ÓÖØÓÛ Ò Ø Ð Ý ÛÝ ÓÒÙ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò Ð ÔÓÖ ÛÒ Ò µº Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ð Ò ÓÔ ÖØ Ó Ò Ò Ç Þ Ù Ñ ØÙ Ñ ØÓ Ý Ð Ò Þ Ô Ñ Ó Ø ÓÛ ÖÓÞÑ ÖÙ O ( ) Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝÑ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù n º ËÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÒÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n ÛØ Ý T (n) = Ð 0 n = 1 2T ( ) n 2 + Θ(n) Ð n > 1. Æ ÔÓ Ø Û ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö ÙÖ Ò ÙÒ Û Ö ÐÒ T (n) = Θ(nlg n)º ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ËÓÖØÓÛ Ò Ø ÐÒÓ Þ Ò Û Ñ Ù ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò Ò ÞÝÛ ÑÝ Ø ÐÒÝÑ ÛØØÛ Ý Û ÞÝ Ø ÔÓÛØ ÖÞ Ò º Û Ù ÛÝ ÓÛÝÑ ÛÝ ØÔÙ Û Ò ÞÑ Ò ÓÒ ÓÐ ÒÓ Û Ó Ò Ò Ù Ó Ù Ð Ñ ÒØÝ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò Þ Û Ñ Ù ÛØØÛ Ý Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò º Ø º Ø ËÓÖØÓÛ Ò Ø ÐÒÓ Þ Ò Û Ñ Ù Û ÓÛ Óº ÈÝØ Ò º ÃØ ÖÝ Þ ÓÑ Û ÒÝ Ó Ø ÔÓÖÝ Ð ÓÖÝØÑ Û ÓÖØÙ Ý Ø Ø ÐÒÝ ÈÝØ Ò º ÃØ ÖÝ Þ ÓÑ Û ÒÝ Ó Ø ÔÓÖÝ Ð ÓÖÝØÑ Û ÓÖØÙ Ý Þ Û Ñ Ù ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Óµ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Æ A Þ Ø Ð n Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Þ ÔÖÞ Þ Ù [0,1) ÛÝ Ò ÖÓÛ ÒÝ Þ Ó Ò º ÒÓ Ø ÒÝѺ ÖÓÞ Ñ ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Ó Ð ÓÛÓÐÒÝ 10¹ Ù Ð Þ Ò º Þ ÔÖÞ Þ Ù [0,1)º ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Óº Á ÙØÛ ÖÞ Ù Û n b 0, b 1,..., b n 1 ÖÓÞÑ Ù Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý Ø Ó Ù A b Û i ØÖ Ð Ñ ÒØÝ A[j] i 1 1 A[j] < (i + 1) n n Ø ÔÓ ÓÖØÙ Ý Ù Ó Þ ÐÒ Ñ ØÓ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø Û Ò ÔÓ Þ ÓÐ ÒÓ Û ÞÝ Ø Ù Û ÛÝÒ ÓÛݺ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù ÈÝØ Ò º Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Ó ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Ó ÚÓ Ù ØËÓÖØ Ö Ð ÒØ Òµ ß»» ÛÔ 0 i < n : A [i] [0,1) ÒØ Ù Ø Ò»» ÙØÛÓÖÞ Ò Ò Ð Þ Ù Û ¼ Ò µ ÓÖ [i] µ»» Û Ø Û Ò Ð Þ Ý Ó Ù Ï Ø Û na ÓÖ ¼ Ò µ ÁÒ ÖØ ÓÒËÓÖØ µ»» ÓÖØÓÛ Ò Ù ÈÓ Þ Ù µ Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò Ù ÓÛ Ó ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Óµ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Æ A Þ Ø Ð n Ó Ø Û o Ó Ò º 1, o 2,..., o Þ Ø ÖÝ Ý Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ø n 1 d Ð Ñ ÒØ Û e Þ oi,0, e oi,1,..., e oi Þ 0 < i < n 1 Ø Ö ØÓ Ð Ñ ÒØÝ Ò Ð Ó,d 1 Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Óº ÍØÛ ÖÞ k Ù Û Ð Ó Ð Ñ ÒØÙ ÙÒ Û Ö ÙÑ Á Ù º Æ r = d 1 d¹ ÖÓØÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ØÔÙ Ý Ñ Ø Þ Ò Ó Þ ÐÒÝ ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Ó Ð ÓÛÓÐÒÝ 10¹ Ù Ò º Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º 3¹Ý ÖÓÛÝ ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Ó Ô ÛÒ Ó ÙÒ Û Ö ÙÑ ÖÓÞÑ ÖÙ k ÒÔº Ð Þ Ý Ý ÖÝ ÓÛ Ð Ø ÖÝ Ø º ÖÓÞÖÞÙ Ó ØÝ o 1, o 2,..., o n 1 Ó Ù Û ÛÞ Ð Ñ r¹ø Ó Ð Ñ ÒØÙ e oi,r Þ 0 < i < n 1 ÔÓ Þ Ù Û ÛÝÒ ÓÛÝ ÞÑÒ Þ r Ó Òº ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù ÈÝØ Ò º Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Â ÖÓÞÖÞÙ Ó ØÝ Ó Ù Û Ò ØÔÒ ÞÝ Ù Ý Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÈÝØ Ò º Ñ Û ÒÓ Ø ÐÒÓ ÔÓÞÝÝ Ò Ó ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Ó ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Ó ÚÓ Ê ÜËÓÖØ µ ß ÒØ Ö ÓÖ Ö ¹½ Ö ¼ Ö¹¹µ ß ÊÓÞÖÞÙ Ó ØÝ Ó Ù Û ÛÞ Ð Ñ Ð Ñ ÒØÙ r¹ø Ó ÈÓ Þ Ù Û ÛÝÒ ÓÛÝ Ð Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÓÞÝÝ Ò Ó ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò µ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò Ó Ò º Æ A Þ Ø Ð n Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Þ ÔÖÞ Þ Ù [0, k) Þ k n º Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò º Á Ð Ð Þ Ý x ÛÝÞÒ Þ Ð Þ A c x y A Ø y x Ð Þ ÙÑ Þ Ð Þ x A Û Ø Ð Ý ÛÝ ÓÛ Ò ÔÓÞÝ c x º ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò Ð ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [4,3,2,1,0, 5,0,2,2, 1,3,2,4, 1]. ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò Þ Ó Ò Þ Þ ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Ò º Ð ÒÝ Û ÓÛÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò ÚÓ ÓÙÒØ Ò ËÓÖØ ÒØ ÒØ Òµ ß ÒØ ÒØ ÌÑÔ Ê ÙÐØ Ò ÓÖ ¼ Ò µ»» ÞÐ Þ Ò Ð Þ Ö ÛÒÝ ÌÑÔ ÌÑÔ ½ ÓÖ ½ µ»» ÞÐ Þ Ò Ð Þ ÑÒ ÞÝ Ö ÛÒÝ ÌÑÔ ÌÑÔ ÌÑÔ ¹½ ÓÖ Ò¹½ ¼ ¹¹µ ß»» Ó Ø Ø ÞÒ ÖÓÞÑ ÞÞ Ò Ð Þ Ê ÙÐØ ÌÑÔ ¹½ ÌÑÔ ÌÑÔ ¹½ Ð Ð A = [4,3,2,1,0, 5,0,2,2, 1,3,2,4, 1]. ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð

ÞÝ Ð ÓÖÝØÑ ÓÙÒØ Ò ËÓÖØ Þ Ó ÒÝ Þ Þ ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ñ Û ÒÓ ÈÝØ Ò º Ø ÐÒÓ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÈÝØ Ò º Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ËÓÖØÓÛ Ò Û Þ Ð Ò ÓÛÝÑ Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÐ Þ Ò ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð