Fizyka I (echanika), rok akad. 0/0 Zadania z kolokwiu I Zadanie (zadanie doowe, seria II) Masy, i, połączone linkai zawieszone są na bloczkach jak na rysunku. Jakie uszą być spełnione warunki, aby ożliwe było osiągnięcie stanu równowagi? Jakie będą kąty α i β poiędzy linkai i pione w sytuacji, kiedy układ będzie w równowadze? α β Rozwiązanie: W równowadze wypadkowe siły działające na każdą z as uszą znikać. Stąd wniosek, że siła naciągu lewej nici usi wynosić N g, zaś prawej N g. Równowaga asy środkowej wyaga znikania zarówno pozioej jak i pionowej składowej siły wypadkowej: g sinα g sin β () g cos α + g cos β g () Upraszczając oba równania przez g i podnosząc () do kwadratu otrzyujey: α β () cos cos cosα + cos β () Lewa strona równania () jest różnicą kwadratów wyrażeń, wobec tego równanie to ożna zapisać jako: ( cosα cos β )( cosα + cos β ) ( cosα cos β ) Stąd łatwo już doprowadzić do rozwiązania: + + cosα cos β (5) Pierwszy warunek uożliwiający wystąpienie równowagi wynika z równania (). Ponieważ oba cosinusy uszą być nie większe od (i nieujene), to: + (6) Poza ty, skoro oba cosinusy nie ogą być ujene, to z (5) wynika, że żadna z as i nie oże być zbyt duża: + + Maksyalna wartość asy oże być równa +. Łatwo pokazać, że wtedy cos α i cos β, a więc α 0 i β 0. Z kolei nie a ograniczenia od dołu na asę. Wtedy jednak, dla 0 związki (7) prowadzą do. (7)
Zadanie a W polu grawitacyjny o przyspieszeniu g wystrzelono z działa pod kąte α pocisk z prędkością początkową v 0. Po jaki czasie należy wystrzelić drugi pocisk w tych saych warunkach aby w pewnej chwili znalazły się jednocześnie na tej saej wysokości h (niejszej niż wysokość aksyalna)? Jaka będzie wtedy odległość iedzy pociskai? Wykonaj obliczenia dla α0 o, v 0 000/s, h8k. Zadanie b W polu grawitacyjny o przyspieszeniu g wystrzelono z działa pod kąte α pocisk z prędkością początkową v 0. Po jaki czasie należy wystrzelić drugi pocisk w tych saych warunkach aby w pewnej chwili znalazły się jednocześnie na tej saej wysokości h (niejszej niż wysokość aksyalna)? Jaka będzie wtedy odległość iedzy pociskai? Wykonaj obliczenia dla α60 o, v 0 600/s, h9k. Rozwiązanie gt Niech oś y będzie skierowana ku górze, ay wówczas: y( t) v0t Równanie kwadratowe a dwa rozwiązania. Z żądania y(t) h wyznaczay czas po jaki pierwszy pocisk znajdzie się na wysokości h - pierwszy raz wznosząc się (znak inus), drugi raz opadając (znak plus): ( v0 sinα ± v0 sin gh ) t α g, Czas po jaki należy wystrzelić drugi pocisk to różnica czasów z pluse i inuse: t v0 sin α gh, a wartości liczbowe: g A: t 00 0 0 8000 [ s] 0, 5 0 6 0 [ s] 0, 00s 60s 0 x v cosα t 0 / 60 5k 0 6 B: t 0 0 9000 [ s] 0, 7 0 8 0 [ s] 0, 00s 60s 0 x v cosα t 600 / 60 8k 0
Zadanie AB (FMiNI) Wahadło balistyczne to drewniany klocek o asie M zawieszony na nieważkiej nici w zieski polu grawitacyjny. Wahadło wychylono o pewien kąt a następnie puszczono. W chwili, gdy klocek znajdował się w położeniu iniu, w zaniedbywalnie krótki czasie wbił się w niego pocisk o asie, nadlatując z przeciwnego kierunku (zwroty prędkości klocka i pocisku były przeciwne). Ile razy większa była prędkość pocisku v w stosunku do prędkości klocka v w położeniu iniu, skoro całość powróciła do wyjściowego wychylenia? Wartości liczbowe: g, M 98g. B: g, M 99g. Rozwiązanie:, v r Oznaczy prędkość klocka w położeniu iniu przez v. Dygresja: oczywiście v gh, gdzie h jest wysokością względe położenia iniu, na jaka podniósł sie klocek wskutek wychylenia ale to nie jest potrzebne do rozwiązania. Niech v oznacza prędkość pocisku w chwili zderzenia a v prędkość całości po ty zderzeniu. Prawo zachowania pędu w przypadku zderzenia zachodzącego w punkcie iniu a wiec postać: v Mv + M, ( ) v Skoro zaday aby całość wróciła do położenia wyjściowego wahadła, czyli podniosła sie (na nici) na tę saą wysokość, to usi zachodzić: v v i stad otrzyujey wynik: v Mv + M ( ) v M + co daje v v i odpowiednio wartości liczbowe: 000 v 800 A: v 50v i B: v v 00v M v r
Zadanie B (Fizyka) Wahadło balistyczne to drewniany klocek o asie M zawieszony na nieważkiej nici w zieski polu grawitacyjny. Wahadło wychylono o pewien kąt odpowiadający wzniesieniu się klocka na wysokość h względe położenia iniu, a następnie puszczono. W chwili, gdy klocek znajdował się w położeniu iniu, w zaniedbywalnie krótki czasie wbił się w niego pocisk, nadlatując z przeciwnego kierunku (zwroty prędkości klocka i pocisku były przeciwne). Stosunek asy klocka do asy pocisku wynosi γ. Ile wynosiła prędkość pocisku v, skoro całość wzniosła się na wysokość h? Wartości liczbowe: h 0 c, h 0c, γ 5, g 0/s., v r M v r h Rozwiązanie Zad. A i B: Oznaczy prędkość klocka w położeniu iniu przez v. Oczywiście v gh, gdzie h jest wysokością względe położenia iniu, na jaka podniósł sie klocek wskutek wychylenia ale to nie jest potrzebne do rozwiązania. Niech v oznacza prędkość pocisku w chwili zderzenia a v prędkość całości po ty zderzeniu. Prawo zachowania pędu w przypadku zderzenia zachodzącego w punkcie iniu a wiec postać: v Mv + M, ( ) v Oczywiście v gh, więc Skoro zaday aby całość wróciła do położenia wyjściowego wahadła, czyli podniosła sie (na nici) na tę saą wysokość, to usi zachodzić: v v i stad otrzyujey wynik: v M gh + M gh, skąd otrzyujey wynik ( ) ( M ) v + gh, co daje wartości liczbowe M gh + A: v 5 0, /00 + 6 0 5 /00 5 0,6 + 6 0 / s B: v 5 0 0 /00 + 6 0 5/00 5 + 6 9 8 / s
ÁÑ Æ ÞÛ Ó ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ÆÖº Ð ÙÑÙ ººººººººººººººººººººººººº ÖÙÔ Û Þ Ò ÓÛ ººººººººººº ÞÝ Á ¾¼½½»¾¼½¾µ ÃÓÐÓ Û ÙÑ ½ º½½º¾¼½½ ÈÝØ Ò Ø ØÓÛ µ Æ ÔÝØ Ò Ø Ó Ò Ò ÔÖ Û ÓÛ Ó ÔÓÛ õº Æ Ð Ý Þ ÞÒ ÞÝ Ø Û ÞÝØ ÐÒÝ ÞÒ Û Ó ÔÓÛ Ò Ö Ø º ÇØÓÞ Ò Þ Ö ÐÓÒ Ö Ø Ñ ÒÙÐÙ Ó ÔÓÛ õº ÈÓÒÓÛÒ Ó ÛÝ ÓÖÙ ÒÙÐÓÛ Ò ÛÞ Ò Ó ÔÓÛ Þ ÑÓ Ò Ó ÓÒ ÞÝØ ÐÒ ÛÝÔ Ù Ó ÔÓÛ Ò Ð Ø Ö ÔÖÞÝ ÒÙÑ ÖÞ ÔÝØ Ò º Ó Ö Ó ÔÓÛ õ ÙÞÝ Ù ½ ÔÙÒ Ø Þ Þ ¹¼º ÔÙÒ ØÙº ½º Â Ø Ð Þ Þ Ö ØÖÓÛ ÒÝ ÖÓÞÔ Û ÔÓØÖÞ Ò Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ØÝÛÒÓ õö ÔÖÓÑ Ò ÓØÛ Ö¹ Þ Ó Þ Ñ Ø ØÝ ØÝÞÒÝÑ ½¼± ½¼ ½¼¼ ¼ ¾ ¾º Ë ÑÓ Ø ÖØÙ Ý Þ Ø ÝÑ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Ñ Ó ¾ Ñ» Û Ù ÙÒ º  ÖÓ ÔÓ ÓÒÙ Û ØÝÑ Þ ¾¼¼ Ñ ½¼¼ Ñ ½ ¼ Ñ ¼ Ñ º Â Ð Ñ ÔÓÖÙ Þ Ó ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ Ý ÔÖ Ý ØÓ ÛÞÖÓ Ò ÞØ ÖÓ ÖÓØÒ ØÓ Ó Ö Ö Þ ÞØ ÖÝ Ö ÞÝ Û Þ Û Ö ÞÝ Û ÞÝ Ò ÞÑ Ò Û Ö ÞÝ ÑÒ Þ º Ï Ó Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó Ù Ó ½Ñ Ñ Ó Ö Ö Ó Ó Ó ¾ º Â Ø Ù Ó Û Ó Ó Ö ½ ¾ Ñ ¼ Ñ ½ ¼ Ñ ¼ Ñ º Ó ÔÓÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÝÐÓÒ ÔÓ Ø Ñ αº ÏÝÔ ÓÛ Þ Ý Ò Ó Ø Ö ÛÒ Qcos α Q Qsinα ¼ ½
ÁÑ Æ ÞÛ Ó ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ÆÖº Ð ÙÑÙ ººººººººººººººººººººººººº ÖÙÔ Û Þ Ò ÓÛ ººººººººººº ÞÝ Á ¾¼½½»¾¼½¾µ ÃÓÐÓ Û ÙÑ ½ º½½º¾¼½¼ ÈÝØ Ò Ø ØÓÛ µ Æ ÔÝØ Ò Ø Ó Ò Ò ÔÖ Û ÓÛ Ó ÔÓÛ õº Æ Ð Ý Þ ÞÒ ÞÝ Ø Û ÞÝØ ÐÒÝ ÞÒ Û Ó ÔÓÛ Ò Ö Ø º ÇØÓÞ Ò Þ Ö ÐÓÒ Ö Ø Ñ ÒÙÐÙ Ó ÔÓÛ õº ÈÓÒÓÛÒ Ó ÛÝ ÓÖÙ ÒÙÐÓÛ Ò ÛÞ Ò Ó ÔÓÛ Þ ÑÓ Ò Ó ÓÒ ÞÝØ ÐÒ ÛÝÔ Ù Ó ÔÓÛ Ò Ð Ø Ö ÔÖÞÝ ÒÙÑ ÖÞ ÔÝØ Ò º Ó Ö Ó ÔÓÛ õ ÙÞÝ Ù ½ ÔÙÒ Ø Þ Þ ¹¼º ÔÙÒ ØÙº ½º Â Ø Ð Þ Þ Ö ØÖÓÛ ÒÝ ÖÓÞÔ Û ÔÓØÖÞ Ò Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ØÝÛÒÓ õö ÔÖÓÑ Ò ÓØÛ Ö¹ Þ Ó Þ Ñ Ø ØÝ ØÝÞÒÝÑ ¾¼± ¾¼ ½¼¼ ½¼ ¾ ¾º Ë ÑÓ Ø ÖØÙ Ý Þ Ø ÝÑ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Ñ Ó ¼ Ñ» Û Ù ÙÒ º  ÖÓ ÔÓ ÓÒÙ Û ØÝÑ Þ ¾¼¼ Ñ ¼ Ñ ½ ¼ Ñ ½¼¼ Ñ º Â Ð Ñ ÞÛ ÞÝ ÛÙ ÖÓØÒ ØÓ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÔÓ Þ Ò Ñ Ù Ø ÐÓÒ Ý Þ ÞØ ÖÝ Ö ÞÝ Û Þ Û Ö ÞÝ ÑÒ Þ Ø ÑÓ Û Ö ÞÝ Û Þ º Ï Ó Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó Ù Ó ½Ñ Ñ Ó Ö Ö Ó Ó Ó ¾ º Â Ø Ù Ó Û Ó Ó Ö ½ ¼ Ñ ¾ Ñ Ñ ¼ Ñ º Ó ÔÓÞÝÛ Ò Ö ÛÒ Ò ÝÐÓÒ ÔÓ Ø Ñ αº Ï ÖØÓ Ø Ö Ø ØÝÞÒ Ó ÛÝÒÓ µ s Q µ s Qsin α Qsin α µ s Qcos α ¾